Langkah 1: jika berhenti.
Langkah 2:(a) Jika , lanjut ke langkah 3. Jika maka = , =1, lanjut ke langkah 3,
(b) Hitung dan dengan persamaan (12) dan (18) secara berurutan; ,
(c) ; jika atau atau
maka ,
(d) Jika maka ; selainnya = max . Langkah 3: (pencarian garis takmonoton) jika
maka , lanjut ke langkah 1. Langkah 4: pilih , buat , lanjut ke langkah 3.
Langkah 0 merupakan inisialisasi penentuan titik awal iterasi, stepsize awal, batas toleransi dan variabel-variabel lain yang akan digunakan pada Algoritme 2.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Metode modifikasi two-point stepsize gradient (Algoritme 2) dengan metode two-point stepsize gradient Barzilai dan Borwein (Algoritme 1) untuk masalah optimal minimum dikodekan menggunakan software MATLAB R2008b. Kriteria penghentian algoritme BB dan MTSG meliputi tiga hal yaitu:
1 untuk metode MTSG dan BB, dengan merupakan
batas toleransi yang digunakan,
2 titik solusi pada iterasi ke-n sama dengan titik solusi pada iterasi ke-(n+1), (n+2),.... sehingga pada kasus ini banyaknya iterasi ditulis n dan diasumsikan banyaknya solusi adalah n,
3 MATLAB melakukan penghentian algoritme karena angka yang dihitung terlalu besar.
Fungsi yang akan diujikan untuk kedua algoritme ini didapat dari More et al.
13 bumerang. Ketika titik awalnya terlalu jauh dari titik optimalnya maka iterasi akan berlangsung lama untuk menuju titik optimal yang sesungguhnya. Namun, ketika titik awalnya terlampau dekat atau tepat di titik optimalnya maka sulit untuk menarik kesimpulan tentang metode mana yang lebih efisien digunakan dalam mencari solusi yang diharapkan.
Dalam karya ilmiah ini pemilihan titik awal didapat dari artikel yang ditulis oleh More et al. (1981) yang telah banyak dirujuk oleh berbagai artikel sebagai acuan dasar dalam menentukan titik awal. Namun, fungsi yang dipakai pada karya ilmiah ini tidak semuanya diambil dari artikel yang ditulis oleh More et al. (1981) sehingga untuk kasus fungsi yang tidak dimuat oleh More et al. (1981), penulis menentukan sendiri titik awal iterasinya.
Dalam karya ilmiah ini, digunakan sebagai notasi untuk nilai optimal yang diperoleh dari setiap algoritme, sedangkan merupakan nilai optimal yang sudah diketahui dari sumber yang dirujuk. Beberapa kriteria yang akan dibandingkan dalam karya ilmiah ini meliputi jumlah iterasi, nilai optimal dan waktu iterasi. Waktu iterasi yang ada pada tabel merupakan rata-rata waktu iterasi dengan lima kali pengulangan. Fungsi yang akan diujikan dikelompokkan berdasarkan nilai solusi optimalnya sehingga fungsi ini dibedakan menjadi tiga yaitu:
1 fungsi dengan nilai optimal global di satu titik,
2 fungsi dengan nilai optimal global di banyak titik, dan 3 fungsi tanpa minimum global.
Hasil Numerik untuk Fungsi dengan Nilai Optimal Global di Satu Titik
Fungsi yang dimaksud dalam kelompok ini adalah fungsi yang hanya memiliki satu nilai solusi minimum global dan satu titik solusi minimum global. 1. Fungsi Wood
dan
Tabel 1 Hasil numerik untuk fungsi Wood
Metode Jumlah
iterasi Waktu iterasi (detik)
MTSG 663 5.5137 10-18 2.4059 10-9 0.670600 BB 1579 1.1494 10-14 3.3554 10-7 0.372873 2. Fungsi Beale
dan
Tabel 2 Hasil numerik untuk fungsi Beale
Metode Jumlah
iterasi Waktu iterasi (detik)
MTSG 56 2.0572 10-19 1.7017 10-9 0.042850
14
3. Fungsi penalty I
dan
.
Tabel 3 Hasil numerik untuk fungsi penalty I Metode Jumlah
iterasi Waktu iterasi (detik)
MTSG 12 6.4560 5.4639 10-9 0.008859 BB 15 6.4560 3.6393 10-18 0.004158 4. Fungsi trigonometrik , dan
Tabel 4 Hasil numerik untuk fungsi trigonometrik Metode Jumlah
iterasi Waktu iterasi (detik)
MTSG 6 2.9347 10-16 2.5761 10-8 0.005073
BB 26 0.0026 6.346 10-7 0.012200
5. Fungsi extended Powell singular
dan
Tabel 5 Hasil numerik untuk fungsi extended Powell singular
Metode Jumlah
iterasi Waktu iterasi (detik)
MTSG 151 6.6074 10-10 7.9773 10-7 0.122201 BB 160 4.5185 10-11 8.2241 10-8 0.042029 6. Fungsi variably dimensioned
dan
Tabel 6 Hasil numerik untuk fungsi variably dimensioned
Metode Jumlah
iterasi Waktu iterasi (detik)
MTSG 28 3.7654 10-17 1.1249 10-8 0.024771 BB 26 2.7483 10-15 1.2231 10-7 0.010629
15 7. Fungsi Brown badly scale
dan
Tabel 7 Hasil numerik untuk fungsi Brown badly scale
Metode Jumlah
iterasi Waktu iterasi (detik)
MTSG 18 3.4222 10-16 7.1832 10-8 0.012291 BB 51 1.0 10312 6.9507 10233 0.013383 8. Fungsi kuadratik 1
dan
Tabel 8 Hasil numerik untuk fungsi kuadratik 1 Metode Jumlah
iterasi Waktu iterasi (detik)
MTSG 7 5.4587 10-18 3.3042 10-9 0.003905 BB 7 2.2877 10-28 9.0437 10-14 0.001476 9. Fungsi kuadratik 2
dan
Tabel 9 Hasil numerik untuk fungsi kuadratik 2 Metode Jumlah
iterasi Waktu iterasi (detik)
MTSG 9 1.4385 10-14 7.9958 10-8 0.005256 BB 10 2.8399 10-29 6.2804 10-15 0.002169 10. Fungsi Biggs EXP6
dan . Tabel 10 Hasil numerik untuk fungsi Biggs EXP6
Metode Jumlah
iterasi Waktu iterasi (detik) MTSG 419 3.55 10-5 1.27 10-8 1.05384
16
Hasil Numerik untuk Fungsi dengan Nilai Optimal Global di Banyak Titik
Fungsi yang dimaksud dalam kelompok ini adalah fungsi yang hanya memiliki satu nilai solusi minimum global, namun memiliki banyak titik solusi minimum global.
11.Fungsi kuadratik 3
dan . Tabel 11 Hasil numerik untuk fungsi kuadratik jenis 3
Metode Jumlah
iterasi Waktu iterasi (detik)
MTSG 2 0 0 0.001200
BB 2 0 0 0.000750
12.Fungsi trigonometrik II
Bentuk fungsi trigonometrik yang dimaksud adalah , titik awal yang digunakan pada kasus ini adalah x= , x= , x= , x= , x= , x = .
Tabel 12 Hasil numerik fungsi trigonometrik II Titik awal Metode Jumlah
iterasi Waktu iterasi (detik)
x= MTSG BB 39 4 -3.9311 3.8598 2.7664 102.8015 10-8-10 0.058884 0.001407 x= MTSG BB 16 4 -2.4486 2.5378 9.7492 107.0663 10-8-8 0.015530 0.001049 x= MTSG BB 92 5 -3.9952 3.85698 4.1618 101.1538 10-7-6 0.135414 0.001211 x= MTSG BB 34 6 -1.0493 2.5378 2.0238 105.7259 10-7-10 0.054090 0.001406 x= MTSG BB 5 6 -3.0497 -3.0497 3.4283 101.9361 10-9-8 0.003084 0.001372 x = MTSG BB 3 3 -0.0124 -0.0124 2.2621 101.9121 10-8-7 0.002025 0.000938 Gambar 3 Grafik tiga dimensi fungsi trigonometrik II pada selang 0-20
17
Hasil Numerik untuk Fungsi Tanpa Minimum Global
Fungsi yang dimaksud dalam kelompok ini adalah fungsi yang hanya memiliki nilai solusi minimum lokal atau tidak memiliki nilai solusi minimum lokal maupun global.
13.Fungsi kubik
Bentuk kubik yang dimaksud adalah fungsi , titik awal yang digunakan adalah
x= , x= , x= dan x= .
Tabel 13 Hasil numerik fungsi kubik Titik awal Metode Jumlah
iterasi Waktu iterasi (detik)
x= MTSG BB 2 133.0605 3.7559 10-7 0.002275 0.000722 x= MTSG BB 4 7 -301.0605 -301.0605 3.7353 109.0116 10-10-8 0.002746 0.001619 x= MTSG BB 9 6 -301.0605 133.0605 3.1655 101.4579 10-10-11 0.012397 0.001583 x = MTSG BB 5 133.0605 1.0587 10-6 0.002115 0.001313 14.Fungsi kuadratik konkaf
Bentuk fungsi kuadratik konkaf yang dipakai adalah sebagai berikut
, titik awal yang digunakan adalah
- dan , -
Gambar 4 Grafik tiga dimensi fungsi kubik
18
Tabel 14 Hasil numerik fungsi kuadratik konkaf dengan titik awal
dan =
Titik awal Metode Jumlah
iterasi Waktu iterasi (detik) MTSG BB 2 12 2 0 0.004889 0.000680 MTSG BB 2 12 2 0 0.004827 0.000685
Perbandingan antara metode MTSG dan BB yang ditampilkan pada data tabel di atas akan ditampilkan menggunakan grafik sebagai berikut:
Pada Gambar 6 terlihat bahwa rata-rata waktu iterasi yang dibutuhkan untuk metode BB lebih cepat dari metode MTSG.
Gambar 6 Jumlah iterasi untuk metode MTSG dan BB 1 3 7 18 46 119 309 803 2088 Wo o d Bael e Pena lty 1 T ri gon o m e tri k E xt e n d e d p o w e ll Vari a b ly Brown b ad ly s cal e Ku ad ra ti k 1 Ku ad ra ti k 2 Bi g gs E XP6 Ku ad ra ti k 3 1.2 19.4 1 19 13 7.5 1.2 9 1.3 1.1 q b
trigonometrik kubik konkaf MTSG BB
kuadratik
Gambar 5 Rata-rata waktu iterasi pada fungsi MTSG dan BB 0.000100 0.001000 0.010000 0.100000 1.000000 Wo o d Bael e Pena lty 1 T ri gon o m e tri k E xt e n d e d Po w e ll Vari a b ly Brown b ad ly s cal e Ku ad ra ti k 1 Ku ad ra ti k 2 Bi g gs E XP6 Ku ad ra ti k 3 1.2 19.4 1 19 13 7.5 1.21 9 1.3 1.1 q b
Trigonometrik Kubik konkaf
MTSG BB
19 Gambar 7 memberikan informasi bahwa pada kelompok fungsi dengan nilai optimal global di satu titik, jumlah iterasi metode MTSG secara umum lebih kecil dari jumlah iterasi metode BB. Namun pada kelompok fungsi dengan nilai optimal di banyak titik dan fungsi tanpa minimum global jumlah iterasi metode MTSG secara umum lebih besar dibandingkan metode BB. Adanya penambahan teknik pencarian garis takmonoton membuat metode MTSG memiliki jumlah iterasi yang lebih sedikit dibandingkan dengan metode BB karena teknik ini akan terus mencari nilai yang membuat . Hal ini memungkinkan adanya perubahan terus menerus terhadap stepsize pada Algoritme 2 di langkah 3 hingga mendapatkan kondisi , akan tetapi perubahan stepsize pada langkah 3 ini tidak termasuk dalam hitungan jumlah iterasi.
Gambar 7 Nilai minimum yang dihitung menggunakan metode MTSG dan BB untuk fungsi dengan nilai optimal global di satu titik
1.000E-29 1.000E-17 1.000E-05
MTSG BB
Gambar 8 Nilai minimum yang dihitung menggunakan metode MTSG dan BB untuk fungsi dengan nilai optimal global di banyak titik
-5.000E+00 0.000E+00 5.000E+00 Ku ad ra … 1.2 19.4 1 19 13 7.5 trigonometrik MTSG BB
20
Gambar 8, 9 dan 10 menunjukkan bahwa untuk semua kelompok fungsi kecuali fungsi kuadratik 1 dan 2, metode MTSG memiliki nilai minimum yang sama atau lebih kecil dibandingkan dengan metode BB. Selain itu, terlihat pada Gambar 8 bahwa untuk fungsi Brown badly scale (7) metode BB tidak bisa menemukan nilai optimalnya. Metode BB pada fungsi Brown badly scale (7) memiliki jumlah iterasi 51 padahal pada iterasi ke 51 metode BB belum mencapai nilai optimal global maupun lokal karena pada iterasi ke-52, sehingga
dan MATLAB tidak bisa melanjutkan iterasinya lagi sehingga iterasi berhenti pada iterasi ke 51.
Pada fungsi Beale (2) terlihat bahwa metode BB menemukan titik solusi yang berbeda dengan titik optimal yang ada pada artikel More el al. (1998). Hal ini terjadi karena pada iterasi ke-149, sehingga iterasi terhenti pada saat iterasi ke-149, hasil algoritme BB secara lengkap dapat dilihat di Lampiran 4.
Fungsi kuadratik 1, 2 dan 3 menunjukkan bahwa metode BB sama baiknya dengan metode MTSG dalam hal jumlah iterasi, waktu iterasi dan nilai optimal. Hal ini terjadi karena stepsize yang digunakan pada metode BB maupun MTSG hampir sama (lihat Lampiran 5, 6 dan 7).
Pada fungsi kuadratik konkaf, metode MTSG selalu mengarahkan titik optimalnya ke titik atau untuk yang membuat
. Sementara pada fungsi kubik ketika titik awalnya dimulai dari optimal lokal yaitu pada saat dan pencarian solusinya selalu mengarah ke optimal lokal yaitu x*= sedangkan untuk titik awal yang dimulai dari dan solusi titik optimalnya selalu menuju . Hal ini dikarenakan pada saat titik awalnya teknik pencarian garis takmonoton mengarahkan solusi ke nilai optimal yang lebih kecil dibandingkan dengan titik awalnya. Sementara itu, di titik 8.78598 merupakan titik optimal lokal fungsi kubik yang membuat
sehingga iterasi terhenti pada titik tersebut.
Metode BB untuk fungsi dengan nilai optimal global di banyak titik dan fungsi tanpa minimum global menunjukkan bahwa untuk sembarang titik awal di daerah asal fungsi selalu mengarah ke titik solusi terdekat dengan
sedangkan metode MTSG untuk fungsi trigonometrik II ketika titik awalnya berada di salah satu titik maksimum lokal maupun global memberikan nilai stepsize yang cukup besar sehingga membuat titik solusi yang ditemukan
Gambar 9 Nilai minimum yang dihitung menggunakan metode MTSG dan BB untuk fungsi tanpa minimum global -3010 -2010 -1010 -10 1.2 9 1.3 1.1 q b kubik kuadratik konkaf MTSG BB
21 cukup jauh dari titik awal iterasi, sedangkan untuk titik awal yang cukup jauh dari titik maksimumnya memberikan stepsize yang kecil sehingga titik solusinya tidak jauh dari titik awalnya.