BAB III: PEMBAHASAN
3.4 Hubungan antara Subgrup dan Ideal Tertutup dari Grup
Dalam grup, terdapat konsep mengenai grup abelian, dibawah ini, disajikan hubungan antara grup abelian dengan Aljabar-BCI p-semisimple.
Teorema 3.4.1
Diberikan Aljabar-BCI p-semisimpel . Jika di X didefinisikan operasi sebagai berikut U U U . Maka X terhadap merupakan grup abelian dengan 0 sebagai elemen identitas (Tiande & Changchang, 1985:514).
Bukti.
i. Karena operasi merupakan operasi biner, maka jelas bahwa
U U U "X&%!& U U (sifat
tertutup)
ii. Akan ditunjukkan U V berlaku U V U V.
U V U V … (dari definisi)
U V U V … (3.2.10.(3)&3.2.1.iii)
U V … (3.2.10.(3))
U V … (dari definisi) (sifat assosiatif) iii. Akan ditunjukkan U berlaku U U .
U U
U
U (sifat komutatif)
iv. Akan ditunjukkan terdapat sehingga . … (sifat komutatif pada teorema 3.4.1.(iii))
… (teorema 3.2.10.(2)) … (dari definisi)
v. Akan ditunjukkan terdapat elemen invers , dinotasikan dengan
P sedemikian hingga 6
… ( sifat komutatif pada teorema 3.4.1.(iii)) … (dari definisi)
… (aksioma (iii) pada definisi 3.1.1) Contoh 3.4.2
Diberikan RT Aljabar-BCI p-semisimple dengan RT : ; adalah himpunan bilangan modulo 3. Didefinisikan operasi dengan U RT U U . Tunjukkan bahwa RT adalah Grup Abelian.
Jawab:
Berdasarkan pembahasan sebelumnya telah terbukti bahwa RT adalah Aljabar BCI.
Dari operasi akan ditunjukkan bahwa RT J !K! . Untuk maka diperoleh
Untuk : maka diperoleh : ; Untuk ; maka diperoleh ; :
Karena hanya akan dipenuhi jika maka RT adalah Aljabar-BCI p-semisimple.
Akan ditunjukkan bahwa RT adalah grup abelian.
1. Jelas, RT tertutup, karena semua entri pada tabel adalah elemen dari RT ke RT.
2. Ambil U V RT U V U V
U V U V
O U Q V OU V Q
O U Q V ] OU V Q^
Pilih U ; "!& V : maka diperoleh
O ; Q : ] O; : Q^
: ; ; ;
; ;
Jadi terbukti bahwa U V RT WXY#!KZ U V U V 3. Ada Identitas sedemikian sehingga 2 2 5 RT
Untuk maka diperoleh
Untuk : maka diperoleh : :
: :
; : : :
Untuk ; maka diperoleh ; ;
; ;
: ; ; ;
Jadi terbukti bahwa 2 adalah identitas dari RT sehingga berlaku 2 2 5 . RT.
4. Mempunyai invers MN MN 2 Invers dari MN
Invers dari : :MN ; Invers dari ; ;MN : Untuk maka diperoleh
Untuk : maka diperoleh ; : : ;
; : : ;
; ; : :
Untuk ; maka diperoleh : ; ; :
: ; ; :
: : ; ;
5. Ambil U RT maka berlaku U U 6 Pilih ; dan U : U U ; : : ; ; : : ; ; ; : :
Jadi terbukti bahwa U RT maka berlaku U U 6 Jadi terbukti bahwa RT adalah grup abelian.
Teorema 3.4.3
Grup abelian dengan 0 sebagai elemen identitas terhadap operasi . Didefinisikan operasi sebagai berikut U U U . Dengan U adalah elemen invers y terhadap operasi . Maka adalah Aljabar-BCI p-semisimple.
Bukti.
i. Ambil U V , akan ditunjukkan O U V Q V U .
O U V Q V U ]O U Q O V Q^ OV U Q
ƒO U Q ] O V Q^„ OV U Q
U V OV U Q
U V ] OV U Q^
U U V V
ii. Ambil U , akan ditunjukkan O U Q U .
O U Q U ƒ ] O U Q^„ U
O UQ U U U
iii. Ambil , akan ditunjukkan .
iv. Ambil U , akan ditunjukkan jika U "!& U J !K! U6 Diketahui U "!& U maka U dan
U .
U U U U.
U U U U U U U U .
Terbukti bahwa adalah Aljabar-BCI
v. Dari teorema (3.2.10.(2)), akan dibuktikan adalah Aljabar-BCI
p-semisimpel dengan menunjukkan .
] O Q^
.
Contoh 3.4.4
Diberikan grup abelian RS , jika didefinisikan sebagai berikut U
U U RS. Dengan U adalah elemen invers y terhadap operasi . Tunjukkan bahwa RS adalah Aljabar-BCI p-semisimple.
Jawab:
RS : ; <
Dalam bab sebelumnya telah dibahas bahwa RS adalah Grup Abelian. Sehingga akan ditunjukkan bahwa RS adalah Aljabar-BCI p-semisimple dengan definisi bahwa U U U RS.
Akan diperlihatkan bahwa RS adalah Aljabar-BCI dan
RS .
Dalam bab sebelumnya terdapat tabel grup modulo RS, yaitu
+ 0 1 2 3 Sehingga invers setiap elemen yaitu
0 0 1 2 3 Invers dari MN
1 1 2 3 0 Invers dari : :MN <
2 2 3 0 1 Invers dari ; ;MN ;
3 3 0 1 2 Invers dari < <MN : Tabel 3.4.4.1 Grup Modulo 4
i. Ambil : ; < RS maka berlaku O : ; : < Q < ; O : ; : < Q < ;
O : ; MN : < MN Q < ; MN
O : ; : : Q < ; < ; :
< ; MN : < ; : : : : : MN
: <
ii. Ambil < RS maka berlaku O < Q < O < Q < O < MN Q < O : Q < : < : MN < < < < < < < MN < :
iii. Ambil ; RS maka berlaku; ; ; ;
; ; MN
iv. Pilih ; dan U ; maka berlaku ; ; dan ; ; ; ; ; ; ; ; MN ; ; ; ; ; ; MN ; ;
Berdasarkan teorema 3.4.1 dapat diketahui bahwa jika Aljabar-BCI p-semisimple maka Grup Abelian dengan didefinisikan U
U U dan dari teorema 3.4.3 dapat diketahui pula bahwa jika Grup Abelian maka Aljabar-BCI p-semisimple dengan didefinisikan U U . Hal ini dapat disimpulkan bahwa Aljabar-BCI p-semisimple
jika dan hanya jika Grup Abelian , dengan karakterisasi tertentu. Dibawah ini, disajikan mengenai beberapa pernyataan yang ekuivalen mengenai subgrup dengan ideal tertutup pada Aljabar-BCI. Namun sebelum itu, akan diperlihatkan bahwa terdapat relasi ekuivalensi antara ideal dengan Aljabar-BCI.
Teorema 3.4.5
Aljabar-BCI , Ÿ dimana A adalah Ideal. Relasi H dari A ke X,
U H U U .
Bukti.
Akan ditunjukkan bahwa H memenuhi refleksif, simetris dan transitif.
i. Ambil sebarang , dari aksioma €€€ Aljabar-BCI diperoleh bahwa yang berarti H 6 (Transitif)
ii. Ambil sebarang U , dari aksioma € Aljabar-BCI diperoleh bahwa
U dan U . Sehingga U U
H U U H (Simetris)
iii. Ambil sebarang U V jika U dan U , maka V
O V Q O V U Q U V 6 Ekuivalen dengan
U V H U dan U H V, maka H V. (Transitif)
Karena memenuhi refleksif, simetris dan transitif maka A berrelasi dengan X. Teorema 3.4.6
Jika merupakan Aljabar-BCI p-semisimple dengan operasi yang didefinisikan U U U , adalah grup abelian dengan U adalah elemen invers y terhadap operasi , dan A subset dari X, maka pernyataan berikut ekuivalen:
(1) A ideal tertutup,
(2) A subgrup (Murty, 1987:890). Bukti.
: ; . Pilih , maka , berarti A . Ambil
sebarang U U U . Akan ditunjukkan U .
U U U U . Karena A ideal, jelas bahwa U
jadi A tertutup terhadap operasi . Lebih lanjut, karena A ideal tertutup, maka , berlaku . Jadi A tertutup terhadap elemen inversnya. Dengan demikian terbukti A subgrup.
; : . Ambil sebarang U , dengan U dan U . Akan
Karena A subgrup, maka U U . Jelas bahwa U U . Terbukti A ideal. Karena A subgrup, maka
6 Jadi A ideal tertutup. Contoh 3.4.7
Diberikan R` adalah Aljabar-BCI p-semisimple. Dengan operasi yang didefinisikan U U U R`, R` adalah grup abelian dengan U adalah elemen invers y terhadap operasi , dan diberikan Rd subset dari R`. Tunjukkan bahwa Rd ideal tertutup dan Subgrup.
Jawab:
Telah terbukti pada teorema 3.3.4 bahwa R` adalah Aljabar-BCI. Akan ditunjukkan terlebih dahulu bahwa R` adalah Aljabar-BCI p-semisimple. Dan dikatakan Aljabar-BCI p-semisimple jika Rd . Dari tabel 3.4.2.12 Aljabar-BCI R` terlihat bahwa Rd hanya terpenuhi ketika . Jadi R` adalah Aljabar-BCI p-semisimple. Dan jelas bahwa Rd R` dan Rd R`
Akan diperlihatkan terlebih dahulu bahwa Rd adalah ideal. Rd : ; <
+ 0 1 2 3 4 Diperoleh invers tiap elemen dari Rd yaitu
0 0 1 2 3 4 Invers dari MN
1 1 2 3 4 0 Invers dari : :MN
2 2 3 4 0 1 Invers dari ; ;MN < 3 3 4 0 1 2 Invers dari < <MN ;
4 4 0 1 2 3 Invers dari MN :
Rd dikatakan Ideal terhadap operasi yang didefinisikan U U U Rd
1.i Jelas bahwa Rd
1.ii U U Rd maka Rd6 Pilih U Rd MN Rd : : MN : : : Rd ; ; MN ; ; ; Rd < < MN < < < Rd MN Rd
Terbukti bahwa Rd adalah ideal
Akan ditunjukkan bahwa Rd adalah 1. Ideal tertutup
2. Subgrup Kasus 1
Dikatakan ideal tertutup jika Rd berlaku Rd
Untuk MN Rd
Untuk : : : MN Rd
Untuk ; ; ; MN < < Rd
Untuk < < < MN ; ; Rd
Untuk MN : : Rd
Kasus 2
Dikatakan subgrup jika
2.i Rd A , jelas karena Rd : ; < 2.ii U Rd U Rd (Tertutup) Untuk MN Rd : : MN Rd ; ; MN < < Rd < < MN ; ; Rd MN : : Rd Untuk : : : MN : : Rd : : : : MN : Rd : ; : ; MN : < Rd : < : < MN : ; < Rd : : MN : : ; Rd Untuk ; ; ; MN ; ; Rd ; : ; : MN ; : Rd ; ; ; ; MN ; < Rd ; < ; < MN ; ; Rd ; ; MN ; : < Rd Untuk < < < MN < < Rd < : < : MN < ; Rd < ; < ; MN < < : Rd < < < < MN < ; Rd
< < MN < : Rd Untuk MN Rd : : MN < Rd ; ; MN < ; Rd < < MN ; : Rd MN : Rd 2.iii MN Rd Rd (Invers) Untuk MN Rd Untuk : MN Rd Untuk ; MN < Rd Untuk < MN ; Rd Untuk MN : Rd
Terbukti bahwa Rd adalah subgrup.
3.5 Hubungan antara Hikmah dan Konstruksi Aljabar-BCI dari Grup