basis vektor mati. dari keadaan |ii karena harga kuadratnya bersesuaian dengan peluang suatu pengukuran memberikan keadaan itu. Perhatikan bahwa penjumlahan dari semua amplitude probabilitas harus memberikan harga 1 atau lengkap karena mencakup semua peluang.
P (hidup) + P (mati) = ψhidup2 + ψ2mati= 1 2+ 1
2 = 1 (45)
Fungsi gelombang yang mentaati aturan modulus kuadrat sama dengan satu atau mentaati konservasi probabilitas (lengkap) adalah fungsi gelombang yang ternormalisasi. Semua fungsi gelombang yang sah dalam mekanika kuantum harus dapat dinormalisasi. Dalam hal ini fungsi gelombang dengan amplitude probabilitas √1
2 adalah fungsi gelombang yang ternor-malisasi. Misalkan untuk fungsi gelombang gaussian kita (lihat pers.(15)), kelengkapan peluang menghendaki bahwa posisi sebuah sistem kuantum haruslah berada dalam semesta ruang, mis-alkan dalam satu dimensi sebaran distribusi ini diberikan oleh
P (x) = ˆ ∞
−∞
ψ(x)ψ(x)∗dx = 1 (46)
Artinya posisi sebuah partikel bisa berada dimana saja sepanjang koordinat x tetapi kita tidak tahu sebelum diukur (kita hanya tahu sebaran probabilitasnya dari modulus kuadrat fungsi gelom-bang). Secara eksplisit untuk fungsi gaussian kita
P (x) = ψ02 ˆ ∞
−∞
exp −x2 4α
2
dx = ψ02√
2πα = 1 (47)
sehingga
ψ0 = 1
(2πα)14 (48)
Jadi fungsi gelombang gaussian posisi yang ternormalisasi adalah ψ(x) = 1
(2πα)14 exp (ipx/h) exp −x2 4α
(49) Perhatikan bahwa fungsi ini menggambarkan semua alternatif posisi yang mungkin dalam arah satu dimensi (sumbu x). Karena memenuhi asas kelengkapan peluang maka jika kita plotkan fungsi distribusi probabilitas posisinya (modulus kuadrat fungsi gelombang), luasan dari fungsi modulus kuadratnya ini adalah 1. Ketika elektron itu diukur dan berada di posisi x maka fungsi gelombangnya kemudian tereduksi hanya menjadi satu keadaaan saja dari spektrum gaussian kita.
Dengan kata lain fungsi gaussian tersebut runtuh atau berdekoherensi menjadi satu keadaan posisi,
yang secara matematis tercapai dengan cara mengambil limit saat α menuju nol (ingat bahwa alpha adalah parameter yang menentukan lebar dari fungsi gaussian)
α→0lim 1
(2πα)14 exp (ipx/~) exp −x2 4α
= δ(x)
∞ → x = 0 0 → x 6= 0
(50)
menjadi fungsi yang memuncak takhingga pada x = 0 dan nol di titik lain yang dinamakan fungsi semu Deltra dirac δ(x) (nanti kita akan bahas lebih lanjut mengenai fungsi ini). Jadi sebelumnya kita memiliki fungsi gelombang posisi yang mencakup semua kombinasi keadaan posisi yang mungkin dari sebuah elektron. Setelah pengukuran kita memiliki satu keadaan saja yakni delta dirac pada posisi dimana kita temukan elektron itu. Perhatikan bahwa fungsi gelombang kita belum dinormalisasi dan bahwa kita juga harus menormalisasikan fungsi gelombang kita setelah diukur.
Figure 16: Pengukuran akan meruntuhkan/mendekoherensi fungsi gelombang posisi gaussian menjadi delta dirac (gaussan dengan limit α menuju nol)
Normalisasi fungsi gelombang setelah diukur yakni normalisasi fungsi gelombang delta dirac menghasilkan ˆ ∞
−∞
δ2(x)dx = δ(x0)
ˆ ∞
−∞
δ(x)dx
= δ(x0)(1) = 1 (51)
Pembaca mekanika kuantum yang berpengalaman akan melihat bahwa suku dalam kurung adalah definisi dari fungsi delta Dirac dan harus sama dengan 1 dan delta dirac yang keluar dari inte-grasi adalah fungsi dari x0 karena fungsi itu hanya memiliki nilai di x0 yang nilainya 1 sehingga modulus kuadratnya juga 1. Dengan demikian probabilitas kita setelah diukur tetap terkonservasi.
Fungsi delta dirac dinamakan sebagai fungsi semu karena harus didefinisikan dibawah integrasi dan bernilai singular (takhingga) di titik nol yang bukan himpunan dari ruang vektornya sehingga harus dinormalisasikan.
Fungsi gelombang dalam mekanika kuantum dengan demikian dapat berupa suatu kombinasi linier yang diskrit seperti pada kasus kucing Schroedinger atau kontinu seperti pada kasus fungsi gaussian kita. Yang jelas, pengukuran akan meruntuhkan atau mendekoherensi fungsi gelombang kita ke satu keadaan saja dengan normalisasi tetap harus terpenuhi. Ini berarti bahwa sebenarnya peluang statistik total adalah terkonservasi sebelum dan sesudah diukur. Bedanya adalah ketika diukur peluang dari keadaan terukur adalah 1 sedangkan peluang semua keadaan alternatif se-belumnya menjadi nol!
Perhatikan disini kita sama sekali tidak memiliki masalah dengan matematika, tetapi meskipun perhitungan kita bisa memberikan prediksi eksperimen, ini tidak berarti intepretasi dari fungsi keadaan itu sendiri menjadi jelas. Lebih jauh lagi nanti kita akan belajar bagaimana pengukuran terhadap sistem kuantum hanya memberikan satu harga keadaan real saja yakni (hidup atau mati).
Disini masalah kembali muncul. Dimana dan kapan proses keruntuhan fungsi keadaan ini terjadi? Apakah terjadi akibat interaksi sistem dengan alat/sistem klasik (yang berarti keruntuhan funsgi gelombang adalah sesuatu yang real) dan kalau ya bagaimana gambaran fisisnya? Apakah proses ini terjadi secara seketika atau gradual? Atau apakah pemilihan (atau keruntuhan fungsi gelombang sebelum diukur) ini sebenarnya tidak pernah ada secara fisis namun hanya permainan abstraksi matematika dalam pikiran kita belaka namun bisa memodelkan kenyataan yang bebas dari abtraksi kita?
Ini masih belum selesai! Apakah sebenarnya ada variabel tersembunyi yang tidak kita ketahui yang memandu fungsi gelombang itu untuk memilih satu nilai pengamatan yang kita lihat? Mis-alnya apakah fungsi gelombang kucing sebenarnya tidak lengkap dan ada satu variabel yang tidak akan pernah kita ketahui, namun tersembunyi yang menyatakan bahwa atom itu harus meluruh dan pada keadaan lain menyatakan atom itu tidak meluruh? Dalam hal ini probabilitas harus dibuang dan persoalan harus dipandang sebagai ketaktersediaan informasi atau determinisme yang tersem-bunyi. Seperti saat kita melakukan tos tosan mata uang, hasil akhir sebenarnya bisa diprediksi jika kita mengetahui semua informasi pada saat melempar mata uang itu seperti sudut lempar, gesekan udara, gaya tolak tangan, dll, yang kita tidak bisa ketahui karena keterbatasan informasi.
Atau alam memang benar benar probabilistik dalam arti yang sebenarnya (tidak ada informasi
tambahan/variabel tersembunyi) dan analogi tos tosan mata uang tadi tidak berlaku.
Diantara banyak pertanyaan tadi persoalan mengenai variabel tersembunyi ini tampaknya memiliki jawaban. Jawaban itu datang dari eksperimen mengenai keterikatan kuantum atau quan-tum entanglement. Ini adalah salah satu percobaan terpenting sepanjang sejarah fisika.
Cek pemahaman:
1. Mengapa fisikawan Max Born mengintepretasi harga modulus kuadrat fungsi gelombang ke-timbang fungsi gelombang itu sendiri?
2. Apa yang dimaksud dengan konservasi probabilitas? Mengapa jumlah semua probabilitas harus sama dengan satu?
3. Bagaimana probabilitas suatu keadaan sebelum diukur dan setelah diukur, apakah harus tetap terkonservasi?
4. Apa yang dimaksud dengan prosedur normalisasi? Gunakan program Wolfram Alpha di in-ternet: http://www.wolframalpha.com/ untuk menormalisasi fungsi gaussian dan membuktikan validasi pers.(47). Anda bisa gunakan perintah:
Integrate[( Exp[-(x^2)/(4 alpha)])^2, {x, -Infinity, Infinity}]
dan melihat keluarannya. Anda juga bisa menurunkan secara analitik dengan melihat pada beber-apa sumber lengkap semacam [42] dimana Anda bisa gunakan bantuan
ˆ ∞
−∞
e−x2/α2dx =√ π
atau ˆ ∞
−∞
e−αx2dx =r π α
5. Anda telah belajar bahwa pengukuran posisi sistem kuantum hanya memberikan satu keadaan saja (kita tidak tahu yang mana hanya tahu sebaran distribusi peluangnya). Fungsi delta dirac dapat diturunkan dari
δ = lim
α→0f (x)
dimanaf (x) adalah suatu fungsi gaussian. Kerjakan sendiri penurunan normalisasi modulus kuadrat sebuah delta Dirac dan apa hubungannya dengan konservasi probablitas setelah dan se-belum pengukuran. Anda bisa bermain main dengan Delta dirac lebih jauh di Ref. [43]