TINJAUAN PUSTAKA
2.2 Jenis – Jenis Graf
Graf dapat dikelompokkan menjadi beberapa jenis. Pengelompokan jenis graf bergantung pada sudut pandang pengelompokkannya. Pengelompokkan graf dapat dipandang berdasarkan ada atau tidak adanya sisi ganda atau sisi kalang, berdasarkan jumlah simpul, berdasarkan orientasi arah pada sisi, berdasarkan keterhubungan simpul, serta berdasarkan bobotnya.
Berdasarkan ada atau tidak adanya sisi ganda pada suatu graf, maka graf data dikategorikan menjadi dua jenis, yaitu:
1. Graf Sederhana (Simple Graph)
Graf sederhana merupakan graf yang tidak mengandung gelang maupun sisi ganda. Pada graf sederhana, sisi (u,v) sama dengan sisi (v,u).
2. Graf Tak Sederhana (Unsimple Graph)
Graf tak sederhana merupakan graf yang mengandung sisi ganda atau gelang. Ada dua jenis graf tak sederhana, yaitu:
a. Graf Ganda (Multigraph) yaitu graf yang mengandung sisi ganda yang menghubungkan sepasang simpul bisa lebih dari dua buah simpul. Sisi ganda dapat diasosiasikan sebagai pasangan tak terurut yang sama.
b. Graf Semu (Pseudograph) yaitu graf yang mengandung gelang (loop) yang dapat terhubung ke dirinya sendiri.
Berdasarkan jumlah simpul pada suatu graf, maka graf dapat dikategorikan menjadi dua jenis, yaitu:
1. Graf Berhingga (Limited Graph)
Graf berhingga merupakan graf yang jumlah simpulnya sejumlah n berhingga. 2. Graf Tak Berhingga (Unlimited Graph)
Graf tak berhingga merupakan graf yang jumlah simpulnya, n, tidak berhingga banyaknya.
e3
Berdasarkan orientasi arah pada sisiya, graf dapat dikategorikan menjadi dua jenis, yaitu:
1. Graf Tak Berarah (Undirected Graph)
Graf tak berarah merupakan graf yang sisinya tidak mempunyai orientasi arah sehingga urutan pasangan simpul yang dihubungkan oleh sisi tidak diperhatikan. Graf tak berarah G terdiri dari suatu himpunan V dari simpul – simpul dan suatu himpunan E dari sisi – sisi sedemikian rupa sehingga setiap sisi e ε E dikaitkan dengan pasangan simpul tak terurut. Jika terdapat sebuah sisi e yang menghubungkan simpul (vertex) v dan w, maka dapat dituliskan dengan e = (v,w) atau e = (w,v) yang menyatakan sebuah sisi (edge) antara v dan w.
Gambar 2. 1 Graf Tak Berarah 2. Graf Berarah (Directed Graph atau Digraph).
Graf berarah merupakan graf yang pada setiap sisinya diberikan orientasi arah. Pada graf tak berarah (undirected graph) elemen dari E disebut dengan edge, sedangkan pada graf berarah (directed graph) elemen dari E(A) disebut dengan arc. Graph berarah G terdiri dari suatu himpunan V dari simpul - simpul dan suatu himpunan E(A) dari arc sedemikian rupa sehingga setiap arc a ε A menghubungkan pasangan simpul terurut. Jika terdapat sebuah arc a yang menghubungkan pasangan terurut (v,w) dari simpul - simpul, maka dapat ditulis dengan a=(v,w), yang menyatakan sebuah arc dari v ke w.
Pada suatu graf jika dua buah simpul (vertex) v1 dan v2 dihubungkan oleh suatu edge(arc), maka kedua simpul (vertex) tersebut dikatakan adjacent. Pada Gambar 4 simpul (vertex) v1 adjacent (bertetangga) dengan simpul v2. Sementara itu, arc a1 dikatakan incident (bersisian) dengan simpul v1 dan simpul v2.
v3 e4 v4 v1 e1 v2 e2 v5 e 6 e5
Gambar 2. 2 Graf Berarah
Berdasarkan keterhubungan simpul pada suatu graf, maka graf dikategorikan menjadi dua jenis, yaitu:
1. Graf Terhubung (Connected Graph)
Graf terhubung merupakan graf yang terdapat bila ada dua titik dalam graf G yang terhubung. Misalkan u dan v adalah titik yang berbeda pada graf G. Maka titik u dan v dapat dikatakan terhubung (connected) jika terdapat lintasan u – v di G. Sedangkan suatu graf G dapat dikatakan terhubung (connected) jika untuk setiap titik u dan v di G terhubung. (Lubis, Ibnu H. 2011)
Gambar 2. 3 Graf Terhubung 2. Graf Tidak Terhubung (Unconnected Graph)
Sebuah graf G dikatakan tidak terhubung bila dan hanya bila ada dua titik dalam graf G tidak membentuk lintasan.
Gambar 2. 4 Graf Tidak Terhubung
Berdasarkan bobotnya graf dapat dikategorikan menjadi dua jenis, yaitu: 1. Graf Tidak Berbobot (Unweighted Graph)
Graf Tidak Berbobot (Unweighted Graph) merupakan graf yang tidak mempunyai bobot atau nilai.
v4 e4 v1 e1 v2 v3 e2 e3 v3 e2 e3 v4 v1 e1 v2 e4 v3 e2 e3 v4 v1 e1 v2
2. Graf Berbobot (Weighted Graph)
Graf berbobot (weighted graph) adalah suatu graf yang setiap garisnya berhubungan dengan suatu bilangan riil positif yang menyatakan bobot garis tersebut. Bobot garis e biasanya diberi simbol w(e). Jumlah bobot semua garis disebut total bobot. (Surendro, R. 2008)
Gambar 2. 5 Graf Berbobot 2.3 Pohon (Tree)
Pohon dapat didefinisikan sebagai graf tak berarah terhubung yang tidak mengandung sirkuit. Menurut definisi diatas, ada dua sifat penting pada pohon yaitu terhubung dan tidak mengandung sirkuit. Pohon (Tree) dinotasikan dengan T. (Munir, R. 2005)
Konsep pohon sebelumnya sudah diterapkan oleh Arthur Cayley, seorang Matematikawan asal Inggris pada tahun 1870 – an. Arthur menerapkan konsep pohon dalam perhitungan molekul kimia. Tetapi, pada masa kini konsep pohon banyak diterapkan dalam berbagai bidang, mulai dari lingkuistik hingga komputer.
Sebuah graf G dengan n simpul (vertex) dapat dikatakan sebuah tree, jika: 1. G terhubung dan tidak memuat sirkuit, atau
2. G terhubung dan memiliki n – 1 edge, atau
3. G tidak memuat sirkuit dan memiliki n – 1 edge, atau
4. Terdapat tepat satu path diantara setiap pasangan simpul di G, atau 5. G setidaknya merupakan sebuah graf terhubung.
Pada Gambar 2.6, (a) tidak termasuk sebuah pohon karena mengandung sirkuit yaitu a – d – f – a, (b) juga tidak termasuk sebuah pohon karena merupakan graf tidak terhubung, sedangkan (c) merupakan sebuah pohon karena merupakan graf terhubung tetapi tidak memiliki sirkuit.
v3 4 8 v4 v1 2 v2 3 v5 7 5
(a) (b) (c)
Gambar 2. 6 (a) dan (b) bukan pohon, sedangkan (c) adalah pohon 2.4 Minimum Spanning Tree (MST)
Pohon yang mengandung simpul – simpul dalam sebuah grafik yang saling terhubung disebut spanning tree. Permasalahannya adalah bagaimana mendapatkan suatu pohon T yang mengandung semua simpul dalam grafik G dan mengandung jumlah minimum dari bobot simpul – simpulnya (u,v) dari pohon T. (Purwanto, E. 2008)
Pernyataan di atas dapat dituliskan dalam bentuk persamaan: ………… (1)
Algoritma minimum spanning tree mengelola sebuah himpunan suatu simpul A, kemudian menjalankan iterasi secara invariant (tidak berbeda). Perhatian utama pada setiap iterasi adalah bahwa A sebagai sub – himpunan dari beberapa MST, sehingga setiap langkah akan ditentukan simpul yang akan ditambahkan ke simpul A tersebut tanpa menghilangkan sifat invariant-nya. (Purwanto, E. 2008)
Perlu dicermati bahwa spanning tree hanya untuk graf terhubung karena pohon selalu terhubung. Kasus yang dipecahkan dalam minimum spanning tree adalah mencari jarak minimum dari setiap ruas (ujung) pada grafik yang membentuk pohon pencarian. Sebagai catatan bahwa tidak semua grafik bisa dihitung menggunakan MST karena untuk menghitung jarak minimum atas terbentuknya sebuah grafik harus memenuhi kriteria – kriteria spanning tree yaitu:
a. Setiap ruas pada grafik harus terhubung
b. Setiap ruas pada grafik harus mempunyai nilai (bobot) c. Setiap ruas pada grafik tidak mempunyai arah
Pada suatu graf G, total jarak minimum dapat dihitung dengan langkah – langkah sebagai berikut:
e f a b c d f a b c d e a b d c f e
1. Pada suatu graf G yang terbentuk, perhatikan apakah memenuhi kriteria sebagai suatu spanning tree.
2. Lakukan pelacakan secara berurutan dimulai dari simpul pertama hingga simpul terakhir.
3. Pada setiap simpul perhatikan bobot tiap – tiap edge.
4. Ambil nilai atau bobot terkecil yang artinya jarak terpendek dari setiap ruas (edge) simpul.
5. Lanjutkan sampai seluruh simpul membentuk suatu spanning tree.
6. Jumlahkan bobot yang telah dipilih yang menghubungkan simpul – simpul tersebut.
2.5 Lintasan (Path)
Misalkan v0 sampai vn adalah simpul - simpul yang ada dalam sebuah graph. Sebuah lintasan dari v0 sampai vn adalah sebuah barisan berselang – seling dari n+1 simpul dan n edges yang berawal dari v0 dan berakhir di vn yang berbentuk (v0, e1, v1, e2, v2, ... vn-1, en, vn+1) dengan edge ei insiden pada simpul vi-1 dan vi
Jika lintasan berawal dan berakhir pada satu simpul (vertex)yang sama, maka graph dengan lintasan tersebut disebut dengan graph tertutup, dan sebaliknya, jika lintasan berawal dan berakhir pada lintasan berbeda, maka graph dengan lintasan tersebut disebut dengan graph terbuka. Panjang lintasan pada graph adalah jumlah semua bobot edge pada graph tersebut. (Lubis, H. 2009)
untuk i = 1, ... , n (Johnsonbaugh, 1998).