K OEFISIEN K ORELASI

V. SIFAT-SIFAT VARIABEL RANDOM

5.3 K OEFISIEN K ORELASI

(X Y

Var + = Var(X)+Var(Y)+2Kov(X,Y) Jika X dan Y independen maka

)

5.3 Koefisien Korelasi Definisi 5.3

Korelasi dua variabel random X,Y ditulis



_{X ,Y} adalah

Y

Baik kovariansi maupun korelasi keduanya merupakan ukuran hubungan linear antara dua variabel random

Jika



koefisien korelasi X dan Y, maka −11 Contoh 5.2

1. Perhatikan tabel berikut.

146

x = E(X)

=



⁼



x y

x xg y

x xf

x

) ( )

, ( = ³⁰⁺₇₀⁶⁰⁺¹⁵ = 1₂¹

y = E(Y)

=



⁼



y x

y yh y

x yf

y

) ( )

, (

= 0₇₀¹⁵+1₇₀⁴⁰+2₇₀¹⁵ = ₇₀⁷⁰ = 1

) (XY

E =



x yxyf

(

x

,

y

)

= 11₇₀¹⁸+12₇₀¹⁸+13₇₀² +21₇₀⁹ +22₇₀³

= ₇⁹

Y

X 0 1 2 g(x)

0 0

₇₀² ₇₀³ ₇₀⁵

1

₇₀³ ₇₀¹⁸ ₇₀⁹ ₇₀³⁰

2

₇₀⁹ ₇₀¹⁸ ₇₀³ ₇₀³⁰

3

₇₀³ ₇₀²

0

₇₀⁵

h(y)

₇₀¹⁵ ₇₀⁴⁰ ₇₀¹⁵

1

147 Apakah X dan Y independen Penyelesaian

148 5.4 Nilai Harapan Bersyarat

Definisi 5.4

Jika X dan Y adalah variabel-variabel random berdistribusi peluang gabungan, maka nilai harapan bersyarat dari Y diberikan X = x diberikan oleh

)

Biasa dinotasikan untuk nilai harapan bersyarat adalah _EYx(Y) dan )

(Y X x

E =

Contoh 5.3

Diberikan fkp bersyarat dari Y diberikan X = x adalah ) Nilai harapan bersyarat adalah

)

Teorema 5.1

Jika X dan Y variabel random berdistribusi peluang gabungan, maka

149 Contoh 5.4

Berdasarkan contoh sebelumnya, digunakan teorema dengan

) ( x Y E

=

4

x dan f₁(x) = 2

x untuk 0 < x < 2. Sebagai berikut

) (Y

E =

E ( E ( Y X )]

=



^2_^{ }_^_^{ }_^

0 4x 2x dx = 3 1

Teorema 5.2

Jika X dan Y variabel random independen, maka

) ( x Y

E

=

E (Y )

dan

E ( y X )

=

E (X )

Definisi 5.5

Variansi bersyarat dari Y diberikan X = x diberikan oleh )

( xY

Var =

E {[ Y − E ( Y x )

²

}

_atau

)

( x Y

Var

=

E ( Y

²

x ) − [ E ( Y x )]

²

5.5 Soal-soal Latihan

1. Tentukan kovarian dari soal contoh 5.2 nomor 1 2. Tentukan variansi dari soal contoh 5.2 nomor 2

3. Misalkan X dan Y mempunyai distribusi peluang gabungan:

Y

X 1 2 3

1 0

₆¹ ₁₂¹

2

₅¹ ₁₂¹ ₂₀¹

3

₂₀¹ ₃₀¹ ₃¹

150 Tentukan

a. E(XY)

b. Kovariansi variabel random X dan Y c. Nilai harapan X dan Y

d. Variansi X dan Y

4. Dua variabel random mempunyai fungsi kepadatan gabungan sebagai berikut

) , ( yx

f =

( )



 +    

lainnya y

dan x untuk 0

4 1 , 2 0

2)

2

501 x y x y

Hitunglah kovariansi variabel random X dan Y

5. Bila X dan Y dua variabel random independen dengan variansi 2x



= 5 dan ²_y^{= 3}

Hitunglah variansi variabel random Z

= − 2

X

+ 4

Y

− 3

6. Misalkan f(x,y) = 6x, 0<x<y<1dan nol untuk lainnya. Tentukan (a) f1(x) (b). f2(y) (c) COV((X,Y)

(d) f(yx) (e) E(Yx)

7. Misalkan X dan Y variabel random kontinu dengan fungsi kepadatan peluang gabungan f(x,y) = 4(x-xy) jika 0<x<1 dan 0<y<1, dan nol untuk lainnya

8. Jika Z adalah suatu variabel random dengan fZ(z) = 1, untuk 0<z<1 dan X = sin 2Z, Y = cos 2Z, selidiki apakah X dan Y saling bebas?

9. Jika variabel random X,Y mempunyai fungsi kepadatan peluang gabungan

151 fX,Y(x,y) =

( )



 +    

lainnya y

dan x untuk 0

2 1 , 1 0

7 2

2 x y x y

maka ekspektasi g(X,Y) = ₃ Y

X adalah …

10. Suatu industri menghasilkan barang yang dapat dikelompokkan sebagai cacat dan tidak cacat. Peluang suatu barang cacat 0,1.

Suatu percobaan dilakukan dengan mengambil 5 barang secara random dari proses. Misalkan X variabel random yang menyatakan banyaknya barang yang cacat dalam sampel sebesar 5 ini. Tentukan fungsi kepadatan peluang X.

152 DAFTAR PUSTAKA

Bain, L. J. Engelhardt. M.(1992). Introduction to Probability and Mathematical Statistics. Duxbury Press. California.

Dudewicz, E. J., Mishra, S. N., & Sembiring, R. K. (1995). Statistik Matematika Modern.

Hogg, R. V., McKean, J., & Craig, A. T. (2005). Introduction to mathematical statistics. Pearson Education.

Mosteller, F., Rourke, R. E., & Thomas Jr, G. B. (1988). Peluang dengan Statistika Terapannya.

Myers, R. H., & Walpole, R. E. (1995). Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan. Bandung: ITB.

153 GLOSARIUM

Ruang Sampel adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan.

Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel.

Peluang adalah besarnya probabilitas atau kemungkinan berlangsungnya suatu kejadian.

Peluang saling lepas adalah peluang dari beberapa kejadian yang saling meniadakan.

Peluang saling bebas adalah peluang dari beberapa kejadian yang tidak saling mempengaruhi.

Peluang bersyarat adalah peluang dari dari kejadian kedua terjadi setelah kejadian pertama dan seterusnya.

Variabel random adalah fungsi dari ruang sampel ke bilangan real.

Fungsi Kepadatan Peluang (fkp) adalah fungsi peluang dari suatu variabel random yang mempunyai sifat tertentu.

Fungsi Distribusi Komulatif (fdk) adalah fungsi komulatif peluang dari semua nilai variabel random dengan sifat tertentu.

154 LAMPIRAN

Distribusi Peluang Khusus 155

Tabel Distribusi Normal

Z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

156

Fungsi Distribusi Peluang Diskrit Spesial

157

158

159

160

Soal-soal dan Penyelesaian

Peluang

1. Sebuah mesin bola karet mengeluarkan permen warna merah, hitam dan hijau.

a. Tuliskan kemungkinan ruang sampelnya.

b. Tentukan semua kejadian yang mungkin.

c. Jika R adalah peristiwa “merah” tulis hasil yang bukan R.

d. Jika G peristiwa “green” berapa R  G Jawab:

Misal r : merah, b : hitam, g: hijau a.

^S=



^r,b,g



b. Peristiwanya adalah =



^S,

^

^{,{r},{b},{g},{rg},{rb},{bg}}



c.

{ gb, }

d.

RG=

 karena yang dikeluarkan tidak ada yang dua warna.

2. Dua bola karet dan mesin pada hal 1 diperoleh dengan 2x percobaan dengan urutan hasil di perhatikan asumsikan bahwa sekurang-kurangnya ada 2 bola dari setiap warna pada mesin.

a. Bagaimana ruang sampelnya.

161

b. Berapa banyak kejadian yang mungkin yang memuat

dan hasil.

c. Selanjutnya peristiwa-peristiwa dianggap sebagai peristiwa yang sederhana dengan

C

1

= terambil permen merah pada pengambilan pertama C

2

= terambil sekurang-kurangnya sebuah permen warna merah.

Tentukan:

C₁



C₂

,

C₁^c



C₂

. Jawab:

a. S = {(r,r),(r,g),(r,b),(g,g),(g,r),(g,b),(b,b),(b,r),(b,g)} = 3

²

. Ket :

r = RED = Merah g = GREEN = Hijau b = BLACK = Hitam b.



=

= 8 ) (

9 ) (

A m

S

N

peristiwa yang mungkin =

! 9 8 ) 8 9 (

! 9 8

9 =

= −



 





cara (banyak peristiwa)

c. C

1

={(r,r),(r,g),(r,b)} = {(r,r)}(r,g) {(r,b)}

C

2

={(r,r),(r,g),(r,b),(b,r),}(g,r)} = {(r,r)}…{(g,r)}

C

1

C

2

=C

1

={(r,r),(r,g),(r,b)}= {(r,r)}{(r,g)} {(r,b)}

11

C

= {(g,g),(g,r),(g,b),(b,b),(b,r),(r,b)}

= {(g,g)}…{(b,g)}

162

1 2

1 C

C 

= {(b,r),(g,r)} = {(b,r)(g,r)}

3. Ada empat golongan darah = O, A, B, AB secara umum setiap orang dapat menerima darah dari yang lain asalkan segolongan dan seseorang dapat menerima darah dari golongan darah O dan 4 golongan darah tersebut memberikan darah pada AB. Sebuah percobaan dengan pengambilan, penyerah donor dari seseorang donor ke donor berikutnya.

a. Catat hasil yang mungkin (urutan diperhatikan).

b. Catat semua peristiwa dengan syarat donor ke-2 dapat menerima darah dari donor ke-1.

c. Catat hasil dengan syarat setiap honor dapat menerima darah dari yang lain.

Jawab:

Peristiwa dengan hasil yang

mungkin

3² =9

outcome

163

c. {(O,O),(A,A),(B,B),(AB,AB)} Hasil yang mungkin yaitu

bergolongan darah sama

⁼²²⁼⁴

outcome

4. Suatu percobaan hitung pengambilan permen karet sampai diperoleh permen warna merah. Tentukan ruang sampelnya.

Jawab:

S = {xx=r} atau x = C

1

C

2

…C

k

} dengan

C_k =b

atau

g

S = {(r)br, gr, bbr, ggr,bgr, gbr, …}

5. Sejumlah partikel alpa dipancarkan oleh sampel radioaktif pada waktu interval tertentu.

a. Berikan ruang sampelnya.

b. Saat mulai sampai sinar alpa dipancarkan, berikan ruang sampelnya.

Jawab:

a. S = {0, 1, 2, …, 

0

} b. S = {t  0  t  t

0

}

6. Suatu eksperimen yaitu ingin memeriksa berapa bagian kandungan suatu logam itu adalah emas. Buat ruang sampelnya.

Jawab :

S = [0,1] = {t  0  t  t

0

}

164

7. Aki mobil diseleksi dan dites selanjutnya sampai suatu waktu aki tersebut tidak dapat dipakai lagi, tentukan ruang sampelnya.

Jawab:

S = [0,) atau S = {z  z ≥ 0}

8. Ada 100 bola karet yang terdiri dari 20 merah, 30 hitam dan 50 hijau.

a. dapatkah dikatakan bahwa model peluang dan bola tersebut adalah P(M) = 0,2 , P(H) = 0,3 , dan P(H

j

) = 0,5 b. jika bola warna y Juga ada di merah. Maka dapatkah dikatakan bahwa model peluangnya adalah P(H) =0,2 , P(B)= 0,3 , P(H

j

) = 0,5 dan P(y) =0,1

Jawab:

a. Trivial karena P(M) +P(H)+ P(H

j

) = 1 dengan P≥0: i = M, H, H

j

.

b. Tidak karena P(M) + P(B) + P(H

j

) > 1 yaitu syarat peluang P(S) = 1

9. pada soal nomor 2 terdapat 9 kemungkinan hasil yang berbobot sama tentukanlah

a. P (keduanya warna merah)

b. P ( ) _c

₁

^~ _c

₁

= {(r,r), (r,g), (r,b)}= 3 dengan R.S =9

c. P ( ) _c

₂

~ c

²

= {(r,r), (r,g), (r,b), (g,r), (b,r)} = 5

d. P ( _c

₁^

_c

₂

) ^~ _c

₁^

_c

₂

= {(g,r),(b,r)}

165

e. P ( _{c c}

2

)

'

1

~ ( _{c c}

2

)

'

1

= {(g,r),(b,r)}

f. P ( _c

₁

_c

₂

) ~ c

^1

c

²

⁼ c

²

= {(r,r),...,(b,r)}=5 Jawab:

a. P({r,r}) =

9 1

b. P(C

1

) =

3 1 93 =

c. P(C

2

) =

9 5

d. P(C

1

C

2

) = P(C

1

) =

3 1

e.

P(C₁^c C₂

=

9 2

f. P(C

1

C

2

) =

9 5

10. Perhatikan soal nomor 3 dimana banyak golongan darah mempunyai bobot yang sama:

a. Tulis peluang bahwa donor II dapat menerima darah dari donor I

b. Tulis peluang bahwa setiap donor dapat menerima darah dari yang lain

c. Tulis peluang bahwa tidak ada satupun golongan yang

dapat menerima darah dari golongan yang lainnya

Jawab:

166

a. B(II dapat I)=

16 9

P({O,O), (O,A),(O,B), (O,AB), (A,A), (A,AB), (B,B), (B,AB),(AB,AB)})

b. P(Z = donor menerima yang segolongan) =

16

4

=

4 1

c. P(Y=0 atau AB) = P({(AB,AB),(O,O)})

= P(0) + P(AB) =

16 1 161 +

=

8 1

11. Buktikan bahwa P

(

 =0, dengan h

) i

=  untuk semua i.

Bukti:



A

ⁱ=

P _{ } ( )

= = =



 



 ⁿ

i i

i n

i

A

^P

A

1 1

P

()

= _ ( )

= n

i

P

1



Ini akan terjadi jika P()=0 (Q.E.D)

12. Buktikan P ( _A

₁

_A

₂...

_A

_k

) ( ) ( )

=P

_A

₁ +P

_A

₂ +...+P

_A

_k

Bukti:

Ambil A

ⁱ=

 untuk i = k (diketahui) Berarti A

k₊1=



,

A

k₊2=

 dan seterusnya



 







=ⁿ

A

ⁱ

i

P

1

= _ ( )

= n

i ^P

A

i 1

167

=

P

( ) ( ) _A

₁ +P

_A

₂ +...+P

_A

_k

= P(A

1

)P(A

2

) …P(A

k

) P(A

k+1

) P(A

k+2

) …

P





 







=ⁿ

A

ⁱ

i 1

= _ ( )

= n

i ^P

A

i 1

+ _ ( )

+

= n

K

i ^P

A

i

1

= _ ( )

= n

i ^P

A

i 1

+0

P





 







=ⁿ

A

ⁱ

i 1

= P(A

1

)+P(A

2

) +…P(A

k

)

P(A

1

A

2

…A

k

) = P(A

1

)+P(A

2

) +…P(A

k

)

13. Jika suatu eksperimen dilakukan, satu dan hanya satu pasti A

1

, A

2

, atau A

3

akan terjadi tentukan P(A

1

), P(A

2

), atau P(A

3

) dengan rumus yaitu:

a. P(A

1

) = P(A

2

) = P(A

3

) b. P(A

1

) = P(A

2

) dan P(A

3

) =

2 1

c. P(A

1

) = 2P(A

2

) = 3P(A

3

) Jawab:

a. S = {A

1

, A

2

,A

3

} → n(S) = 3 P(A

1

) = P(A

2

) = P(A

3

) =

3 1

, Karena n(A

1

) = n(A

2

) = n(A

3

) b. P(A

1

) = P(A

2

) = P(A

3

) = 1

 2 P(A

2

) +

2 1

= 1

 P(A

2

) =

4

1

= P(A

1

)

c. P(A

3

) = x  P(A

1

) = 3x  P(A

2

) =

₂³x

,

168

x + 3x +

₂³x

= 1  x =

₁₁²

P(A

3

) =

₁₁²

P(A

2

) =

11 3

112 23 =

P(A

1

) =

11 3₁₁² = 6

14. Sebuah koin seimbang dari 4x. Tulis yang mungkin dan hitung peluang dari setiap kejadian berikut ini:

a. tepat 3 muka yang muncul

b. sekurang-kurangnya 1 muka yang muncul c. jumlah muka = jumlah belakang

d. munculnya angka lebih banyak dari keliling Jawab:

S = {MMMM, MMMB, MMBM, MBMM, MMBB, MBBM, BBMM, BMBM, BBBM, BBMB, BMBB, MBBB, MBMB, BMMB, BBBB}

a. P(3M) = P{MMMB}, atau {MMBM} atau {MBMM} atau {BMMM}=

4 1 164 =

b. P(sekurang-kurangnya 1 muka)=P(S)-P({BBBB}) =1 -

16

1

=

16 15

c. P(muka=keliling) = P({MMBM} atau {MBMM} atau {BMMM} atau {MBMB} atau {BMMB}) =

8 3 166 =

169

d. P(M>B) = P({MMMM} atau {MMMB} atau {MMBM}

atau {MBMM} atau {BMMM}) =

16

5

15. Dua guru honorer ditugasi untuk memberi tugas secara random pada mata pelajaran trigonometri (t), Aljabar (a) dan Kalkulus (c). Tuliskan ruang sampel dan hitunglah peluang bahwa mereka mengajar kursus yang berbeda.

Jawab:

S = {

(t,t),(a,a),(c,c),(t,a),(t,c),(a,t),(a,c),(c,t),(c,a)}

P(guru mengajar kursus yang berbeda) =

3 2 96 =

16. Buktikan bahwa P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB) -P(AC)-P(BC)+P(ABC)

Dengan ( A  B  C ) = ( A  B )  C dan gunakan P ( A  B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A  B )

Bukti:

P ( A  B  C )  = P ( ( A  B )  C  )

= P ( A  B ) + P ( C ) − P ( A  B )  C )

= P(A)+P(B)- P(AB)+P(C)-P((AC)(BC))

= P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-[P(AC)+P(BC)- +P(ACBC)]

= P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)

+P(ABC)

170

17. Buktikan bahwa

Jika AB maka P(A) P(B) dengan B =

A(BA^c)

disjoint union

Sehingga P(B) = P(

{A(BA^c)}

) Bukti

P(B) = P(A) + B(BA

^c

) – P(ABA

^c

)

= P(A) + B(BA

^c

) – 0

= P(A) + B(BA

^c

)

Menurut sifat himpunan karena A dan BA

^c

adalah himpunan (atau dua peristiwa yang saling lepas maka P(A) + B(BA

^c

) ≥ P(A)

Jadi P(B) = P(A) + B(BA

^c

) ≥ P(A) atau P(A)  P(B) 18. Jika A dan B adalah suatu peristiwa tunjukkan bahwa

a.

P(AB^c)=P(A)−P(AB)

b.

P(AB)=1−P(A^cB^c)

Bukti

a. Ambil

A=(AB)(AB^c)

maka

))

( ) ((

)

(A P A B A B^c

P =   

) (

) (

) ( )

(A P A B P A B^c P A B A B^c

P =  +  −   

) ( ) (

) ( )

(A P A B P A B P



P =  +  ^c −

=0

) (

) ( )

(

A B P A P A B

P



^c

= − 

171

172

20. Bila

4 ) 1 ( 8, ) 1 ( 2, ) 1

(A = P B = P C =

P

dengan A,B dan C saling

lepas Hitung:

a.

P(ABC)

b.

P

(

A^c



B^c



C^c

) Jawab:

a.

P(ABC)

8 7 4 1 8 1 2 ) 1 ( ) ( )

( + + = + + =

=P A P B P C

b.

P

(

A^c



B^c



C^c

) =

^{P((ABC)c)}

=

8

1 8 1 7 ) (

1−P ABC = − =

21. Tunjukkan bahwa

) ( 2 ) ( ) ( )]

( )

[(A B A B P A P B P A B

P  ^c  ^c = + − 

Bukti: ambil

A=(AB)(AB^c)

B

= (

A



B

)  (

A^c



B

)



P(A)=P(AB)+P(AB^c)−P(ABAB^c)



P(A)=P(AB)+P(AB^c)...1



P(B)=P[(AB)(A^cB)]



P(B)=P(AB)+P(A^cB)−P(ABA^cB)



P(B)=P(AB)+P(A^cB)...2

Cara II:

Ambil

P(AB^c)=P(A)−P(AB)

173

(1) dan (2) dijumlahkan diperoleh

)

kedua-duanya = 0,5 tentukan peluang dari

a. A menang pada satu perlombaan (sekurang-kurang-nya satu perlombaan)

Jawab: tepat 1 perlombaan)

)]

174

c. Peluang tidak menang pada kedua perlombaan

c m

m II

I

P(  )

=

1−P(I_mII_m)

= 1 – 0,8

= 0,2

23. Sebuah keluarga mempunyai 2 TV, satu berwarna dan yang lain hitam putih. Jika A adalah peristiwa TV warna hidup, dan B adalah peristiwa TV hitam putih hidup.

4 , 0 ) (A = P

3 , 0 ) (B = P

Dan

P(A B)=0,5

. Tentukanlah a. P(keduanya hidup) =

P(AB) = P(A) +P(B) – P(AB)

 0,5 = 0,4 + 0,3 – P(AB)

 P(AB) = 0,2

b. P( TV warna hidup yang lain mati) =

P (A B^c) )

( ) ( ) ( )

(A B^c P A P B^c P A B^c

P  = + − 

=

0,4+0,7−(1−P(A^cB))

=

0,4+0,7−1+P(B)−P(AB)

=

0,1+0,3−0,2

=

0,2

c. P (tepat A hidup) =

P[(A^cB)(AB^c)]

=

P(AB^c)+P(A^cB)−P(A^cBAB^c)

175

P (tepat A hidup) = 0,2 + P(B) – P(AB)

= 0,2 + 0,3 – 0,2

= 0,3 d. P (kedua-duanya mati)

) (A^c B^c

P 

=

P[(AB)^c]=1−P(AB)

= 1 – 0,5

= 0,5

24. Misalkan

; 1,2,3,4 3

) 1

( =

= + i

A i

P _i

. Hitung batas atas untuk

) (A₁ A₂ A₃ A₄

P   

Jawab: 

= = =

 ^A

i i

i A

i A P A

P

1 ) 1 ( )

(

) ( ) ( ) ( )

(A₁ P A₂ P A₃ P A₄

P + + +

=

420 319 7 1 6 1 5 1 4

1+ + + =

=

25. Sebuah kotak berisi 3 kartu jelek dan 2 kartu jelek peserta A mengambil sebuah kartu kemudian B sebuah kartu.

Tentukan a. P(A baik)

b. P(B baik | A baik) c. P(B baik | A jelek) d. P(B baik  A jelek)

e. Tulis outcome ruang sampelnya dan pasangkan dari

urutan dan hitung P(B

baik

∩ A

baik

) dan P(B

baik

|A

baik

)

176

dengan menggunakan defenisi dan asumsikan kartu peserta dalam keadaan baik (jelas)

f. P(B

baik

)

177

A jelek dan B baik 2.3 = 6

Sehingga defenisi ada 20,

P(B

baik

A

baik

) =

mengembil dengan pengembalian sebelum B mengambil

Jawab

178

27. Sebuah tas berisi 5 bola biru dan 3 merah, seorang anak mengambil sebuah bola selanjutnya mengabil bola yang lain tanpa mengambalikan. Tentukan

a. P(2 bola biru) = P(I

b

 II

b

) = P(I

b

).P(II

b

|I

b

)

P(II

b

).P(II

m

) =P(Ib).P(IIm|Ib) + P(IIm).P(IIb|Im)

=

8

c. P(sekurang kurangnya 1 biru)

= P(I

b

 II

b

)+P(I

m

 II

b

)+P(I

b

 II

m

)

= P(Ib).P(IIb|Ib)+P(Im).P(IIb|Im)+P(Ib).P(IIm|Ib)

=

8

179

d. P(2 bola merah) = P(I

m

 II

m

) = P(I

m

).p(II

m

|I

m

)

=

8 3

.

7 2

=

56 6

=

28 3

28. Pada soal nomor 27 diambil 3 sekaligus tanpa pengem-balian. Tentukan:

P(tak ada bola netral yang tertinggal sesudah pengambilan ketiga)

a. P(terambil 3 bola merah) = P(I

m

 II

m

 III

m

) P(MMM) = P(I

m

 II

m

) P(IIIm  I

m

 II

m

)

= P(I

m

) P(II

m

 I

m

) P(II

m

 I

m

 II

m

)

=

56 1

b. P(1 bola merah) = P(MMB) + P(MBB)

=

6

4 7 5 8 3 6 5 7 2 8

3 +

=

56

10 565 +

=

56 15

c. P(bola merah 5 pada pengambilan terakhir)

= P(MBB) =

6 4 7 5 8

3

=

28 5

d. P(sebuah bola merah terambil pada pengambilan terakhir)= P(••M) = P(M) =

8 3

180

29. Sebuah keluarga mepunyai 2 anak diketahui bahwa sekurang-kurangnyam 1 laki-laki. Berapa peluang keluarga tersebut 2 laki-laki. Asumsi P(laki-laki) =

2

A = suatu keluarga paling sedikit 1 laki-laki A =  LL , LP , PL 

B = sekurang-kurangnya menpunyai 2 laki-laki

B =   LL

181

30. Dua kartu diambil dari kotak tanpa pengambilan

a. Berapa peluang kartu kedua adalah hati. Jika diberikan bahwa kartu pertama adalah hati.

Jawab: diberikan bahwa sekurang-kurangnya satu hati.

Jawab :

182

31. Sebuah kotak berisi 5 bola warna hijau, 3 hitam & 7 merah.

Dua bola diambil secara random tanpa pengambilan.

Berapa peluang

a. Peluang kedua-duanya merah b. Peluang kedua warna sama Jawab:

32. Sebuah team mempunyai 3 pemain yaitu A,B & C dengan

presentase menang 0,4, 0,6, 0,8. Dimana frekuensi bermain

dalam 10 perlombaan adalah 2,3 & 5 dengan perkataan

lain bahwa p(A)=0,2 , p(B)=0,3 dan p(C)=0,5

183

Hitung

a. Peluang menang dalam permainan

b. Peluang A melempar dalam permainan/tim menang Jawab

a. P(menang dalam permainan) = P(Winners) P(W) = P(I

A

II

B

) + P(I

B

II

C

) + P(I

C

II

A

)

= P(I

A)

.p(I

B

|I

A

) + P(I

B

).p(II

C

|I

B

) + P(I

C

).p(II

A

|I

C

)

= 0,2 . 0,4 + 0,3 . 0,6 + 0,5 . 0,8 P(W) = 0,08 + 0,18 + 0,40

= 0,66

b. P( A melempar dalam permainan / tim menang) P(AW) =

) (

) ( ) (

W P

A W P A P

=

0,66 4 , 0 6 , 0 

= 0,1212

33. Sebuah kartu diseleksi dari 52 kartu dan ditaruh pada kotak kedua, kartu selanjutnya diambil dari kotak kedua a. Berapa peluang kartu kedua adalah Ace

b. Jika kartu I dimasukkan kedalam kotak yang berisikan 54 kartu dengan 2 Joker. berapa peluang kartu yang diambil dari kotak kedua adalah Ace

c. Jika Ace diambil dari kotak pada soal b apakah (berapa

peluang Ace itu diambil)

184

(dengan 2 Muka). Sebuah koin diambil secara random dan dilempar 3x

a. Tentukan peluang muncul 3 Muka

b. Jika muncul Muka diambil dari 3 kali pelemparan,

185

35. Sebuah pabrik mempunyai 3 mesin yaitu 1,2 & 3 dengan produksi masing-masing 20%, 30%, dan 50%. Dari produksi itu terdapat 5%, 3% dan 2% yang rusak. Sebuah pabrik dipilih secara random

a. Berapa peluang produk pabrik itu rusak

b. Jika pabrik itu rusak, berapa peluang bahwa pabrik itu

dibuat oleh mesin 1

186

kemudian coin juga diambil secara random.

a. Tentukan peluang terambil dime

Jawab:

187

diambil dari B

P(I

B

|I

D

) =

188

Buktikan

^P

(

^ABc

)

^=P

( )

^{A P}

( )

^Bc

Bukti :

Dengan mengambil

^AB=

(

^ABC

)

^B

^maka

(

^{A B}

)

^P

 (

^{A B}

)

^B



P  =  ^c 

( ) ( ) (

^{A P B P A B}

)

^P

(

^{A B}

)

^P

( )

^{B P}

(

^{A B B}

)

P + −  =  ^c + −  ^c

( ) (

^{A −P AB}

)

^=P

(

^AB

)

^−P

( ) ^

⁼⁰

P ^c

(

^{A B}

)

^P

( ) (

^{A P A B}

)

P  ^c = − 

(

^{A Bc}

)

P  =P

( ) ( ) ( )

A −P A PB

sesuai def peluang bebas

( )

^A

(

^P

( )

^B

)

P −

= 1

sesuai teorema



P

(

AB^c

)

=P

( )

A P

( )

B^c

(

Q.E.D

)

b.

A^c

dan

B

selang bebas Buktikan

^P

(

^AcB

) ( )

^{=P Ac P}

( )

^B

Bukti : Ambil

^AB=A

(

^AcB

)

(

^{A B}

)

^P



^A

(

^{A B}

) 

P  =  ^c

P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(A

^c

B)-P(AA

^c

B) P(A

^c

B)=P(B)-P(A)P(B) definisi

P(A

^c

B) = P(B)P(A

^c

) atau P(A

^c

B) = P(A

^c

)P(B) (QED) c. A

^c

dan B

^c

 saling bebas

Buktikan

^P

(

^AcBc

) ( ) ( )

^{=P Ac P Bc}

189

Bukti : gunakan

^P

(

^AB

)

^=1−P

(

^AcBc

)

( ) ( ) (

^{A P B P A B}

)

^P

(

^{Ac Bc}

)

P + −  =1− 



^−1+P

( )

^A



^+P

( ) ( ) ( )

^{B −P A P B =−P}

(

^AcBc

)



^1−P

( )

^A



^−P

( )

^B



^1−P

( )

^A



^=P

(

^AcBc

) ( )

^{Ac P}

( )

^{B P}

( ) (

^{Ac P Ac Bc}

)

P −  = 

P(A^c

B

^c)=P(A^c)[1-P(B)]

P(A^c

B

^c)=P(A^c)P(B^c)

39. Tiga komponen yang saling bebas di pasang seri, di mana setiap komponen gagal dengan kemungkinan P. Berapa peluang bahwa pada system pemasangan komponen secara seri tersebut tidak gagal?

Jawab:

Cara I

Karena pemasangan seri maka peluang tidak gagal adalah

( )



^{A x x c}



P



₂



₃

Mis : peluang gagal maka peluang tidak gagal adalah



^{xc xc xc}



^P

( ) ( ) ( )

^{xc P xc P xc}

P ₁ ₂ ₃ = ₁  ₂  ₃



1−P

( )

x₁



.



1−P

( )

x₂



.



1−P

( )

x₃



=



^1−p



^.1−p



^.1−p



⁼

(

^1−p

)

³

=

Cara II

Dengan Binomial = (

³₃

( 1 −

p

)

³

.

p⁰

= 1 . ( 1 −

p

)

³

. 1 = ( 1 −

p

)

³

190

40. Tiga komponen yang saling bebas dipasang parallel. Di mana setiap komponen gagal dengan peluang p. Berapa peluang bahwa sistem itu tidak gagal?

Jawab:

Mis : peluang gagal = p

Peluang tidak gagal untuk paralel adalah

( )



^{x x x c}



P ₁



₂



₃

Karena

P

(

x1x2x3

) ( ) ( ) ( )

=P x1 P x2 P x3 =p³

maka

( )



x1 x2 x3

 1

P

⁽

x1 x2 x3

⁾ 1

p³

P

 

^c

= −   = −

41. Perhatikan system di bawah ini dengan peluang yang sudah ditentukan dari system yang tidak berfungsi pada 5 komponen. Asumsikan tidak berfungsi adalah kejadian yang saling bebas. Tentukan peluang pada system yang berfungsi?

Karena

P

(

x1 x2

)

=^0,1^0,2=^0,02

maka peluang berfungsi secara paralel

( )



x1x2



=¹−P

⁽

x1x2

⁾

=^0,98

P ^c

Karena

P

(

x₁x₂x₃

)

=0,10,20,3=0,006

maka peluang berfungsi paralel

( )



x1x2x3



=¹−P

⁽

x1x2x3

⁾

=^0,994

P ^c

Jadi peluang kelima system berfungsi adalah

( )

^{] 0,98 0,994 0,97412}

[ ] )

[(x₁x₂ ^c P x₁x₂x₃ ^c =  = P

191

42. Peluang penembak dalam menembak

0,9

tembakan dapat diulang-ulang secara bebas. Penembak mempunyai 2 pistol: yaitu pistol I berisi 2 peluru dan pistol yang lainnya hanya berisi satu peluru. Pistol diambil secara random dan tembakan berhenti setelah pistol kosong. Berapa peluang bahwa tembakannya tepat kena satu kali.

Jawab :

Jika A dipilih I terdapat dua kemungkinan kena dan tidak kena atau tidak kena dan kena dengan asumsi

KT TK

atau (

KT

) (

 TK

)

Jika B dipilih II hanya terdapat satu kemungkinan yaitu kena dengan asumsi k

Jadi P(tepat kena sasaran satu kali tembakan)

( ) (

^A



^{P k T}

) (

^{PT k}

)  ( ) ( )

^{P B P k}

dipilih dengan pengembalian

192

c. P(Sekurang-kurangnya IB)

= P(BB) + P(BM) + P(MB)

= P(B)P(BB)+P(B)P(MB)+P(M)P(BM)

=

8

tepat kena 3 marble dalam

satu permainan.

193

b. Berapa peluang tepat kena (terambil) x marble dalam

satu permainan.

c. Tunjukkan bahwa peluang kena 1 marble lebih besar dari peluang awal marble.

Jawab:

a. P(3 marble) =

^P

(

^B^B^BA

) (

+^{P B}^BC

)

=

^P

(

^BBB

)

^P

(

^ABBB

)

^+P

(

^BB

)

^P

(

^CBB

)

=

^P

( ) ( ) ( )

^{B PB PB P}

(

^ABBB

)

^+P

⁽

^BB

⁾

^P

(

^CBB

)

=

2



1 2 3



2 2 3

2 3 1

2 p p p p p p p

p  +  =  +

b. x = 0, 1, 2, 3, . . . (banyaknya sasaran yang kena)

x = 0→A→P

( )

A =p₁

x = 1→BAC→p₂p₁+p₃ x = 2→BBABC→p₂²p₁+p₂p₃ x = 3→BBBABBC →p₂³p₁+p²₂p₃

   

dst

P(x) =

(

^{+ +} 2^+

) (

⁺ 3 ⁺ 2⁺ 2^2+

)

2 2

11 p p p 1 p p

p

deret ukur dengan rasio p

2

P(x) =

( ) ( ) ^{( )}

_



 



 + −

=

− +

−

2 3

2 2 3

2

1 1

1 11

11

p p p p p

p p

194

45. Di dalam permainan marble pada soal 44, anggap bahwa peluang tergantung dalam bilangan dari marble yang tertinggal dalam ring N dan misalkan

Tentukan asumsi-asumsi pada soal no.44

Jawab: