BAB II : LANDASAN TEORETIS
G. Kajian Materi Bilangan Bulat di SMP
KD 3.2 Menjelaskan dan Melakukan Operasi hitung bilangan bulat dan pecahan dengan memanfaatkan berbagai sifat operasi.
1. Bilangan Bulat
Bilangan bulat adalah bilangan bukan pecahan yang terdiri atas bilangan bulat negatif, bilangan nol, dan bilangan bulat positif (bilangan asli). Bilangan nol terletak ditengah antara bilangan bulat positif dan bilangan bulat negatif, bilangan bulat positif terletak di sebelah kanan nol, sedangkan bilangan bulat negatif terletak di sebelah kiri nol.
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Dalam bilangan bulat terdapat bilangan genap dan bilangan ganjil.
• Bilangan bulat genap yaitu bilangan yang habis dibagi dengan 2. Contoh: {..., -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, ...}
____________
14S. Kardi dan Moh Nur, Pengajaran Langsung, (Surabaya: Unesa-Universitas Press, 2000), h. 8.
Bilangan bulat negatif Nol Bilangan bulat positif Bilangan Cacah
25
• Bilangan bulat ganjil yaitu bilangan yang tidak habis dibagi 2. Contoh: {..., -5, -3, -1, 1, 3, 5, ...}
Pada garis bilangan, semakin kekanan letak bilangan maka semakin besar nilainya. Sebaliknya apabila semakin kekiri letak bilangan maka semakin kecil nilainya. Dengan demikian, dapat dikatakan bahwa untuk setiap p, q bilangan bulat berlaku:
a. Jika p terletak di sebelah kanan q maka p > q. b. Jika p terletak di sebelah kiri q maka p < q. Contoh:
Pada suatu garis bilangan, -3 terletak di sebelah kiri bilangan 2, sehingga ditulis -3 < 2 atau 2 > -3. Adapun bilangan -3 terletak disebelah kanan -5, sehingga ditulis -3 > -5 atau -5 < -3. Jika kedua kalimat tersebut digabungkan, maka diperoleh -5 < -3 < 2 atau 2 > -3 > -5.
2. Sifat-Sifat Operasi Penjumlahan dan Pengurangan pada Bilangan Bulat
Sifat 1: Komutatif
Secara umum, Jika a dan b adalah sebarang bilangan bulat, maka berlaku:
a + b = b + a
Sifat 2: Asosiatif
Selain sifat komutatif, pada penjumlahan bilangan bulat juga berlaku sifat asosiatif (pengelompokan).
Secara umum, jika a, b, dan c adalah sebarang bilangan bulat, maka berlaku:
26
KD 3.3 Menjelaskan dan menentukan representasi bilangan bulat besar sebagai bilangan berpangkat bulat positif
1. Pengertian Bilangan Berpangkat Bulat Positif
Bilangan berpangkat juga dikenal dengan istilah bilangan eksponen. Saat di Sekolah Dasar kalian sudah mengenal bilangan berpangkat bulat positif (asli). Misal 23 dibaca “dua pangkat tiga”, 102 “dibaca sepuluh pangkat dua” dan lain sebagainya. Salah satu alasan penggunaan bilangan berpangkat adalah untuk menyederhanakan bilangan desimal yang memuat angka (relatif) banyak.
Misalkan bilangan 1.000.0000 dapat dinotasikan menjadi bilangan berpangkat 106 . Bilangan desimal 1.000.000 memuat tujuh angka dapat diubah menjadi bilangan berpangkat 106 yang hanya memuat tiga angka. Mengubah bilangan desimal yang memuat angka yang banyak menjadi bilangan berpangkat bisa dilakukan asalkan nilainya tetap. Dalam kegiatan ini, kalian akan diajak untuk mengenal bilangan berpangkat lebih banyak, memahami cara mengubah notasi bilangan desimal yang memuat banyak angka menjadi bilangan berpangkat, membandingkan bilangan-bilangan berpangkat, mengidentifikasi sifat-sifat bilangan berpangkat serta menerapkan sifat-sifat perpangkatan bilangan bulat positif dalam menyederhanakan bentuk suatu bentuk bilangan berpangkat.
Secara umum, bilangan berpangkat dapat dinyatakan dalam bentuk ab , a dan b adalah bilangan bulat. a disebut bilangan basis atau pokok, sedangkan b disebut eksponen atau pangkat. Namun dalam materi ini yang akan kita bahas cukup bilangan berpangkat bulat positif (asli). Untuk menyatakan bilangan berpangkat bulat menjadi bilangan desimal, kalian cukup mengubahnya dalam
bentuk perkalian, kemudian menentukan hasil kalinya. Namun, bagaimana cara menyatakan bilangan desimal menjadi bilangan berpangkat. Untuk menyatakan bilangan desimal menjadi bilangan berpangkat, salah satu caranya adalah dengan menentukan faktor-faktornya terlebih dahulu. Berikut ini contoh soal yang memerlukan pemahaman sifat
1. Sederhanakanlah (2 x 3) Penyelesaian:
(2 x 3)2 x ( 2 x 4 )
a. Bilangan Berpangkat
Apabila sebuah bilangan real dilambangkan dengan huruf a kemudian bilangan bulat dilambangkan dengan huruf n, maka bilangan berpangkat dapat kita tuliskan menjadi
secara berulang sebanyak n faktor. Bilangan berpangkat dapat dinyatakan dengan rumus di bawah ini:
bentuk perkalian, kemudian menentukan hasil kalinya. Namun, bagaimana cara angan desimal menjadi bilangan berpangkat. Untuk menyatakan bilangan desimal menjadi bilangan berpangkat, salah satu caranya adalah dengan faktornya terlebih dahulu. Berikut ini contoh soal yang memerlukan pemahaman sifat-sifat bilangan berpangkat bulat positif :
Sederhanakanlah (2 x 3)2 x ( 2 x 4 x 7)3 : (6 x 2)3 ! : x ( 2 x 4 )3 : (4 x 2)2 = (6)2 x (8)3 : (8)2 (menggunakan sifat = 36 x 512 : 6 = 288 Berpangkat
Apabila sebuah bilangan real dilambangkan dengan huruf a kemudian bilangan bulat dilambangkan dengan huruf n, maka bilangan berpangkat dapat kita tuliskan menjadi an (a pangkat n) yang mana merupakan perkalian bilangan a sebanyak n faktor. Bilangan berpangkat dapat dinyatakan dengan 27
bentuk perkalian, kemudian menentukan hasil kalinya. Namun, bagaimana cara angan desimal menjadi bilangan berpangkat. Untuk menyatakan bilangan desimal menjadi bilangan berpangkat, salah satu caranya adalah dengan faktornya terlebih dahulu. Berikut ini contoh soal yang
erpangkat bulat positif :
(menggunakan sifat )
Apabila sebuah bilangan real dilambangkan dengan huruf a kemudian bilangan bulat dilambangkan dengan huruf n, maka bilangan berpangkat dapat (a pangkat n) yang mana merupakan perkalian bilangan a sebanyak n faktor. Bilangan berpangkat dapat dinyatakan dengan
b. Bilangan Berpangkat Bilangan berpangkat
sebuah perkalian bilangan yang memiliki faktor yang sama. Contohnya: 4 x 4 x 4 x 4 x 4 = 45
maka 45 dapat diartikan sebagai perkalian 4 dengan 4 yang diulang sebanyak 5 kali. Oleh karenanya, bilangan berpangkat secara u
berikut:
an = a × a × a ×……..× a = bilangan pokok (dasar) n = pangkat (eksponen)
c. Sifat Sifat Bilangan
Di dalam operasi hitung bilangan berpangkat, ada beberapa sifat yang biasa dijadikan aturan dasar dalam menyelesaikan persoalan
menggunakan bilangan berpangkat. Berikut adalah sifat berpangkat:
1. Sifat Perkalian
Untuk memahami sifat perkalian bilangan berpangkat , perhatikan bentuk umum dan contoh soal di
Berpangkat Bulat Positif
berpangkat bulat positif merupakan hasil dari penyederhanaan sebuah perkalian bilangan yang memiliki faktor yang sama. Contohnya:
dapat diartikan sebagai perkalian 4 dengan 4 yang diulang sebanyak 5 kali. Oleh karenanya, bilangan berpangkat secara umum dirumuskan sebagai
×……..× a ( sebanyak n faktor) a = bilangan pokok (dasar)
n = pangkat (eksponen)
Bilangan Berpangkat
Di dalam operasi hitung bilangan berpangkat, ada beberapa sifat yang biasa dasar dalam menyelesaikan persoalan-persoalan yang menggunakan bilangan berpangkat. Berikut adalah sifat-sifat dari bilangan
Sifat Perkalian Bilangan Berpangkat Bilangan Bulat Positif
Untuk memahami sifat perkalian bilangan berpangkat , perhatikan bentuk umum dan contoh soal di bawah ini :
28
merupakan hasil dari penyederhanaan sebuah perkalian bilangan yang memiliki faktor yang sama. Contohnya:
dapat diartikan sebagai perkalian 4 dengan 4 yang diulang sebanyak 5 mum dirumuskan sebagai
Di dalam operasi hitung bilangan berpangkat, ada beberapa sifat yang biasa persoalan yang sifat dari bilangan
Bilangan Berpangkat Bilangan Bulat Positif
2. Sifat Pembagian
Untuk memahami sifat pembagian bilangan berpangkat , perhatikan bentuk umum dan contoh soal di
3. Sifat Perpangkatan
Untuk memahami sifat perpangkatan bilangan berpangkat , perhatikan bentuk umum di
Bentuk: (pm) 4. Sifat Perpangkatan
Untuk memahami sifat perpangkatan dari bentuk perkalian bilangan berpangkat , perhatikan bentuk umum di
Bentuk: (p × q) 5. Sifat Perpangkatan
Untuk memahami sifat perpangkatan dari berpangkat , perhatikan bentuk umum di Bentuk: (p : q)
Pembagian Bilangan Berpangkat Bilangan Bulat Positif
Untuk memahami sifat pembagian bilangan berpangkat , perhatikan bentuk umum dan contoh soal di bawah ini:
Perpangkatan Bilangan Berpangkat Bilangan Bulat Positif
Untuk memahami sifat perpangkatan bilangan berpangkat , perhatikan bentuk umum di bawah ini:
)n = pm × n
Perpangkatan dari Bentuk Perkalian
Untuk memahami sifat perpangkatan dari bentuk perkalian bilangan perhatikan bentuk umum di bawah ini:
(p × q)m = pm × qm
Perpangkatan dari Bentuk Pembagian
Untuk memahami sifat perpangkatan dari bentuk pembagian bilangan berpangkat , perhatikan bentuk umum di bawah ini:
(p : q)m = pm : qm
29
Positif
Untuk memahami sifat pembagian bilangan berpangkat , perhatikan
Positif
Untuk memahami sifat perpangkatan bilangan berpangkat , perhatikan
Untuk memahami sifat perpangkatan dari bentuk perkalian bilangan
30