BAB II TINJAUAN PUSTAKA
B. Kajian Pustaka
1. Hasil Belajar Matematika
Belajar adalah suatu proses perubahan dalam diri seseorang yang ditandai adanya peningkatan kualitas ttingkah laku sebagai peningkatan pengetahuan, kecakapan, daya pikir, sikap dan kebiasaan yang diambil dari pengalaman mereka. Hasil belajar adalah tingkat keberhasilan dalam menguasai bahan pelajaran setelah memperoleh pengalaman dalam kurun waktu tertentu yang akan diperlihatkan melalui skor yang diperoleh dalam tes hasil belajar.8
Secara psikologis, belajar merupakan suatu proses perubahan yaitu perubahan tingkah laku sebagai hasil dari interaksi dengan lingkungannya dalam
8Nana Sudjana, Penilaian Proses Belajar Mengajar, (Cet. II; Bandung: Remaja Rosdakarya, 2006), h.33.
memenuhi kebutuhan hidupnya.9 Perubahan-perubahan tersebut akan nyata dalam seluruh aspek kehidupan. Perubahan itu tidak hanya mengenai jumlah pengetahuan melainkan juga dalam bentuk kecakapan, kebiasaan, sikap, pengertian, penghargaan, minat, penyesuaian diri, pendeknya mengenai segala aspek organisme atau pribadi seseorang.
Definisi lain menganggap bahwa belajar adalah proses perubahan perilaku berkat pengalaman dan latihan. Artinya, tujuan kegiatan adalah perubahan tingkah laku, baik yang menyangkut pengetahuan, keterampilan maupun sikap, bahkan meliputi segenap aspek organisme atau pribadi. Kegiatan belajar mengajar seperti mengorganisasi pengalaman belajar, mengolah kegiatan belajar mengajar, menilai proses dan hasil belajar, semua termaksud dalam cakupan tanggung jawab guru. Jadi hakikat belajar adalah perubahan.10
Setiap proses belajar mengajar selalu menghasilkan hasil belajar. Hasil belajar merupakan hasil dari suatu interaksi tindak belajar dan tindak mengajar. Dari sisi guru, tindak mengajar diakhiri dengan proses evaluasi hasil belajar. Dari sisi peserta didik, hasil belajar merupakan berakhirnya penggal dan puncak proses belajar. Hasil belajar untuk sebagian adalah berkat tindak guru, suatu pencapaian tindak pengajaran. Pada bagian ini merupakan peningkatan kemampuan mental peserta didik.
Definisi lain menyatakan bahwa hasil belajar adalah kemampuan-kemampuan yang dimiliki peserta didik setelah ia menerima pengalaman
9 Slameto, Belajar dan Faktor-Faktor yang Mempengaruhinya, (Cet. IV; Jakarta: Rineka Cipta, 2003), h. 2.
10 Syaiful Bahri Djamarah dan Aswan Zain, Strategi Belajar Mengajar, (Jakarta: Rineka Cipta, 1997), h. 11.
belajarnya.11 Dalam sistem pendidikan nasional, rumusan tujuan pendidikan baik tujuan kurikuler maupun tujuan intruksional menggunakan klarifikasi dari Benyamin Bloom yang secara garis besar terbagi dalam tiga ranah yaitu, ranah kognitif, ranah afektif, dan ranah psikomotorik.12
Ranah kognitif berkenan dengan hasil belajar intelektual yang terdiri dari enam aspek, yakni pengetahuan atau ingatan, pemahaman, aplikasi, analisis, sintesis, dan evaluasi. Ranah efektif berkenan dengan sikap yang terdiri dari lima aspek yakni penerimaan, jawaban atau reaksi, penilaian, organisasi, dan internalisasi. Sedangkan ranah psikomotorik berkenan dengan hasil belajar keterampilan dan kemampuan bertindak yang terdiri dari enam aspek yakni, gerakan refleks, keterampilan gerakan dasar, kemampuan persceptual, ketepatan, gerakan keterampilan kompleks, dan gerakan ekspresif dan interpretatif.13
Berdasarkan teori diatas dapat disimpulkan bahwa hasil belajar matematika merupakan kemampuan-kemampuan yang diperoleh dari proses belajar mengajar pada mata pelajaran matematika yang dapat dilihat dari setiap perubahan yang dialami seseorang.
2. Model Pembelajaran Problem Based Instruction (PBI)
Model pembelajaran Problem based instruction adalah suatu pembelajaran yang menggunakan segala permasalahan di lingkungan sekitar peserta didik sebagai sumber belajar, mempertajam cara berfikir kritis, sekaligus sebagai sarana peserta didik untuk memecahkan masalah melalui penyelidikan sehingga peserta
11 Nana Sudjana, Penilaian Hasil Proses Belajar Mengajar, (Cet. XI; Bandung: Remaja Radaskarya, 2006), h. 22.
12 Ibid., h. 23.
didik memperoleh pengetahuan berdasarkan pengalaman yang telah dilalui. Sintaks Problem Based Instruction (PBI) dapat dilihat pada tabel 1 berikut:
Tabel 2.2
Sintank Problem Based Instruction (PBI)
No Tahap Tahap Tingkah Laku Guru
Tahap 1
Memberikan orientasi tentang permasalah kepada peserta didik
Guru menjelaskan tujuan pembelajaran, Menjelaskan logistik yang dibutuhkan, mengajukan fenomena atau demonstrasi atau cerita untuk memunculkan masalah, memotivasi peserta didik untuk terlibat dalam pemecahan masalah yang dipilihnya
Tahap 2 Mengorganisasikan peserta didik untuk meneliti
Guru membantu peserta didik mendefinisikan dan mengorganisasikan tugas belajar yang berhubungan dengan masalah tersebut
Tahap 3 Membantu investigasi mandiri dan kelompok
Guru mendorong peserta didik untuk mengumpulkan informasi yang sesuai, melaksanakan eksperimen, untuk mendapatkan penjelasan dan pemecahan masalah Tahap 4 Mengembangkan dan mempresentasikan hasil
Guru membantu peserta didik dalam merencanakan dan menyiapkan karya yang sesuai seperti laporan, video, dan model dan membantu mereka untuk berbagi tugas dengan temannya
Tahap 5
Menganalisa dan mengevaluasi proses mengatasi masalah
Guru membantu peserta didik untuk melakukan refleksi atau evaluasi terhadap penyelidikan mereka dan proses-proses yang mereka gunakan
a. Kelebihan dan Kekurangan Model Problem Based Instruction (PBI) Kelebihan model Problem Based Instruction (PBI) adalah peserta didik dilibatkan dalam kegiatan belajar sehingga pengetahuan dapat terserap dengan baik, peserta didik dilatih untuk bekerjasama dengan peserta didik lain, peserta didik memperoleh pengetahuan dari berbagai sumber belajar, Dapat memperoleh dari berbagai sumber, peserta didik berperan aktif dalam KBM, peserta didik lebih
memahami konsep matematika yang diajarkan sebab mereka sendiri yang menemukan konsep tersebut, Melibatkan peserta didik secara aktif memecahkan masalah dan menuntut keterampilan berfikir siswa yang lebih tinggi, Dapat mengembangkan cara berfikir logis serta berlatih mengemukakan pendapat.
Kelemahan model Problem Based Instruction (PBI) adalah Membutuhkan banyak waktu dan dana, Membutuhkan fasilitas yang memadai seperti laboratorium, tempat duduk peserta didik yang terkondisi untuk belajar kelompok, Menuntut guru membuat perencanaan pembelajaran yang lebih matang.perangkat.14
a. Langkah-langkah Problem Based Instruction (PBI) 1) Pendahuluan
a. Orientasi peserta didik pada masalah yaitu
1. Guru menjelaskan rencana kegiatan dengan menjelaskan materi yang akan dipelajari pada saat itu dengan memberikan tugas untuk eksperimen, peserta didik mempersiapkan eksperimen. 2. Menjelaskan logistik yang dibutuhkan yaitu guru menjelaskan
kegiatan observasi dan mempersiapkan alat dan bahan untuk observasi
3. Memotivasi peserta didik terlibat pada aktivitas pemecahan masalah yang dipilihnya dengan menyampaikan TPK.
14Sugiyanto. 2009. Model-Model Pembelajaran Inovatif. Surakarta: Panitia Sertifikasi Guru Rayon 13 FKIP UNS Surakarta.
b. Mengorganisasi peserta didik untuk belajar yaitu:
1. Membagi kelas menjadi 5 kelompok belajar yang anggotanya heterogen dan terdiri dari 8-9 siswa dengan cara menghitung peserta mulai 1 s/d 8, yang nomor 1 masuk ke kelompok 1, yang nomor 2 masuk ke kelompok 2 dan seterusnya.
2. Masing-masing kelompok menghadap satu meja
3. Guru membagikan LKS sebagai pedoman bagi siswa untuk melaksanakan kegiatan eksperimen pada saat itu
4. Guru menyuruh peserta didik mempersiapkan alat dan bahan yang sudah tersedia
5. Guru memotivasi peserta didik dengan menyampaikan tujuan eksperimen
6. Guru mengingatkan peserta didik tentang materi yang akan kita pelajari dalam kehidupan sehari-hari. Hal tersebut dilakukan untuk merangsang pembentukkan ide, pengajuan ide dan penyusunan konsep dasar serta rasa ketertarikan siswa untuk belajar.
2) Kegiatan inti
a. Membimbing penyelidikan individu maupun kelompok yaitu: 1. Guru mendorong peserta didik untuk mengumpulkan informasi
yang sesuai
3. Peserta didik berdiskusi untuk menjawab pertanyaan hasil eksperimen dari LKS (lembar kerja siswa) untuk mendapatkan penjelasan dan pemecahan masalah.
4. Peserta didik mengumpulkan hasil kerjanya kepada guru. b. Mengembangkan dan menyajikan hasil karya yaitu
1. Peserta didik mempersiapkan untuk merencanakan hasil pemecahan masalah
2. Guru membantu peserta didik dalam merencanakan dan mempresentasikan hasil pemecahan masalah
3. Guru membantu mereka untuk berbagi tugas dengan temannya. 4. Salah satu kelompok mempresentasikan hasil pemecahan
masalah, Kelompok yang presentasi dipilih acak melalui pengundian.
c. Mengevaluasi proses pemecahan masalah yaitu:
1. Guru menyuruh peserta didik untuk mengevaluasi terhadap penyelidikan mereka.
2. Peserta didik melakukan kegiatan mengavaluasi dengan mencocokkan hasil mereka dengan kelompok.
3) Penutup
Guru menyimpulkan hasil evaluasi peserta didik dengan mencocokkan materinya.
3. Materi Pertidaksamaan Rasional a) Pertidaksamaan Pecahan (Rasional)
Pertidaksamaan pecahan (rasional) merupakan pertidaksamaan berbentuk pecahan dapat berupa:
( )
( ) ≤ 0, ( )( ) ≥ 0, ( )( ) > 0, ( )( ) < 0 f(x) sebagai fungsi pembilang dan g(x) sebagai fungsi penyebut.
Pertidaksamaan Rasional linear mempunyai bentuk umum sebagai berikut :
+
+ ≤ , + ≥ ,+ + > ,+ + < . + Cara menyelesaiakn Pertidaksamaan Rasional :
(i) Jadikan ruas kanan = 0
(ii) Ubah tanda koefisien x pada pembilang dan penyebut menjadi bertanda sama (keduanya ositif atau negatif).
(iii) Carilah nilai-nilai nol pembilang maupun penyebut. Misalnya: = nilai nol terkecil, = nilai nol terbesar, maka berlaku < . (iv) Lihat tanda ketidaksamaannya.
Jika ≤ 0 maka, Penyelesaian :
< dengan = nilai nol penyebut ≤ < , dengan = nilai nol penyebut
Jika ≥ 0, maka, Penyelesaian:
< , ≥ , dengan = nilai nol penyebut ≤ , > , dengan = nilai nol penyebut
Contoh 1:
Tentukan penyelesaian setiap pertidaksamaan berikut : a. ≤ 0
b. ≥ 0 Pembahasan :
Pada contoh diatas terlihat koefisien x sudah bertanda sama dan ruas kanan = 0. a. ≤ 0
(i) Nilai nol :
Pembilang : − 4 = 0 → = 4 (nilai terbesar) Penyebut : + 6 = 0 → = −6 (nilai terkecil) (ii) Penyelesaian :
Tanda ketidaksamaan : ≤, maka :
Penyelesaian : −6 < ≤ 4, ditulis sebagai interval/selang :(−6,4].
b. ≥ 0 (i) Nilai nol :
Pembilang : − 4 = 0 → = 4 (nilai terbesar) Penyebut : 3 − 6 = 0 → = 2 (nilai terkecil) (iii) Penyelesaian :
Tanda ketidaksamaan : ≥, maka :
Penyelesaian : < −2 ≥ 4, ditulis sebagai interval/selang (−∞, 2) ∪ [4, ∞).
-6 4
Contoh 2 :
Carilah solusi dari pertidaksamaan rasional berikut : a. ≤ 0
Pembahasan :
Dalam kasus ini, tanda koefisien x tidak sama sehingga harus disamaakn terlebih dahulu.
a. ≤ 0
( )≥ 0 (kedua ruas diakli 9-1), tanda ketidaksamaan dibalik) ≥ 0 (pedoman mencari penyelesaian)
(i) Nilai Nol :
Pembilang : − 3 = 0 → = 3 (niali terbesar) Penyebut : 2 + 4 = 0 → = −2 (niali terkecil) (ii) Penyelesaian :
Tanda ketidaksamaan ≥, maka
Penyelesaian : < −2 ≥ 3 (bentuk pertidaksamaan) (−∞, −2) ∪ [3, ∞) (bentuk interval/ selang) Contoh 3:
Tentukan penyelesaian Pertidaksamaan Rasional berikut : a. < 1 b.
≤
Pembahasan :
a. < 1 − 1 < 0 ( )< 0 < 0
( )> 0 (kedua ruas dikali (-1), tanda ketidaksamaaan dibalik)
> 0 (pedoamn mencari penyelesaian)
(i) Nilai Nol :
Penyebut : 2 − 5 = 0 → = (nilai terkecil) (ii) Penyelesaian :
Tanda ketidaksamaan >, maka:
Penyelesaian, < atau > 3 (bentuk pertidaksamaan) −∞, ∪ (3, ∞)(bentuk interval/selang). b.
≤
⟹− ≤ 0
⟹ ( () () )≤ 0
⟹≤ 0
⟹
≤ 0
(i) Nilai nol
Pembilang : + 7 = 0 ⟹ = −7 Penyebut : 2 + 2 = 0 ⟹ = −1
Jadi, himpunan penyelesaian adalah −1 < ≤ 7 b) Pertidaksamaan Rasional Linear Kuadrat
Bentuk Umum Pertidaksamaan rasional linear kuadrat berupa :
≤ ≤
Dengan a, b, c ,p , q, dan n merupakan konstanta.
Tanda ketidaksamaan ≤ dapat juga berupa berbentuk <, ≥ maupun >. Cara menyelesaikan sebagai berikut:
(i) Jadikan ruas kanan = 0
(ii) Ubah tanda koefisien variabel pada bentuk kuadrat dan koefisien x pada bentuk linear menjadi bertanda sama.
-7 -1
5
(iii) Carialh nilai nol pembilang maupun penyebut. Pembilang atau penyebut yang berbentuk kuadrat difaktorkan terlebih dahulu.
(iv) Buat garis bilangan untuk emnentukan interval atau batas penyelesaian.15
Contoh 4:
Selesaikan pertidaksamaan berikut:
a. < 0
c.
≤ 0b. ≥ 2
Pembahasan:
a. < 0
(i) Nilai Nol:
Pembilang : − 3 − 10 = 0 (bentuk pertidaksamaan kuadrat) ( − 5)( + 2) = 0
= −2 (nilai tengah) = 5 (niali terbesar) Penyebut : + 4 = 0 (bentuk linear)
= −4 (nilai terkecil) Pertidaksamaan menjadi ( )( )< 0
(ii) Penyelesaian = < −4 atau − 2 < < 5 (pertidaksamaan) (−∞, −4) ∪ (−2,5) (interval/selang) b. ≥ 2 − 2 ≥ 0 ( )≥ 0 ≥ 0
15 Sukino, Matematika Untuk SMA/MA Kelas X. Penerbit Erlangga Kurikulum 2013
(i) Nilai Nol :
Pembilang : − 5 = 0 ( − 5) = 0
= 0 (Nilai Terkecil) = 5 (Nilai Terbesar) Penyebut : − 1 = 0 = 1 (Nilai Tengah)
Pertidaksamaan menjadi ( ) ≥ 0 (ii) Penyelesaian : 0 ≤ < 1 atau ≥ 5
[0, 1) ∪ [5, ∞) (interval/selang)
c.
≤ 0
Jawab :
⇔ (( )()( ))≤ 0
⇔ ≤ 0
Nilai pembuatan nol :
Pembilang : + 1 = 0 Penyebut: + 3 = 0 = −1 = −3 Penyelesaian : −3 < ≤ −1 Garis bilangan : Contoh 5
Tentukan himpunan penyelesaian 6 2
3 5 x x Penyelesaian: 6 2 3 5 x x x63x250 0 1 5 -3 -1
6( 5) 2( 3) 0 ( 3)( 5) x x x x 6 30 2 6 0 ( 3)( 5)xx x x 4 36 0 ( 3)( 5)xxx Bentuk 4 36 0 ( 3)( 5)xxx (4x – 36)(x + 3)(x – 5) ≤ 0 Titik kritis: 4x – 36 = 0 x = 9
x + 3 = 0 x = 3 (tidak termasuk penyelesaian) x 5 = 0 x = 5 (tidak termasuk penyelesaian)
Catatan: karena tanda pertidaksamaan “ ≤ 0 ”, maka semua pembuat nol (titik kritis) dari penyebut tidak termasuk penyelesaian.
Letak titik kritis dan tanda dari setiap interval:
(4x – 36)(x + 3)(x – 5) (4) (1) (1) = 4 > 0 atau ()
Interval yang memenuhi penyelesaian pertidaksamaan (“ ≤ ”) adalah yang bertanda negatif. Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah
{x | x < 3 atau 5 < x ≤ 9, x R}