BAB III GRAF PLANAR
C. Karakterisasi dari graf planar
Terdapat dua graf yaitu K5 dan K3,3 , yang berperan penting dalam mempelajari
graf planar.
Gambar 3.9 Teorema 3.7
Graf K5 dan K3,3 adalah nonplanar.
Bukti:
Bukti sama dengan contoh 3.3 dan 3.4. ■
Definisi 3.4
Sebuah bagian dari sebuah graf G yang tidak kosong adalah graf yang diperoleh dari G dengan menghilangkan beberapa ruas e=(u,v) atau menambahkan simpul baru w dan ruas-ruas (u,v) dan (v,w).
Gambar 3.10
Jelas bahwa tiap bagian dari sebuah graf G adalah planar atau nonplanar tergantung apakah G adalah planar atau nonplanar. Selain itu adalah suatu pengamatan dasar bahwa jika sebuah graf G mengandung sebuah subgraf nonplanar, maka G adalah nonplanar.
Teorema 3.8
Jika sebuah graf G berisi sebuah subgraf yang isomorfik dengan suatu bagian dari salah satu K5 atau K3,3 maka G adalah nonplanar.
Bukti :
Karena G berisi sebuah subgraf yang isomorfik dengan K5 atau K3,3, sedangkan
seperti diketahui pada teorema 3.7 bahwa K5 atau K3,3 adalah nonplanar maka jelas
bahwa G adalah nonplanar. ■
Teorema 3.9
Sebuah graf adalah planar jika dan hanya jika masing-masing dari bloknya adalah planar.
Bukti:
Jelas, graf G planar jika dan hanya jika masing-masing dari subgrafnya adalah planar, jadi dapat diasumsikan G terhubung. Dapat dikatakan juga jika G planar ,maka masing-masing blok di G adalah planar. Untuk kebalikannya,digunakan
42
induksi pada banyaknya blok dari G. Jika G hanya memiliki satu blok dan bloknya adalah planar, maka jelas G planar. Asumsikan bahwa setiap graf dengan banyaknya blok lebih kecil dari k yang masing-masing dari blok tersebut planar, maka grafnya planar dan andaikan G memiliki blok sebanyak k, salah satunya adalah planar. Ambil B adalah blok terakhir G dan misalkan v adalah cut- vertex untuk G bersama dengan B. Dihapus dari G semua simpul dari B berbeda dengan v, namakan graf hasil tersebut G’. Dengan hipotesis induksi, G’ adalah graf planar. Karena blok B planar,dapat disisipkan pada bidang sehingga v terdapat pada bagian luar region. Dalam setiap region dari bidang yang menyisip G’ memuat v, bidang blok B dapat dengan mudah ditempatkan, sehingga kedua simpul dari G’ dan B yangt diberi nama sama yaitu “v” teridentifikasi. Hasilnya adalah graf bidang dari G; akibatnya G adalah planar. ■
2
≥
Definisi 3.5
Suatu vertex-cut dalam suatu graf adalah himpunan U yang terdiri atas simpul- simpul di G sedemikian hingga G − U tidak terhubung.
Definisi 3.6
Keterhubungan titik atau disingkat keterhubungan, ditulis κ(G), dari suatu graf G adalah kardinalitas minimum dari vertex-cut bila G tak lengkap dan κ(G)=n-1 jika G=Kn untuk suatu bilangan positif n.
Dengan kata lain κ(G) adalah jumlah minimal titik-titk yang hasil penghapusan titik-titik tersebut adalah suatu graf tak terhubung atau graf trivial.
Definisi 3.7
Suatu graf G dikatakan k-terhubung, k≥1, bila κ(G) ≥k
Teorema 3.10
Jika G adalah graf 2−terhubung dengan banyaknya simpul paling sedikit 4 maka suatu simpul v sedemikian hingga G-v yang juga merupakan graf 2−terhubung atau G memuat suatu simpul berderajat 2.
Bukti :
Andaikan G tidak terdiri dari simpul v sedemikian hingga G-v adalah graf 2−terhubung. Maka, untuk setiap simpul x dari G ada sebuah simpul y dari G-x sedemikian hingga G-x-y tidak terhubung. Diantara semua pasangan simpul- simpul x,y di G, pilih suatu pasangan u,v sehingga G-u-v tidak terhubung dan terdiri dari bagian G1 dengan banyaknya simpul minimum k. Masing-masing
komponen dari u dan v bertetangga paling sedikit satu simpul dalam tiap komponen dari G-u-v. Jika k=1 maka simpul dari G1 dapat bertetangga hanya
dengan u dan v dan berakibat memiliki derajat 2 dalam G. Kemudian dapat dianggap bahwa k≥2. Ambil G2 adalah suatu graf yang gabungan komponen-
komponen di G-u-v berbeda dari G1. Kemudian ambil H=〈V(G)∪{u,v}〉.
Misal w1∈V(G1). Maka terdapat suatu simpul w2 pada G-w1 yaitu G-w1-w2 yang
tidak terhubung.Simpul w2 termasuk dalam H atau dalam G2.Diperoleh dua kasus
dibawah ini Kasus 1:
44
Misal w2∈V(H),karena tiap anggota 〈 V(G2)∪{u}〉,〈 V(G2) {v}〉dan
V(G
∪
〈 2)∪{u,v} terhubung,beberapa komponen dari 〉 G-w1-w2 mempunyai order
lebih sedikit dari k, yang tidak mungkin. Kasus 2:
Misal w2∈V(G2), karena G-w1-w2 tidak terhubung,simpul u dan v harus tidak
bertetangga dan menjadi komponen yang berbeda dalam G-w1-w2.Akibatnya H-w1
mempunyai tepat dua komponen,sebut komponen Hu mengandung u dan
komponen Hv mengandung v. Jika Hu trivial, dan akibatnya hanya memuat u,
maka u bertetangga pada G hanya dengan w1 dan w2 dan degG u=2. Begitupun
degG v=2 jika Hv nontrivial.Maka G-w1-u dan G-w1-v adalah graf tidak terhubung
yang mengandung sebuah komponen yang beroder lebih sedikit dari k, terdapat suatu kontradiksi.
Gambar 3.11 menunjukkan sebuah graf 2−terhubung G1 tidak mengandung simpul
v sedemikian hingga G1−v juga graf 2−terhubung.Sehingga,berdasarkan teorema
3.10, G1 mengandung sebuah simpul berderajat 2, sedemikian hingga ini
merupakan kasus. Di lain pihak, G1 mengandung sebuah ruas, disebut w1x1, yang
merupakan hasil penghapusan dari G1 dalam sebuah graf 2−terhubung. Graf G2
dalam gambar 3.11, tidak mengandung sebuah ruas. Bagaimanapun, G2 mengandung sebuah ruas, sebut w2, yang merupakan hasil penghapusan dari G2 dalam sebuah graf 2−terhubung. Sehingga, hasilnya analog dengan teorema 3.10 mengenai ruas-ruas. Ini merupakan akibat dari teorema 3.10. ■
Teorema 3.11
Jika G adalah graf 2−terhubung yang memiliki order paling sedikit 4, maka G memuat e yaitu G-e yang juga merupakan graf 2−terhubung atau G memuat simpul berderajat 2. v1 z1 x1 u1 w1 y1 G1 v2 y2 x2 u2 w2 G2 2 - graf terhubung Gambar 3.11 Bukti:
Andaikan bahwa G tidak mengandung ruas e sedemikian hingga G-e adalah graf 2−terhubung. Selanjutnya andaikan bahwa G tidak memuat simpul yang berderajat 2. Dengan teorema 3.10, G terdiri dari suatu simpul v yaitu G-v adalah graf 2−terhubung.misal e adalah suatu ruas yang berpotongan dengan v. Dengan hipotesa, G-e bukan graf 2−terhubung. Akibatnya, G-e terdiri dari suatu cut-vertex u yang biasanya berbeda dari v.
46
Karena itu G-e-u = G-u-e tidak terhubung,yang mengakibatkan e adalah jembatan pada graf G-u. Karena G-u-v = G-v-u terhubung, ruas e adalah suatu ruas melingkar dalam G-u dan maka v adalah simpul akhir dari G-u. maka, v mempunyai derajat 1 dalam G-u dan juga mempunyai derajat 2 dalam G, diperoleh kontradiksi. ■
Teorema 3.12
Sebuah graf G adalah planar jika dan hanya jika G tidak mengandung subgraf yang isomorfik dengan K5 atau K3,3 atau sebuah bagian dari K5 atau K3,3.
Bukti:
Telah diketahui adalah akibat dari teorema 3.8 : kemudian yang perlu dicari hanya syarat cukupnya saja. Dengan melihat teorema 3.9, buktinya menunjukkan bahwa jika graf 2−terhubung tidak mengandung K5 atau K3,3 atau sebuah bagian dari
salah satunya adalah subgraf, maka graf tersebut planar.Anggap, secara kebalikan, terdapat graf 2−terhubung yang nonplanar yang tidak mengandung K5, K3,3 atau
sebuah bagian dari salah satunya sebagai subgraf. Diantara semua graf 2−terhubung yang nonplanar, misal G adalah yang mempunyai ukuran minimum. Akan ditunjukkan bahwa δ(G)≥3. Karena G adalah graf 2−terhubung, δ(G)≥2. Anggap bahwa G mengandung suatu simpul v dengan degG v = 2, dimana v
bertetangga dengan u dan w. Diperoleh dua kasus,menurut kondisi (u,w)∈E(G) atau (u,w)∉E(G).
Kasus 1.
Anggap (u,w)∈E(G).Maka G-v adalah graf 2− terhubung yang juga tidak mengandung K5,K3,3 atau sebuah bagian dari salah satunya sebagai subgraf.
Karena ukuran dari G-v kurang dari ukuran G, diperoleh G-v adalah planar. Dalam penyisipan planar dari G-v , simpul v dan ruas (u,v) dan (v,w) dapat dimasukkan ke dalam suatu region dari G-v yang dibatasi oleh ruas (u,w) yang menghasilkan suatu graf G adalah bidang,tapi hal ini tidak mungkin.
Kasus 2.
Anggap bahwa (u,w)∉ E(G) maka G’= G-v + (u,w) adalah graf 2−terhubung yang ukurannya lebih kecil dari ukuran G. Akan ditunjukkan bahwa G’ tidak mengandung K5, K3,3 atau sebuah bagian dari salah satunya sebagai sebuah
subgraf ; Diasumsikan,kebalikannya, bahwa G’ mengandung suatu subgraf F.Berarti, F harus mengandung ruas (u,w). Jika (u,w) diganti dengan simpul v dan ruas (u,v) dan (v,w), maka menghasilkan graf F’ yang merupakan suatu bagian dari F dan juga merupakan suatu bagian dari K5 atau K3,3. Maka, F’ adalah
subgraf dari G, yang tidak mungkin. Sehingga G’ adalah graf 2−terhubung yang tidak mengandung keduanya K5, K3,3 maupun bagian dari salah satunya sebagai
subgraf, dan ukuran dari G’ lebih kecil dari G,sehingga G’ planar. Karena G adalah suatu bagian dari G’ diperoleh G planar juga, sehingga menghasilkan suatu kontradiksi.
Karena dari kedua kasus diperoleh kontradiksi, tidak ada simpul dalam G yang mempunyai derajat 2 dan δ(G) 3, terbukti. Karena ≥ G adalah graf 2−terhubung
48
yang memiliki order paling sedikit 4 dengan δ(G)≥3, menurut teorema 3.11 bahwa G mengandung suatu ruas e=(u,v) yaitu H=G-e yang juga merupakan graf 2−terhubung.
Karena H tidak mengandung K5, K3,3 atau sebuah bagian dari salah satunya
sebagai subgraf dan ukuran dari H lebih kecil dari yang terkandung pada G, graf H adalah planar.Sekarang karena H adalah graf 2−terhubung, H mempunyai putaran yang mengandung u dan v berdasarkan teorema 2.2. Diantara semua penyisipan planar dari H, ambil H yang telah tersisip pada bidang sehingga H memiliki sebuah putaran C yang mengandung u dan v yang mana banyaknya bagian dalam region adalah maksimal. Kemudian dapat dianggap bahwa C : u=v0,v1,…,vi=v,…,vk=u, dimana 2≤i≤k−2.
Beberapa pengamatan atas graf bidang H sekarang dapat dibuat. Dalam hal ini, lebih mudah untuk mendefinisikan dua subgraf khusus dari H. Dengan bagian luar subgraf (bagian dalam subgraf) dari H, dapat diartikan sebagai subgraf dari G yang dihasilkan oleh ruas-ruas yang terdapat pada bagian luar (bagian dalam) pada putaran C. Pertama, karena graf G tidak planar, kedua bagian dalam dan luar subgraf ada, disisi lain ruas e dapat di tambahkan pada H (tidak pada bagian luar C atau bagian dalam C) sehingga diperoleh graf hasil dinamakan graf G, adalah planar.
Dapat dituliskan kemudian bahwa tidak ada dua simpul tertentu dari himpunan {v0,v1,…,vi} yang terhubung oleh lintasan pada bagian dalam subgraf H, dengan
kata lain akan menimbulkan kontradiksi dengan pemilihan C sebagai suatu putaran yang mengandung u dan v dan mempunyai jumlah maksimal pada bagian
dalam region, dengan cara yang sama dapat dibuat himpunan {vi,vi+1,…,vk}.
Pernyataan ini sesuai dengan kenyataan bahwa H+e adalah nonplanar mengakibatkan adanya dari vs-vt pada lintasan P, 0<s<i<t<k, pada bagian luar
subgraf H sedemikian hingga tidak ada simpul P yang berbeda dari vs dan vt pada
C.Susunan ini ditunjukan oleh gambar 3.12. Selanjutnya dapat dituliskan bahwa tidak ada simpul pada P yang berbeda dari vs dan vt yang bertetangga pada simpul
dari C lainnya daripada vs atau vt, dan lebih dari itu setiap lintasan
menghubungkan sebuah simpul dari P dengan sebuah simpul dari C harus mengandung paling sedikit salah satu dari vs dan vt.
H P vs vt v=vi u = v0 = vk
Struktur dari graf H pada teorema 3.12 Gambar 3.12
Misal H1 komponen dari H - {vr | 0≤r<k,r≠s,t}yang mengandung P. Dengan
memilih C, subgraf H1 tidak dapat dimasukan pada bagian dalam dari C.
50
bahwa bagian dalam subgraf dari H harus mengandung salah satu dari pernyataan berikut ini:
1. Suatu va-vb lintasan Q, 0<a<s, i<b<t (atau, sama, s<a<i dan t<b<k),
tidak semua simpul-simpul yang berbeda dari va dan vbberada di C.
2. Suatu simpul w yang tidak berada di C yang dihubungkan ke C oleh tiga lintasan yang memisah secara internal yakni pada simpul akhir dari lintasan P’ adalah satu dari v0, vs, vi dan vt.
Jika P’ berakhir pada v0, simpul-simpul akhir dari lintasan lain adalah
va dan vb, dimana s≤a<i dan i<b≤t tapi tidak keduanya a=s dan b=t
terhubung. Jika P’ berakhir pada setiap vs,vi atau vt maka terdapat tiga
kasus yang sama.
3. Suatu simpul w bukan dalam C yang dihubungkan ke C oleh tiga lintasan yang memisah secara internal P1,P2,P3 seperti pada simpul-
simpul akhir dari lintasan (berbeda dari w), merupakan tiga dari empat simpul v0, vs, vi, vt, katakan, v0, vi, vs berturut-turut, bersama dengan
suatu vc-vt lintasan P4 (vc≠v0, vi, w) dimana vc terdapat pada P1 atau P2,
dan P4 tidak terhubung dari P1, P2 dan C kecuali untuk vc dan vt.
Pilihan yang tersisa untuk P1, P2, dan P3 menghasilkan tiga kasus yang
4. Suatu simpul w bukan dalam C yang dihubungkan oleh simpul-simpul v0, vs, vi, vt oleh empat lintasan yang memisah secara internal.
Empat kasus ini menyelesaikan berbagai kemungkinan. Dalam tiga kasus pertama, graf G mempunyai sebuah subgraf yang mengandung K3,3 atau bagian dari K3,3
sebagai sebuah subgraf, sementara pada kasus keempat, G mengandung K5 atau
bagian dari K5 sebagai sebuah subgraf. Bagaimanapun ini bertentangan dengan
pengandaian. ■
BAB IV