LANDASAN TEORI
2.4 Konsep Teori Permainanan
2.4.2 Karakteristik Model Teori Permainan
Model-model permainan dapat diklasifikasikan berdasarkan:
1. Jumlah langkah dan pilihan, dibedakan menjadi 2 bagian yaitu:
a. Permainan berhingga, yaitu permainan yang mempunyai sejumlah langkah berhingga dengan setiap langkah memuat sejumlah pilihan strategi.
b. Permainan tak berhingga, yaitu untuk setiap permainan yang selain permainan berhingga.
2. Jumlah pemain, suatu permainan dikatakan n orang jika jumlah orang yang bermain sebanyak n. Pemain yang dimaksud bisa individu atau kelompok/grup.
a. Permainan berjumlah nol (zero sum game), yaitu permainan dengan jumlah kemenangan kedua belah pihak sama dengan nol.
b. Permainan berjumlah tidak nol (non zero sum game), yaitu permainan dengan total pembayaran dari masing-masing pemain pada akhir suatu permainan tidak sama dengan nol. Permainan ini dapat dilakukan dua orang atau lebih (n orang).
Dalam tugas akhir ini model teori permainan yang akan digunakan adalah permainan berjumlah nol dari dua pemain.
2.4.2.1 Permainan Berjumlah Nol dari Dua Pemain
Permainan berjumlah nol dari dua pemain adalah permainan yang melibatkan dua pemain (pihak) dimana jumlah nilai permainan kedua pemain sama dengan nol artinya nilai keuntungan pihak yang menang sama dengan nilai kerugian pihak yang kalah. Berdasarkan strateginya permainan berjumlah nol dari dua pemain ini dibedakan menjadi 2 bagian yaitu permainan dengan strategi murni dan permainan dengan strategi campuran.
2.4.2.2Permainan Strategi Murni (Pure Strategy Game)
Permainan strategi murni adalah suatu permainan dengan posisi pilihan terbaiknya bagi setiap pemain dicapai dengan memiliki satu strategi tunggal artinya setiap pemainnya hanya mempunyai tepat satu langkah yang terbaik. Pada permainan strategi murni,permainan dapat diselesaikan dengan kriteria maksimin-minimaks dan apabila terdapat titik keseimbangan atau titik equilibrium atau disebut titik pelana
(sadle point), maka permainan dapat diselesaikan.
Teori minimaks pada prinsipnya mengatakan bahwa tiap pemain secara sepihak mencari tingkat keamanan yang maksimum bagi diri sendiri dan tiap pemain mengetahui bahwa pemain yang lain cukup rasional. Pemain I memilih harga minimum pada tiap baris kemudian memilih harga maksimum dari harga minimum, cara ini disebut maksimin. Sedangkan teori minimaks menentukan pemain II secara
sepihak mencari tingkat keamanan maksimum bagi dirinya sendiri yaitu dengan memilih derita terkecil dari antara sejumlah derita maksimum. Persoalan ini dapat dibentuk dalam satu model matematika sebagai berikut:
1. Kriteria maksimin
Misalkan perolehan minimum dari tiap strategi i yang dipilih oleh pemain I, sehingga: = min { },j =1,2,3,...n
Strategi optimal untuk pemain I adalah baris yang sesuai dengan harga: Max { }= max [ min { }] = , i =1,2,3,...m dan j = 1,2,3,...,n
2. Kriteria minimaks
Untuk pemain II, misalkan derita maksimum dari tiap strategi j maka: = max { }, i = 1,2,3,...m. Strategi optimal untuk pemain II adalah kolom yang sesuai dengan harga: Min [ max { }] = , i = 1,2,3,...,m dan j = 1,2,3,...,n
Harga permainan minimaks harus lebih besar atau sama dengan harga maksimin, karena cara minimaks selalu mengambil harga (perolehan) maksimum dan cara maksimin selalu mengambil harga minimum, jadi: max { } min { } atau . Oleh karena itu adalah batas bawah dan adalah batas atas dari suatu V yang disebut harga permainan, sehingga: . Apabila = = , maka harga titik sekutu ini disebut titik pelana (sadle point). Jadi apabila nilai maximin sama dengan nilai minimaks maka permainan dapat diselesaikan dengan strategi murni dimana titik keseimbangan atau titik pelana telah tercapai.Namun permainan tanpa titik pelana akan diselesaikan dengan menggunakan strategi campuran.
2.4.2.3Permainan Dengan Strategi Campuran (Mixed Strategy Game)
Jika dalam kriteria maksimin – minimaks tidak ditemukan titik keseimbangan atau titik pelana maka strategi murni tidak dapat digunakan untuk memperoleh strategi optimal sehingga dilakukan pemecahannya dengan menggunakan strategi campuran. Agar dapat diperoleh suatu pemecahan permainan yang mempunyai tipe seperti ini, Von Neumann memperkenalkan konsep strategi campuran (Mixed Strategy).
Pembahasan strategi campuran mengarah kepada dalil minimaks dari Von Neumann yang menyatakan bahwa kalau himpunan kemungkinan strategi dari permainan diperluas sampai di luar strategi murni yang mencakup seluruh kemungkinan strategi campuran, selalu ada beberapa strategi campuran untuk pemain pertama yang minimum pay-off nya akan lebih besar dari nilai maksimin dan selalu ada beberapa strategi campuran untuk pemain kedua yang maksimum pay-off nya lebih kecil dari nilai minimaks dan dua nilai pay off itu sama (Johannes Supranto, 1988).
Beberapa definisi yang berkaitan dengan strategi campuran sebagai berikut (Kartono, 1994):
Definisi 1:
Diberikan suatu matriks pembayaran yang berukuran mxn dimana pemain 1 mempunyai m strategi i; i=1,2,3,..,m dan pemain 2 mempunyai n strategi j; j=1,2,3,...,n. Misalnya :
=probabilitas pemain 1 memilih strategi ke i.
= probabilitas pemain 2 memilih strategi ke j.
= nilai pembayaran dalam matriks pembayaran ( yang bersesuaian dengan strategi ke i untuk pemain 1 dan strategi ke j untuk pemain 2.
PII PI 1 2 … 1 2 n 1 1 11 21 … 1 2 2 21 22 … 2 m 1 2 …
Gambar 2.2 Bentuk Matriks Pembayaran (Pay off)
Definisi 2
Vektor X = [ ]; i=1,2,3,..m dari bilangan tak negatif sedemikian rupa sehingga
= 1
1=1 didefinisikan sebagai strategi campuran bagi pemain 1. Vektor Y= [ ];
didefinisikan sebagai strategi campuran bagi 2. Berdasarkan definisi 2 ini maka probabilitas ; i=1,2,3,...,m menyusun strategi optimum bagi pemain 1 dan probabilitas ; j=1,2,3,...,n menyusun strategi optimum bagi pemain 2.
Definisi 3
Nilai harapan matematis atau fungsi pembayaran E(X,Y) bagi pemain 1 dengan matriks pembayaran A= ( ) didefinisikan sebagai:
E(X,Y) = =1 =1 = XAY
Dimana X = [ 1, 2,…, ] = vektor baris yang merupakan strategi campuran bagi pemain 1 dan Y = [ 1, 2,…, ] = vektor kolom yang merupakan strategi campuran bagi pemain 2. Menurut definisi 3 ini pemain 1 seharusnya memilih X sehingga dapat memaksimumkan nilai harapannya yang terkecil ddan pemain 2 seharusnya memilih Y sehingga dapat meminimumkan nilai harapannya yang terbesar. Dengan demikian pemain 1 menuju pada , dan pemain 2 menuju pada
,
Definisi 4
Jika , = , = 0, 0 maka 0, 0
didefinisikan sebagai strategi murni dari permainan itu dengan 0 sebagai strategi optimum bagi pemain I dan 0 sebagai strategi optimum bagi pemain II dan 0, 0 merupakan nilai permainan.
Langkah-langkah dalam teori permainan adalah : 1. Membuat tabel/ matriks permainan.
2. Mencari nilai terkecil pada setiap baris. Pada setiap baris dipilih pay off yang nilainya terkecil diantara pay off yang ada.
3. Mencari nilai terkecil pada setiap kolom. Pada setiap kolom dipilih pay off yang nilainya terbesar diantara pay off yang ada.
4. Menentukan nilai maksimin, yaitu nilai maksimum dari nilai minimum pada minimum baris.
5. Menentukan nilai minimaks, yaitu nilai minimum dari nilai maksimum pada maksimum kolom.
6. Uji optimisasi, yaitu melakukan pemeriksan apakah nilai maksimum sudah sama dengan nilai minimal. Apabila nilai maksimum sama dengan nilai minimal, maka sudah didapat strategi optimal artinya persoalann selesai dengan strategi murni. Tetapi apabila nilai maksimin dan nilai minimaks tidak sama, maka strategi belum optimal sehingga peyelesaian harus dilanjutkan dengan menggunakan strategi campuran. Untuk menyelesaikan suatu permainan berjumlah nol dari dua pemain dengan strategi campuran dapat digunakan dengan metode Program Linier.