2.7 Pengertian Metode Grafis
2.7.3 Kasus dan Penyelesaian Dalam Metode Grafis
Suatu perusahaan memproduksi dua jenis produk yaitu P1 dan P2. Untuk menghasilkan satu unit P1 membutuhkan dua sumberdaya (SD), masing-masing SD1 sebanyak 4 jam dan SD2 sebanyak 4 meter. Sedangkan untuk menghasilkan satu unit P2 membutuhkan SD1 sebanyak 2 jam dan SD2 sebanyak 6 meter. Karena adanya keterbatasan waktu dan modal yang dimiliki perusahaan, SD1 hanya mampu disediakan tidak lebih dari 40 jam per minggu, dan SD2 sebanyak 60 meter per minggu. Berdasarkan hasil penelitian diketahui bahwa, P1 hanya dapat diserap pasar tidak lebih dari 10 unit dan P2 diserap tidak lebih dari 9 unit per minggu. Keuntungan per unit untuk P1 sebesar Rp 1 juta dan P2 sebesar 1,25 juta. Permasalahan yang dihadapi adalah, berapa unit P1 dan P2 harus diproduksi agar diperoleh keuntungan maksimal bagi perusahaan.
Tabel 2.1
Data Mengenai Jenis Produk, Sumberdaya, Kemampuan Penyediaan, Daya Serap Pasar, Keuntungan per Unit Produk.
Sumberdaya Produk Kemampuan
Penyediaan
P1 P2
SD1 4 jam 2 jam ≤ 40 jam/minggu
SD2 4 meter 6 meter ≤ 60 jam/minggu
Daya serap pasar ≤ 10 unit/minggu ≤ 9 unit/minggu Keuntungan
per unit
Penyelesaian:
Langkah pertama, menentukan variabel keputusan dan mengidentifikasi tujuan yang ingin dicapai perusahaan.
Dalam kasus yang diambil, variabel keputusan terdiri dari P1 (produk 1) dan P2 (produk 2) , sedangkan tujuan yang ingin dicapai dalam kasus ini adalah menentukan bauran produk optimal, atau dengan kata lain adalah hendak memaksimalkan keuntungan (Zmax) melalui bauran produk optimum.
Langkah kedua, membuat tabulasi informasi selengkap mungkin, yang memuat berbagai jenis produk yang akan dianalisis, sumberdaya (resources) yang digunakan, standar penggunaan sumberdaya per unit produk, kapasitas atau kemampuan penyediaan sumberdaya per periode waktu, keuntungan per unti produk, dan daya serap pasar masing-masing produk per periode waktu (dalam minggu). Tabulasi yang dimaksud dapat dirumuskan sebagaimana pada tabel berikut.
Langkah ketiga, memformulasikan persamaan dan pertidaksamaan matematis, yang meliputi persamaan tujuan, pertidaksamaan kendala, dan asumsi nilai variabel keputusannya. Untuk kasus yang diambil, secara sederhana persamaan tujuannya (Pt) dapat dirumuskan dalam bentuk matematis sebagai berikut:
Pt: Zmax = 1.000.000 P1 + 1.250.000 P2 Pertidaksamaan kendala-kendalanya (Pk): Pk (1): 4 P1 + 2 P2 ≤ 40 Pk (2): 4 P1 + 6 P2 ≤ 60 Pk (1): P1 ≤ 10 Pk (2): P2 ≤ 9
Asumsi variabel keputusan, adalah nilai P1 dan P2 harus lebih besar atau sama dengan nol (P1 , P2 ≥ 0).
Langkah keempat, membuat grafik dengan menggunakan sepasang sumbu silang, garis horizontal dan vertikal yang masing-masing menunjukkan variabel P1 (Produk P1) dan variabel P2 (Produk P2), lihat gambar 2.4.
P2
P1
0 Gambar 2.4
Langkah kelima, menentukan garis-garis kendala dan daerah layak (feasible) dengan memperhatikan kendala atau keterbatasan yang dihadapi.
Garis kendala 1 menunjukkan pertidaksamaan: 4 P1 + 2 P2 ≤ 40
Untuk menggambarkannya ke dalam grafik, maka tanda lebih kecil atau sama dengan (≤) terlebih dahulu diubah menjadi sama dengan (=), sehingga:
4 P1 + 2 P2 = 40
Titik potong garis kendala dengan garis vertikal dan horizontal selanjutnya diperoleh dengan perhitungan berikut:
Jika P1 = 0, maka P2 = 40/2 = 20 Jika P2 = 0, maka P1 = 40/4 = 10
Dengan menghubungkan P1 = 10 dan P2 = 20 diperoleh garis kendala 1, lihat gambar 2.5, dan arah kendalanya adalah ke dalam karena memiliki tanda ≤.
P2 20
10
0 10 20
Gambar 2.5
Garis kendala berikutnya menunjukkan pertidaksamaan: 4 P1 + 6 P2 ≤ 60
Kemudian tanda lebih kecil atau sama dengan (≤) diubah ke dalam sama dengan (=), sehingga menjadi:
4 P1 + 6 P2 = 60
Titik potong garis kendala dengan garis vertikal dan horizontal selanjutnya diperoleh dengan perhitungan:
Jika P1 = 0, maka P2 = 60/6 = 10 Jika P2 = 0, maka P1 = 60/4 = 15
Dengan menghubungkan P1 = 15 dan P2 = 10 diperoleh garis kendala 2 (lihat gambar 2.6), dan arah kendalanya adalah ke dalam karena memiliki tanda ≤.
P2 20 10 P1 0 10 15 20 Gambar 2.6
Garis kendala 3 menunjukkan pertidaksamaan:
P1 ≤ 10
Kemudian tanda lebih kecil atau sama dengan (≤) diubah ke dalam sama dengan (=), sehingga menjadi:
P1 = 10
Persamaan ini menunjukkan garis kendala 3 adalah vertikal (lihat gambar 2.7), dan kendalanya adalah ke dalam karena memiliki tanda ≤.
P2 20 10 P1 0 10 20 Gambar 2.7
Garis kendala 4 menunjukkan pertidaksamaan:
P2 ≤ 9
Kemudian tanda lebih kecil atau sama dengan (≤) diubah ke dalam sama dengan (=), sehingga menjadi:
P2 = 9
Persamaan ini menunjukkan garis kendala 4 adalah horizontal (lihat gambar 2.8), dan arah kendalanya adalah ke dalam karena memiliki tanda ≤.
P2 20 9 P1 0 10 20 Gambar 2.8
Dengan menggabungkan garis kendala 1, 2, 3 dan 4 diperoleh gambaran keseluruhan yang memperlihatkan berbagai keterbatasan (constraints) yang dihadapi perusahaan, dan dengan memperhatikan arah kendala-kendalanya dapat ditentukan daerah fisibel (fisibel area)-nya sebagaimana terlihat pada gambar 2.9. Area fisibel merupakan daerah yang dilingkupi seluruh garis-garis kendala (constrains lines), yaitu kumpulan dari titik-titik yang memungkinkan suatu perusahaan berada pada kondisi bauran produksi yang layak.
P2 20 10 9 P1 0 10 15 20 Gambar 2.9
Langkah keenam, menentukan garis persamaan tujuan dan titik optimal (optimal point). Garis persamaan tujuan dibuat dengan terlebih dahulu mengambil angka tertentu, apakah angka yang berada di sepanjang garis horizontal (P1) atau garis vertikal (P2). Misalkan diambi l angka 10 pada sumbu P1, maka dengan menuliskan kembali persamaan tujuan:
Z = 1.000.000 P1 + 1.250.000 P2
Diperoleh: 1.000.000 x 10 = 10.000.000. Nilai 10.000.000 ini kemudian dimasukkan ke dalam nilai Z, menjadi:
10.000.000 = 1.000.000 P1 + 1.250.000 P2 Jika P1 = 0, maka P2 = 8; dan jika P2 = 0, maka P1 = 10
Dengan menghubungkan P1 = 10 dan P2 = 8 diperoleh garis fungsi tujuan (garis putus-putus). Garis ini dapat disebut sebagai isoprofit line, lihat gambar 2.10. Selanjutnya titik optimal dapat diperoleh dengan cara menggeser garis persamaan tujuan (garis putus-putus) tersebut secara paralel sejauh mungkin dari titik nol sepanjang daerah layak. Hasilnya terlihat pada gambar 2.11. gambar 2.11 menunjukkan bahwa titik optimal berada pada titik perpotongan garis kendala 1 dan 2.
P2 20 10 8 P1 0 10 15 20 Gambar 2.10
Grafik Bauran Produksi, Daerah Fisibel, dan Garis Persamaan Tujuan. P2 20 10 8 Optimal point P1 0 10 15 20 Gambar 2.11 Titik Optimal.
Langkah ketujuh, menentukan bauran produksi optimal. Karena titik optimal berada pada perpotongan garis kendala 1 dan 2, maka nilai bauran produksi optimal dapat dihitung sebagai berikut:
4 P1 + 6 P2 = 60 4 P1 + 2 P2 = 40 (-) 4 P2 = 20 P2 = 20/4 P2 = 5 Maka: 4 P1 + 6 (5) = 60 4 P1 = 60 - 30 P1 = 30/4 P1 = 7,5
Dengan demikian, bauran produksi optimal ditunjukkan oleh produk P1 yang harus diproduksi sebanyak 7,5 unit dan P2 sebanyak 5 unit, agar diperoleh keuntungan maksimal bagi perusahaan sebesar Zmax = Rp 1.000.000 (7,5) + Rp 1.250.000 (5) = Rp 13.750.000,- per minggu, atau per bulan sebesar Rp 55.000.000,- (jika dihitung 1 bulan = 4 minggu).
Sesungguhnya situasi diatas dapat diuji, apakah benar bahwa titik D (gambar 2.9) merupakan titik optimal. Untuk itu dapat diujisetiap titik, apakah A, B, atau C merupaka alternatif-alternatif titik optimal dalam kasus ini.
Titik A: P1 = 0 dan P2 = 9 Maka Z = Rp 1.000.000 (0) + Rp 1.250.000 (9) = Rp 11.250.000,- Titik B: P2 = 9 4 P1 + 6 (9) = 60 4 P1 = 60 - 54 P1 = 6/4 P1 = 1,5 Maka Z = Rp 1.000.000 (1,5) + Rp 1.250.000 (9) = Rp 12.750.000,- Titik C: P1 = 10 dan P2 = 0 Maka Z = Rp 1.000.000 (10) + Rp 1.250.000 (0) = Rp 10.000.000,-
Hasil perhitungan di atas membuktikan pula bahwa, titik D ternyata menunjukkan jumlah unit produksi yang dapat memberikan nilai keuntungan maksimal (Zmax), karena nilainya paling besar (Rp 13.750.000) dibandingkan titik A (Rp 11.250.000), B (12.750.000), dan C (Rp 10.000.000). Dengan demikian baik secara grafis maupun matematis tergambarkan bahwa, yang menjadi kendala bagi perusahaan ini adalah kapasitas penyediaan SD1 dan SD2, karena titik optimal berada pada perpotongan kedua garis kendala sumberdaya tersebut, yang berdampak pada belum mampunya perusahaan memanfaatkan daya serap pasar secara optimal.
Dari persoalan diketahui daya serap pasar yang ada untuk kedua produk lebih besar dari jumlah produk yang dapat diproduksi oleh perusahaan yaitu untuk produk P1 = 7,5 unit dan P2 = 5 unit, dibandingkan dengan daya serap pasar maksimum masing-masing P1 = 10 unit dan P2 = 9 unit. Oleh sebab itu dapat direkomendasikan kepada perusahaan, untuk meningkatkan kemampuan penyediaan sumberdaya, atau melakukan efisiensi sehingga jumlah produksi dapat ditingkatkan.
P2 20 A 10 B 8 D C P1 0 10 15 20 Gambar 2.12