y1 y3 C(X3, Y3) = a B(X2, Y2) = a y2 X 0 x1 x3 x2
Kegiatan Belajar 2
Kurva Indifference
etiap orang tahu persis berapa penghasilannya sebulan. Dalam waktu tersebut ia harus membelanjakan uangnya untuk membeli barang dan jasa yang dibutuhkannya. Kalau dimisalkan hanya ada dua macam barang yang dapat dibelinya, yaitu barang x dan y, maka tempat kedudukan, titik-titik yang koordinatnya menunjukkan kombinasi pembelian kedua macam barang dinamakan kurva indifference.Definisi kurva indifference adalah kurva yang menunjukkan titik-titik kombinasi jumlah barang x dan barang y yang dikonsumsi pada tingkat kepuasan tertentu. Kurva indifference dapat ditunjukkan oleh fungsi f(x,y) = a, di mana x dan y adalah macam barang yang dikonsumsi dan a adalah menunjukkan tingkat kepuasan. Perhatikan gambar berikut ini:
Gambar 6.6 Kurva Indifference
Sumbu horisontal digunakan untuk menunjukkan jumlah barang x yang dikonsumsi dan sumbu vertikal untuk jumlah barang y. Kurva indifference f(x,y) = a, seperti telah disebutkan di atas merupakan tempat kedudukan titik-titik kombinasi jumlah barang x dan y yang dikonsumsi pada tingkat kepuasan tertentu. Seandainya konsumen memilih kombinasi di titik A, maka jumlah barang x yang dikonsumsi sebanyak x1 dan jumlah barang y yang dikonsumsi sebanyak y1. Bila kombinasi yang dipilih adalah titik B, maka jumlah barang x yang dikonsumsi sebanyak x2 dan barang y yang
dikonsumsi sebanyak y2. Konsumen akan mengkonsumsi di kombinasi A atau kombinasi B tidak menjadi persoalan, karena baginya kepuasan yang diperoleh sama saja yaitu sebesar a.
Apabila parameter a besarnya diubah-ubah, maka akan diperoleh
himpunan kurva indifference yang satu sama lain tidak saling memotong
(Gambar 6.6). Pada umumnya konsumen akan bertambah kepuasannya apabila dengan sejumlah uang yang sama dapat membeli barang x atau y dalam jumlah yang lebih banyak. Oleh sebab itu kombinasi di titik C(x3,y3) akan memberikan kepuasan yang lebih besar dari titik A (x1,y1) karena x3 > x1, sehingga kedua titik terletak di kurva indifference yang berbeda.
Pada gambar di atas, dapat dilihat bahwa kurva indifference merupakan kurva yang menurun, karena untuk menambah jumlah barang x yang dikonsumsi, konsumen harus mengurangi jumlah konsumsinya terhadap barang y agar kepuasan yang diperoleh tetap sama.
Suatu hal yang perlu diperhatikan lagi adalah kurva indifference bentuknya cembung terhadap titik origin. Keadaan itu menunjukkan bahwa setiap pengurangan y dengan selisih yang sama yaitu ∆y harus diimbangi oleh pertambahan x sebesar ∆x yang nilainya semakin bertambah, agar tingkat kepuasan yang sama dapat dipertahankan. Ini sesuai dengan hukum substitusi yang menyatakan bahwa suatu barang yang semakin langka, nilai substitusinya semakin besar terhadap barang yang melimpah.
Fungsi yang dapat dipakai untuk menunjukkan kurva indifference adalah lingkaran, hiperbola dan parabola. Perhatikan gambar berikut ini:
Y Y 0 X 0 X (a) (-h,-k) (b) Y 0 X y = -k (c) Gambar 6.7
Bentuk-bentuk kurva Indifference
Pada gambar (a), kurva indifference ditunjukkan oleh bagian dari lingkaran dengan persamaan:
(x - a)2 + (y - a)2 = a2
Bila parameter a diubah, maka titik pusat (a,a) akan bergeser dan jari-jari lingkaran = a juga akan berubah sehingga didapat himpunan lingkaran. Jadi yang digunakan sebagai kurva indifference hanyalah seperempat lingkaran yaitu bagian yang menyinggung sumbu x dan sumbu y. Persamaan dengan bentuk umum seperti ditunjukkan di atas bentuknya dapat diubah menjadi:
x2 - 2ax + a2 + y2 - 2ay + a2 = a2
(x + y)2 - 2a(x + y) + a2 = 2xy
(x + y - a)2 = 2xy x + y - a = 2xy
x + y - 2xy = a
Contoh 6.13:
Bila kurva indifference seorang konsumen dapat ditunjukkan oleh persamaan x + y - 2xy= a dan andaikan kepuasan seseorang dapat diukur, maka berapakah jumlah barang y yang harus dikonsumsi pada saat ia mengkonsumsi barang x sebanyak 3 unit agar tingkat kepuasannya tetap 15 satuan? Jawaban: x = 3, a = 15 Jadi 3 + y - 6y = 15 atau y - 12 = 6y y2 - 24y + 144 = 6y y2 - 30y + 144 = 0 y2 - 24y - 6y + 144 = 0 (y - 24)(y - 6) = 0 Jadi y1 = 6 dan y2 = 24
Bila tidak ada barang x yang dikonsumsi, maka agar tingkat kepuasannya tetap 15 satuan, jumlah barang y yang dikonsumsi adalah y = 15, oleh sebab itu pada tingkat kepuasan yang sama ia tidak mungkin mengkonsumsi sebanyak 24 unit. Jadi jumlah barang y yang dikonsumsi adalah 6 unit.
Y 24 6 0 3 X
Bagian dari hiperbola juga dapat dipakai untuk menunjukkan kurva indifference. Pada gambar (b) dipakai hiperbola sama sisi dengan titik pusat (-h,-k) yang terletak di kuadran ketiga. Bentuk persamaan hiperbola ini adalah:
(x + h)(y + k) = a
dengan asimtot x = -h dan y = -k titik potong dengan sumbu x = a/k - h titik potong dengan sumbu y = a/h - k
Bagian hiperbola yang digunakan untuk kurva indifference adalah bagian yang berada di kuadran pertama. Bila tingkat kepuasan a diubah-ubah besarnya, maka diperoleh himpunan kurva indifference.
Contoh 6.14:
Seorang konsumen dalam mengkonsumsi barang x dan y kepuasannya ditunjukkan oleh persamaan:
xy + y + 6x = a – 6
Tentukan titik pusat hiperbola dan berapakah jumlah maksimum barang x yang dapat dikonsumsi bila tingkat kepuasannya sebesar 30 satuan?
Jawaban: a = 30 xy + y + 6x + 6 = 30 y(x + 1) + 6(x + 1) = 30 (x + 1) × (y + 6) = 30 Titik pusat = (-1,-6)
Jumlah maksimum barang x yang dapat dikonsumsi terjadi bila tidak ada barang y yang dikonsumsi (y = 0).
Jadi (x + 1)6 = 30 ,
6x + 6 = 30
6x = 30 – 6
x = 24
6 = 4
Barang x yang dikonsumsi = 4. Y 0 4 X (-1, -6)
Parabola juga dapat dipakai untuk menunjukkan kurva indifference. Pada gambar (c) puncak parabola terletak pada satu garis lurus y = - k
Contoh 6.15:
Kurva indifference seorang konsumen ditunjukkan oleh persamaan:
x− (y 1)+ =a
Bila tingkat kepuasannya dapat diukur, berapakah jumlah maksimum barang x dan barang y yang dapat dikonsumsi agar tingkat kepuasannya tetap sebesar 4 satuan.
Kurva indifference untuk a = 4.
2 x (y 1) 4 x 4 (y 1) (x 4) y 1 − + = − = + − = + Puncak parabola (4,-1)
Jumlah maksimum barang y yang dapat dikonsumsi terjadi bila x = 0, atau (0 - 4)2 = y + 1
Jadi y = 15
Jumlah maksimum barang x yang dapat dikonsumsi terjadi bila y = 0, atau (x - 4)2 = 1
x - 4 = ± 1 Jadi x1 = 5
x2 = 3
Sifat kurva indifference adalah menurun dari kiri atas ke kanan bawah dan cembung ke arah origin. Karena x = 5 terletak di bagian yang menaik dari parabola, maka titik tersebut tidak memenuhi dan tidak dipakai. Jadi jumlah maksimum barang x yang dikonsumsi adalah 3 unit.
Y 15 0 3 5 x (4,-1)
Seorang konsumen yang menghadapi himpunan kurva indifference selalu berusaha untuk melakukan konsumsi pada titik yang berada di kurva indifference yang paling jauh dari titik origin, karena kepuasan yang di dapat lebih besar atau karena dengan kombinasi tersebut ia dapat mengkonsumsi baik barang x maupun barang y dalam jumlah yang cukup banyak. Akan tetapi kebebasan memilih kurva indifference dibatasi oleh jumlah uang yang dimilikinya. Dengan sejumlah uang tertentu (M) seorang konsumen dapat membelanjakan semuanya untuk membeli barang x saja dan memperoleh sebanyak M/Px bila harga barang x adalah Px atau membelanjakan jumlah uang M tersebut untuk membeli barang y saja dan memperoleh sebanyak M/Py bila harga barang y adalah Py (lihat gambar di bawah).
Apabila dengan uang sebanyak M itu akan digunakan untuk membeli barang x dan y, maka kombinasi jumlah barang x dan y yang dapat dibeli ditunjukkan oleh garis lurus yang menghubungkan titik M/Px dan M/Py. Garis ini disebut dengan garis anggaran atau budget line. Tingkat kepuasan yang maksimum dicapai bila konsumen membelanjakan uangnya sebanyak M untuk membeli y1 barang y dan x1 barang x, yaitu pada posisi persinggungan antara garis anggaran dengan kurva indifference.
Py M y1 I3 I2 I1 0 x1 Px M X Gambar 6.8
Posisi Tingkat Kepuasan Maksimum
Posisi ini menunjukkan posisi kepuasan yang maksimum atau posisi equilibrium konsumen dengan kendala M, karena I2 adalah kurva indifference yang tertinggi yang dapat dicapai oleh garis anggaran tersebut. Jadi dengan kurva indifference dan garis anggaran dapat ditunjukkan berapa jumlah barang x dan y yang harus dibeli oleh konsumen yang memiliki sejumlah uang tertentu agar kepuasannya maksimum.
Contoh 6.16:
Himpunan kurva indifference seorang konsumen ditunjukkan oleh persamaan xy = a. Bila persamaan garis anggaran yang dihadapi oleh konsumen adalah 2x + 5y = 100, maka tentukan kombinasi jumlah barang x dan y yang akan dikonsumsi olehnya!
Jawaban:
Persamaan indifference: xy = a
Persamaan garis anggaran: 2x + 5y = 100.
Langkah pertama adalah memotongkan garis anggaran dengan persamaan indifference dengan cara menyelesaikan kedua persamaan secara serentak yaitu:
2x + 5y = 100 5y = 100 – 2x y = 100 2x 1(100 2x) 5 5 − = − y = 20 - 2x 5
Kemudian substitusikan ke dalam persamaan indifference yaitu: xy = a xy = x(20 - 2x 5 ) = a = 20x - 2x2 5 = a 2x2 5 - 20x + a = 0 x2 - 2 2 5 5 20 a x+ =0 ⇒ x2 50x 5a 0 2 − + =
Agar persamaan mempunyai akar kembar yaitu titik singgung garis anggaran dengan kurva indifference, harus dipenuhi syarat:
502 - 4(5 2 a) = 0 2500 - 10 a = 0 a = 250 Jadi x2 - 50x + 5 2 . 250 = 0 x2 - 50x + 625 = 0 (x - 25)2 = 0 x = 25 Untuk x = 25, maka y = 1 5 (100 - 50)
y = 1
5 . 50
y = 10
Jadi jumlah barang x yang dikonsumsi 25 unit dan barang y sebanyak 10 unit. y 20 10 0 10 20 30 40 50 x
1) Bila himpunan kurva indifference diketahui (x + 2)(y + 1) = a dan harga barang x adalah Rp 4,00 dan barang y Rp 6,00 per unit, sedangkan jumlah uang yang dimiliki Rp130,00. Tentukan jumlah barang x dan y yang akan dikonsumsi.
2) Gambarkan himpunan kurva indifference dengan persamaan: (x + 2)(y + 1) = a untuk berbagai nilai a.
3) Bila himpunan kurva indifference diketahui 4x2−2xy 6y+ 2=a dan persamaan garis anggaran adalah x + y = 72, maka tentukan jumlah barang x dan barang y yang dibeli konsumen.
L A T I H A N
Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut!
4) Seorang konsumen mempunyai kurva indiference yang ditunjukkan oleh persamaan xy = a, persamaan garis anggaran yang dihadapi adalah 5y + 6x = 60. Tentukan jumlah barang x dan y yang dikonsumsi.
5) Gambarkan keadaan keseimbangan pada soal nomor 4 di atas.
Petunjuk Jawaban Latihan
1) Kurva indifference: (x + 2)(y + 1) = a Persamaan garis anggaran: Pxx + Pyy = M
Untuk Px = 4, Py = 6 dan M = 130, persamaan garis anggarannya: 4x + 6y = 130 6y = 130 – 4x y = 212 3 - 2 x 3
Disubstitusikan ke dalam persamaan indifference:
(x + 2)(212 3 - 2 3x + 1) = a (x + 2)(- 2 3x + 22 2 3) = a
Kedua ruas dikalikan 3: (x + 2)(-2x + 68) = 3a -2x2 + 64x + 136 = 3a 2x2 – 64x + 3a – 136 = 0
Agar supaya persamaan mempunyai akar kembar, maka: 642 – 4(2)(3a – 136) = 0 4096 – 24a + 1088 = 0 24a = 5184 a = 216 Jadi 2x2 – 64x + 3(216) – 136 = 0 2x2 – 64x + 512 = 0 atau
x2 – 32x + 256 = 0 (x – 16) 2 = 0 x = 16
Untuk x = 16, maka y = 11.
Jadi jumlah barang x yang dikonsumsi 16 unit dan jumlah barang y yang dikonsumsi 11 unit.
2) Persamaan (x + 2)(y + 1) = a merupakan persamaan hiperbola dengan pusat (-2, -1) dan asimtot x = -2 dan y = -1. Titik potong dengan sumbu x terjadi pada y = 0 dan x = a – 2; dan titik potong dengan sumbu y terjadi
pada x = 0 dan y = a 2 - 1. x = -2 y a = 12 a = 10 a = 8 x a = 4 a = 6 (-2, -1) y = -1
3) Kurva indifference : 4x2 – 2xy + 6y2 = a Garis anggaran : x + y = 72 atau y = 72 – x Disubstitusikan ke persamaan indifference:
4x2 – 2x(72 – x) + 6(72 – x) 2 = a
6x2 – 144x + 31104 – 864x + 6x2 = a
12x2 – 1008x + 31104 = a Kedua ruas dibagi 12, maka:
x2 – 84x + 2592 - 1 a 12 = 0
Agar supaya persamaan mempunyai akar kembar, maka:
842 – 4(2592 - 1 a 12 = 0 7056 – 10368 + 1a 3 = 0 -3312 + 1a 3 = 0 1a 3 = 3312 a = 9936 Jadi x2 – 84x + 2592 - 1 12(9936) = 0 x2 – 84x + 2592 – 828 = 0 x2 – 84x + 1764 = 0 (x – 42) 2 = 0 x = 42 Untuk x = 42, maka y = 72 – 42 = 30
Jadi jumlah barang x yang dikonsumi adalah 42 unit dan barang y yang dikonsumsi sebanyak 30 unit.
4) Kurva indifference: xy = a
Garis anggaran : 5y + 6x = 60 atau 5y = 60 – 6x
y = 12 - 6
5x
Disubstitusikan ke dalam persamaan indifference:
x(12 - 6 5x) = a 12x - 6 5x 2 = a atau 6 5x 2 – 12x + a = 0 dikalikan 6 5 menjadi: x2 – 10x + 5a 6 = 0
Agar supaya persamaan mempunyai akar kembar, maka:
100 – 4(5 6)a = 0 a = 6 .100 20 = 30 Jadi x2 – 10x + 25 = 0 (x – 5)2 = 0 x = 5 xy = 30 untuk x = 5, maka y = 6.
Jadi jumlah barang x yang dikonsumsi 5 unit dan jumlah barang y adalah 6 unit.
5) y
12
6 5y + 6x = 60
xy = 30
0 5 10 x
Kurva Indifference adalah kurva tempat kedudukan titik-titik kombinasi dua barang yang dikonsumsi pada tingkat kepuasaan tertentu. Kumpulan dari kurva-kurva indifference disebut dengan himpunan kurva indifference.
Sifat-sifat kurva indifference yang penting adalah: a. merupakan kurva yang menurun;
b. cembung terhadap titik origin; c. tidak saling berpotongan;
d. semakin jauh kurva dari titik origin berarti kepuasan yang diperoleh semakin tinggi.
Fungsi-fungsi yang dapat dipakai untuk menunjukkan kurva indifference adalah lingkaran, hiperbola dan parabola. Dalam melakukan konsumsi, konsumen dibatasi kebebasan memilih kombinasi yang diinginkan oleh jumlah uang yang dimiliki. Garis anggaran menunjukkan kombinasi barang yang dapat dibeli dengan sejumlah uang tertentu. Kepuasan maksimum dalam mengkonsumsi barang akan tercapai pada saat kurva indifference menyinggung garis anggaran. Kombinasi jumlah barang yang dikonsumsi ditunjukkan oleh koordinat titik singgung.
1) Tentukan jumlah barang x dan y yang akan dikonsumsi bila kurva indifference ditunjukkan oleh persamaan: 5x2+6y2−xy dan garis anggarannnya x + 2y = 24.
A. x = 9, y = 6 B. x = 6, y = 9 C. x = 5, y = 10 D. x = 6, y = 7
2. Bila harga barang x dan y sama yaitu Rp1,00 dan jumlah uang yang dimiliki Rp8,00. Tentukan berapa jumlah barang x dan y yang harus dibelinya, bila fungsi indifferencenya x2+2y2−xy a=
A. x = 5, y = 3 B. x = 3, y = 5 C. x = 5, y = 6 D. x = 6, y = 3
3) Tentukan jumlah barang x dan y yang harus dibeli oleh konsumen jika garis anggarannya adalah 2x+ =y 21dan kurva indifferencenya ditunjukkan oleh persamaan 3x2+4y2−xy a= .
A. x = 7,5, y = 3 B. x = 7,5, y = 5 C. y = 8,5, y = 4 D. y = 8,5, y = 3
4) Bila kurva indifference ditunjukkan oleh persamaan xy = a dan harga barang x = 15, harga barang y = 5 dan pendapatan konsumen adalah 150. Tentukan jumlah barang x dan y yang akan dikonsumsi.
A. x = 5, y = 15 B. x = 10, y = 15 C. x = 5, y = 10 D. x = 10, y = 10
5) Bila kurva indifference ditunjukkan oleh persamaan x y2 = a dan Px = 4, Py = 5 dan M = 120, maka tentukan jumlah x dan y yang harus dibeli agar kepuasan yang diperoleh maksimum.
T E S F O R M A T I F 2
A. x = 20, y = 10 B. x = 10, y = 8 C. x = 20, y = 8 D. x = 20, y = 8
Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 2 yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 2.
Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali 80 - 89% = baik 70 - 79% = cukup < 70% = kurang
Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan Kegiatan Belajar 3. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 2, terutama bagian yang belum dikuasai.
Tingkat penguasaan = Jumlah Jawaban yang Benar 100%