Suatu himpunan A dikatakan konvek jika untuk setiap dua titik P,
Q A, setiap segmen ̅̅̅̅ berada di dalam A. Sebagai contoh diberikan tiga bangun yang konvek.
Himpunan A, B, dan C adalah daerah bidang. Sebagai contoh, A
adalah gabungan segitiga dan himpunan semua titik yang ada di dalam
P Q A P Q C P Q B
segitiga. Pada Gambar 2.6.1 terlihat bahwa setiap segmen ̅̅̅̅ selalu berada di dalam A, B, dan C.
Selanjutnya akan diberikan contoh bangun yang tidak konvek.
Himpunan D, E, dan F adalah contoh bangun yang tidak konvek.
Untuk menunjukan suatu bangun tidak konvek, misal bangun D, cukup
ditunjukan bahwa ada dua titik P, Q D sehingga segmen ̅̅̅̅ tidak berada di dalam D.
Suatu himpunan konvek bisa saja tipis dan kecil. Sebagai contoh,
setiap segmen ̅̅̅̅ adalah himpunan konvek. Himpunan yang beranggotakan satu titik juga konvek.
Suatu himpunan konvek juga bisa sangat besar. Sebagai contoh,
himpunan ruang S adalah suatu himpunan konvek. Semua garis dan bidang
juga konvek, karena tidak dapat ditemukan suatu segmen ̅̅̅̅ dimana P,Q
anggota suatu garis atau bidang sehingga segmen ̅̅̅̅ tidak di dalam himpunan suatu garis atau bidang tersebut.
D P Q P Q F P Q E
Definisi 2.6.2
Diberikan sembarang garis l pada bidang E, himpunan bagian dari E yang tidak pada l membentuk dua himpunan yang disebut bidang setengah dan garis l disebut batas dari bidang setengah.
Sebagai contoh pada Gambar 2.6.3 adalah bagian dari bidang
pada sebelah kiri atas garis l dan adalah bagian dari bidang pada sebelah kanan bawah garis l. Himpunan dan disebut bidang setengah. Seperti telah dijelaskan sebelumnya, dengan menunjukan
beberapa contoh segmen ̅̅̅̅, dan merupakan himpunan konvek.
Gambar 2.6.3 Pemisahan Bidang P Q P Q l P Q
Postulat Pemisahan Bidang atau Plane Separation Axiom (PSA)
(Moise, 1990: 74)
Diberikan suatu garis dan bidang yang memuat garis tersebut. Himpunan
semua titik pada bidang yang tidak pada garis adalah gabungan dua
himpunan berbeda sehingga :
(1) Kedua himpunan tersebut konvek
(2) Jika titik P pada salah satu himpunan dan titik Q pada himpunan yang
lain, maka segmen ̅̅̅̅ memotong garis.
Teorema 2.6.1 (Moise, 1990: 74)
Diberikan ∆ABC dan garis l. Jika l memuat titik E, dengan A-E-C, maka l
memotong ̅̅̅̅ atau ̅̅̅̅.
A C
B
E l
Bukti :
Andaikan l tidak memotong ̅̅̅̅ atau ̅̅̅̅. Maka A dan B pada pihak yang sama terhadap l dan B dan C pada pihak yang sama terhadap l. Oleh karena itu A dan C pada pihak yang sama terhadap l. Ini tidak mungkin karena A-E-C. □
Teorema 2.6.2 (Moise, 1990: 75)
Jika A dan B adalah himpunan konvek, maka juga konvek.
Bukti :
Teorema ini akan dibuktikan dengan kontradiksi. Andaikan tidak
konvek. Ambil titik-titik , , maka , dan , . ̅̅̅̅ dan ̅̅̅̅ karena A dan B konvek dan ada titik R dimana P-R-Q sehingga . Ini tidak mungkin karena A dan B konvek.
Kontradiksi. □
Definisi 2.6.3 (Moise, 1990: 76)
Andaikan E suatu bidang. Jika
seperti pada postulat pemisahan bidang, maka dan disebut pihak
yang berlawanan terhadap l.
Teorema 2.6.3 (Moise, 1990: 76)
Jika A dan B pada pihak yang berlawanan terhadap garis l dan B dan C pada pihak yang berlawanan terhadap garis l, maka A dan C pada pihak yang sama terhadap l.
Bukti :
Ambil suatu bidang E dan garis l pada E. l membagi E kedalam dua bidang setengah dan . Andaikan A pada , maka B pada karena A dan
B pada pihak yang berlawanan terhadap l. B pada , maka C pada karena B dan C pada pihak yang berlawanan terhadap l. Didapat A dan C pada , sehingga A dan C berada pada pihak yang sama terhadap l. □
A
B
C
l
Teorema 2.6.4 (Moise, 1990: 76)
Jika A dan B pada pihak yang berlawanan terhadap garis l dan B dan C pada pihak yang sama terhada l, maka A dan C pada pihak yang berlawanan terhadap l.
Bukti :
Ambil suatu bidang E dan garis l pada E. l membagi E kedalam dua bidang setengah dan . Andaikan A pada , maka B pada karena
A dan B pada pihak yang berlawanan terhadap l. B pada , maka C pada karena B dan C pada pihak yang sama terhadap l. Jadi A dan C pada pihak yang berlawanan terhadap garis l. □
Definisi 2.6.4 (Moise, 1990: 76)
Jika A-B-C, maka sinar dan disebut sinar yang berlawanan.
Gambar 2.6.6 Ilustrasi Teorema 2.6.4 A
B
C
Teorema 2.6.5 (Moise, 1990: 76)
Diberikan sebuah garis dan sinar yang memiliki titik pangkal pada garis
yang diberikan, tetapi tidak berhimpit dengan garis tersebut. Kemudian
semua titik pada sinar, kecuali titik pangkal, berada pada pihak yang sama
terhadap garis tersebut.
Bukti :
Diberikan garis l dan sinar dengan . Akan dibuktikan − berada pada pihak yang sama terhadap garis tersebut.
Andaikan memuat titik C sehingga B dan C berada pada pihak yang berlawanan terhadap l. Maka ̅̅̅̅ memotong l disuatu titik, dan titik ini harus A, karena ̅̅̅̅ terletak pada , dan memotong l hanya di A.
A B C
Gambar 2.6.7 Sinar Yang Berlawanan
Gambar 2.6.8 Ilustrasi Teorema 2.6.5 A
B
l
Oleh karena itu C-A-B. Tetapi ini tidak mungkin. Dengan Definisi 2.5.2,
sinar adalah himpunan titik C dari garis ⃡ sehingga A tidak diantara B dan C. Oleh sebab itu semua titik pada sinar, selain A, berada pada
pihak yang sama terhadap l. □
Teorema 2.6.6 (Moise, 1990: 77)
Diberikan garis l dan A titik pada l, dan B titik yang tidak pada l. Maka semua titik dari ̅̅̅̅ − berada pada pihak yang sama terhadap l.
Bukti :
Berdasarkan Teorema 2.6.5 − berada pada pihak yang sama terhadap l. Karena ̅̅̅̅ − berada pada − , maka ̅̅̅̅ − juga berada pada pihak yang sama terhadap l. □
Definisi 2.6.5 (Moise, 1990: 77)
Diberikan ∠ . Interior ∠ adalah irisan pihak ⃡ yang memuat B dan pihak ⃡ yang memuat C. Maka suatu titik D interior ∠ jika D dan B berada pada pihak yang sama dari ⃡ dan jika D dan C berada pada pihak yang sama dari ⃡ . Jadi, interior suatu sudut adalah irisan dua bidang setengah. Eksterior ∠ adalah himpunan semua titik yang tidak pada ∠ dan interior ∠ .
Teorema 2.6.7 (Moise, 1990: 78)
Setiap sisi segitiga, kecuali titik sudutnya berada di dalam interior sudut di
hadapannya.
Diberikan ∆ , ∠ = ∠ merupakan sudut dihadapan sisi ̅̅̅̅.
Bukti :
(1) Pertama gunakan Teorema 2.6.6 pada garis ⃡ dan segmen ̅̅̅̅. Didapat ̅̅̅̅ − berada pada pihak yang memuat B.
(2) Selanjutnya gunakan Teorema 2.6.6 pada garis ⃡ dan segmen ̅̅̅̅. Didapat ̅̅̅̅ − berada pada pihak ⃡ yang memuat C.
(3) Dari (1) dan (2), ̅̅̅̅ − { , } berada pada interior ∠ . □
Gambar 2.6.9 Interior dan Eksterior Sudut Interior Eksterior Eksterior A B C D A B C Gambar 2.6.10 Ilustrasi Teorema 2.6.7
Teorema 2.6.8 (Moise, 1990: 78)
Jika F berada di dalam interior ∠ , maka − berada di dalam interior ∠ .
Bukti :
(1) Dari Definisi 2.6.5, F dan B pada pihak yang sama terhadap ⃡ . Dengan Teorema 2.6.5, − berada pada pihak yang sama terhadap
⃡ yang memuat F. Oleh karena itu − terletak pada pihak yang memuat B.
(2) Dari Definisi 2.6.5, F dan C pada pihak yang sama terhadap ⃡ . Dengan Teorema 2.6.5, − berada pada pihak yang sama terhadap
⃡ yang memuat F. Oleh karena itu − terletak pada pihak yang memuat C.
Dari (1) dan (2) memenuhi bahwa − berada di dalam interior ∠ .
□
A
B
C F
Teorema 2.6.9 (Moise, 1990: 79)
Diberikan ∆ABC dan titik F,D,G sehingga B-F-C, A-C-D, dan A-F-G.
Maka G di dalam interior ∠ .
Bukti :
(1) Karena A-F-G, G berada pada ⃡ , dan A tidak di antara G dan F. Oleh karena itu G pada . Karena G ≠ A, G pada − .
(2) Dengan Teorema 2.6.7, titik F di dalam interior ∠ . Dari Teorema 2.6.8, − berada pada interior ∠ . Oleh karena itu G dan B pada pihak yang sama terhadap ⃡ (=⃡ ).
(3) A dan G pada pihak yang berlawanan terhadap ⃡ , dan A dan D pada pihak yang berlawanan terhadap ⃡ . Oleh karena itu G dan D pada pihak yang sama terhadap ⃡ .
Dari (2) dan (3), G di dalam interior ∠ . □
A C
B
D
F G
Selanjutnya akan didefinisikan interior suatu segitiga.
Definisi 2.6.6 (Moise, 1990: 80)
Interior ∆ABC didefinisikan sebagai irisan tiga himpunan berikut :
(1) Pihak ⃡ yang memuat C (2) Pihak ⃡ yang memuat B (3) Pihak ⃡ yang memuat A
Teorema 2.6.10 (Moise, 1990: 80)
Interior segitiga adalah himpunan konvek.
Bukti :
Diberikan sembarang ∆ABC. ⃡ sebagai bidang setengah yang memuat
C, ⃡ sebagai bidang setengah yang memuat B dan ⃡ sebagai bidang setengah yang memuat A. Dari Definisi 2.6.6, interior ∆ABC adalah
A
B
C Gambar 2.6.13 Interior Segitiga
⃡ ⃡ ⃡ . ⃡ , ⃡ , dan ⃡ konvek. Sehingga ⃡ ⃡
⃡ juga konvek (lihat Teorema 2.6.2). □