vii ABSTRAK
Singgih Satriyo Wicaksono, 2015. Luas pada Geometri Hiperbolik. Skripsi. Program Studi Pendidikan Matematika, Jurusan Pendidikan dan Ilmu Pengetahuan Alam, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata Dharma, Yogyakarta.
Geometri hiperbolik adalah geometri yang berdasarkan pada postulat
kesejajaran Lobachevski. Postulat tersebut berisi, “Diasumsikan suatu garis l dan
suatu titik P yang tidak pada l, paling tidak ada dua garis �′, �′′ yang memuat P dan sejajar dengan l.” Defek suatu segitiga didefinisikan sebagai 180 dikurang jumlah sudut dalam segitiga. Di dalam geometri hiperbolik jumlah sudut dalam segitiga
adalah kurang dari 180.
Dalam geometri hiperbolik, luas daerah segitiga (daerah triangular)
didefinisikan sebagai defek dari segitiga yang bersesuaian. Suatu daerah
segibanyak dapat diekspresikan sebagai gabungan daerah triangular yang terbatas
jumlahnya. Luas dearah segibanyak didefinisikan sebagai total defek suatu daerah
segibanyak, yaitu jumlah defek daerah triangular dari sembarang triangulasi
terhadap daerah segibanyak tersebut.
viii ABSTRACT
Singgih Satriyo Wicaksono, 2015. Hyperbolic Geometry Area. Thesis. Mathematics Education Study Program, Mathematics and Science Education Deparment, Faculty of Teacher Training and Education, Sanata Dharma University, Yogyakarta.
Hyperbolic geometry is geometry which depends on Lobachevski Parallel
Postulate. That postulate states, “Given a line l and a point P not on l, there are at least two lines l', l" which contain P and are parallel to l.” The defect of triangle is
defined as 180 minus the angle sum of a triangle. Under hyperbolic geometry the
angle sum of a triangle is less than 180.
In hyperbolic geometry, the area of triangle region is defined as the defect
of the corresponding triangle. Polygon region can be expressed as the union of a
finite number of triangular regions. The area of a polygon region is defined as total
defect of a polygon region, that is the sum of the defect of the triangular region of
any triangulation of that polygon region.
i
Skripsi
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan
Program Studi Pendidikan Matematika
Oleh :
Singgih Satriyo Wicaksono
NIM : 111414064
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
ii SKRIPSI
LUAS PADA GEOMETRI HIPERBOLIK
Oleh :
Singgih Satriyo Wicaksono
NIM : 111414064
Telah disetujui oleh :
Pembimbing,
iii SKRIPSI
LUAS PADA GEOMETRI HIPERBOLIK
Dipersiapkan dan ditulis oleh :
Singgih Satriyo Wicaksono
NIM : 111414064
Telah dipertahankan di depan panitia penguji
pada tanggal 29 Juli 2015
dan dinyatakan memenuhi syarat
Susunan Panitia Penguji
Nama Lengkap Tanda Tangan
Ketua : Dr. Marcellinus Andy Rudhito, S.Pd. ………...
Sekretaris : Ch. Enny Murwaningtyas, S.Si., M.Si. ………..
Anggota : 1. Drs. Sukardjono, M.Pd. ………...
2. Ch. Enny Murwaningtyas, S.Si., M.Si. ………...
3. Veronika Fitri Rianasari, M.Sc. ………...
Yogyakarta, 29 Juli 2015
Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan
Universitas Sanata Dharma
Dekan,
iv
PERSEMBAHAN
Takut akan Tuhan adalah permulaan pengetahuan.
Amsal 1 : 7
Skripsi ini untuk
Ibuku dan adikku,
vii ABSTRAK
Singgih Satriyo Wicaksono, 2015. Luas pada Geometri Hiperbolik. Skripsi. Program Studi Pendidikan Matematika, Jurusan Pendidikan dan Ilmu Pengetahuan Alam, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata Dharma, Yogyakarta.
Geometri hiperbolik adalah geometri yang berdasarkan pada postulat
kesejajaran Lobachevski. Postulat tersebut berisi, “Diasumsikan suatu garis l dan
suatu titik P yang tidak pada l, paling tidak ada dua garis ′, ′′ yang memuat P dan sejajar dengan l.” Defek suatu segitiga didefinisikan sebagai 180 dikurang jumlah sudut dalam segitiga. Di dalam geometri hiperbolik jumlah sudut dalam segitiga
adalah kurang dari 180.
Dalam geometri hiperbolik, luas daerah segitiga (daerah triangular)
didefinisikan sebagai defek dari segitiga yang bersesuaian. Suatu daerah
segibanyak dapat diekspresikan sebagai gabungan daerah triangular yang terbatas
jumlahnya. Luas dearah segibanyak didefinisikan sebagai total defek suatu daerah
segibanyak, yaitu jumlah defek daerah triangular dari sembarang triangulasi
terhadap daerah segibanyak tersebut.
viii ABSTRACT
Singgih Satriyo Wicaksono, 2015. Hyperbolic Geometry Area. Thesis. Mathematics Education Study Program, Mathematics and Science Education Deparment, Faculty of Teacher Training and Education, Sanata Dharma University, Yogyakarta.
Hyperbolic geometry is geometry which depends on Lobachevski Parallel
Postulate. That postulate states, “Given a line l and a point P not on l, there are at least two lines l', l" which contain P and are parallel to l.” The defect of triangle is
defined as 180 minus the angle sum of a triangle. Under hyperbolic geometry the
angle sum of a triangle is less than 180.
In hyperbolic geometry, the area of triangle region is defined as the defect
of the corresponding triangle. Polygon region can be expressed as the union of a
finite number of triangular regions. The area of a polygon region is defined as
total defect of a polygon region, that is the sum of the defect of the triangular
region of any triangulation of that polygon region.
ix
KATA PENGANTAR
Segala puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa,
karena atas berkat dan karuniaNya penulis dapat menyelesaikan skripsi yang
berjudul “Luas pada Geometri Hiperbolik” ini.
Banyak tantangan dan hambatan yang penulis temui selama proses
menyelesaikan skripsi ini. Namun penulis bersyukur dapat melaluinya. Dukungan,
bantuan, dan doa dari banyak pihak telah menjadikan penulis tetap bersemangat
dalam menyelesaikan skripsi ini. Untuk itu pada kesempatan kali ini penulis
dengan sepenuh hati ingin mengucapkan terima kasih kepada beberapa pihak,
diantaranya:
banyak memberikan masukan dan nasihat kepada penulis selama
menyusun skripsi.
4. Ibu V. Fitri Rianasari, S.Pd, M.Sc. selaku dosen pembimbing akademik
yang telah banyak membimbing dan memberikan perhatian kepada
x
5. Ibu Ch. Enny Murwaningtyas, S.Si., M.Sc. selaku dosen penguji yang
telah banyak memberikan masukan dan kritik yang membangun sehingga
skripsi ini menjadi lebih baik.
6. Seluruh dosen Pendidikan Matematika yang telah memberikan ilmu
selama penulis berkuliah di Universitas Sanata Dharma.
7. Seluruh staf sekretariat JPMIPA, Ibu Tari, Bapak Sugeng, Mas Arif, dan
Mas Made yang telah banyak membantu memberikan pelayanan
kesekretariatan selama ini.
8. Ibuku dan adikku Cahyo yang selalu mendukung, memberikan semangat,
serta selalu berdoa untukku.
9. Keluarga Pakde Mulyana yang telah memberi banyak bantuan dan
dukungan selama penulis kuliah. Juga mas Ony dan mas Anto yang
banyak memberi bimbingan dan bantuan.
10.Keluarga Bapak Mattew Warren dan Ibu Selvi Kastanya yang telah
banyak sekali membantu dan membimbing penulis selama kuliah.
11.Teman seperjuangan Pilipus Neri Agustima, yang telah banyak membantu
penulis. Teman bertukar pikiran, teman main dota, teman yang baik dan
juga menginspirasi.
12.Teman-teman Pendidikan Matematika angkatan 2011 dan teman-teman
bimbingan Bapak Sukardjono yang selalu memberikan semangat, juga
sebagai tempat berbagi suka duka mengerjakan skripsi.
13.Teman-teman PMK Oikumene. Trimakasih atas kesaksian-kesaksian yang
xi
14.Teman-teman Youth GBI Bethesda atas segala canda tawa dan semangat
yang diberikan kepada penulis. Juga buat Kak Eva, pendengar yang baik
untuk cerita-cerita penulis.
15.Semua pihak yang telah membantu dan tidak dapat disebutkan satu
persatu.
Semoga tulisan ini dapat memberikan manfaat dan wawasan lebih kepada
setiap pembaca. Tuhan memberkati.
Yogyakarta, 29 Juli 2015
xii DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ... i
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ... ii
HALAMAN PENGESAHAN ... iii
HALAMAN PERSEMBAHAN ... iv
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ... v
PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH ... vi
ABSTRAK ... vii
1.7 Sistematika Penulisan ... 4
BAB II ... 6
LANDASAN TEORI ... 6
2.1 Pengenalan Geometri Non-Euclid ... 6
2.2 Geometri Insiden ... 8
2.3 Fungsi Jarak ... 11
2.4 Keantaraan ... 13
xiii
2.6 Kekonvekan dan Pemisahan ... 31
2.7 Kekontinuan ... 44
2.8 Ukuran Sudut ... 47
2.9 Postulat Luas ... 51
2.10 Sudut Luar Segitiga dan Konsekuensinya ... 55
2.11 Segiempat Saccheri dan Jumlah Sudut dalam Segitiga ... 62
2.12 Fungsi Kritis ... 67
BAB III ... 75
LUAS PADA GEOMETRI HIPERBOLIK ... 75
3.1 Jumlah Sudut dalam Segitiga pada Geometri Hiperbolik ... 75
3.2 Defek Segitiga ... 82
3.3 Triangulasi dan Subdivisi ... 90
3.4 Defek Daerah Segibanyak ... 97
BAB IV ... 115
PENUTUP ... 115
4.1 Kesimpulan ... 115
4.2 Saran ... 116
xiv
DAFTAR SIMBOL
: himpunan semua titik
ℒ : himpunan garis-garis
� : himpunan bidang-bidang
ℝ : himpunan bilangan real
ℛ : himpunan daerah segibanyak
xv
~ : sebangun
≅ : kongruen
: gabungan
: irisan
: elemen atau anggota
∞ : tak hingga
sup : supremum
xvi
DAFTAR GAMBAR
Gambar 2.2.1 Garis ... 9
Gambar 2.2.2 Segmen Garis ... 9
Gambar 2.2.3 Sinar Garis ... 9
Gambar 2.3.1 Garis Bilangan I ... 11
Gambar 2.4.1 Keantaraan I ... 13
Gambar 2.4.2 Keantaraan II ... 13
Gambar 2.4.3 Garis Bilangan II... 17
Gambar 2.4.4 Ilustrasi Teorema 2.4.6 ... 19
Gambar 2.5.1 Segmen Garis ... 19
Gambar 2.5.2 Sinar Garis ... 20
Gambar 2.5.3 Sudut ... 20
Gambar 2.5.4 Segitiga ... 21
Gambar 2.5.5 Sudut-sudut Berpotongan ... 22
Gambar 2.5.6 Ilustrasi Teorema 2.5.2 ... 23
Gambar 2.5.7 Ilustrasi I Teorema 2.5.3 ... 25
Gambar 2.5.8 Ilustrasi II Teorema 2.5.3 ... 25
Gambar 2.5.9 Ilustrasi III Teorema 2.5.3 ... 26
Gambar 2.5.10 Sudut Yang Sama ... 27
Gambar 2.5.11 Ilustrasi I Teorema 2.5.5 ... 29
Gambar 2.5.12 Ilustrasi II Teorema 2.5.5... 30
Gambar 2.6.1 Himpunan Konvek ... 31
Gambar 2.6.2 Himpunan Tidak Konvek ... 32
Gambar 2.6.3 Pemisahan Bidang ... 33
Gambar 2.6.4 Ilustrasi Teorema 2.6.1 ... 34
Gambar 2.6.5 Ilustrasi Teorema 2.6.3 ... 36
Gambar 2.6.6 Ilustrasi Teorema 2.6.4 ... 37
xvii
Gambar 2.6.8 Ilustrasi Teorema 2.6.5 ... 38
Gambar 2.6.9 Interior dan Eksterior Sudut... 40
Gambar 2.6.10 Ilustrasi Teorema 2.6.7 ... 40
Gambar 2.6.11 Ilustrasi Teorema 2.6.8 ... 41
Gambar 2.6.12 Ilustrasi Teorema 2.6.9 ... 42
Gambar 2.6.13 Interior Segitiga ... 43
Gambar 2.7.1 Ilustrasi Teorema 2.7.1 ... 44
Gambar 2.7.2 Ilustrasi Teorema 2.7.2 ... 45
Gambar 2.7.3 Teorema Crossbar ... 46
Gambar 2.8.1 Ukuran Sudut I ... 47
Gambar 2.8.2 Ukuran Sudut II ... 48
Gambar 2.8.3 Pembentukan Sudut ... 49
Gambar 2.8.4 Pembentukan Sudut ... 49
Gambar 2.8.5 Dua Sudut Membentuk Pasangan Linear ... 50
Gambar 2.8.6 Dua Sudut Berpelurus ... 50
Gambar 2.9.1 Daerah Triangular ... 51
Gambar 2.9.2 Daerah Segibanyak ... 51
Gambar 2.9.3 Pembagian Daerah Jajargenjang ... 52
Gambar 2.9.4 Postulat Penjumlahan ... 54
Gambar 2.9.5 Triangulasi ... 54
Gambar 2.10.1 Ilustrasi I Teorema 2.10.1 ... 55
Gambar 2.10.2 Ilustrasi II Teorema 2.10.1... 56
Gambar 2.10.3 Ilustrasi Teorema 2.10.2 ... 57
Gambar 2.10.4 Ilustrasi Teorema 2.10.3 ... 58
Gambar 2.10.5 Ilustrasi I Teorema 2.10.4 ... 59
Gambar 2.10.6 Ilustrasi II Teorema 2.10.4... 59
Gambar 2.10.7 Ilustrasi Teorema 2.10.5 ... 60
Gambar 2.11.1 Segiempat Saccheri I ... 62
Gambar 2.11.2 Segiempat Saccheri II ... 63
Gambar 2.11.3 Segiempat Saccheri III ... 64
xviii
Gambar 2.11.5 Ilustrasi Teorema 2.11.4 ... 66
Gambar 2.12.1 Supremum dan Infimum ... 67
Gambar 2.12.2 Garis Sejajar Pada Geometri Hiperbolik ... 69
Gambar 2.12.3 Fungsi Kritis ... 70
Gambar 2.12.4 Ilustrasi Teorema 2.12.1 ... 71
Gambar 2.12.5 Ilustrasi Teorema 2.12.2 ... 72
Gambar 3.1.1 Segitiga Terbuka ... 76
Gambar 3.1.2 Segitiga Asimtotik ... 77
Gambar 3.1.3 Ilustrasi Teorema 3.1.1 ... 77
Gambar 3.1.4 Segiempat Saccheri IV ... 79
Gambar 3.1.5 Jumlah Sudut Dalam Segitiga Siku-siku Pada Geometri Hiperbolik ... 80
Gambar 3.1.6 Jumlah Sudut Dalam Segitiga Pada Geometri Hiperbolik ... 81
Gambar 3.2.1 Ilustrasi Teorema 3.2.1 ... 82
Gambar 3.2.2 Segitiga Kongruen Pada Geometri Hiperbolik ... 83
Gambar 3.2.3 Ilustrasi I Teorema 3.2.3 ... 85
Gambar 3.2.4 Ilustrasi II Teorema 3.2.3 ... 85
Gambar 3.2.5 Ilustrasi I Teorema 3.2.4 ... 87
Gambar 3.2.6 Ilustrasi II Teorema 3.2.4 ... 88
Gambar 3.3.1 Segibanyak Konvek ... 91
Gambar 3.3.2 Triangulasi Bintang ... 92
Gambar 3.3.3 Ilustrasi Teorema 3.3.1 ... 93
Gambar 3.3.4 Ilustrasi I Teorema 3.3.2 ... 94
Gambar 3.3.5 Ilustrasi II Teorema 3.3.2 ... 95
Gambar 3.3.6 Ilustrasi III Teorema 3.3..2 ... 95
Gambar 3.3.7 Segibanyak Yang Ekuivalen ... 96
Gambar 3.4.1 Segitiga ... 97
Gambar 3.4.2 Jumlah Defek Triangulasi Bintang ... 99
Gambar 3.4.3 Triangulasi Bintang Daerah Segibanyak ... 101
Gambar 3.4.4 Triangulasi Batas ... 102
xix
Gambar 3.4.6 Ilustrasi II Teorema 3.4.3 ... 104
Gambar 3.4.7 Ilustrasi I Teorema 3.4.4 ... 106
Gambar 3.4.8 Ilustrasi II Teorema 3.4.4 ... 108
1 mulanya, geometri adalah ilmu yang digunakan untuk mengukur lahan
pertanian. Sejarahwan Yunani, Herodotus (5 tahun sebelum masehi),
mengatakan orang-orang Mesir lah yang pertama kali menggunakan
subjek geometri, tetapi negara-negara kuno lain (Babylonia, India, Cina)
juga mempunyai beberapa informasi geometri (Greenberg, 1980 : 5).
Selama lebih dari 2000 tahun, “Elements” buku yang ditulis oleh
Euclid sekitar 300 tahun sebelum masehi dianggap sebagai model dari
penalaran matematika. Sampai abad ke-20, buku Euclid ini masih menjadi
dasar pembelajaran geometri di sekolah-sekolah. Geometri Euclid ini
mengandung postulat kesejajaran (parallel postulate) yang merupakan postulat terakhir dari lima postulat yang ada dalam geometri Euclid.
Beberapa matematikawan menganggap postulat kesejajaran ini tidak
sederhana dan mencoba membuktikannya. Beberapa matematikawan yang
mencoba membuktikan postulat kesejajaran Euclid adalah Proclus
(410-485), John Wallis (1616-1703), dan Girolamo Saccheri (1667-1733).
Namun usaha ini tidak berhasil. Kegagalan dalam 20 abad akhirnya
pada 1830 J. Bolyai (1802-1860), seorang staf angkatan darat Hungaria,
N.I. Lobachevsky (1793-1856), seorang Profesor matematika Rusia pada
Universitas Kazan, dan sang agung Gauss sendiri telah mengembangkan
secara independen teori geometri berdasarkan kontradiksi postulat
kesejajaran Euclid (Prenowitz & Jordan, 1965: 53). Kemudian geometri
ini dinamakan geometri hiperbolik.
Area atau luas dalam geometri Euclid dinyatakan dalam
banyaknya persegi satuan yang tepat menimpa suatu bangun. Prosedur ini
tidak dapat diterapkan dalam geometri hiperbolik karena dalam geometri
hiperbolik tidak terdapat persegi. Lalu bagaimana menyatakan ukuran luas
dalam geometri hiperbolik? Selama ini geometri yang telah dipelajari oleh
penulis merupakan geometri Euclid. Oleh karena itu penulis ingin
mengetahui geometri Non-Euclid terutama luas pada geometri hiperbolik.
1.2 Rumusan Masalah
1. Apa yang dimaksud geometri hiperbolik?
2. Bagaimana nilai defek segitiga dan segibanyak pada geometri
hiperbolik?
1.3 Batasan Masalah
Luas yang dibahas dalam skripsi ini adalah luas dalam geometri
hiperbolik.
1.4 Tujuan Penelitian
Penelitian ini bertujuan untuk :
1. Untuk mengetahui definisi geometri hiperbolik.
2. Untuk mengetahui nilai defek segitiga dan segibanyak pada
geometri hiperbolik.
3. Untuk mengetahui luas segitiga dan segibanyak pada geometri
hiperbolik.
1.5 Manfaat Penelitian
Manfaat yang dapat diambil dari penelitian ini adalah sebagai berikut :
1. Bagi Pembaca
Pembaca dapat menambah pengetahuan mengenai geometri
hiperbolik dan luas pada geometri hiperbolik.
2. Bagi Penulis
Penulis dapat menambah pengetahuan mengenai geometri
hiperbolik dan luas pada geometri hiperbolik.
3. Bagi Universitas
Universitas dapat menambah koleksi skripsi dalam bidang
1.6 Metode Penelitian
Metode penelitian yang digunakan dalam skripsi ini adalah metode
studi pustaka, yaitu dengan membaca referensi-referensi mengenai
geometri hiperbolik. Pembahasan dalam skripsi ini banyak mengacu pada
buku Elementary Geometry from an Advanced Standpoint Third Edition, karangan Edwin E. Moise (1990) dan buku Geometry : A Metric Approach with Model Second Edition, karangan Richard S. Milman dan George D. Parker (1991).
Langkah-Langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah:
1. Membaca berbagai referensi mengenai topik geometri hiperbolik.
2. Menyajikan kembali definisi-definisi serta teorema-teorema yang
menjadi dasar dalam mempelajari geometri hiperbolik, khususnya
dalam skripsi ini mengenai luas dalam geometri hiperbolik.
3. Menyusun seluruh materi yang telah dikumpulkan secara runtut
agar memudahkan pembaca dalam memahaminya.
1.7 Sistematika Penulisan
Bab pertama berupa pendahuluan. Pendahuluan ini berisi tentang
latar belakang, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan, manfaat,
metode penelitian, dan sistematika penulisan.
Bab dua berisi tentang dasar-dasar yang akan digunakan dalam
postulat-postulat dan definisi-definisi dasar dalam geometri yang
terangkum dalam materi geometri insiden, fungsi jarak, segmen, sinar,
sudut, dan segitiga, ukuran sudut, dan postulat luas. Kemudian dibahas
mengenai keantaraan, kekonvekkan dan pemisahan, serta kekontinuan
yang akan banyak digunakan dalam membahas materi selanjutnya.
Selanjutnya diberikan materi mengenai jumlah sudut dalam segitiga pada
geometri hiperbolik yang terangkum dalam materi sudut luar segitiga dan
konsekuensinya, segiempat Saccheri dan jumlah sudut dalam segitiga, dan
fungsi kritis.
Bab tiga membahas mengenai luas pada geometri hiperbolik.
Materi-materi yang disajikan adalah jumlah sudut dalam segitiga pada
geometri hiperbolik, defek segitiga, triangulasi dan subdivisi, dan defek
segibanyak.
Bab empat berisi kesimpulan dari pembahsan pada bab tiga serta
saran yang diberikan penulis kepada pembaca yang ingin melanjutkan
6 BAB II
LANDASAN TEORI
2.1 Pengenalan Geometri Non-Euclid
Sub bab ini berisi sejarah singkat penemuan geometri hiperbolik
(geometri Lobachevsky) dan geometri Eliptik (geometri Riemann) yang
termasuk dalam geometri non-Euclid. Selama lebih dari 2000 tahun,
“Elements” buku yang ditulis oleh Euclid sekitar 300 tahun sebelum
masehi dianggap sebagai model dari penalaran matematika. Buku yang
ditulis Euclid ini mengandung lima postulat. Postulat yang kelima disebut
postulat kesejajaran (kemudian disebut postulat kesejajaran Euclid).
Dalam kurun waktu yang lama matematikawan percaya bahwa geometri
Euclid merupakan satu-satunya teori ruang yang mungkin dan
mendeskripsikan secara tepat dunia nyata. Tetapi ketika posisi dari
geometri Euclid dikritisi oleh penemuan geometri non-Euclid pada abad
sembilan belas, para matematikawan mulai tergoncang. Sebuah revolusi
pada matematika terjadi, sebanding dengan revolusi Copernicus pada
astronomi dan revolusi Darwin pada biologi.
Sebelum ditemukannya geometri non-Euclid, ada beberapa
matematikawan yang menganggap bahwa postulat kesejajaran Euclid tidak
sederhana dan mencoba membuktikannya. Beberapa matematikawan yang
mencoba membuktikan postulat kesejajaran Euclid adalah Proclus
Namun usaha ini tidak berhasil. Kegagalan dalam setiap usaha pembuktian
postulat kesejajaran Euclid pada akhirnya menuntun pada kesadaran
bahwa postulat kesejajaran tersebut tidak pasti, dan dimungkinkan adanya
teori lain dari geometri. Teori yang lain tersebut dinamakan geometri
non-Euclid, yaitu teori yang tidak berdasarkan pada posulat kesejajaran Euclid.
Kegagalan dalam 20 abad akhirnya memicu sebuah pencetusan
keraguan pemikiran matematikawan sehingga pada 1830 J. Bolyai
(1802-1860), seorang staf angkatan darat Hungaria, N.I. Lobachevsky
(1793-1856), seorang Profesor matematika Rusia pada Universitas Kazan, dan
sang agung Gauss sendiri telah mengembangkan secara independen teori
geometri berdasarkan kontradiksi postulat kesejajaran Euclid (Prenowitz &
Jordan, 1965: 53). Kemudian geometri ini dinamakan geometri hiperbolik.
Bolyai dan Lobachevsky berhasil menyaingi postulat kesejajaran
Euclid. Kemudian matematikawan meniru untuk membangun teori
geometri non-Euclid lainnya. Selanjutnya, pada 1854, seorang
matematikawan Jerman B. Riemann memperkenalkan teori non-Euclid
yang berbeda dari geometri hiperbolik berdasarkan pada asumsi bahwa
tidak ada garis yang sejajar. Kemudian geometri Riemann ini dinamakan
geometri eliptik.
Geometri Euclid, geometri hiperbolik, dan geometri eliptik
merupakan teori-teori geometri yang berbeda. Ketiga geometri ini berdasar
geometri eliptik termasuk dalam geometri non-Euclid karena postulat
kesejajarannya tidak berdasarkan pada postulat kesejajaran Euclid.
2.2 Geometri Insiden
Menurut Prenowitz dan Jordan (1965: 119), insiden merupakan
suatu relasi geometri yang paling dasar. Sebagai contoh diberikan relasi
insiden dengan pernyataan berikut, “Sebuah titik terletak pada sebuah
garis,” yang ekuivalen dengan “Sebuah garis melalui suatu titik.”
Pernyataan lain yang mengekspresikan relasi insiden adalah, “Sebuah titik
pada sebuah bidang”, “Sebuah garis pada sebuah bidang”, “Dua garis
berpotongan.” Jadi relasi insiden mengekpresikan keterkaitan posisi antara
titik, garis, dan bidang.
Ruang (space) akan dianggap sebagai himpunan , adalah himpunan semua titik pada ruang. Selanjutnya diberikan himpunan bagian
dari , yang disebut garis-garis (lines) dinyatakan dengan ℒ, dan
himpunan bagian dari yang disebut bidang-bidang (planes) dinyatakan dengan �. Maka anggota dari , ℒ, dan � berturut-turut disebut titik-titik,
garis-garis, dan bidang-bidang.
Titik, garis, dan bidang tidak didefinisikan.
Suatu garis akan memanjang sampai tak hingga pada kedua
Tanda panah mengindikasikan bahwa walaupun garis digambar
terbatas dengan panjang tertentu, namun garis tetap memanjang sampai tak
hingga.
Selanjutnya akan dibahas tentang segmen atau ruas garis, yang
dapat digambarkan sebagai berikut :
Suatu Segmen dengan titik pangkal P dan Q, seperti Gambar 2.2.2
dilambangkan dengan ̅̅̅̅.
Suatu segmen diperpanjang sampai tak hingga hanya pada salah
satu arah disebut sinar, dan dapat digambarkan seperti berikut :
Suatu sinar dengan titik pangkal P dan melalui ̅̅̅̅, seperti Gambar
2.2.3 dilambangkan dengan . Segmen dan sinar akan dibahas lebih
lanjut pada sub bab 2.5.
Berikut akan dijelaskan postulat geometri insiden (Moise, 1990: 44).
Gambar 2.2.1 Garis
Gambar 2.2.3 Sinar Garis
P Q
P Q
I-0 Semua garis dan bidang adalah himpunan dari titik-titik.
Jika suatu garis l adalah himpunan bagian dari suatu bidang E, maka dikatakan l berada pada E. Jika titik P himpunan bagian dari suatu garis l, maka dikatakan P pada l atau l melalui P. Jika P himpunan bagian dari E, maka dikatakan P pada E atau E melalui P.
Definisi 2.2.1 (Moise, 1990: 44)
Titik-titik yang berada pada satu garis disebut kolinear, dan titik-titik yang
berada pada satu bidang disebut koplanar.
I-1 Diberikan sembarang dua titik berbeda, ada tepat satu garis yang
memuat dua titik tersebut.
Jika titik-titik tersebut adalah P dan Q, maka garis yang memuat
titik-titik tersebut dilambangkan dengan ⃡ .
I-2 Diberikan sembarang tiga titik non kolinear berbeda, ada tepat satu
bidang yang memuat titik-titik tersebut.
I-3 Jika dua titik berada pada suatu bidang, maka garis yang memuat
titik-titik tersebut berada pada bidang yang sama.
I-4 Jika dua bidang berpotongan, maka perpotongannya adalah suatu
2.3 Fungsi Jarak
Setiap pasang titik akan berkorespodensi dengan suatu bilangan
real yang disebut jarak antara kedua titik tersebut. Diperlukan suatu fungsi
jarak d, yang tergantung pada postulat berikut (Moise, 1990: 56):
D-0 d adalah suatu fungsi
d : × → ℝ.
D-1 Untuk setiap P, Q, , .
D-2 , = jika dan hanya jika P = Q.
D-3 , = , untuk setiap P dan Q.
Selanjutnya agar lebih ringkas , akan ditulis dengan PQ.
Penandaan titik pada suatu garis dengan bilangan-bilangan dapat
diterapkan seperti penandaan titik pada sumbu-x dalam geometri analitik.
Jika ini dilakukan, akan didapat korespodensi satu-satu
: ↔ ℝ
Gambar 2.3.1 Garis Bilangan I
-1 0 1
P R Q
diantara titik-titik pada dan bilangan real. Jika = , maka x disebut
sebagai koordinat titik P. Pada Gambar 2.3.1 koordinat P, Q, R, dan T
adalah 0, , 1, dan .
Selanjutnya akan dijelaskan jarak antara dua titik.
Definisi 2.3.1 (Moise, 1990: 58)
Diberikan
: ↔ ℝ
adalah korespondensi satu-satu diantara suatu garis dan bilangan real.
Untuk semua titik-titik A, B pada , didapat
= | − |,
Kemudian f adalah suatu sistem koordinat untuk . Untuk setiap titik A pada , bilangan = disebut koordinat titik A.
Sebagai contoh diberikan titik A dan B, sehingga = dan =
− . Tentukan AB !
Jawab :
= | − − |
= | |
=
D-4 Postulat aturan (The Ruler Postulate).
Setiap garis memiliki sistem koordinat.
2.4 Keantaraan
Titik B dikatakan berada diantara A dan C pada garis l jika titik-titik tersebut pada kondisi seperti ini :
atau seperti ini :
Gambar 2.4.1 Keantaraan I
A B C
Gambar 2.4.2 Keantaraan II
Definisi 2.4.1 (Moise, 1990: 60)
Diberikan A, B, dan C adalah tiga titik berbeda yang kolinear. Jika
+ = ,
maka B diantara A dan C. Kemudian ini dilambangkan dengan A-B-C.
Teorema 2.4.1 (Moise, 1990: 60)
Jika A-B-C, maka C-B-A.
Bukti :
+ = +
= +
=
=
Didapat bahwa + = .
Jika + = , maka + = .
Lema 2.4.2 (Moise, 1990: 61)
Diberikan suatu garis l dengan sistem koordinat f dan tiga titik berbeda A, B, dan C pada l dengan koordinat berturut-turut x, y, dan z. Jika x-y-z, maka A-B-C.
Bukti :
(1) Jika < < , maka
= | − | = −
Karena − > . Untuk alasan yang sama
= | − | = −
dan
= | − | = − .
Oleh karena itu
+ = − + −
= −
= | − |
=
Sehingga A-B-C
(2) Jika < < . Dengan cara yang sama seperti (1) didapat C-B-A.
Teorema 2.4.3 (Moise, 1990: 61)
Sembarang tiga titik berbeda pada suatu garis, ada tepat satu titik berada
diantara dua titik yang lain.
Bukti :
(1) Diberikan f sistem koordinat untuk suatu garis dan x, y, z adalah koordinat titik-titik A , B, dan C. Satu dari bilangan x, y, dan z berada
diantara dua yang lain. Dengan Lema 2.4.2, ini berarti titik A, B, atau
C berada diantara dua titik yang lain.
(2) Akan dibuktikan bahwa jika A-B-C, maka tidak ada diantara dua
kondisi B-A-C dan A-C-B yang terpenuhi. Jika B-A-C, maka
+ = .
Sehingga AB = 0. Ini tidak mungkin, sebab A ≠ B.
Pembuktian untuk A-C-B tidak terpenuhi sama seperti
Teorema 2.4.4 (Moise, 1990: 63)
Jika A dan B sembarang dua titik, A ≠ B, maka (1) ada titik C sehingga A
-B-C dan (2) ada titik D sehingga A-D-B.
Bukti :
Ambil suatu sistem koordinat f untuk suatu garis ⃡ yang memuat A dan B.
Andaikan x, y koordinat titik A dan B, dengan x < y. Diberikan
= − + .
Maka A-B-C, karena < < + .
Selanjutnya, diberikan
= − ( + )
Sebab x < y, maka
< + <
sehingga
Gambar 2.4.3 Garis Bilangan II
A D B
+
C
< + <
Jadi A-D-B. □
Teorema 2.4.5 (Moise, 1990: 63)
Jika A-B-C, maka A, B, dan C adalah tiga titik berbeda pada garis yang
sama.
Bukti :
Berdasarkan Definisi 2.4.1, titik A, B, dan C adalah tiga titik berbeda. □
Teorema 2.4.6
Jika A-B-C dan A-C-D, maka A-B-D.
Bukti :
Ambil a, b, c, d berturut-turut sebagai koordinat titik A, B, C, dan D.
Karena A-B-C maka a < b < c atau c < b < a. Karena A-C-D, maka a <
c < d atau d < c < a.
Dari A-B-C dapat dipilih salah satu dari kondisi a < b < c atau c < b < a.
Ambil a < b < c, didapat a < c. Dari A-C-D, kondisi d < c < a akan
Telah diambil a < b < c dan a < c < d, sehingga didapat a < b < c < d.
Akibatnya a < b < d. Berdasarkan Lema 2.4.2 karena a-b-d, maka A-B-D.□
2.5 Segmen, Sinar, Sudut, dan Segitiga
Definisi 2.5.1 (Moise, 1990: 64)
Jika A dan B adalah dua titik, maka segmen ̅̅̅̅ adalah himpunan yang
memuat A dan B, bersama dengan semua titik diantara A dan B.
Definisi 2.5.2 (Moise, 1990: 65)
Sinar didefinisikan sebagai himpunan semua titik C pada garis ⃡
sehingga A tidak diantara B dan C. Sinar juga dapat didefinisikan
Gambar 2.5.1 Segmen Garis
A B
̅̅̅̅ ⃡
A B C D
sebagai gabungan dari (1) segmen ̅̅̅̅ dan (2) himpunan semua titik C
sehingga A-B-C. Titik A disebut titik pangkal dari sinar .
Definisi 2.5.3 (Moise, 1990: 65)
Sudut adalah gabungan dari dua sinar yang memiliki titik pangkal yang
sama, tetapi dua sinar tersebut tidak pada garis yang sama. Jika suatu sudut
adalah gabungan dari dan , maka sinar-sinar tersebut disebut sisi
dari sudut. Titik A disebut titik sudut. Sudut tersebut disimbolkan dengan
∠ . Catatan ∠ = ∠ .
Gambar 2.5.3 Sudut A
B
C
A B
Definisi 2.5.4 (Moise, 1990: 65)
Jika A, B, dan C adalah tiga titik yang tidak segaris, maka himpunan
̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅
disebut segitiga.
Segmen ̅̅̅̅, ̅̅̅̅, dan ̅̅̅̅ disebut sisi. Titik A, B, dan C disebut
titik sudut. Segitiga dengan titik sudut A, B, dan C dilambangkan dengan
∆ABC.
Sudut-sudut ∆ adalah ∠ , ∠ , dan ∠ . Tetapi ∆
tidak memuat ketiga sudut tersebut, karena sisi suatu sudut adalah sinar
dan sisi segitiga adalah segmen. Jika semua sudut digambar, maka
gambarnya akan terlihat seperti gambar berikut.
A B
C
̅̅̅̅
̅̅̅̅ ̅̅̅̅
Teorema 2.5.1 (Moise, 1990: 66)
Diberikan titik A dan titik B sembarang titik yang berbeda, maka ̅̅̅̅ =
̅̅̅̅.
Bukti :
Diketahui A dan B sembarang titik berbeda. Dari Definisi 2.5.1, segmen
̅̅̅̅ adalah himpunan titik A dan titik B, bersama dengan semua titik X,
sehingga A-X-B. Dapat ditulis ̅̅̅̅ = {A B X′ | X′ adalah himpunan
semua titik X sehingga A-X-B}
Segmen ̅̅̅̅ adalah himpunan titik B dan titik A, bersama dengan semua
titik X, sehingga B-X-A. Dapat ditulis ̅̅̅̅ = {B A X′ | X′ adalah
himpunan semua titik X sehingga B-X-A}
Teorema 2.4.1 menjamin bahwa untuk setiap titik X, jika A-X-B maka
B-X-A. Sehingga,
̅̅̅̅ = {B A X′ | X′ adalah himpunan semua titik X sehingga B-X-A}
Gambar 2.5.5 Sudut-sudut Berpotongan A
= {A B X′ | X′ adalah himpunan semua titik X sehingga A-X-B}
= ̅̅̅̅ □
Teorema 2.5.2
Jika A-B-C, maka ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ = ̅̅̅̅.
Bukti :
Dari Definisi 2.5.1, ̅̅̅̅ adalah himpunan titik A dan C, bersama dengan
semua titik di antara A dan C. Dapat ditulis ̅̅̅̅ = { A C Z′ | Z′ adalah
himpunan semua titik Z sehingga A-Z-C}.
Diketahui A-B-C. Dari Definisi 2.4.1, A, B, dan C adalah titik-titik yang
kolinear. Dari Teorema 2.4.4 dapat diambil titik X dan Y sehingga A-X-B
dan B-Y-C.
̅̅̅̅ = {A B X′ | X′ adalah himpunan semua titik X sehingga A-X-B}
̅̅̅̅ = {B C Y′ | Y′ adalah himpunan semua titik Y sehingga B-Y-C}
Diketahui A-B-C dan A-X-B, sehingga berdasarkan pada Teorema 2.4.6
didapat A-X-C untuk setiap X.
Gambar 2.5.6 Ilustrasi Teorema 2.5.2
A B C
Diketahui A-B-C dan B-Y-C, sehingga berdasarkan pada Teorema 2.4.6
didapat A-Y-C untuk setiap Y.
Oleh karena itu setiap anggota dari X′ dan Y′ berada diantara A dan C,
sehingga X′ dan Y′ merupakan anggota dari Z′. Sehingga Z′ = {X′ Y′ B
| X′ adalah himpunan semua titik X sehingga A-X-B, Y′ adalah himpunan
semua titik Y sehingga B-Y-C }.
̅̅̅̅ ̅̅̅̅ = { A B C X′ Y′ | X′ adalah himpunan semua titik X
sehingga A-X-B, Y′ adalah himpunan semua titik Y
sehingga B-Y-C }
= { A C Z′ | Z′ adalah himpunan semua titik Z sehingga
A-Z-C}
= ̅̅̅̅ □
Teorema 2.5.3 (Moise, 1990: 66)
Jika C adalah titik pada , C ≠ A, maka = .
Bukti :
Dari Definisi 2.5.2, sinar adalah gabungan dari segmen ̅̅̅̅ dan
himpunan semua titik Q sehingga A-B-Q. Dapat ditulis = {̅̅̅̅ Q′ |
Jika B = C, maka dan adalah himpunan yang sama, sehingga =
. Selanjutnya akan diambil B ≠ C. Dari Teorema 2.4.4 dapat diambil
titik C sehingga A-C-B dan A-B-C.
Untuk kondisi A-C-B, dari Teorema 2.5.2 didapat ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ = ̅̅̅̅. Sinar
adalah gabungan dari segmen ̅̅̅̅ dan himpunan semua titik R
sehingga A-C-R. Dapat ditulis = {̅̅̅̅ R′ | R′ adalah himpunan semua
titik R sehingga A-C-R}.
Ambil titik S sembarang titik pada ̅̅̅̅ − . Setiap titik S memenuhi
A-C-S, sehingga ̅̅̅̅ − .
Untuk setiap Q Q′, A-C-B dan A-B-Q, maka A-C-Q (Teorema 2.4.6),
sehingga Q′ .
̅̅̅̅ ̅̅̅̅ − dan ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ merupakan himpunan yang sama, sehingga
̅̅̅̅ ̅̅̅̅ − = ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ = ̅̅̅̅.
A B Q
Gambar 2.5.7 Ilustrasi I Teorema 2.5.3
Gambar 2.5.8 Ilustrasi II Teorema 2.5.3
Sehingga = {̅̅̅̅ ̅̅̅̅ Q′ | Q′ adalah himpunan semua titik Q
sehingga A-B-Q}
= {̅̅̅̅ Q′ | Q′ adalah himpunan semua titik Q sehingga
A-B-Q}
=
Untuk kondisi A-B-C, dengan Teorema 2.5.2 didapat ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ = ̅̅̅̅.
Sinar = {̅̅̅̅ T′ | T′ adalah himpunan semua titik T sehingga A-C-T}.
Ambil U sembarang titik pada ̅̅̅̅ − . Setiap titik U memenuhi A-B-U,
maka setiap titik U Q′. Setiap titik T memenuhi A-B-T, maka setiap titik
T Q′.
̅̅̅̅ ̅̅̅̅ − dan ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ merupakan himpunan yang sama, sehingga
̅̅̅̅ ̅̅̅̅ − = ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ = ̅̅̅̅.
Sehingga = {̅̅̅̅ ̅̅̅̅ T′ | T′ adalah himpunan semua titik T
sehingga A-C-T}
= {̅̅̅̅ T′ | T′ adalah himpunan semua titik T sehingga
A-C-T}
Gambar 2.5.9 Ilustrasi III Teorema 2.5.3
=
Telah ditunjukan bahwa dimanapun letak C pada , dengan A ≠ C, maka
= . □
Teorema 2.5.4 (Moise, 1990: 66)
Jika dan adalah titik-titik pada dan , dengan , ≠ , maka
∠ = ∠ .
Bukti :
pada dan ≠ , maka berdasarkan Teorema 2.5.3 didapat =
.
pada dan ≠ , maka berdasarkan Teorema 2.5.3 didapat =
.
A
B
C
Berdasarkan Definisi 2.5.3, sudut adalah gabungan dari dua sinar yang
memiliki titik pangkal yang sama, tetapi dua sinar tersebut tidak pada garis
yang sama. Dapat ditulis
∠ = { | = A}
= { | = A}
=∠ □
Teorema 2.5.5 (Moise, 1990: 66)
Jika ̅̅̅̅ = ̅̅̅̅, maka titik A, B sama dengan titik C, D.
Bukti :
Andaikan A, B tidak sama dengan titik C, D. Ambil a dan b sebagai
koordinat titik A dan B, sehingga a < b. Ambil c dan d sebagai koordinat
titik C dan D, sehingga c < d. Andaikan A, B, C dan D terletak pada garis
l.
Berikut akan diberikan kemungkinan letak a, b, c, dan d.
(1) a < b < c < d
(2) a < c < b < d
(3) a < c < d < b
(5) c < d < a < b
Gambar berikut merepresentasikan kemungkinan-kemungkinan di atas.
Dari kemungkinan (1), (2), (3), (4), dan (5) terlihat bahwa anggota
himpunan segmen ̅̅̅̅ dan ̅̅̅̅ tidak sama. Sebagai contoh pada kondisi (3)
a < c < d < b. Berdasarkan Teorema 2.4.4 ada titik X dengan koordinat x
sehingga A-X-C. Karena a < c maka a < x < c.
Untuk kasus A, B pada garis l dan C, D pada garis k, dengan l ≠k. Ada tiga kemungkinan posisi segmen ̅̅̅̅ terhadap segmen ̅̅̅̅ yang akan
dipaparkan sebagai berikut :
Teorema 2.4.4 ada titik Y sehingga Y-X. Telah didapat Y-X dan
A-A
X-B, berdasarkan Teorema 2.4.6, maka didapat A-Y-B. Titik Y di antara
2.6 Kekonvekan dan Pemisahan
Definisi 2.6.1 (Moise, 1990: 72)
Suatu himpunan A dikatakan konvek jika untuk setiap dua titik P,
segitiga. Pada Gambar 2.6.1 terlihat bahwa setiap segmen ̅̅̅̅ selalu
berada di dalam A, B, dan C.
Selanjutnya akan diberikan contoh bangun yang tidak konvek.
Himpunan D, E, dan F adalah contoh bangun yang tidak konvek.
Untuk menunjukan suatu bangun tidak konvek, misal bangun D, cukup
ditunjukan bahwa ada dua titik P, Q D sehingga segmen ̅̅̅̅ tidak berada
di dalam D.
Suatu himpunan konvek bisa saja tipis dan kecil. Sebagai contoh,
setiap segmen ̅̅̅̅ adalah himpunan konvek. Himpunan yang
beranggotakan satu titik juga konvek.
Suatu himpunan konvek juga bisa sangat besar. Sebagai contoh,
himpunan ruang S adalah suatu himpunan konvek. Semua garis dan bidang
juga konvek, karena tidak dapat ditemukan suatu segmen ̅̅̅̅ dimana P,Q
anggota suatu garis atau bidang sehingga segmen ̅̅̅̅ tidak di dalam
himpunan suatu garis atau bidang tersebut.
D
Definisi 2.6.2
Diberikan sembarang garis l pada bidang E, himpunan bagian dari E yang tidak pada l membentuk dua himpunan yang disebut bidang setengah dan garis l disebut batas dari bidang setengah.
Sebagai contoh pada Gambar 2.6.3 adalah bagian dari bidang
pada sebelah kiri atas garis l dan adalah bagian dari bidang pada sebelah kanan bawah garis l. Himpunan dan disebut bidang setengah. Seperti telah dijelaskan sebelumnya, dengan menunjukan
beberapa contoh segmen ̅̅̅̅, dan merupakan himpunan konvek.
Gambar 2.6.3 Pemisahan Bidang P
Q P
Q
l
P
Postulat Pemisahan Bidang atau Plane Separation Axiom (PSA)
(Moise, 1990: 74)
Diberikan suatu garis dan bidang yang memuat garis tersebut. Himpunan
semua titik pada bidang yang tidak pada garis adalah gabungan dua
himpunan berbeda sehingga :
(1) Kedua himpunan tersebut konvek
(2) Jika titik P pada salah satu himpunan dan titik Q pada himpunan yang
lain, maka segmen ̅̅̅̅ memotong garis.
Teorema 2.6.1 (Moise, 1990: 74)
Diberikan ∆ABC dan garis l. Jika l memuat titik E, dengan A-E-C, maka l
memotong ̅̅̅̅ atau ̅̅̅̅.
A C
B
E
l
Bukti :
Andaikan l tidak memotong ̅̅̅̅ atau ̅̅̅̅. Maka A dan B pada pihak yang sama terhadap l dan B dan C pada pihak yang sama terhadap l. Oleh karena itu A dan C pada pihak yang sama terhadap l. Ini tidak mungkin karena A-E-C. □
Teorema 2.6.2 (Moise, 1990: 75)
Jika A dan B adalah himpunan konvek, maka juga konvek.
Bukti :
Teorema ini akan dibuktikan dengan kontradiksi. Andaikan tidak
konvek. Ambil titik-titik , , maka , dan , . ̅̅̅̅
dan ̅̅̅̅ karena A dan B konvek dan ada titik R dimana P-R-Q
sehingga . Ini tidak mungkin karena A dan B konvek.
Kontradiksi. □
Definisi 2.6.3 (Moise, 1990: 76)
Andaikan E suatu bidang. Jika
seperti pada postulat pemisahan bidang, maka dan disebut pihak
yang berlawanan terhadap l.
Teorema 2.6.3 (Moise, 1990: 76)
Jika A dan B pada pihak yang berlawanan terhadap garis l dan B dan C pada pihak yang berlawanan terhadap garis l, maka A dan C pada pihak yang sama terhadap l.
Bukti :
Ambil suatu bidang E dan garis l pada E. l membagi E kedalam dua bidang setengah dan . Andaikan A pada , maka B pada karena A dan
B pada pihak yang berlawanan terhadap l. B pada , maka C pada karena B dan C pada pihak yang berlawanan terhadap l. Didapat A dan C pada , sehingga A dan C berada pada pihak yang sama terhadap l. □
A
B
C
l
Teorema 2.6.4 (Moise, 1990: 76)
Jika A dan B pada pihak yang berlawanan terhadap garis l dan B dan C pada pihak yang sama terhada l, maka A dan C pada pihak yang berlawanan terhadap l.
Bukti :
Ambil suatu bidang E dan garis l pada E. l membagi E kedalam dua bidang setengah dan . Andaikan A pada , maka B pada karena
A dan B pada pihak yang berlawanan terhadap l. B pada , maka C pada karena B dan C pada pihak yang sama terhadap l. Jadi A dan C pada pihak yang berlawanan terhadap garis l. □
Definisi 2.6.4 (Moise, 1990: 76)
Jika A-B-C, maka sinar dan disebut sinar yang berlawanan.
Gambar 2.6.6 Ilustrasi Teorema 2.6.4 A
B
C
Teorema 2.6.5 (Moise, 1990: 76)
Diberikan sebuah garis dan sinar yang memiliki titik pangkal pada garis
yang diberikan, tetapi tidak berhimpit dengan garis tersebut. Kemudian
semua titik pada sinar, kecuali titik pangkal, berada pada pihak yang sama
terhadap garis tersebut.
Bukti :
Diberikan garis l dan sinar dengan . Akan dibuktikan − berada pada pihak yang sama terhadap garis tersebut.
Andaikan memuat titik C sehingga B dan C berada pada pihak yang
berlawanan terhadap l. Maka ̅̅̅̅ memotong l disuatu titik, dan titik ini
harus A, karena ̅̅̅̅ terletak pada , dan memotong l hanya di A.
A B C
Gambar 2.6.7 Sinar Yang Berlawanan
Gambar 2.6.8 Ilustrasi Teorema 2.6.5 A
B
l
Oleh karena itu C-A-B. Tetapi ini tidak mungkin. Dengan Definisi 2.5.2,
sinar adalah himpunan titik C dari garis ⃡ sehingga A tidak diantara
B dan C. Oleh sebab itu semua titik pada sinar, selain A, berada pada
pihak yang sama terhadap l. □
Teorema 2.6.6 (Moise, 1990: 77)
Diberikan garis l dan A titik pada l, dan B titik yang tidak pada l. Maka
semua titik dari ̅̅̅̅ − berada pada pihak yang sama terhadap l.
Bukti :
Berdasarkan Teorema 2.6.5 − berada pada pihak yang sama
terhadap l. Karena ̅̅̅̅ − berada pada − , maka ̅̅̅̅ − juga berada pada pihak yang sama terhadap l. □
Definisi 2.6.5 (Moise, 1990: 77)
Diberikan ∠ . Interior ∠ adalah irisan pihak ⃡ yang memuat B
dan pihak ⃡ yang memuat C. Maka suatu titik D interior ∠ jika D
dan B berada pada pihak yang sama dari ⃡ dan jika D dan C berada pada
pihak yang sama dari ⃡ . Jadi, interior suatu sudut adalah irisan dua
bidang setengah. Eksterior ∠ adalah himpunan semua titik yang tidak
Teorema 2.6.7 (Moise, 1990: 78)
Setiap sisi segitiga, kecuali titik sudutnya berada di dalam interior sudut di
hadapannya.
Gambar 2.6.9 Interior dan Eksterior Sudut Interior
Teorema 2.6.8 (Moise, 1990: 78)
Jika F berada di dalam interior ∠ , maka − berada di dalam
interior ∠ .
Bukti :
(1) Dari Definisi 2.6.5, F dan B pada pihak yang sama terhadap ⃡ .
Dengan Teorema 2.6.5, − berada pada pihak yang sama terhadap
⃡ yang memuat F. Oleh karena itu − terletak pada pihak yang
memuat B.
(2) Dari Definisi 2.6.5, F dan C pada pihak yang sama terhadap ⃡ .
Dengan Teorema 2.6.5, − berada pada pihak yang sama terhadap
⃡ yang memuat F. Oleh karena itu − terletak pada pihak yang
memuat C.
Dari (1) dan (2) memenuhi bahwa − berada di dalam interior ∠ .
□
A
B
C F
Teorema 2.6.9 (Moise, 1990: 79)
Diberikan ∆ABC dan titik F,D,G sehingga B-F-C, A-C-D, dan A-F-G.
Maka G di dalam interior ∠ .
Bukti :
(1) Karena A-F-G, G berada pada ⃡ , dan A tidak di antara G dan F. Oleh
karena itu G pada . Karena G ≠ A, G pada − .
(2) Dengan Teorema 2.6.7, titik F di dalam interior ∠ . Dari Teorema
2.6.8, − berada pada interior ∠ . Oleh karena itu G dan B
pada pihak yang sama terhadap ⃡ (=⃡ ).
(3) A dan G pada pihak yang berlawanan terhadap ⃡ , dan A dan D pada
pihak yang berlawanan terhadap ⃡ . Oleh karena itu G dan D pada
pihak yang sama terhadap ⃡ .
Dari (2) dan (3), G di dalam interior ∠ . □
A C
B
D
F G
Selanjutnya akan didefinisikan interior suatu segitiga.
Definisi 2.6.6 (Moise, 1990: 80)
Interior ∆ABC didefinisikan sebagai irisan tiga himpunan berikut :
(1) Pihak ⃡ yang memuat C
(2) Pihak ⃡ yang memuat B
(3) Pihak ⃡ yang memuat A
Teorema 2.6.10 (Moise, 1990: 80)
Interior segitiga adalah himpunan konvek.
Bukti :
Diberikan sembarang ∆ABC. ⃡ sebagai bidang setengah yang memuat
C, ⃡ sebagai bidang setengah yang memuat B dan ⃡ sebagai bidang
setengah yang memuat A. Dari Definisi 2.6.6, interior ∆ABC adalah
A
B
C
⃡ ⃡ ⃡ . ⃡ , ⃡ , dan ⃡ konvek. Sehingga ⃡ ⃡
⃡ juga konvek (lihat Teorema 2.6.2). □
2.7 Kekontinuan
Teorema 2.7.1 (Moise, 1990: 81)
Diberikan garis l, titik-titik A dan B pada l, A ≠ B, dan F dan G titik pada
pihak yang berlawanan terhadap l. Maka ̅̅̅̅ tidak memotong .
Bukti :
(1) Dari Teorema 2.6.6, ̅̅̅̅ − berada pada pihak yang memuat F.
(2) Dari Teorema 2.6.5, − berada pada pihak yang memuat G.
Dari (1) dan (2) didapat bahwa − tidak memotong ̅̅̅̅ − . Oleh
karena itu dan ̅̅̅̅ tidak berpotongan. □
Gambar 2.7.1 Ilustrasi Teorema 2.7.1 A
B F
Teorema 2.7.2 (Moise, 1990: 81)
Dalam ∆ABC diberikan F titik diantara A dan C, dan D suatu titik
sehingga D dan B pada pihak yang sama terhadap ⃡ . Maka
memotong ̅̅̅̅ atau ̅̅̅̅.
Bukti :
(1) Diberikan G suatu titik sehingga G-F-D. Maka G dan D berada pada
pihak yang berlawanan terhadap ⃡ , jadi G dan B pada pihak yang
berlawanan terhadap ⃡ . Terlihat
⃡ =
(2) Gunakan Teorema 2.7.1 pada garis ⃡ , segmen ̅̅̅̅, dan sinar . Ini
berlaku bahwa tidak memotong ̅̅̅̅.
(3) Dengan cara yang sama, didapat tidak memotong ̅̅̅̅.
Gambar 2.7.2 Ilustrasi Teorema 2.7.2 D
F G
A C
B
(4) Dengan Teorema Pasch didapat bahwa ⃡ memotong ̅̅̅̅ atau ̅̅̅̅.
Telah ditunjukan bahwa tidak memotong ̅̅̅̅ atau ̅̅̅̅, maka
pastilah memotong ̅̅̅̅ atau ̅̅̅̅. □
Teorema 2.7.3 The Crossbar Theorem (Moise, 1990: 82)
Jika D di dalam interior ∠ , maka memotong ̅̅̅̅, pada titik di
antara B dan C.
Bukti :
(1) Diberikan F suatu titik sehingga F-A-C. Maka ⃡ = ⃡ , dan F dan C
pada pihak yang berlawanan terhadap ⃡ .
(2) Karena D di dalam interior ∠ , maka B dan D pada pihak yang
sama terhadap ⃡ (= ⃡ ). Dengan Teorema 2.7.2, memotong ̅̅̅̅
atau ̅̅̅̅.
Gambar 2.7.3 Teorema Crossbar D
F
E ?
A
(3) Karena F dan C pada pihak yang berlawanan terhadap ⃡ , dan C dan
D pada pihak yang sama terhadap ⃡ , maka F dan D pada pihak yang
berlawanan terhadap ⃡ .
(4) Gunakan Teorema 2.7.1 pada garis ⃡ , segmen ̅̅̅̅, dan sinar .
Didapat tidak memotong ̅̅̅̅.
Dari (2) dan (4) memenuhi bahwa memotong ̅̅̅̅, di titik E yang
berbeda dengan B. Jika E = C, maka A, D, dan C kolinear, dan ini tidak
benar. Oleh karena itu B-E-C. □
2.8 Ukuran Sudut
Definisi 2.8.1 (Moise, 1990: 93)
Diberikan suatu fungsi ∶ � → ℝ, dengan � adalah himpunan semua
sudut dan ℝ adalah himpunan bilangan real. Tulis ∠ untuk
menyimbolkan ukuran dari ∠ . Agar lebih ringkas, selanjutnya
∠ akan ditulis dengan ∠ .
Gambar 2.8.1 Ukuran Sudut I B
D A
Ukuran ∠ dan ∠ dapat ditulis ∠ = dan
∠ = . Ukuran ∠ tidak ditulis ∠ = , karena nilai
dari fungsi m adalah bilangan real. Pada sisi yang lain, penandaan sudut pada gambar menggunakan tanda derajat untuk mengindikasikan bahwa
huruf atau angka dengan tanda derajat berarti ukuran suatu sudut.
Gambar 2.8.2 menunjukan bahwa
∠ =
dan
∠ = .
Berikut akan diberikan beberapa postulat ukuran sudut. (Moise, 1990: 95)
M-1 m adalah fungsi � → ℝ, dimana � adalah himpunan semua sudut dan ℝ adalah himpunan bilangan real.
M-2 Untuk setiap ∠ , ∠ adalah antara 0 dan 180.
Gambar 2.8.2 Ukuran Sudut II
Q R
P
B
A
M-3 Postulat Pembentukan Sudut (The Angle Construction Postulate).
Diberikan suatu sinar pada batas bidang setengah H. untuk setiap
bilangan r diantara 0 dan 180, ada tepat satu sinar , dengan P pada H, sehingga ∠ = .
M-4 Postulat Penjumlahan Sudut (The Angle Addition Postulate). Jika D di dalam interior ∠ , maka
∠ = ∠ + ∠
Dua sudut membentuk suatu pasangan linear jika sudut-sudut tersebut
terlihat seperti berikut :
Gambar 2.8.3 Pembentukan Sudut
Q R
P
Gambar 2.8.4 Pembentukan Sudut D
+
A B
Jika dan sinar yang berlawanan, dan suatu sinar yang tidak
pada ⃡ , maka ∠ dan ∠ membentuk pasangan linear.
Definisi 2.8.2 (Moise, 1990: 96)
Jika ∠ + ∠ = , maka kedua sudut tersebut dikatakan
berpelurus. Definisi ini tidak tergantung pada letak sudut, tetapi hanya
tergantung pada ukuran sudutnya. Artinya kedua sudut yang dimaksud
tidak harus bersisian.
M-5 Postulat Pelurus (The Supplement Postulate). Jika dua sudut membentuk pasangan linear, maka kedua sudut tersebut berpelurus.
Gambar 2.8.5 Dua Sudut Membentuk
Pasangan Linear
D
A B
C
Gambar 2.8.6 Dua Sudut Berpelurus
A B C
2.9 Postulat Luas
Definisi 2.9.1 (Moise, 1990: 184)
Suatu daerah triangular adalah bangun yang terbentuk dari gabungan
segitiga beserta interiornya, seperti gambar berikut :
Sisi segitiga disebut batas daerah, dan titik sudut segitiga disebut
titik sudut daerah.
Suatu daerah segibanyak adalah bangun seperti salah satu di bawah ini :
Gambar 2.9.1 Daerah Triangular
Definisi 2.9.2 (Moise, 1990: 184)
Suatu daerah segibanyak adalah bangun bidang yang dapat diekspresikan
sebagai gabungan dari daerah triangular yang terbatas jumlahnya, sehingga
jika dua daerah triangular beririsan, irisannya adalah suatu batas atau suatu
titik sudut dari dua daerah triangular tersebut.
Gambar 2.9.2 menandakan bahwa daerah segibanyak dapat dibagi
ke dalam daerah-daerah triangular. Tentunya, tidak ada kekhasan
bagaimana cara suatu daerah segibanyak dapat dibagi ke dalam
daerah-daerah triangular. Pada faktanya jika pembagian ini dilakukan untuk suatu
bentuk tertentu, ini dapat dilakukan dalam banyak sekali cara (tak hingga).
Sebagai contoh, suatu jajargenjang dengan interiornya dapat dibagi dalam
paling tidak beberapa cara ini.
Definisi 2.9.3 (Moise, 1990: 185)
Diberikan suatu fungsi luas �, dimana untuk setiap daerah segibanyak
berkorespondensi dengan suatu bilangan positif yang disebut luas.
Diberikan ℛ sebagai himpunan semua daerah segibanyak, sehingga
�: ℛ ⟶ ℝ.
Selanjutnya akan diberikan beberapa postulat luas.
A-1 � adalah fungsi ℛ ⟶ ℝ, dimana ℛ adalah himpunan semua daerah
segibanyak dan ℝ adalah himpunan semua bilangan real. Dapat
ditulis �: ℛ ⟶ ℝ; ℛ = { | adalah daerah segibanyak}; ℝ =
himpunan semua bilangan real.
A-2 Untuk setiap daerah segibanyak , � > . Dapat ditulis � >
, ∀ ℛ.
A-3 The Congruence Postulate. Jika dua daerah triangular kongruen, maka keduanya memiliki luas yang sama.
Diberikan , adalah daerah triangular, � = � , ≅
.
A-4 The Additivity Postulate. Jika dua daerah segibanyak berpotongan hanya pada batas dan titik sudutnya, maka luas gabungan dua
daerah segibanyak tersebut adalah gabungan dari luasnya.
Diberikan , adalah daerah segibanyak. Jika = ℓ,
dengan ℓ = himpunan garis-garis, maka � = � +
Definisi 2.9.4 (Moise, 1990: 204)
Diberikan suatu daerah segibanyak R, diekspresikan sebagai gabungan
dari daerah triangular yang terbatas, beririsan hanya pada batas dan titik
sudutnya. Himpunan K yang anggota-anggotanya daerah triangular disebut
komplek, dan disebut triangulasi dari R.
Pada Gambar 2.9.5, komplek K adalah himpunan
{ , , , , }.
Gambar 2.9.4 Postulat Penjumlahan
R dan K adalah objek yang berbeda. R adalah himpunan titik-titik yang
banyaknya tak hingga, sedangkan K adalah himpunan daerah triangular
yang terbatas.
2.10 Sudut Luar Segitiga dan Konsekuensinya
Teorema 2.10.1 (Prenowitz & Jordan, 1965: 22)
Sebuah sudut luar segitiga lebih besar dari kedua sudut dalam yang tidak
bersisian dengan sudut tersebut.
Bukti :
Diberikan sembarang ∆ABC, ambil D pada , sehingga B − C − D.
Pertama-tama akan ditunjukan bahwa ∠ACD lebih besar dari ∠A.
Ambil E sebagai titik tengah AC̅̅̅̅ dan ambil F pada sehingga = .
Sebab = , = , dan ∠ = ∠ , maka ∆ ≅
Gambar 2.10.1 Ilustrasi I Teorema 2.10.1 E
A F
∆ (Sisi,Sudut,Sisi), akibatnya ∠ = ∠ . Karena ∠ >
∠ , maka ∠ > ∠ = ∠ .
Selanjutnya ambil H pada , sehingga A-C-H. Akan ditunjukan
∠ > ∠ .
Cara yang digunakan sama dengan pembuktian diatas. Ambil M sebagai
titik tengah ̅̅̅̅, kemudian ambil N pada sehingga = . Sebab
= , = , dan ∠ = ∠ , maka ∆ ≅ ∆ .
Sehingga ∠ = ∠ . Karena ∠ > ∠ , maka
∠ > ∠ = ∠ . □
Teorema 2.10.2 (Prenowitz & Jordan, 1965: 24)
Jumlah ukuran dua sudut segitiga kurang dari 180.
N
Gambar 2.10.2 Ilustrasi II Teorema 2.10.1 B
A
C
Bukti:
Diberikan sembarang ∆ . Akan ditunjukan ∠ + ∠ < .
Ambil D pada sehingga C-B-D. ∠ adalah sudut luar ∆ . Dari
Teorema 2.10.1, didapat ∠ > ∠ . Kemudian ∠ = −
∠ . Dengan substitusi didapat
− ∠ > ∠
> ∠ + ∠
Oleh sebab itu m∠ + ∠ < . □
Teorema 2.10.3 (Milman & Parker, 1991: 138)
Jika dua sisi segitiga tidak sama panjang, bersama dengan sudut dihadapan
dua sisi segitiga tersebut, maka sudut yang lebih besar adalah sudut
dihadapan sisi yang lebih panjang.
Dengan kata lain dalam ∆ jika > , maka ∠ > ∠ .
Bukti :
Gambar 2.10.3 Ilustrasi Teorema 2.10.2 A
B
Ambil titik D sehingga A-C-D dan = . Titik C didalam interior
∠ dan ∠ < . ∆ adalah segitiga samakaki sehingga
∠ = ∠ . Dengan Teorema 2.10.1 untuk segitiga ∆ ,
∠ < ∠ . Maka
∠ < ∠ = ∠ < ∠ ,
sehingga ∠ > ∠ . □
Selanjutnya akan ditunjukan konvers dari Teorema 2.10.3.
Teorema 2.10.4 (Milman & Parker, 1991: 139)
Dalam ∆ jika ∠ > ∠ , maka > .
Bukti :
D
B A
C
Andaikan . Untuk = , maka ∆ adalah segitiga sama
kaki. Akibatnya ∠ = ∠ . Hal ini kontradiksi dengan pernyataan
∠ > ∠ .
Selanjutnya untuk > , dapat diambil titik D pada ̅̅̅̅ sehingga
= . Maka dapat dibuat ∆ dan ∆ . Dengan menerapkan
Teorema 2.10.1 pada ∆ didapat ∠ = ∠ > ∠ =
∠ . Kemudian ∠ < ∠ < ∠ , sehingga didapat ∠ > ∠ .
Ini kontradiksi dengan pernyataan ∠ > ∠ . Jadi > . □
B C
Gambar 2.10.5 Ilustrasi I Teorema 2.10.4
Gambar 2.10.6 Ilustrasi II Teorema 2.10.4 A
B
C
Teorema 2.10.5 Triangle Inequality (Milman & Parker, 1991: 139)
Panjang salah satu sisi segitiga kurang dari jumlah panjang dua sisi yang
lain.
Bukti :
Akan ditunjukan dalam ∆ , < + .
Ambil D pada dengan C-B-D, sehingga = . Maka
= + = + .
B pada interior ∠ sehingga ∠ < ∠ . Karena ∆ adalah
segitiga samakaki, ∠ = ∠ sehingga ∠ < ∠ .
Dengan Teorema 2.10.4 pada ∆ , didapat
< = + ,
sehingga
A
B
C D
< + . □
Teorema ini dapat diperumum menjadi teorema berikut.
Teorema 2.10.6 (Milman & Parker, 1991: 141)
Diberikan A, B, C adalah tiga titik berbeda, maka + .
Bukti :
Jika A, B, C tidak kolinear dengan ketaksamaan segitiga maka terpenuhi
< + . Kemudian = + apabila A, B, C kolinear
dengan A-B-C. Jadi untuk sembarang tiga titik berbeda A, B, C berlaku
+ .
Teorema 2.10.7 Pertidaksamaan Segibanyak atau Polygon Inequality
(Milman & Parker, 1991: 180)
Diberikan titik-titik berbeda , , … , , untuk , maka
+ + ⋯ + − .
Untuk = , dengan Teorema 2.10.6 maka persamaan di atas terpenuhi.
Selanjutnya andaikan benar untuk = , maka didapat
+ + ⋯ + − .
Akan dibuktikan benar untuk = + .
+ + + .
Dengan mensubtitusikan pertidaksamaan sebelumnya didapat
+ + + ⋯ + − + + . □
2.11 Segiempat Saccheri dan Jumlah Sudut dalam Segitiga
Definisi 2.11.1 (Moise, 1990: 152)
□ dikatakan segiempat Saccheri jika ∠ dan ∠ adalah sudut
siku-siku, B dan C pada pihak yang sama terhadap ⃡ , dan = . Segmen
̅̅̅̅ disebut sisi bawah dan ̅̅̅̅ disebut sisi atas. ∠ dan ∠ disebut sudut
bawah. ∠ dan ∠ disebut sudut atas.
A B
D C
Teorema 2.11.1 (Milman & Parker, 1991: 180)
Diberikan segiempat Saccheri □ (dengan sisi bawah ̅̅̅̅), maka
.
Bukti :
Dibentuk banyak segiempat Saccheri yang kongruen seperti pada gambar
berikut.
Gambar 2.11.2 Segiempat Saccheri II
Maka
− , untuk . (2-1)
Pertidaksamaan (2-1) terpenuhi untuk dan ruas kanan akan sangat
kecil apabila n cukup besar. Sehingga didapat − . Oleh karena itu
. □
Teorema 2.11.2 (Moise, 1990: 155)
Pada sembarang segiempat Saccheri □ (dengan sisi bawah ̅̅̅̅),
maka ∠ ∠ .
Bukti :
Dari Definisi 2.11.1 diketahui bahwa = . Andaikan ∠ >
∠ . Dengan Teorema 2.10.4 didapat > dan ini kontradiksi
dengan Teorema 2.11.1. Jadi ∠ ∠ . □
A B
D C
Teorema 2.11.3 (Moise, 1990: 155)
Jika ∆ memiliki sudut siku-siku di A, maka
∠ + ∠ .
Bukti :
Ambil titik C sehingga □ adalah segiempat Saccheri.
Maka
∠ + ∠ = ,
Karena ∠ adalah sudut siku-siku. Dengan Teorema 2.11.2 didapat
∠ ∠ .
Oleh karena itu
− ∠ ∠ , sehingga ∠ + ∠ . □
A B
D C
1
2 3
