H. Definisi Operasional
1. Kemampuan Penalaran Matematis
Kemampuan penalaran matematis yaitu salah satu aspek dari kemampuan berpikir matematik tingkat tinggi dalam kurikulum 2013, dimana dikatagorikan sebagai kompetensi dasar yang harus dikuasai oleh para siswa. Aktivitas matematika merupakan sarana bagi siswa dalam kegiatan pembelajaran untuk dapat memecahkan suatu permasalahan melalui logika nalar mereka. Siswa dilatih untuk menarik suatu kesimpulan atau membuat suatu pernyataan baru berdasarkan pada beberapa fakta melalui aktivitas bernalar. Sehingga pada saat belajar matematika, para siswa akan selalu berhadapan dengan proses penalaran.1
Copi menyatakan bentuk khusus dari berpikir dalam upaya pengambilan penyimpulan konklusi yang digambarkan premis adalah penalaran, menurut Glass dan Holyoak penalaran adalah simpulan berbagai pengetahuan dan keyakinan mutakhir, sedangkan menurut Galloti usaha seseorang dalam menstransformasikan informasi yang disampaikan untuk menganalisis konklusi adalah penalaran. Menurut Suherman dan Winataputra suatu cara untuk menarik kesimpulan dalam proses berpikir yang dilakukan disebut dengan penalaran. Kesimpulan yang didapatkan dari hasil proses bernalar, didasari oleh pengamatan data-data yang ada
1
Rahayu Kariadinata, “Meningkatkan Daya Nalar (Power of Reason) Siswa Melalui Pembelajaran Analogi Matematika,” Jurnal Ilmiah Program Studi Matematika STKIP Siliwangi Bandung 1 (2012): 2.
sebelumnya dan telah diuji kebenarannya. Kondisi ini serupa dengan apa yang dikemukakan oleh Shadiq yakni ia berpendapat bahwa suatu aktivitas dalam proses berpikir untuk menarik suatu kesimpulan atau membuat suatu pernyataan baru yang benar berdasarkan pada beberapa pernyataan yang kebenarannya telah dibuktikan atau diasumsikan sebelumnya merupakan definisi penalaran.2
S. J. Russell mengatakan bahwa kemampuan penalaran matematis adalah kemampuan pusat belajar matematika. Ia beragumen, matematika adalah suatu disiplin berkenaan dengan objek abstrak, dan penalaranlah alat untuk memahami abstraksi.3 Untuk penalaran matematis, Widjaja mengemukakan pengertian penalaran matematis yang disampaikan oleh Ball, Lewis & Thamel, yang dapat diartikan bahwa penalaran matematika atau penalaran matematis adalah fondasi untuk menkonstruk pengetahuan matematika. Azmi memaparkan pernyataan yang
disampaikan oleh Brodie yaitu “Mathematical reasoning is reasoning about and
with the object of mathematics.”. Selanjutnya pernyataan itu dapat diartikan bahwa penalaran matematis adalah penalaran tentang objek matematika.4
Menurut Ross dalam Afif menyatakan bahwa mengajarkan kepada siswa tentang penalaran adalah salah satu tujuan terpenting dari pembelajaran matematika. Shadiq dalam Wardhani, mengemukakan bahwa materi matematika
2
Tina Sri Sumartini, “Peningkatan Kemampuan Penalaran Matematis Siswa melalui Pembelajaran Berbasis Masalah,” Mosharafa: Jurnal Pendidikan Matematika 5 (2015): 3.
3
Ari Septian, “Pengaruh Kemampuan Prasyarat terhadap Kemampuan Penalaran Matematis Mahasiswa dalam Mata Kuliah Analisis Real,” Jurnal Kajian Pendidikan 4 (2014): 181.
4
Anisatul Hidayati dan Suryo Widodo, “Proses Penalaran Matematis Siswa dalam Memecahkan Masalah Matematika pada Materi Pokok Dimensi Tiga Berdasarkan Kemampuan Siswa
dan penalaran matematis merupakan dua hal yang sangat berkaitan, yakni materi matematika dipahami melalui penalaran dan penalaran dilatih melalui belajar matematika. Suryadi dalam Afif mengemukakan bahwa pembelajaran yang menekankan pada aktivitas penalaran dan pemecahan masalah sangat berkaitan erat dengan pencapaian prestasi siswa yang tinggi. Menurut Djadir dalam materi program linear dibutuhkan kemampuan untuk mengubah bahasa cerita menjadi bahasa matematika atau model matematika. Bentuk penalaran manusia dalam menerjemahkan permasalahan dalam bentuk matematika disebut model matematika.5 Dari teori-teori tersebut sintesisnya adalah kemampuan penalaran matematis dalam pembelajaran matematika adalah salah satu hal yang sangat berperan penting. Program linear merupakan salah satu materi dalam matematika dimana dalam materi program linear dibutuhkan kemampuan untuk mengubah bahasa cerita menjadi bahasa matematika atau model matematika. Bentuk penalaran manusia dalam menerjemahkan permasalahan dalam bentuk matematika disebut model matematika.
Mulliset al menyatakan bahwa Realistic Mathematics Education (RME) atau Pendidikan Matematika Realistik Indonesia (PMRI) dapat digunakan untuk meningkatkan kemampuan matematika bukan saja diperuntukkan bagi siswa yang pintar tetapi juga siswa yang lemah. Kania menyatakan bahwa pembelajaran dengan menggunakan pendekatan Realistik Mathematics Education (RME) atau
5
Delima Mei Liona, Retno Marsitin, dan Tri Candra Wulandari, “Analisis Kemampuan
Penalaran Matematis Peserta Didik dalam Menyelesaikan Soal Cerita di SMA N 6 Malang,” Pi: Mathematic Education Journal 1 (2017): 28.
Pendidikan Matematika Realistik Indonesia (PMRI) dapat meningkatkan kemampuan penalaran matematika siswa secara signifikan lebih baik, dibandingkan kelompok siswa yang mengikuti pembelajaran tradisional. Mahayukti menyatakan bahwa ada pengaruh penerapan pendekatan realistik terhadap penalaran Matematik siswa.6 Dari teori-teori tersebut sintesisnya adalah Pendidikan Matematika Realistik Indonesia (PMRI) berpengaruh dalam meningkatkan kemampuan penalaran matematis siswa.
Kemampuan penalaran matematis siswa dapat menunjang siswa untuk dapat menyimpulkan dan membuktikan suatu pernyataan, membangun gagasan baru, sampai pada menyelesaikan masalah-masalah dalam matematika yang diberikan. Maka dari itu, kemampuan penalaran matematis tentunya harus bisa dibiasakan dan dikembangkan pada setiap pembelajaran matematika. Pembiasaan itu harus diawali dengan kekonsistenan guru dalam mengajar para siswa terutama dalam pemberian soal-soal atau permasalahan sesuai materi yang diajarkan yang bersifat tidak rutin. Turmudi mengemukakan bahwa suatu kebiasaan otak sama halnya kebiasaan lain yang perlu dikembangkan secara konsisten dengan menggunakan berbagai macam konteks adalah penalaran matematis.7
Penalaran dapat dibagi kedalam dua bagian, yakni penalaran deduktif dan penalaran induktif. Penarikan kesimpulan dari hal yang umum menuju hal yang khusus berdasarkan fakta-fakta yang ada disebut penalaran deduktif. Menurut
6
Herawati A, “Efektifitas Pendekatan Realistik dalam Meningkatkan Kemampuan Penalaran
Matematika di SMA Negeri 1 Tembilahan Inhil Riau,” Jurnal Peluang 4 (2015): 16. 7
Pesce proses penalaran dan pengetahuan prinsip atau pengalaman umum yang menuntun kita memperoleh kesimpulan untuk sesuatu yang khusus merupakan definisi dari penalaran deduktif. Suatu proses berpikir dengan mengambil suatu kesimpulan yang bersifat umum atau membuat suatu pernyataan baru dari kasus-kasus yang khusus disebut penalaran induktif. Pierce mengemukakan bahwayang dimaksud penalaran induksi adalah proses penalaran yang menurunkan prinsip atau aturan umum dari pengamatan hal-hal atau contoh-contoh khusus. Sedangkan Copi berpendapat bahwa proses penalaran dimana kesimpulan yang diperoleh diturunkan dari premis-premisnya dengan suatu probabilitas disebut penalaran induktif.8
Menurut Sumarmo terdapat beberapa kegiatan/ aktivitas yang termasuk dalam penalaran induktif yakni:
a. Transduktif yakni suatu penarikan kesimpulan dari suatu kasus atau sifat khusus yang satu diterapkan pada kasus yang khusus lainnya
b. Analogi yakni suatu penarikan kesimpulan berdasarkan oleh suatu keserupaan data atau proses
c. Generalisasi yakni sesuatu penarikan kesimpulan umum yang didasarkan oleh sejumlah data yang telah diamati.
d. Dapat memperkirakan jawaban suatu permasalaha, solusi atau kecenderungan, interpolasi, serta ekstrapolasi permasalahan dengan baik.
8
e. Dapat meemberikan penjelasan pada model, fakta, sifat, hubungan, atau pola yang ada.
f. Menggunakan pola hubungan untuk menganalisis situasi dan menyusun konjektur
Menurut Sumarmo indikator kemampuan penalaran matematis dalam pembelajaran matematika adalah sebagai berikut:
a. Menarik kesimpulan yang logis
b. Memberikan penjelasan dengan menggunakan model, fakta, sifat-sifat, dan hubungan
c. Memperkirakan jawaban dan proses solusi
d. Menggunakan pola dan hubungan untuk menganalisis situasi matematis e. Menyusun dan mengkaji konjektur
Wardhani mengemukakan indikator pencapaian kemampuan penalaran matematika yakni mengajukan pernyataan matemaika dengan tertulis, mengajukan dugaan, melakukan manipulasi matematika, menarik kesimpulan, menyusun bukti, memberikan alasan atau bukti terhadap kebenaran solusi, menarik kesimpulan dari suatu pernyataan, memeriksa kesahihann suatu argumen, menemukan pola atau sifat dari gejala matematis untuk membuat generalisasi.9
Herman mengatakan bahwa kemampuan penalaran matematis merupakan salah satu kemampuan berpikir tingkat tinggi. Sedangkan kegiatan atau indikator yang termasuk dalam kemampuan penalaran matematis meliputi:
9
a. Menarik kesimpulan dari suatu data
b. Menggeneralisasi dan menarik kesimpulan umum dari pola, data, atau proses
c. Menganalogikan suatu permasalahan d. Memperkirakan suatu model
e. Menjelaskan penyelesaian dari sebuah masalah
f. Menggunakan pola hubungan untuk menganalisis dan menyusun konjektur
g. Transduktif yakni dapat menarik kesimpulan khusus dari satu kasus dan diterapkan untuk kasus lainnya.10
Kemampuan penalaran matematis dan komunikasi matematik termasuk dalam tujuan pembelajaran matematika untuk pendidikan dasar dan menengah yang dikemukakan Depdiknas yaitu salah satunya agar siswa menggunkan penalaran pada pola dan sifat, melakukan manipulasi matematika dalam membuat generalisasi, menyusun bukti, atau menjelaskan gagasan atau pernyataan matematika, serta mengkomunikasikan gagasan dengan symbol, tabel, diagram, atau media lain untuk memperjelas masalah. National Council of Teacher of Mathematics (NCTM) sebelumnya juga mengemukakan tentang prinsip dan
10
standar pembelajaran matematika yang dilakukan di sekolah salah satunya yaitu agar siswa memiliki kemampuan penalaran dan komunikasi matematik.11
Indikator kemampuan penalaran matematis dalam penelitian ini adalah kemampuan siswa dalam menyajikan pernyataan matematika secara tertulis, mengajukan dugaan (conjegtures), melakukan manipulasi matematika, menarik kesimpulan, menyusun bukti, memberikan alasan atau bukti terhadap beberapa solusi, memeriksa kesahihan suatu argumen, menemukan pola atau sifat dari gejala matematis untuk membuat generalisasi.12