Berdasarkan tinjauan pustaka, dapat disusun suatu kerangka pemikiran yang mungkin dalam pembahasan penelitian ini. Dalam menguji kenormalan da-ta, uji Kolmogorov-Smirnov, Kuiper, Cramer-von Mises, dan Anderson-Darling memiliki perbedaan dalam perhitungan statistik uji. Hal ini menyebabkan ada-nya perbedaan kesimpulan diantara keempat uji tersebut. Mengingat pentingada-nya menguji kenormalan guna menentukan metode yang akan digunakan oleh sta-tistikawan, maka diperlukan suatu uji yang kuat dalam mendeteksi kenormalan data.
Penelitian ini membandingkan keempat uji tersebut berdasarkan kepekaan-nya untuk menolak H0 ketika H0 salah. Untuk memperoleh kepekaan uji masing-masing dalam menolak H0 ketika H0 salah, dilakukan simulasi sampel acak dari distribusi yang tidak normal sebanyak 10.000 kali pengulangan. Karena peneliti-an ini menghendaki model simulasi ypeneliti-ang melibatkpeneliti-an bilpeneliti-angpeneliti-an acak dari distribusi tertentu, maka menggunakan metode simulasi Monte Carlo. Hasil simulasi terse-but dapat menghasilkan uji yang paling kuat dalam menguji kenormalan data.
commit to user
Bab III
METODE PENELITIAN
Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi literatur, yaitu dengan cara mempelajari materi karya-karya ilmiah pada jurnal maupun buku referensi. Adapun langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini sebagai berikut.
1. Mengidentifikasi pengujian kenormalan dengan uji Kolmogorov-Smirnov, Kuiper, Cramer-von Mises, dan Anderson-Darling.
2. Memberikan contoh adanya perbedaan kesimpulan diantara uji Kolmogorov-Smirnov, Kuiper, Cramer-von Mises, dan Anderson-Darling.
3. Mengkonstruksi metode simulasi Monte Carlo dengansoftware Matlab 7.1. (a) Membangkitkan bilangan acak yang berdistribusi eksponensial dengan
ukuran sampel sebesar 10 sebanyak 10.000 kali.
(b) Setiap data bangkitan pada langkah (a) dihitung statistik ujinya dari keempat uji tersebut.
(c) Jika statistik uji masing-masing lebih besar daripada nilai kritisnya, maka H0 ditolak.
(d) Menghitung jumlah H0 yang ditolak dari 10.000 pengulangan untuk masing-masing uji.
(e) Menghitung persentase menolak H0 untuk masing-masing uji. Persentase menolak H0=jumlah H0 yang ditolak
10000 x100%
(f) Mengulangi langkah (a) sampai (e) untuk ukuran sampel yang berva-riasi yaitu 20, 30,...,100.
commit to user
(g) Membuat grafik antara ukuran sampel yang bervariasi dan persentase menolak H0 dari keempat uji tersebut.
(h) Mengulangi langkah (a) sampai (g) untuk distribusi gamma, chi-kuadrat, beta, dan uniform.
4. Membandingkan uji Kolmogorov-Smirnov, Kuiper, Cramer-von Mises, dan Anderson-Darling berdasarkan hasil simulasi. Uji yang memiliki kepekaan tertinggi dalam menolak H0 ketika H0 salah merupakan uji yang paling kuat dalam menguji kenormalan data.
Diagram alir dalam mengkonstruksi program simulasi disajikan selengkapnya da-lam Gambar 3.1.
commit to user
commit to user
Bab IV
PEMBAHASAN
Dalam bagian ini yang dilakukan pertama kali adalah mengidentifikasi pengujian kenormalan menggunakan uji kenormalan berdasarkan kategori fungsi distribusi empiris yaitu uji Kolmogorov-Smirnov, Kuiper, Cramer-von Mises, dan Anderson-Darling. Selanjutnya diberikan contoh ketika hasil kesimpulan berbeda antara uji yang satu dengan yang lainnya. Untuk mengatasinya, dilakukan simu-lasi Monte Carlo guna memperoleh kepekaan uji masing-masing dalam menolak
H0 ketika H0 salah sehingga diperoleh uji yang kuat dalam menguji kenormalan data.
4.1 Prosedur Pengujian
Pada bagian ini, diberikan langkah-langkah pengujian hipotesis untuk menge-tahui sampel acak berasal dari populasi berdistribusi normal atau tidak.
1. Uji Kolmogorov Smirnov
Berikut langkah-langkah pengujian hipotesis untuk kenormalan data meng-gunakan uji Kolmogorov-Smirnov.
(a) Hipotesis
H0 : sampel acak berasal dari populasi berdistribusi normal
H1 : sampel acak tidak berasal dari populasi berdistribusi normal (b) Tingkat signifikansi (α)
(c) Daerah kritis
H0 ditolak jika D∗
> nilai kritis, dimana nilai kritis diperoleh dari Tabel 2.2
commit to user
(d) Statistik uji
Statistik uji dari uji Kolmogorov-Smirnov menggunakan jarak maksimum antara Fn(x) dan F(x), yaitu [Fn(x)-F(x)] dan [F(x
)-Fn(x)]. Untuk Fn(x)>F(x), perumusan statistik uji Kolomogorov-Smirnov adalah [Fn(x)-F(x)] dan dinotasikan dengan D−
. Sebaliknya untukFn(x)<F(x), statistik uji Kolomogorov-Smirnov dinotasikan de-ngan D−
dan dirumuskan dengan [F(x)-Fn(x)]. Dari dua hal terse-but diambil nilai yang maksimum. Nilai ini merupakan statistik uji dari uji Kolomogorov-Smirnov yang dinotasikan dengan D. Statistik uji Kolomogorov-Smirnov Dtersebut kemudian dimodifikasi oleh Ste-phens [18] dengan metode simulasi Monte Carlo. Berikut perumusan statistik uji Kolomogorov-Smirnov yang dimodifikasi.
D∗ = (√ n−0,01 + 0√,85 n )D (4.1) dengan D+ = maxi=1,2,...,n[i n−F(zi)] D− = maxi=1,2,...,n[F(zi)− i−1 n ] D = max(D+, D− ) dimanaD∗
adalah modifikasi statistik Kolmogorov-Smirnov,Dadalah statistik Kolmogorov-Smirnov, n adalah banyaknya sampel acak dan
F(zi) adalah distribusi probabilitas kumulatif normal standar untuk
zi = (xi −x¯)/s yang diperoleh dari tabel normal standar dengan xi
merupakan statistik terurut. (e) Kesimpulan
2. Uji Kuiper
Uji Kuiper mengkombinasikan statistik Kolmogorov-Smirnov, yaituD+dan
D−
. Berikut ini adalah uji hipotesis untuk kenormalan data menggunakan uji Kuiper.
commit to user
(a) Hipotesis
H0 : sampel acak berasal dari populasi berdistribusi normal
H1 : sampel acak tidak berasal dari populasi berdistribusi normal (b) Tingkat signifikansi (α)
(c) Daerah kritis
H0 ditolak jika V∗
> nilai kritis, dimana nilai kritis diperoleh dari Tabel 2.3
(d) Statistik uji
Statistik uji Kuiper merupakan kombinasi statistik Kolmogorov-Smirnov, yaitu D+ dan D−
sehingga uji ini juga menggunakan jarak maksimum antara Fn(x) dan F(x). Sama halnya uji Kolmogorov-Smirnov, statistik uji Kuiper juga dimodifikasi dan dinotasikan dengan
V∗
. Berikut ini perumusan dari modifikasi statistik Kuiper V∗
. V∗ = (√ n+ 0,05 + 0√,82 n )V (4.2) dengan V = D+ +D−
. Notasi V menunjukkan statistik Kuiper, V∗
adalah modifikasi statistik Kuiper dan n adalah banyaknya sampel acak
(e) Kesimpulan 3. Uji Cramer-von Mises
Langkah-langkah pengujian hipotesis untuk kenormalan data dengan uji Cramer-von Mises sebagai berikut.
(a) hipotesis
H0 : sampel acak berasal dari populasi berdistribusi normal
H1 : sampel acak tidak berasal dari populasi berdistribusi normal (b) tingkat signifikansi (α)
(c) daerah kritis
H0 ditolak jika W2∗
commit to user
(d) statistik uji
Statistik uji Cramer-von Mises menggunakan kuadrat selisih an-tara Fn(x) dan F(x) dengan fungsi pembobot ψ(F(x)) = 1, yaitu
n∫∞
−∞[Fn(x)−F(x)]2dF(x). Sebagaimana yang telah dinyatakan oleh Anderson dan Darling [?], didefinisikan statistik Cramer-von Mises agar mempermudah dalam perhitungan, yaitu 1
12n + ∑ni=1[F(zi) − 2i−1
2n ]2. Rumus 2i−1
2n merupakan rata-rata dari ni dan i−1
n . Seperti uji-uji yang sebelumnya, statistik Cramer-von Mises juga dimodifikasi. Perumusan modifikasi statistik Cramer-von Mises adalah
W2∗ = (1 +0,5 n )W 2 (4.3) dengan W2 = 1 12n+∑ni=1[F(zi)− 2i−1 2n ]2 dimana W2∗
adalah modifikasi statistik Cramer-von Mises, W2 ada-lah statistik Cramer-von Mises,n adalah banyaknya sampel acak dan
F(zi) adalah distribusi probabilitas kumulatif normal standar untuk
zi = (xi −x¯)/s yang diperoleh dari tabel normal standar dengan xi
merupakan statistik terurut. (e) kesimpulan
4. Uji Anderson-Darling
Berikut ini adalah pengujian hipotesis untuk kenormalan data yang meng-gunakan uji Anderson-Darling.
(a) Hipotesis
H0 : sampel acak berasal dari populasi berdistribusi normal
H1 : sampel acak tidak berasal dari populasi berdistribusi normal (b) Tingkat signifikansi (α)
(c) Daerah kritis
H0 ditolak jika A2∗
> nilai kritis, dimana nilai kritis diperoleh dari Tabel 2.5
commit to user
(d) Statistik uji
Statistik uji Anderson-Darling didefinisikan dengan
n ∫ ∞ −∞ [Fn(x)−F(x)]2 F(x)[1−F(x)]dF(x) dimana 1
F(x)[1−F(x)] merupakan fungsi pembobot. Berdasarkan rumus-an tersebut, dapat diketahui bahwa statistik uji Anderson-Darling juga menggunakan kuadrat selisih antara Fn(x) dan F(x). Menurut Ste-phens [19], dalam rangka mempermudah perhitungan diberikan formu-la untuk statistik Anderson-Darling, yaitu−n− 1n∑ni=1
[ ln( F(zi)) + ln( 1−F(zn+1−i))] . Formula 2i−1
n dalam perumusan tersebut meru-pakan penambahan antara i
n dan i−1
n . Stephens juga memodifikasi statistik Anderson-Darling melalui simulasi Monte Carlo. Berikut mo-difikasi statistik Anderson-Darling.
A2∗ = (1 +0,75 n + 2,25 n2 )A2 (4.4) dengan A2 =−n− 1n∑ni=1(2i−1)[ln( F(zi)) +ln( 1−F(zn+1−i))] dimana A2∗
adalah modifikasi statistik Anderson-Darling, A2 ada-lah statistik Anderson-Darling, n adalah banyaknya sampel acak dan
F(zi) adalah distribusi probabilitas kumulatif normal standar untuk
zi = (xi −x¯)/s yang diperoleh dari tabel normal standar dengan xi
merupakan statistik terurut. (e) Kesimpulan