BAB IV KESIMPULAN
A. Kesimpulan
BAB II
RUANG VEKTOR DAN MASALAH PROGRAM LINEAR
A. Matriks dan Sistem Persamaan Linear
Definisi 2.1 Matriks Diagonal
Suatu matriks A berorde disebut matriks diagonal jika untuk , yaitu (2.1)
Teorema 2.1: Sifat Transpos
Jika ukuran matriks adalah matriks dengan sedemikian sehingga operasi berikut dapat dilakukan, maka
1.
Bukti: Misalkan , dengan dan misalkan , dengan . Akan dibuktikan 1. 2. i) ii)
Teorema 2.2
Jika matriks A adalah sebuah matriks dan , maka persamaan matriks
(2.2)
(2.3)
Bukti:
Misalkan , akan dibuktikan matriks X mempunyai penyelesaian tunggal yang memenuhi , dan karena itu merupakan penyelesaian dari kedua persamaan (2.2) dan (2.3). Untuk melihat bahwa penyelesaian ini tunggal misalkan bahwa Y juga memenuhi persamaan (2.2), yaitu . Kemudian
Karena itu penyelesaian dari persamaan (2.2) adalah tunggal, dan argumen yang sama diterapkan pada persamaan (2.3).
Definisi 2.2 Invers Matriks
Suatu matriks A berorde dikatakan taksingular (nonsingular) atau dapat dibalik (invertible) jika terdapat matriks B sehingga . Matriks B disebut sebagai invers perkalian (multiplicative inverse) dari A. Notasi yang umum untuk invers adalah .
Definisi 2.3 Persamaan Linear
Suatu persamaan linear dalam n variabel adalah persamaan yang dapat dinyatakan dalam bentuk
dengan dan adalah konstanta real, adalah variabel dan tidak semua sama dengan nol.
Definisi 2.4 Sistem Persamaan Linear
Suatu sistem persamaan linear adalah himpunan persamaan linear dalam variabel, yang dapat dinyatakan dalam bentuk
(2.5)
dengan dan adalah konstanta real dan tidak semua sama dengan nol, untuk . Dalam sistem persamaan linear , dapat terjadi , , atau .
Definisi 2.5 Matriks Lengkap
Matriks Lengkap dari sistem persamaan linear (2.5) adalah
Definisi 2.6 Penyelesaian Sistem Persamaan Linear
Apabila , dimana adalah konstanta-konstanta real yang memenuhi semua sistem persamaan linear dalam (2.5), maka konstanta disebut penyelesaian dari sistem persamaan linear.
Definisi 2.7
Sistem persamaan linear disebut konsisten jika sistem persamaan tersebut setidak-tidaknya mempunyai paling tepat sedikit satu penyelesaian atau takberhingga banyak penyelesaian. Sistem persamaan linear disebut tidak
konsisten jika sistem persamaan tersebut tidak mempunyai penyelesaian.
Definisi 2.8 Sistem Persamaan Linear Homogen
Suatu sistem persamaan linear disebut sistem persamaan linear homogen jika konstanta-konstanta di ruas kanan semuanya nol. Sistem persamaan linear homogen dapat dinyatakan dalam bentuk
Sistem persamaan linear homogen selalu mempunyai penyelesaian konsisten. Jadi, jika dalam sistem persamaan linear homogen , memiliki penyelesain tunggal maka penyelesaian ini disebut penyelesaian trivial. Jika ada penyelesaian lain maka penyelesaian itu disebut penyelesaian taktrivial.
Definisi 2.9 Operasi baris elementer
Operasi baris elementer pada suatu matriks adalah salah satu operasi:
1. Menukar letak dari dua baris matriks tersebut, yakni menukar baris ke-i dan ke-j, dengan notasi .
2. Mengalikan suatu baris dengan konstanta tak nol, yakni mengalikan baris ke-i dengan bilangan c, dimana , dengan notasi .
3. Mengganti suatu baris dengan hasil penjumlahan baris tersebut dan kelipatan baris lain, yakni mengganti baris ke-i ditambah dengan c kali baris ke-j, dengan notasi .
Definisi 2.10 Bentuk eselon baris
Suatu matriks dikatakan memiliki bentuk eselon baris jika 1. Entri bukan nol pertama dalam setiap baris adalah 1.
2. Jika baris k tidak seluruhnya mengandung nol, maka banyaknya entri nol di bagian depan pada baris lebih besar dari banyaknya entri nol dibagian depan pada baris k.
3. Jika terdapat baris-baris yang entrinya semuannya nol, maka baris-baris ini berada di bawah baris-baris yang memiliki entri-entri bukan nol.
Definisi 2.11 Matriks Elementer
Suatu matriks yang diperoleh dari matriks satuan I dengan melakukan satu operasi baris elementer disebut matriks elementer. Terdapat tiga jenis matriks elementer yang berkorespondensi dengan ketiga jenis operasi baris elementer. 1. Matriks elementer jenis 1 adalah matriks yang diperoleh dengan
mempertukarkan dua baris dari I.
2. Matriks elementer jenis 2 adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan satu baris dari I dengan konstanta bukan nol.
3. Matriks elementer jenis 3 adalah matriks yang diperoleh dari I dengan menjumlahkan kelipatan dari satu baris pada baris yang lain.
Definisi 2.12 Ekivalen Baris
Matriks B dikatakan ekivalen baris dengan A jika terdapat matriks elementer sehingga
B. Ruang Vektor
Definisi 2.13 Ruang Vektor
Misalkan V adalah suatu himpunan tak kosong yang terdiri dari objek-objek di mana didefinisikan operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar.
Himpunan V dengan operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar dikatakan membentuk suatu ruang vektor jika aksioma-aksioma berikut dipenuhi:
1.
2.
3. Terdapat elemen sehingga
4. sehingga
5. untuk setiap skalar
6. untuk setiap skalar 7. untuk setiap skalar 8.
9. Jika dan suatu skalar, 10.Jika maka
Contoh 2.1
Misalkan dan adalah vektor-vektor di . Penjumlahan
pada didefinisikan sebagai berikut:
dan operasi perkalian dengan skalar di R didefinisikan sebagai berikut: (2.8)
Tunjukkan bahwa merupakan ruang vektor.
Bukti: Misalkan , , dan , 1. Akan ditunjukkan 2. Akan ditunjukkan
3. Akan ditunjukkan terdapat elemen sehingga
4. Akan ditunjukkan sehingga
Invers dari adalah sehingga 5. Akan ditunjukkan 6. Akan ditunjukkan 7. Akan ditunjukkan
8. Akan ditunjukkan 9. Akan ditunjukkan
Seperti pada persamaan (2.8) 10.Akan ditunjukkan
Seperti pada persamaan (2.7)
Definisi 2.14 Ruang bagian (subspace)
Jika S adalah subhimpunan tak kosong dari suatu ruang vektor V, dan S memenuhi syarat-syarat berikut:
a. jika untuk sembarang skalar .
b. jika dan . Maka S disebut ruang bagian dari V.
Contoh 2.2
Tunjukan apakah merupakan ruang bagian dari atau tidak.
Bukti:
1. Akan dibuktikan jika untuk sembarang skalar . dan
karena maka
karena maka jadi .
2. Akan dibuktikan jika dan .
dan
karena dan maka dan . Sehingga
ruang bagian dari
Definisi 2.15 Kombinasi linear
Misalkan adalah vektor-vektor dalam suatu ruang vektor V. Jumlahan vektor-vektor yang berbentuk
(2.9)
dimana adalah skalar-skalar disebut sebagai kombinasi linear dari
Definisi 2.16 Merentang (span)
Misalkan adalah vektor-vektor dalam suatu ruang vektor V dan jika masing-masing vektor pada V dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari maka dapat dikatakan bahwa vektor-vektor
Definisi 2.17 Bebas linear (linearly independent)
Vektor-vektor dalam ruang vektor V disebut bebas linear jika
(2.10)
mengakibatkan semua skalar-skalar sama dengan 0.
Definisi 2.18 Bergantung linear (linearly dependent)
Vektor-vektor dalam ruang vektor V disebut bergantung linear jika terdapat skalar-skalar yang tidak semuanya nol sehingga
(2.11)
Definisi 2.19 Basis
Vektor-vektor membentuk basis untuk ruang vektor V jika dan hanya jika:
a. bebas linear. b. merentang V.
Definisi 2.20
Dimensi dari ruang vektor V adalah banyaknya vektor-vektor yang membentuk basis untuk ruang vektor V. Selain itu, mendefinisikan ruang vektor nol sebagai berdimensi nol.
Definisi 2.21 Misalkan matriks . Vektor-vektor dalam , yaitu , , , yang dibentuk dari baris-baris matriks A dinamakan
vektor-vektor baris dari A dan vektor-vektor dalam , yaitu , , ,
yang dibentuk dari kolom-kolom matriks A
dinamakan vektor-vektor kolom dari A.
Definisi 2.22
Jika A adalah matriks , maka ruang bagian dari yang direntang oleh vektor-vektor baris dari A disebut ruang baris dari A. Ruang bagian dari
yang direntang oleh vektor-vektor kolom dari A disebut ruang kolom dari A. Ruang kolom dari A dapat di notasikan
Contoh 2.3:
Misalkan
Ruang baris dari A adalah himpunan ketiga tupel yang berbentuk
Ruang kolom dari A adalah himpunan semua vektor yang berbentuk
Jadi ruang baris dari A adalah ruang bagian berdimensi dua dari dan ruang kolom dari A adalah .
Teorema 2.3
Bukti:
Jika B ekivalen baris dengan A, maka B dapat dibentuk dari A dengan sebarisan operasi baris yang berhingga banyaknya. Jadi vektor-vektor baris dari B harus merupakan kombinasi linear dari vektor-vektor baris dari A. Sebagai akibatnya, ruang baris dari B harus merupakan ruang bagian dari ruang baris A. Karena A ekivalen baris dengan B, maka dengan alasan yang sama, ruang baris dari A adalah ruang bagian dari ruang baris B.
Definisi 2.23 Ruang Nol (Null Spaces)
Misal adalah matriks . Misalkan menyatakan himpunan semua penyelesaian dari sistem persamaan homogen . Jadi
(2.12)
disebut sebagai ruang nol
Definisi 2.24
Rank dari matriks A adalah dimensi dari ruang baris dari A. Nulitas dari matriks A adalah dimensi ruang nol dari A.
Untuk menentukan rank dari suatu matriks dapat dilakukan dengan mereduksikan matriks yang bersangkutan menjadi bentuk eselon baris.
Teorema 2.4
Jika suatu matriks berada dalam bentuk eselon baris, maka vektor-vektor baris dengan 1 utama (yaitu vektor-vektor baris taknol) membentuk suatu basis untuk ruang baris dari .
Bukti:
Misalkan matriks berada dalam bentuk eselon baris, yakni
Akan dibuktikan vektor-vektor baris dengan 1 utama membentuk suatu basis untuk ruang baris dari . Ruang baris dari A dapat dibentuk sebagai berikut
.
Akan ditunjukkan bahwa baris 1 sampai baris m dari matriks membentuk basis untuk ruang baris dari . Misalkan vektor-vektor baris dapat dinyakan sebagai .
Akan ditunjukkan membentuk basis. 1. Akan ditunjukkan bebas linear
Vektor disebut bebas linear jika mengakibatkan semua skalar sama dengan nol. Perhatikan persamaan , yakni
Matriks lengkap dari sistem persamaan tersebut dapat ditulis
Dengan operasi baris elementer terhadap baris 2, yakni maka akan diperoleh
Operasi baris elementer dilakukan sampai pada baris ke-m, yakni dengan operasi baris elementer maka akan diperoleh
maka ,
. Karena , maka
bebas linear.
2. Akan dibuktikan merentang ruang baris dari A.
dikatakan merentang jika masing-masing vektor pada ruang baris di ruang bagian dari dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari . Ambil sembarang vektor pada ruang baris di ruang
bagian dari . Akan ditunjukkan untuk setiap dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear . Perhatikan persamaan
, yakni
atau dapat ditulis
dengan operasi baris elementer maka akan diperoleh
dengan operasi baris elementer maka akan diperoleh
dengan operasi baris elementer maka akan diperoleh
Karena
Karena bebas linear dan merentang maka vektor-vektor tersebut membentuk basis untuk ruang baris dari A.
Contoh 2.4
Misalkan
Dengan mereduksikan A menjadi bentuk eselon baris, maka diperoleh matriks
Akan dibuktikan bahwa baris 1 dan baris 2 dari matriks U dengan 1 utama membentuk suatu basis untuk ruang baris dari U. Ruang baris dari U yakni dapat dibentuk
Jadi ruang baris dari U adalah
Akan ditunjukkan bahwa baris 1 dan baris 2 dari matriks U membentuk basis untuk ruang baris dari U. Misalkan , akan ditunjukkan membentuk basis.
1. Akan dibuktikan bebas linear
Vektor disebut bebas linear jika mengakibatkan
semua skalar sama dengan nol.
atau dapat ditulis
dengan operasi baris elementer maka akan diperoleh
maka , , . Karena maka bebas linear.
2. Akan dibuktikan merentang ruang baris dari U
dikatakan merentang jika masing-masing vektor di dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear. Perhatikan persamaan dibawa ini
atau dapat ditulis
dengan operasi baris elementer maka akan diperoleh
maka , , dan . Karena dan maka merentang ruang baris dari U.
Karena bebas linear dan merentang maka vektor-vektor tersebut membentuk basis untuk ruang baris dari U.
Jelas bahwa baris 1 dan baris 2 dari matriks U membentuk basis untuk ruang baris dari U adalah
ekivalen baris, maka matriks U dan A memiliki ruang baris yang sama sehingga rank dari A adalah 2.
Definisi 2.25
Variabel utama adalah variabel-variabel yang bersesuaian dengan 1 utama
pada matriks yang diperluas. Sedangkan variabel yang bukan 1 utama disebut sebagai variabel bebas.
Teorema 2.5
Jika A adalah matriks , maka dimensi ruang baris dari A sama dengan dimensi ruang kolom dari A.
Bukti
Jika A adalah matriks dengan rank r, maka bentuk eselon baris U dari A akan memiliki 1 utama sebanyak r. Kolom-kolom dari U yang berkorespondensi dengan 1 utama akan bebas linear. Akan tetapi, tidak membentuk basis untuk ruang kolom dari A, karena pada umumnya A dan U akan memiliki ruang-ruang kolom yang berbeda. Misalkan melambangkan matriks yang diperoleh dari dengan menghapus semua kolom-kolom yang berkorespondesi dengan peubah-peubah bebas. Hapuskan kolom-kolom yang
sama dari A dan nyatakan matriks yang baru dengan . Matriks-matriks dan adalah ekivalen baris. Jadi, jika x adalah penyelesaian dari ,
maka x juga harus merupakan penyelesaian dari . Karena
kolom-kolom dari bebas linear, x harus sama dengan . Berdasarkan uraian sebelumnya karena x sama dengan 0 maka kolom-kolom dari bebas linear. Karena memiliki r kolom, maka dimensi ruang kolom dari A satidaknya adalah r.
Berdasarkan Definisi matriks transpos, baris-baris dari matriks A merupakan kolom-kolom dari matrik sehingga dapat ditulis
Seperti yang telah dibuktikan bahwa untuk sembarang matriks dimensi ruang kolomnya lebih besar atau sama dengan dimensi ruang barisnya, sehingga
Berdasarkan Definisi matrik transpos, baris-baris dari matrik merupakan kolom-kolom dari matrik sehingga dapat ditulis
Jadi untuk sembarang matriks A, dimensi ruang barisnya harus sama dengan dimensi ruang kolomnya.
Teorema 2.6
Jika A adalah suatu matriks dengan n kolom, maka
Bukti
Karena A memiliki n kolom, maka sistem linear homogen memiliki n faktor yang tidak diketahui (variabel). Variabel ini terbagi dalam dua kategori, variabel utama dan variabel bebas. Jadi
Tetapi banyaknya variabel utama adalah sama dengan banyaknya 1 utama di dalam bentuk eselon baris tereduksi dari A, dan banyaknya variabel satu utama merupakan rank dari A. Jadi
Banyaknya variabel bebas adalah sama dengan nulitas dari A. Hal ini terjadi karena nulitas dari A adalah dimensi ruang solusi dari , yang sama
dengan banyaknya parameter pada solusi umum yang sama dengan banyaknya variabel bebas. Jadi
Definisi 2.26 Ruang hasil kali dalam
Hasil kali dalam pada ruang vektor V adalah sebuah operasi pada V yang menunjuk setiap pasang vektor-vektor x dan y di dalam V dengan sebuah bilangan real yang memenuhi syarat berikut:
a. , dan jika dan hanya jika . b. , .
c. , dan .
Sebuah ruang vektor V dengan hasil kali dalamnya disebut ruang hasil kali
dalam.
Contoh 2.5
Ruang vektor . Tunjukkan bahwa hasil kali skalar yang didefinisikan:
(2.13)
adalah hasil kali dalam untuk . Persamaan (2.13) dapat juga ditulis
(2.14)
Penyelesaian:
Ambil sembarang vektor , , dan , dalam ruang
vektor dan sembarang skalar
a. Akan dibuktikan , dan jika dan hanya jika .
Akan dibuktikan Diketahui
(2.15)
maka dari persamaan (2.15) dapat diperoleh
Jadi
Akan dibuktikan
Diketahui dan maka diperoleh
Jadi b. Akan dibuktikan , . Jadi terbukti
c. Akan dibuktikan , dan .
=
Jadi terbukti
Dari a, b, dan c terbukti bahwa hasil kali dalam di ruang vektor adalah hasil kali dalam skalar
Definisi 2.27 Panjang vektor atau norma
Jika x adalah sebuah vektor di dalam sebuah ruang hasil kali dalam ,
panjang atau norma dari x didefinisikan
(2.16)
Teorema 2.7
Jika adalah vektor pada , maka:
a.
Bukti:
a. Misalkan adalah vektor pada , akan dibuktikan atau dapat ditulis . ini jelas karena hasil dari akar tidak akan bernilai negatif dan nilai dari kuadrat tidak akan bernilai negatif.
b. Akan dibuktikan jika dan hanya jika Diketahui dan akan dibuktikan .
(2.17)
karena hasil dari untuk setiap tidak akan bernilai negatif maka untuk setiap . Sehingga persamaan (2.17) bernilai benar jika dan hanya jika , jadi untuk setiap atau .
.
Diketahui , dan akan dibuktikan .
Karena diketahui , maka . Akibatnya
Teorema 2.8
.
Bukti:
Misalkan x vektor sedemikian sehingga . Maka , dan
yaitu . Oleh karena itu . Sebaliknya, jika
x memenuhi relasi , maka jelas . Dengan demikian
. Karena maka akibat dari Teorema 2.6,
dimana n adalah banyaknya kolom A. Oleh karena itu teorema tersebut terbukti.
Teorema 2.9
Jika A adalah suatu matriks sebarang, maka .
Bukti:
Misalkan A sembarang matrik. Menurut Definisi rank maka
Berdasarkan Definisi matrik transpos, baris-baris dari matrik A merupakan kolom-kolom dari matrik sehingga dapat ditulis
Berdasarkan Teorema 2.5, maka
Definisi 2.28 Ortogonal
Dua vektor x dan y dalam dikatakan ortogonal, jika
(2.18)
dan dilambangkan dengan
Definisi 2.29 Subruang yang ortogonal
Dua ruang bagian X dan Y dalam dikatakan ortogonal, jika
(2.19)
Definisi 2.30 Komplemen Ortogonal
Misalkan Y adalah ruang bagian dari . Himpunan semua vektor-vektor di dalam yang ortogonal pada setiap vektor di Y akan dinotasikan dengan . Jadi
Himpunan disebut komplemen ortogonal dari Y.
Teorema 2.10
1. Jika X dan Y adalah ruang bagian ortogonal dari , maka . 2. Jika Y adalah ruang bagian dari , maka juga merupakan ruang
bagian dari .
Bukti:
1. Misalkan dan , akan ditunjukkan . Karena berdasarkan definisi ortogonal maka , akibat dari teorema 2.7 b .
2. Misalkan dan adalah bilangan skalar, maka untuk setiap ,
Oleh karena itu, . Misalkan adalah elemen-elemen dari , maka
Untuk setiap . Maka diperoleh adalah ruang bagian dari .
Definisi 2.31 Rank Penuh
Jika A adalah matriks dengan rank , maka dapat dikatakan bahwa matriks tersebut memiliki rank penuh.
Teorema 2.11
Misalkan matriks berukuran . Misalkan matriks mempunyai rank penuh m. Misalkan menyatakan ruang nol dan menyatakan ruang kolom dari maka dan merupakan subruang yang saling orthogonal.
Bukti:
Misalkan dan Akan dibuktikan
Perhatikan bahwa
dan
Maka
(2.20)
Karena maka persamaan (2.20) dapat di ubah menjadi
atau
Dengan demikian Jadi
Dari Teorema 2.11 telah diperlihatkan bahwa dan adalah subruang yang saling orthogonal. Misalkan dan dan – .
Maka dapat juga ditulis
– (2.21)
Karena , maka persamaan (2.21) dapat di ubah menjadi
– (2.22)
Kalikan kedua ruas dengan , maka didapatkan
–
Diketahui bahwa , maka didapatkan
–
atau –
Dengan demikian – (2.23)
Subsitusikan persamaan (2.23) ke persamaan (2.22), maka didapatkan
– –
–
– (2.24)
dengan (2.25)
Definisi 2.32 Matriks proyeksi ortogonal
Matriks P berukuran , dengan disebut matriks
proyeksi ortogonal atau matriks proyeksi ruang nol dari .
Teorema 2.12
Jika A adalah sebuah matriks , maka dan
Bukti:
Sebelumnya telah diketahui bahwa dan ini mengimplikasikan bahwa . Di lain pihak, misalkan adalah sembarang vektor
dari , maka ortogonal pada setiap vektor-vektor kolom dari dan akibatnya . Jadi x merupakan elemen dari . Karena dan maka . Secara khusus, dapat dimisalkan matriks . Jadi
Teorema 2.13
Jika S adalah ruang bagian dari , maka .
Bukti:
Jika , maka ortogonal pada setiap di dalam . Oleh karena itu, , sehingga . Di lain pihak, misalkan bahwa z adalah sembarang elemen dari . Misalkan z sebagai penjumlaha , dimana
dan . Karena , maka ortogonal pada dan . Sehingga
dan mengakibatkan, . Oleh karena itu, dan .
Teorema 2.14
Sistem persamaan linear homogen memiliki penyelesaian taktrivial jika .
Bukti:
Sistem homogen selalu konsisten. Bentuk eselon baris dari matriks yang bersangkutan memiliki paling banyak m baris bukan nol. Jadi terdapat paling banyak m peubah utama. Karena semuanya secara keseluruhan terdapat n
peubah dan , maka harus terdapat beberapa peubah bebas. Peubah-peubah bebas ini dapat diberi sembarang nilai. Untuk setiap pemberian nilai ke peubah-peubah bebas ini terdapat satu penyelesaian bagi sistem yang
bersangkutan.
Teorema 2.15
Misalkan A matriks . Hal-hal berikut adalah ekivalen: a. A taksingular
b. hanya mempunyai penyelesaian trivial
Bukti:
Misalkan A taksingular. Akan dibuktikan hanya mempunyai penyelesaian trivial .
Misalkan A taksingular dan merupakan penyelesaian dari , maka
Karena merupakan penyelesaian dari , maka
Jadi hanya mempunyai penyelesaian trivial.
Misalkan hanya mempunyai penyelesaian trivial . Akan dibuktikan A taksingular.
Misalkan hanya mempunyai penyelesaian trivial . Dengan
menggunakan operasi-operasi baris elementer, sistem tersebut dapat ditransformasikan menjadi bentuk , dimana U berbentuk eselon baris. Jika salah satu elemen diagonal dari U adalah 0, maka baris terakhir dari U seluruhnya terdiri dari 0. Tetapi kemudian akan ekivalen dengan suatu sistem dengan lebih banyak peubah daripada banyaknya persamaan dan dengan demikian berdasarkan Teorema 2.14 sistem akan memiliki penyelesaian taktrivial. Jadi U haruslah merupakan matriks segitiga dengan elemen-elemen diagonal semuanya sama dengan 1. Sebagai akibatnya maka I adalah bentuk eselon baris tereduksi dari A sehingga A ekivalen baris dengan I.
Karena A ekivalen baris dengan I, maka terdapat matriks-matriks elementer sehingga
tetapi karena dapat dibalik, maka hasil kali juga dapat dibalik. Jadi A taksingular dan
Teorema 2.16
Matriks adalah matriks bujur sangkar yang berorde nonsingular jika dan hanya jika .
Bukti:
Akan dibuktikan
Misalkan adalah nonsingular. Untuk membuktikan ini, misalkan z sebagai penyelesaian untuk
yakni (2.26)
Berdasarkan Teorema 2.15, hanya mempunyai penyelesaian
trivial maka . Sebagai akibatnya hanya mempunyai
penyelesaian trivial dan vektor-vektor kolom dari adalah bebas linear, maka mempunyai rank .
Akan dibuktikan adalah nonsingular
Untuk membuktikan ini, misalkan z sebagai penyelesaian untuk persamaan (2.26). Kemudian Jelas bahwa, . Karena , maka akibatnya . Jika
mempunyai , maka vektor-vektor kolom dari adalah bebas linear dan sebagai akibatnya hanya mempunyai
penyelesaian trivial. Oleh karena itu berdasarkan Teorema 2.15 adalah nonsingular.
Definisi 2.33 Persekitaran
Persekitaran dari titik adalah himpunan dari titik-titik
, dengan (2.27)
Definisi 2.34 Titik Interior
Suatu titik dikatakan titik interior dari himpunan S jika ada persekitaran
dari sedemikian sehingga semua titik dalam persekitaran dari juga berada dalam S, yakni
(2.28)
Definisi 2.35 Transformasi
Misalkan V dan W dua ruang vektor. Transformasi atau pemetaan atau
fungsi T dari V ke dalam W adalah aturan yang memasangkan setiap elemen x di V dengan satu dan hanya satu elemen di W . Untuk selanjutnya, transformasi ini ditulis
Ruang vekror V disebut daerah asal T. Nilai transformasi T untuk elemen ditulis yang merupakan elemen di W. Elemen disebut peta
dari x.
Maka transformasi T dari V ke W jika dan hanya jika
Definisi 2.36
Misalkan transformasi pada S, maka adalah invers dari jika dan , untuk setiap yaitu komposisi dari dan adalah transformasi identitas pada S. Notasi yang umum untuk invers adalah .
Teorema 2.17
Misalkan , maka .
Bukti:
Misalkan adalah transformasi dari . Akan dibuktikan .
i. Misalkan ini berarti bahwa , maka dan . Karena adalah transformasi, sehingga dan .
ii. Misalkan , karena berarti ada sehingga . Maka berarti maka .
Misalkan . Akan dibuktikan adalah transformasi dari atau dan jika dan maka . Misalkan karena , berarti ada sedemikian sehingga atau maka maka . Misalkan dan , maka dan , tetapi berarti dan
adalah sebuah transformasi.
