Kesimpulan

BAB V PENUTUP

A. Kesimpulan

5 B. Saran

DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN

6 BAB II

PERSAMAAN DIFERENSIAL

Pada bab ini akan dibahas turunan, deret Taylor, deret Fourier, turunan numeris, integral, persamaan diferensial yang meliputi klasifikasi persamaan diferensial, persamaan diferensial biasa, persamaan diferensial parsial, persamaan hiperbolik, pendekatan numeris persamaan diferensial, dan karakteristik persamaan Burgers.

A. Turunan

Dalam subbab ini akan dibahas definisi turunan, teorema aturan rantai beserta contohnya.

Definisi 2.1 (Stewart, 2016)

Turunan dari fungsi f pada suatu bilangan x, diberikan oleh

h x f h x x f

f

h

) ( ) lim (

) ( '

0



 



jika nilai limitnya ada.

Contoh 2.2

Tentukan turunan dari fungsi ( ) . Penyelesaian:

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

7

Jadi, turunan dari fungsi ( ) adalah Teorema 2.3 (Stewart, 2016)

Jika g terdiferensial di

x

dan f terdiferensial di g(x), maka fungsi komposisi F f g didefinisikan oleh F(x) f(g(x)) terdiferensial di

x

sehingga F' diperoleh

) ( ' )) ( ( ' ) (

' x f g x g x

F   (2.1)

Dalam notasi Leibniz, jika y f(u) dan ug(x) dimana keduanya fungsi yang terdiferesial, maka

dx. du du dy dx

dy   (2.2)

Bukti dari Teorema 2.3 dapat dilihat pada buku yang berjudul Calculus eighth edition (Single Variable Calculus Early Trancendentals) karangan James Stewart (2016).

Contoh 2.4

Tentukan turunan dari fungsi F(x) x² 1. Penelesaian:

Cara 1: menggunakan persamaan (2.1).

Diketahui F(x)(f g)(x) f(g(x)) dimana f(u) u dan

g ( x )  x

²

 1 ,

oleh karena itu,

u u

u f

2 1 2

) 1 (

' ²

1



 ^

dan

x x g'( )2

8 sehingga diperoleh

)

Cara 2: menggunakan persamaan (2.2).

Misalkan u x²1 dan y u, diperoleh

Dalam subbab ini akan dibahas teorema deret Taylor.

Teorema 2.5

Andaikan f(x) adalah suatu fungsi dan

f ' ( x ), f '' ( x ),..., f

^(m)

( x )

ada untuk setiap x a,b yang merupakan turunan dari ^f(x). Misalkan

x

₀

   a , b

, maka untuk nilai-nilai

x

di sekitar

x

₀, f(x) dapat diperluas ke dalam deret Taylor:

...

9 C. Turunan Numeris (Ackleh, et al. 2009)

Subbab ini memuat penerapan deret Taylor untuk aproksimasi turunan.

Misalkan

f  C

²

  a , b

. Nilai

f ' ( x

₀

)

akan diaproksimasi untuk

x

₀

 ( a , b )

_.

Dengan deret Taylor,

))

Oleh karena itu,

) merupakan bentuk beda maju.

Untuk mendapatkan aproksimasi yang lebih baik, misalkan

f  C

³

  a , b

dan mempertimbangkan

{ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (2.4)

10 merupakan bentuk beda tengah.

D. Integral

Dalam subbab ini akan dibahas definisi integral tentu.

Definisi 2.6 (Stewart, 2016)

Jika f adalah suatu fungsi yang didefinisikan untuk axb, kita bagi

x titik sampel pada subinterval tersebut, jadi x_i^* terletak di I subinteval

 x ,

_i1

x

_i



. Maka definisi integral fungsi f dari a ke b adalah

asalkan limitnya ada dan memberikan nilai yang sama untuk semua pilihan yang memungkinkan titik sampel. Jika limitnya ada, kita katakan bahwa f terintegrasi pada a,b.

E. Deret Fourier

Diberikan f(x) yang didefinisikan pada L,L, dimana f(x) periodik dengan periode 2L, terdapat konstanta

a

₀

, a

₁

,..., a

_n dan

b

₁

, b

₂

,..., b

_n, maka f(x) dapat dinyatakan sebagai deret tak hingga dari sinus dan cosinus sebagai berikut



^

11 bilangan bulat positif, maka

,

yang disebut hubungan ortogonalitas.

Dan

Kemudian integralkan kedua ruas pada persamaan (2.6). Diperoleh,

,

karena integral dari 



12

cos dan integrasikan,

.

Sekarang,

.

dengan hubungan ortogonalitas, semua integral dalam penjumlahan adalah nol kecuali untuk integral





13 Sehingga diperoleh

L

Dengan cara yang sama, jika mengalikan persamaan (2.6) dengan 



mengintegralkan kedua ruas, ketika nk. Diperoleh,

L dx

F. Klasifikasi Persamaan Diferensial

Dalam subbab ini akan dibahas definisi persamaan diferensial, persamaan diferensial biasa, persamanan diferensial parsial, order persamaan diferensial, derajat persaman diferensial dan contohnya.

Definisi 2.7

Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang mengandung turunan dari satu atau lebih variabel terikat terhadap satu atau lebih variabel bebas.

Persamaan diferensial dikelompokkan menjadi dua jenis berdasarkan banyaknya variabel bebas yaitu persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial parsial.

14 Contoh 2.8

Berikut contoh dari persamaan diferensial

2 0

ty dt

dy . (2.10)

Definisi 2.9

Persamaan diferensial biasa adalah suatu persamaan diferensial dengan turunan biasa dari satu atau lebih variabel terikat dengan satu variabel bebas.

Contoh 2.10

Berikut contoh dari persamaan diferensial biasa t

dt y

dy2 4 (2.11)

t dt y

tdy dt

y

t d ₂ 2 sin

2

2    (2.12)

2 1

2 3 3 4

4     y

dt dy dt

y d dt

y d dt

y

d . (2.13)

Definisi 2.11

Persamaan diferensial parsial adalah suatu persamaan diferensial dengan turunan parsial dari satu atau lebih variabel terikat dengan lebih dari satu variabel bebas.

Berdasarkan linearitas, persamaan diferensial parsial dikelompokkan menjadi dua yaitu persamaan diferensial parsial linear dan persamaan diferensial parsial nonlinear.

Contoh 2.12

Berikut contoh dari persamaan diferensial parsial

0



 





x c u t

u (2.14)

2 0

2

2 2

 







y u x

u (2.15)

15

2 2

x u t

u



 



 . (2.16)

Definisi 2.13

Menurut Wazwaz (2009) persamaan diferensial parsial dikatakan linear jika memenuhi syarat:

1. Pangkat dari variabel terikat dan setiap turunan parsial dalam suatu persamaan adalah satu,

2. Koefisien dari variabel terikat dan koefisien dari setiap turunan parsial adalah konstan atau variabel bebas.

Jika salah satu syarat tidak dipenuhi, maka persamaan disebut persamaan diferensial nonlinear.

Contoh 2.14

Contoh persamaan diferensial parsial linear:

0



 



 x u t

u . (2.17)

Persamaan di atas merupakan persamaan diferensial parsial linear karena pangkat dari

t u



 dan x u



 adalah satu. Dan koefisien dari t u



 dan x u



 adalah

konstan.

Contoh 2.15

Contoh persamaan diferensial parsial nonlinear:

2



 





x x u x

u u . (2.18)

Persamaan di atas merupakan persamaan diferensial parsial nonlinear karena

x u



 mempunyai variabel terikat u yang merupakan koefisien.

Definisi 2.16 (Boyce, D’Prima, 2012)

Order persamaan diferensial adalah tingkat tertinggi dari turunan dalam persamaan diferensial tersebut.

16 Contoh 2.17

Persamaan (2.14) merupakan persamaan diferensial yang mempunyai order 1, sedangkan persamaan (2.15) dan (2.16) merupakan persamaan diferensial yang mempunyai order 2.

Definisi 2.18

Derajat persamaan diferensial adalah pangkat tertinggi dari tingkat tertinggi dari turunan dalam persamaan diferensial tersebut.

Contoh 2.19

Persamaan (2.14), (2.15) dan (2.16) merupakan persamaan diferensial yang mempunyai derajat 1, sedangkan persamaan x

y u x

u 2sin

3 2

2 2

 



 







 



 









merupakan persamaan diferensial yang mempunyai derajat 2.

G. Pendekatan Numeris Persamaan Diferensial

Penyelesaian suatu persamaan diferensial dapat dilakukan dengan penyelesaian secara analitis dan melalui penyelesaian secara numeris.

Penyelesaian analitis adalah penyelesaian sesungguhnya sehingga diperoleh hasil eksak dan tidak mempunyai galat atau galatnya sama dengan nol. Sedangkan penyelesaian numeris adalah pendekatan dari penyelesaian sebenarnya dengan galat tertentu. Penyelesaian numeris ini digunakan ketika penyelesaian eksak sangat sulit untuk diperoleh seperti pada model matematika dalam bentuk persamaan diferensial.

Untuk persamaan diferensial dengan bentuk

0



 



 x u t u

atau

) 0 , ( ) ,

( 









x t x u t

t x

u . (2.19)

17

Pendekatan numeris persamaan diferensial sebagai berikut:

t

substitusikan persamaan (2.20) dan (2.21) ke dalam persamaan (2.19), menjadi 2 0 sehingga diperoleh persamaan



ⁿj



H. Karakteristik Persamaan Burgers

Bentuk standar persamaan Burgers diberikan oleh Wazwaz (2009) sebagai berikut

2

dengan v adalah koefisien viskositas yang bernilai konstan. Jika koefisien viskositasnya v0, maka persamaan (2.23) disebut persamaan Burgers inviscid.

Persamaan Burgers inviscid diterapkan dalam dinamika gas. Persamaan Burgers inviscid dibahas sebelumnya sebagai kasus homogen masalah adveksi. Sedangkan persamaan Burgers yang koefisien viskositasnya tak nol disebut persamaan Burgers viscid. Persamaan Burgers nonlinear dianggap sebagai persamaan diferensial parsial nonlinear sederhana yang menggabungkan konveksi dan difusi dalam dinamika fluida. Persamaan Burgers juga digunakan untuk menggambarkan struktur gelombang kejut, arus lalu lintas, dan transmisi akustik.

18 BAB III

PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS DAN PERSAMAAN BURGERS

Pada bab ini akan dibahas penyelesaian analitis persamaan panas untuk kasus tertentu, penyelesaian numeris persamaan Burgers menggunakan metode Lax-Friedrichs dan metode Lax-Wendroff, dan skema penyelesaian persamaan Burgers menggunakan metode Lax-Friedrichs dan metode Lax-Wendroff.

A. Penyelesaian Analitis Persamaan Panas untuk Kasus Tertentu Dalam subbab ini, persamaan panas berikut akan diselesaikan:

2

Menggunakan metode pemisah variabel

)

disubstitusikan ke persamaan panas, diperoleh )

Ruas kiri persamaan (3.3) hanya bergantung pada t, ruas kanan hanya bergantung pada x, dimana x dan t merupakan variabel bebas. Misalkan

t  t

₀, dan

sama dengan konstanta

)

suatu konstanta , disebut konstanta pemisah, sehingga diperoleh

19

Dengan variabel yang dipisahkan, diperoleh dua persamaan diferensial biasa yaitu 0

Selanjutnya menggunakan syarat batas untuk t 0, 0

Persamaan (3.5) dengan koefisien konstanta, untuk memperoleh penyelesaian non trivial, bagi menjadi tiga kasus dimana misalkan  sama dengan nol, negatif dan positif.

1. Kasus 0 Diperoleh

2

Dengan mensubstitusikannya ke syarat batas, diperoleh

0 )

0

( c₂  X

20 kasus 0 merupakan penyelesaian trivial.

2. Kasus 0 dengan ², dimana  0. Substitusikan  ke persamaan (3.5), diperoleh

0

persamaan diferensial tersebut.

Substitusi bentuk eksponensial ke persamaan (3.9)

rx

diperoleh

0

Penyelesaian umum dari (3.9) adalah

x dan penyelesaian khusus persamaan (3.9) dicari dengan menentukan nilai dari c₁ dan c₂ dengan mensubstitusikannya ke syarat batas, diperoleh

0 ) 0

( 

X

21 sehingga

2 0

1c  c

atau

2

1 c

c  (3.11)

dan

0 ) (L  X

sehingga

0

2 1

2 1

e

^rL

 c e

^rL

 c

atau

0

2 1

2

2

 

 c e

^rL

c e

^rL

atau



^{1 2}

 ⁰

2

 e

^rL

 e

^rL

 c

karena e^r1L e^r2L 0, maka diperoleh c₂ 0. Selanjutnya, substitusikan c₂ ke dalam persamaan (3.11), akibatnya X(x)0 (trivial).

3. Kasus 0 dengan  ², dimana  0. Substitusikan  ke persamaan (3.5), diperoleh

0 ) ( )

(

'' x 

²

X x 

X 

. (3.12)

Dengan menggunakan bentuk eksponensial

X ( x )  e

^rx yang diasumsikan persamaan diferensial tersebut.

Selanjutnya substitusikan bentuk eksponensial ke persamaan (3.12), diperoleh

0 ) (

0

2 2

2 2











 r e

e e

r

rx

rx rx

22

karena e^rx 0, maka r² ² 0. Sehingga diperoleh akar-akar karakteristiknya yaitu,

i

r_1,2  ²  , dimana i 1.

Penyelesaian umum dari persamaan (3.12) adalah

) sin(

) cos(

)

(x c₁ r₁x c₂ r₂x

X   .

Selanjutnya substitusikan r_1,2 ke dalam persamaan (3.13), diperoleh

) sin(

) cos(

)

(x c₁ x c₂ x

X     . (3.13)

Penyelesaian khusus dari persamaan (3.13) dengan mensubstitusikan ke dalam syarat batas, sehingga diperoleh

0 ) 0

( 

X

sehingga

0 ) 0 sin(

) 0

cos( ₂

1  c  

c

atau

10 c

dan

0 ) (L  X

sehingga

0 ) sin(

)

cos( ₂

1 L c L 

c  

atau

0 )

2sin( L 

c  . (3.14)

Dari persamaan (3.13) didapat dua kemungkinan yaitu c₂ 0 atau sin(L)0. Untuk c₂ 0 diperoleh X(0)0 (trivial).

23 Untuk sin(L)0 diperoleh

0 ) sin(L  sehingga

 Substitusikan ² ke persamaan (3.15), sehingga diperoleh

2 ,

Jadi dari persamaan (3.5) diperoleh fungsi eigen yaitu

 yang merupakan penyelesaian dari persamaan (3.5) yang memenuhi syarat batas.

Dari penyelesaian persamaan (3.5), substitusikan  ke dalam persamaan (3.6).

Diperoleh

0

24 dengan mengintegralkan kedua ruas diperoleh



^T_T^'₍⁽_t^t₎^{)dt }



^n_L^{222 vdt}

sehingga diperoleh persamaan

vt Substitusikan persamaan (3.16) dan persamaan (3.17) kedalam persamaan (3.2) diperoleh

)

sehingga

)

25 umum penyelesaiannya yaitu



^

Untuk mencari penyelesaian dari persamaan (3.19) dengan syarat awal



^

Dengan koefisien

b

_n, diperoleh penyelesaian dari persamaan (3.1) yaitu

2

Pada bagian berikutnya, persamaan Burgers akan diselesaikan menggunakan metode numeris. Hal ini karena dalam persamaan Burgers memuat suku nonlinear

x u u



 yang tidak terdapat dalam persamaan panas. Dengan

demikian metode analitis deret Fourier lebih sulit diterapkan untuk penyelesaian persamaan Burgers.

B. Penyelesaian Numeris Persamaan Burgers Menggunakan Metode Lax-Friedrichs

Metode Lax-Friedrichs merupakan salah satu metode yang dapat digunakan untuk penyelesaian numeris dari persamaan Burgers. Untuk

26

menyelesaikan persamaan Burgers tersebut, misalkan persamaan adveksi dengan masalah Cauchy yang bergantung waktu pada dimensi ruang.

,

Pendekatan untuk rata-rata sel ( ) didefinisikan sebagai:



Untuk menghitung persamaan pada domain spasial berhingga (misalkan ), suatu kondisi batas yang tepat diperlukan pada a dan b dari nilai awal ( ) mendefinisikan suatu penyelesaian pendekatan dan prosedur berbaris waktu digunakan untuk membangun pendekatan dari , dari dan seterusnya. Dengan menggantikan menggunakan beda maju pada pendekatan waktu dan dengan pendekatan spasial tengah dari (3.23), berikut

27 sehingga diperoleh persmaan



ⁿj



prakteknya tidak dapat digunakan. Untuk membuat metode lebih stabil dan dapat digunakan, jika mengganti uⁿ_j pada ruas kanan persamaan (3.26) dengan rata-rata



ⁿj



  , maka didapatkan metode Lax-Friedrichs,

   

^.

Diketahui persamaan Burgers inviscid

0

Penyelesaian persamaan (3.28) menggunakan metode Lax-Friedrichs yaitu dengan menggantikan konstanta c pada persamaan (3.27) dengan u , dimana u merupakan variabel terikat yang bergantung pada x dan t .

Jadi, didapatkan penyelesaian persamaan Burgers menggunakan metode Lax-Friedrichs yaitu



ⁿ_j ⁿ_j



ⁿ_j



ⁿ_j ⁿ_j



C. Penyelesaian Numeris Persamaan Burgers Menggunakan Metode Lax-Wendroff

Metode Lax-Wendroff adalah suatu metode yang terkenal untuk fungsi aliran nonlinear umum. Metode Lax-Wendroff juga dapat menggunakan periodisitas dalam menerapkan metode beda hingga. Berbeda dengan metode Lax-Friedrichs yang memiliki keakuratan tingkat satu, metode Lax-Wendroff memiliki keakuratan tingkat dua (LeVeque, 2004) di dalam variabel ruang.

28

Salah satu cara untuk mendapatkan metode Lax-Wendroff yaitu dengan didasarkan pada perluasan deret Taylor. Metode Lax-Wendroff dengan perluasan deret Taylor dapat disederhanakan sebagai berikut.

2 ... sebagai hubungan berikut.

xx

Persamaan (3.30) menjadi bentuk

...

Diterangkan sebelumnya, metode Lax-Wendroff memiliki dua tingkat keakuratan sepanjang waktu dan ruang. Oleh karena itu metode ini memberikan penyelesaian yang lebih akurat daripada metode Lax-Friedrichs. Dalam menerapkan metode Lax-Wendroff, perlu menghitung turunan hingga dua kali terhadap x untuk membandingkan metode Lax-Friedrichs yang hanya perlu menghitung turunan sekali. Oleh karena itu, perlu lebih banyak waktu komputasi dalam menerapkan metode Lax-Wendroff daripada metode Lax-Friedrichs. Untuk menunjukkan metode ini, digunakan persamaan Burgers dan persamaan Burgers yang didiskretkan hingga dua kali yang ditunjukkan sebagai berikut.

Diskretisasi tak stabil dari persamaan Burgers,

k bentuk konvektif,

h

29 bentuk difusi turunan ke-2,

2

Bentuk persamaan (3.32) menjadi

  

ⁿj



Bentuk penyelesaian persamaan Burgers berdasarkan metode Lax-Wendroff yaitu

    

ⁿj



D. Skema Penyelesaian Persamaan Burgers dengan Metode Lax-Friedrichs dan Metode Lax-Wendroff

Dari hasil numeris yang diperoleh, bentuk skema penyelesaian persamaan Burgers berdasarkan metode Lax-Friedrichs yaitu

   

^.

Persamaan (3.38) menunjukkan bahwa metode Lax-Friedrichs memiliki keakuratan tingkat satu sepanjang waktu dan tingkat dua sepanjang ruang.

Sedangkan, bentuk skema penyelesaian persamaan Burgers berdasarkan metode Lax-Wendroff yaitu

    

ⁿj



Persaman (3.39) menunjukkan bahwa metode Lax-Wendroff memiliki keakuratan tingkat dua sepanjang waktu dan ruang.

Oleh karena itu, dapat disimpulkan bahwa metode Lax-Wendroff memberikan penyelesaian yang lebih akurat untuk menyelesaikan persamaan Burgers karena memiliki keakuratan tingkat dua sepanjang waktu dibandingkan dengan metode Lax-Friedrichs. Tetapi, pada penerapannya metode Lax-Wendroff

30

butuh menyelesaikan turunan sampe order ke dua terhadap x sedangkan metode Lax-Friedrichs hanya butuh turunan sampai order satu. Jadi, menyelesaikan persamaan Burgers dengan menggunakan metode Lax-Wendroff butuh lebih banyak komputasi waktu.

31 BAB IV

HASIL SIMULASI NUMERIS

Pada bab ini akan dibahas simulasi numeris dan hasil galat dari persamaan Burgers berdasarkan metode Tak Stabil, metode Friedrichs dan metode Lax-Wendroff.

A. Simulasi Numeris Persamaan Burgers dengan Diskritisasi Kasar Diberikan persamaan Burgers inviscid:

0



 





x u u t

u , 0 x2, t 0 (4.1)

dengan kondisi awal

, sin ) 0 ,

(x x

u  0x2 (4.2)

dan kondisi batas

. 0 ) , 2 ( ) , 0

( t u t 

u  (4.3)

Masalah (4.1), (4.2) dan (4.3) akan diselesaikan menggunakan:

1. Metode Tak Stabil 2. Metode Lax-Friedrichs 3. Metode Lax-Wendroff dengan

2



x dan t 0.1.

32

Gambar 4.1. Hasil ilustrasi kondisi awal (4.2) dari persamaan Burgers.

Gambar 4.1 menunjukkan ilustrasi kondisi awal dari persamaan Burgers yaitu u(x,0)sinx dengan 0x2 serta kondisi batas di u(0,t)u(0,0)0 dan u(2,t)u(2,0)0serta berhenti saat t 5.

1. Metode Tak Stabil

a. Pada saat n0, nilai t0 ,

0 ) 0 , 0

0 (

0 u 

u dihitung mengunakan kondisi batas (4.3) ,

2 1 sin ) 0 2,

0 (

1     

u

u dihitung menggunakan kodisi awal (4.2)

, 0 sin ) 0 ,

0

(

2

 u    

u

dihitun mengunakan kondisi awal (4.2) ,

2 1 sin3 ) 0 2 , (3

0

3 u    

u dihitung menggunakan kodisi awal (4.2)

, 0 ) 0 , 2

0

(

4

 u  

u

dihitung menggnakan kondisi batas (4.3).

33 b. Pada saat n1, t nt 10.10.1.

Diketahui 2

Diperoleh



₂⁰ ₀⁰



34 seperti b, diperoleh

. seperti b, diperoleh

.

35 seperti b, diperoleh

. seperti b, diperoleh

.

Simulasi hasil yang diperoleh untuk penyelesaian persamaan Burgers menggunakan metode tak stabil pada saat ditunjukkan pada Gambar 4.2.

36

Gambar 4.2. Hasil simulasi penyelesaian persamaan Burgers menggunakan metode tak stabil dengan

2



x dan t 0.1dan berhenti saat t 5. Gambar 4.2 menunjukkan hasil simulasi penyelesaian persamaan Burgers berdasarkan metode tak stabil menggunakan MATLAB. Pada Gambar 4.2 hasil dariuⁿ_j^1 untuk dengan

2



x dan t 0.1diperoleh hasil yang sama.

2. Metode Lax-Friedrichs

a. Pada saat n0, nilai t0

37

b. Pada saat n1, nilai tnt 10.10.1. Diketahui

2 yaitu metode Lax-Friedrichs pada persamaan Burgers.

Diperoleh

  

0⁰



38 c. Pada saat n2, n3, n4, dan n5

Diketahui hasil yang didapat pada saat n1 adalah .

1 0

4 1 3 1 2 1 1 1

0 u u u u 

u Karena untuk mencari uⁿ_j^1 pada saat n2 bergantung dari hasil uⁿ_j^1 pada saat n1 dan seterusnya untuk uⁿ_j^1 pada saat n3, n4, dan n5, maka diperoleh hasil uⁿ_j^1 0 untuk n2,

,

3

n n4, dan n5.

Hasil simulasi penyelesaian persamaan Burgers menggunakan metode Lax-Friedichs untuk ditunjukkan pada Gambar 4.3.

Gambar 4.3. Hasil simulasi penyelesaian persamaan Burgers menggunakan metode Lax-Friedrichs dengan

2



x , t 0.1dan berhenti saat t 5.

Gambar 4.3 menunjukkan hasil simulasi penyelesaian persamaan Burgers berdasarkan metode Lax-Friedrichs menggunakan MATLAB.

Pada Gambar 4.3 hasil dari uⁿ_j^1 untuk dengan 2



x dan 1

.

0

t diperoleh hasil yang sama.

39 3. Metode Lax-Wendroff

a. Pada saat n0, nilai t0 Diketahui

2

Diperoleh

    

0⁰



40 seperti b, diperoleh

.

41 seperti b, diperoleh

. seperti b, diperoleh

.

42 dan

. 0 ) 5 , 2

5

(

4

 u  

u

Selanjutnya untuk menghitung

u

₁⁵

, u

₂⁵

,

u₃⁵ menggunakan cara yang sama seperti b, diperoleh

. 9801 . 0 0

9801 . 0

5 3 5 2 5 1







 u u u

Hasil simulasi penyelesaian persamaan Burgers menggunakan metode Lax-Wendroff untuk ditunjukkan pada Gambar 4.4.

Gambar 4.4. Hasil simulasi penyelesaian persamaan Burgers menggunakan metode Lax-Wendroff dengan

2



x , t 0.1dan berhenti saat t 5.

Gambar 4.4 menunjukkan hasil simulasi penyelesaian persamaan Burgers berdasarkan metode Lax-Wendroff menggunakan MATLAB.

43

Pada Gambar 4.4 hasil dari uⁿ_j^1 untuk dengan 2



x dan ,

1 .

0

t semakin besar nilai

t

maka semakin kecil nilai uⁿ_j^1. Di sini, .

t n t  

B. Simulasi NumerisPersamaan Burgers dengan Diskritisasi Halus Diberikan persamaan Burgers inviscid:

0



 





x u u t

u , 0 x2, t 0 (4.4)

dengan kondisi awal

, sin ) 0 ,

(x x

u  0x2 (4.5)

dan kondisi batas

. 0 ) , 2 ( ) , 0

( t u t 

u  (4.6)

Masalah (4.4), (4.5) dan (4.6) akan diselesaikan menggunakan:

1. Metode Tak Stabil 2. Metode Lax-Friedrichs 3. Metode Lax-Wendroff dengan

100

 

x dan t0.1x.

44

Gambar 4.5. Hasil ilustrasi kondisi awal (4.4) dari persamaan Burgers.

Gambar 4.5 menunjukkan ilustrasi kondisi awal dari persamaan Burgers yaitu u(x,0)sinx dengan 0x2 serta kondisi batas di u(0,t)u(0,0)0 dan u(2,t)u(2,0)0.

45 1. Metode Tak Stabil

Penyelesaian Persamaan Burgers mengunakan metode tak stabil dengan

100

 

x dan t 0.1x dicari menggunakan MATLAB diperoleh hasil sebagai berikut

Gambar 4.6. Hasil simulasi penyelesaian persamaan Burgers berdasarkan metode tak stabil dengan

100

 

x , t 0.1x dan berhenti saat t 5. Gambar 4.6 menunjukkan hasil simulasi penyelesaian persamaan Burgers berdasarkan metode tak stabil dengan

100

 

x dan t0.1x. Dari Gambar 4.6 diketahui bahwa solusi persamaan Burgers memiliki kurva yang membesar tak beraturan seiring bertambahnya waktu.

46 2. Metode Lax-Friedrichs

Penyelesaian Persamaan Burgers mengunakan metode Lax-Friedrichs dengan

100

 

x dan t 0.1x dicari menggunakan MATLAB diperoleh hasil sebagai berikut

Gambar 4.7. Hasil simulasi penyelesaian persamaan Burgers berdasarkan metode Lax-Friedrichs dengan

100

 

x , t 0.1x dan berhenti saat

5 t .

Gambar 4.7 menunjukkan hasil simulasi penyelesaian persamaan Burgers berdasarkan metode Lax-Friedrichs dengan

100

 

x dan

. 1 .

0 x

t 

 Dari Gambar 4.7 diketahui bahwa solusi persamaan Burgers memiliki kurva yang lebih stabil sesuai dengan kondisi awal seiring bertambahnya waktu dibandingkan dengan metode tak stabil.

47 3. Metode Lax-Wendroff

Penyelesaian Persamaan Burgers mengunakan metode Lax-Wendroff dengan

100

 

x dan t 0.1x dicari menggunakan MATLAB diperoleh hasil sebagai berikut

Gambar 4.8. Hasil simulasi penyelesaian persamaan Burgers berdasarkan metode Lax-Wendroff dengan

100

 

x dan t0.1x, saat t 1. Gambar 4.8 menunjukkan hasil simulasi penyelesaian persamaan Burgers berdasarkan metode Lax-Wendroff dengan

100

 

x dan

, 1 .

0 x

t 

 saat t 1. Dari Gambar 4.8 diketahui bahwa solusi persamaan Burgers memiliki kurva yang stabil dan lebih curam daripada metode Lax-Friefrichs.

48

Gambar 4.9. Hasil simulasi penyelesaian persamaan Burgers berdasarkan metode Lax-Wendroff dengan

100

 

x dan t0.1x, saat t2. Gambar 4.9 menunjukkan hasil simulasi penyelesaian persamaan Burgers berdasarkan metode Lax-Wendroff dengan

100

 

x dan

, 1 .

0 x

t 

 saat t2. Dari Gambar 4.9 diketahui bahwa solusi persamaan Burgers memiliki kurva yang berosilasi karena saat mendekati t 2 kurva diskontinu.

49

BAB V PENUTUP

A. Kesimpulan

Dalam tugas akhir ini penulis telah berhasil mencari penyelesaian secara numeris persamaan Burgers menggunakan metode Lax-Friedrichs dan metode Lax-Wendroff. Persamaan Burgers diselesaikan menggunakan dua kondisi yaitu diskritisasi kasar dan diskritisasi halus. Pada hasil simulasi dengan metode Lax-Friedrichs terlihat konstan pada kondisi diskritisasi kasar, sedangkan pada kondisi diskritisasi halus hasilnya stabil dan tidak ada osilasi. Sementara pada simulasi persamaan Burgers dengan diskritisasi kasar berdasarkan metode Lax-Wendroff diperoleh hasil yang stabil, begitupun dengan hasil dari metode Lax-Wendroff pada kondisi diskritisasi halus dengan waktu kecil diperoleh hasil yang stabil.

Namun, seiring berjalannya waktu untuk waktu yang semakin besar pada kondisi diskritisasi halus, hasil simulasi metode Lax-Wendroff berosilasi karena terdapat titik diskontinu. Oleh karena itu, dapat disimpulkan bahwa jika kasus kontinu, maka metode Lax-Wendroff lebih baik. Namun jika terdapat titik diskontinu dalam penyelesaian yang diharapkan, metode Lax-Friedrichs akan lebih baik.