BAB V PENUTUP
A. Kesimpulan
9 BAB II
PERSAMAAN DIFERENSIAL
Dalam bab ini akan ditulis mengenai konsep-konsep dasar atau teori-teori dasar dalam penyelesaian tugas akhir ini. Teori-teori dasar tersebut meliputi: turunan fungsi, klasifikasi persamaan diferensial, integral, barisan, deret, deret Taylor, deret Maclaurin dan konvergensi deret Taylor.
A.Turunan Fungsi
Pada subbab ini akan dibahas mengenai turunan fungsi yang meliputi turunan fungsi satu variabel dan turunan fungsi dua variabel. Berikut akan dijelaskan definisi untuk turunan fungsi.
Definisi 2.1
Turunan fungsi didefinisikan sebagai:
di setiap titik sehingga limit di atas ada dan hingga. Dan jika ada maka fungsi dikatakan terdiferensial atau mempunyai turunan di .
Turunan Fungsi Eksplisit
Fungsi disebut fungsi eksplisit sebab hubungan antara variabel bebas dengan variabel takbebas diberikan secara eksplisit melalui rumus fungsi .
Contoh 2.1
Penyelesaian:
Fungsi di atas bukan merupakan fungsi linear, maka dengan menggunakan definisi 2.1, penyelesaiannya adalah sebagai berikut:
Turunan Fungsi Implisit
Fungsi dikatakan fungsi implisit sebab hubungan antara variabel bebas dan variabel takbebas diberikan secara tidak eksplisit. Dalam mencari turunan untuk fungsi implisit, maka dapat dilakukan dengan 2 cara yaitu dengan mengubah fungsi tersebut menjadi fungsi ekplisit dan dengan menggunakan metode penurunan implisit.
Contoh 2.2
Tentukan
apabila . Penyelesaian:
Cara 1 Penurunan Eksplisit Dengan mengubah menjadi fungsi eksplisit, yaitu sebagai berikut: atau atau
Dengan menggunakan Definisi 2.1, kita peroleh:
Cara 2 Penurunan Implisit Dengan menurunan kedua ruas terhadap , maka:
atau atau atau atau
Solusi yang dihasilkan oleh kedua cara di atas terlihat berbeda. Solusi yang diberikan oleh Cara 1 hanya melibatkan , sedangkan solusi yang diberikan oleh Cara 2 melibatkan dan . Namun, ingat bahwa dalam Cara 1 telah diubah fungsi semula ke dalam fungsi eksplisit yaitu dengan mengubah fungsi dalam bentuk dan diperoleh . Lalu dengan mensubsitusikan ke dalam bentuk
pada solusi yang dihasilkan oleh Cara 2, maka diperoleh: atau atau
Sekarang dapat dilihat bahwa solusi yang dihasilkan oleh Cara 1 dan Cara 2 sudah terlihat sama.
Yang harus diperhatikan adalah untuk menentukan turunan dari suatu fungsi tidak harus dikerjakan dengan 2 cara di atas karena tidak semua fungsi dapat di ubah ke dalam bentuk fungsi eksplisit misalnya . Sehingga untuk menentukan turunannya langsung dikerjakan dengan menggunakan penurunan implisit.
B. Klasifikasi Persamaan Diferensial
Pada bagian ini akan dibahas klasifikasi persamaan diferensial yang meliputi contoh dan definisi persamaan diferensial, persamaan diferensial biasa, persamaan diferensial parsial, orde persamaan diferensial, dan kelinearan persamaan diferensial.
Definisi 2.2
Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang melibatkan turunan dari satu atau lebih variabel terikat yang berhubungan dengan satu atau lebih variabel bebas.
Contoh 2.2
Contoh persamaan diferensial adalah sebagai berikut:
( ) (2.1) (2.2) (2.3) (2.4) (2.5) Definisi 2.3
Persamaan diferensial biasa adalah persamaan diferensial yang melibatkan turunan biasa dari satu atau lebih variabel terikat yang berhubungan dengan satu variabel bebas.
Contoh 2.3
Pada Contoh 2.2 dapat dilihat bahwa persamaan (2.1) dan (2.2) adalah persamaan diferensial biasa. Dalam persamaan (2.1) variabel adalah satu-satunya variabel bebas, dan adalah variabel terikat. Dan dalam persamaan (2.2) variabel bebasnya adalah , dengan adalah variabel terikat.
Definisi 2.4
Persamaan diferensial parsial adalah persamaan diferensial yang melibatkan turunan parsial dari satu atau lebih variabel terikat yang berhubungan dengan lebih dari satu variabel bebas.
Contoh 2.4
Pada Contoh 2.2 dapat dilihat bahwa persamaan (2.3) dan (2.4) adalah persamaan diferensial parsial. Dalam persamaan (2.3) variabel dan adalah variabel bebas dan adalah variabel terikat. Dan dalam persamaan (2.4) terdapat tiga variabel bebas yaitu , , dan sedangkan adalah variabel terikat.
Definisi 2.5
Orde atau derajat dari persamaan diferensial adalah orde atau tingkat tertinggi dari turunan yang terlibat dalam suatu persamaan diferensial.
Contoh 2.5
Persamaan diferensial biasa (2.1) adalah persamaan diferensial orde kedua, karena turunan tertinggi yang terlibat adalah turunan kedua. Persamaan (2.2) adalah persamaan diferensial biasa orde keempat. Persamaan diferensial parsial
(2.3) dan (2.4) secara berturut-turut adalah persamaan diferensial orde pertama dan kedua.
Definisi 2.6
Suatu persamaan diferensial biasa linear orde , dengan variabel terikat dan variabel bebas , dapat dinyatakan dalam bentuk
(2.6) dengan tidak sama dengan nol.
Contoh 2.7
Kedua persamaan diferensial biasa berikut adalah persamaan diferensial biasa linear. Pada kedua persamaan tersebut, variabel adalah variabel terikat. Perhatikan bahwa dan turunan-turunannya terjadi dengan pangkat pertama saja dan tidak ada perkalian dari dan/atau turunan dari .
(2.7) (2.8) Definisi 2.8
Persamaan diferensial biasa nonlinear adalah suatu persamaan diferensial biasa yang tidak linear. Persamaan diferensial biasa yang tidak berbentuk seperti persamaaan (2.6) dikatakan persamaan diferensial biasa nonlinear.
Contoh 2.8
(2.9) ( ) (2.10) (2.11)
Persamaan (2.9) adalah persamaan diferensial biasa nonlinear karena variabel terikat terdapat pada derajat kedua dalam bentuk . Persamaan (2.10) juga merupakan persamaan diferensial biasa nonlinear karena terdapat bentuk
yang melibatkan pangkat tiga pada turunan pertamanya. Persamaan (2.11)
juga nonlinear karena pada bentuk melibatkan perkalian terhadap variabel terikat dan turunan pertamanya.
C.Integral
Pada bagian ini akan dibahas mengenai definisi integral dan contoh-contohnya dari integral tentu.
Definisi 2.9
Suatu fungsi disebut anti turunan dari fungsi pada selang jika
untuk suatu . Dengan kata lain .
Contoh 2.9
Carilah anti turunan dari fungsi pada interval . Penyelesaian:
Nilai anti turunan dari fungsi di atas bukan sebab turunannya adalah . Dan nilai anti turunan yang memenuhi adalah karena turunannya adalah . Dengan demikian, anti turunan dari adalah .
Suatu anti turunan atau pengintegralan fungsi terhadap dapat dinotasikan sebagai berikut:
∫ (2.12)
dengan ∫ , merupakan fungsi integran,
merupakan fungsi integral umum yang bersifat dan merupakan konstanta.
Integral Tentu Definisi 2.10
Misalkan suatu fungsi pada interval tertutup [ ], maka ∫ yang disebut integral tentu (atau integral Riemann) dari sampai diberikan oleh:
∫ ∑ ̅
‖ ‖ ∑ ̅
dengan ̅ [ ] dan ‖ ‖ adalah .
Untuk menghitung luasan di bawah kurva suatu fungsi pada interval tertutup [ ], seperti pada gambar di bawah ini
Gambar 2.1 Ilustrasi fungsi satu variabel.
maka akan dibuat titik-titik dengan dan . Ini menunjukan bahwa interval tertutup [ ] tersebut akan dipartisi menjadi subinterval yaitu [ ] [ ] [ ] [ ] Dari setiap subinterval akan diambil sembarang titik ̅ dan yang merupakan panjang interval dengan
. Disini . Seperti contoh .
Cara lain untuk menghitung adalah dengan menggunakan rumus sebagai berikut:
Rumus integral tentu pada Definisi 2.10 diperoleh dengan terlebih dahulu menentukan nilai Jumlahan Riemann atau jumlah luas persegi panjang. Nilai hampiran luas persegi panjang diperoleh dari definisi dasar luas persegi panjang yaitu dengan ketentuan panjangnya merupakan
̅ dan lebarnya merupakan . Sehingga untuk menghitung hampiran luas persegi panjang grafik diatas adalah ̅ .
Luas daerah di bawah kurva diaproksimasikan dengan total hampiran luas persegi panjang masing-masing subinterval yang dibentuk tersebut, sehingga aproksimasi luas di bawah kurva adalah Hal ini berarti bahwa total hampiran luas persegi panjang atau jumlahan Riemann fungsi pada interval
[ ] sebagai hampiran luas daerah di bawah kurva dan di atas sumbu dapat ditulis sebagai berikut:
̅ ̅ ̅ ∑ ̅
Jika ‖ ‖ diperkecil pada interval tertutup [ ], maka jumlah subinterval atau akan bertambah. Dengan kata lain, jika ‖ ‖ maka .
Jika semakin membesar maka dan berarti bahwa semakin baik pula aproksimasi luasan dan semakin dekat dengan luasan yang sebenarnya. Dengan demikian,
∑ ̅
D.Barisan
Pada subbab mengenai konsep barisan ini, hanya dibatasi pada konsep barisan konvergen dan divergen beserta contohnya.
Definisi 2.11
Suatu barisan dikatakan kovergen ke suatu bilangan jika untuk setiap bilang posistif terdapat suatu bilang bulat sedemikian sehingga untuk semua
Jika tidak terdapat bilang , maka barisan tersebut dikatakan barisan divergen.
Jika konvergen ke , maka , atau secara sederhana
. Dan merupakan limit dari barisan.
Contoh 2.10
Tunjukkan bahwa . Penyelesaian
Misalkan Akan ditunjukkan bahwa terdapat bilangan bulat sedemikian hingga untuk semua ,
| |
Bentuk implikasi di atas terpenuhi jika atau . Jika adalah sebarang bilangan bulat yang lebih besar dari , maka bentuk implikasi di atas terpenuhi untuk semua . Sehingga terbukti bahwa
E.Deret
Pada subbab ini hanya dibatasi pada konsep deret konvergen dan divergen beserta contohnya.
Definisi 2.12
Diberikan suatu barisan bilangan , suatu ekspresi dalam bentuk
dikatakan deret takhingga. Bilangan merupakan suku ke- dari deret. Barisan didefinisikan oleh:
∑
adalah barisan jumlah parsial dari deret, dengan adalah jumlah parsial ke- . Jika barisan jumlah parsial konvergen ke limit , maka deret tersebut konvergen dan jumlahannya adalah . Dalam kasus ini, akan dituliskan sebagai berikut:
∑
Jika barisan jumlah parsial dari suatu deret tidak konvergen, maka deret tersebut dikatakan deret divergen.
Contoh 2.11
Selidiki kekonvergenan dari deret dibawah ini:
Penyelesaian Jika diperhatikan ( ) ( )
sehingga diperoleh jumlah parsial ke- nya adalah:
( )
dan Jadi, karena barisan jumlah-jumlah
parsialnya konvergen ke 1, maka deret di atas juga konvergen.
F. Deret Taylor dan Deret Maclaurin
Pada subbab ini akan dibahas mengenai definisi dan contoh-contoh deret Taylor dan deret Maclaurin.
Definisi 2.13
Misalkan adalah sebuah fungsi yang memiliki turunan-turunan dari semua tingkat pada interval tertentu dengan adalah titik interior. Maka deret Taylor yang diberikan oleh di sekitar adalah:
∑
Deret Maclaurin yang diberikan oleh adalah
∑
yaitu deret Taylor yang diberikan oleh di sekitar .
Contoh 2.12
Tentukan deret Taylor yang diberikan oleh di sekitar . Penyelesaian:
Akan dicari . Dengan turunan maka diperoleh
, , , dan seterusnya maka , sedemikian sehingga
Deret Taylornya adalah:
Dan ini merupakan deret geometri dengan suku pertama dan rasio .
G.Konvergensi Deret Taylor
Dalam subbab ini akan dibahas mengenai deret Taylor suatu fungsi yang konvergen ke fungsi itu sendiri. Hal ini dapat dilihat dengan teorema berikut.
Teorema 2.1 Teorema Taylor
Jika dan turunan-turunan pertama hingga ke- kontinu
pada interval tertutup antara dan , dan terdiferensial pada interval terbuka
antara dan , maka terdapat bilangan antara dan sedemikian sehingga:
Bukti
Untuk membuktikan teorema Taylor maka akan diasumsikan bahwa . Dipandang polinomial Taylor berbentuk sebagai berikut:
dan turunan pertama -nya sesuai dengan fungsi dan turunan pertama -nya pada . Hal ini tidak mengubah kesesuaian tersebut jika ditambahkan suku lain dari bentuk dengan adalah suatu konsanta, karena suku
tersebut dan turunan pertama -nya semua sama dengan nol pada . Lalu, didefinisikan fungsi baru yaitu:
dengan turunan pertama -nya masih sesuai dengan fungsi dan turunan pertama -nya pada .
Sekarang akan dipilih suatu nilai tertentu dari yang membuat kurva
sesuai dengan kurva asli pada , yaitu:
(2.13) dengan didefinisikan oleh persamaan (2.13), maka fungsi:
yang merupakan selisi antara fungsi asli dan fungsi aproksimasi untuk setiap di [ ].
Selanjutnya akan digunakan teorema Rolle. Pertama, karena dan dan keduanya kontinu pada [ ], maka
Lalu, karena ( dan dan keduanya kontinu pada [ ], maka
Terlihat bahwa teorema Rolle berhasil diaplikasikan pada
yaitu:
sedemikian sehingga
sedemikian sehingga
sedemikian sehingga
Karena kontinu pada [ ] dan terdiferensial pada , dan , bahwa teorema Rolle mengimplikasikan bahwa terdapat suatu bilangan pada sedemikian sehingga
(2.14)
Jika diturunkan total dari kali, maka diperoleh:
(2.15) Berdasarkan persamaan (2.14) dan (2.15), diperoleh:
(2.16)
Dan berdasarkan persamaan (2.13) dan (2.16), diperoleh:
Maka terbukti.
Ketika menggunakan teorema Taylor, maka akan diasumsikan tetap dan adalah variabel bebas. Rumus Taylor mudah digunakan saat mengganti dengan
. Rumus di bawah ini merupakan versi dari teorema Taylor setelah mengubah dengan .
Rumus Taylor
Jika mempunyai turunan-turunan dari semua tingkat pada interval terbuka yang memuat , maka untuk setiap bilangan bulat positif dan untuk setiap di , (2.17) dengan (2.18)
untuk antara dan .
Ketika teorema Taylor dinyatakan seperti di atas, hal ini mengatakan bahwa untuk setiap , maka:
Fungsi ditentukan oleh nilai dari turunan ke di titik yang
bergantung pada kedua dan , dan terletak di antara mereka.
Persamaan (2.12) disebut rumus Taylor. Fungsi disebut suku error untuk aproksimasi oleh terhadap interval .
Definisi 2.14
Jika untuk semua maka deret Taylor yang dibangun oleh saat pada interval , ditulis sebagai berikut:
∑
dapat diperkirakan dengan tanpa mengetahui nilai , untuk mengetahuinya dapat dilihat contoh sebagai berikut.
Contoh 2.13
Tunjukkan bahwa deret Taylor yang dibangun oleh saat
konvergen ke untuk setiap . Penyelesaian:
Fungsi mempunyai turunan dari semua orde sepanjang interval
. Persamaan (2.12) dan (2.13) dengan dan , maka:
dan
untuk antara dan .
Karena adalah fungsi naik, maka berada di antara dan . Ketika nilai maka nilai dan . Ketika nilai maka nilai
dan . Dan ketika nilai maka dan . Maka,
| | | |
saat , dan
| |
untuk setiap , dan deret konvergen untuk setiap , maka:
∑
29 BAB III
METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN
Dalam bab ini akan dibahas mengenai metode dekomposisi Adomian (MDA) dan penyelesaian beberapa persamaan diferensial parsial baik linear maupun nonlinear dengan menggunakan metode dekomposisi Adomian. Beberapa persamaan diferensial parsial tersebut adalah persamaan Burger, persamaan gelombang air dangkal, persamaan gelombang gravitasi, dan persamaan gelombang kinematik.
A.Metode Dekomposisi Adomian untuk Persamaan Diferensial Parsial Nonlinear
Dalam bagian ini akan dibahas mengenai penerapan metode dekomposisi Adomian dalam menyelesaikan persamaan diferensial parsial nonlinear yang akan diawali dengan penyelesaian persamaan diferensial parsial orde pertama dengan menggunakan MDA.
a. MDA untuk Menyelesaikan Persamaan Diferensial Parsial Linear Orde Pertama
Untuk memberikan gambaran mengenai metode dekomposisi Adomian, maka perhatikan persamaan diferensial linear berikut:
dengan adalah suatu fungsi yang diasumsikan mempunyai invers, adalah fungsi diferensial linear dan adalah suku sumber. Dengan mensubsitusikan fungsi invers pada kedua sisi persamaan (3.1), maka diperoleh:
atau
Lalu dengan mengoperasikan , diperoleh:
atau
Atau
(3.2)
dengan adalah suku yang dihasilkan dari proses pengintegralan terhadap suku sumber .
Metode Adomian mendefinisikan solusi berdasarkan suatu deret takhingga seperti yang dituliskan berikut, yaitu:
∑
(3.3)
Selanjutnya, persamaan (3.3) akan disubsitusikan ke persamaan (3.2) dan diperoleh: ∑ (∑ )
Atau
( ) (3.4)
Sehingga diperoleh skema di bawah ini:
( ) (3.5) atau ( ) ( ) ( ) (3.6)
Setelah menentukan lalu akan disubsitusikan ke persamaan (3.3) untuk memperoleh solusi dalam bentuk deret.
Untuk mempermudah dalam memahami konsep metode ini, maka akan diperhatikan persamaan diferensial parsial orde pertama nonhomogen berikut, yaitu:
(3.7)
dengan nilai awal sebagai berikut:
(3.8)
dan
(3.9)
(3.10) dan
(3.11)
Dalam bentuk operator, maka persamaan (3.7) dapat ditulis sebagai berikut:
(3.12)
dengan setiap operator di atas diasumsikan dapat diinverskan dan opeator dan dimisalkan sebagai berikut:
∫ (3.13)
dan
∫ (3.14)
Ini berarti bahwa:
(3.15)
Dengan mensubsitusikan pada kedua sisi persamaan (3.12) maka diperoleh:
dengan mengoperasikan , diperoleh:
( )
atau
( )
atau
Hasil pada persamaan (3.16) di atas diperoleh dengan menggunakan persamaan (3.15) dan dengan nilai awal . Berdasarkan penjelasan sebelumnya bahwa deret himpunan metode dekomposisi adalah sebagai berikut:
∑
(3.17)
Subsitusikan persamaan (3.17) pada kedua sisi persamaan (3.16), sehingga menghasilkan: ∑ (∑ ) (3.18) Atau dapat dituliskan sebagai berikut:
(3.19)
Adomian mengatakan bahwa suku diidentifikasikan sebagai kondisi awal atau nilai awal dan ditambah hasil dari untuk kasus ini, dengan keduanya diasumsikan diketahui.
Berdasarkan penjelasan dan hasil yang diperoleh di atas, maka solusi untuk deret dekomposisi adalah sebagai berikut:
(3.20)
Hal ini jelas terlihat bahwa keakuratan pendekatan dapat ditingkatkan secara signifikan hanya dengan melakukan iterasi berkali-kali. Sehingga pendekatan suku ke- untuk dapat ditulis sebagai berikut:
∑
(3.21)
Untuk masalah konkret, dimana solusi eksak tidak dapat diperoleh dengan mudah maka akan menggunakan deret terpotong (3.21) untuk memperoleh solusi pendekatan.
Banyak peneliti menunjukkan bahwa jika terdapat solusi eksak dalam menyelesaikan masalah tertentu maka deret yang diperoleh konvergen sangat cepat ke solusi eksak tersebut. Mengenai konsep konvergensi akan dibahas di Bab IV.
b. MDA untuk Menyelesaikan Persamaan Diferensial Parsial Nonlinear Orde Tinggi
Dalam penjelasan sebelumnya terlihat bahwa MDA diterapkan dalam persamaan diferensial linear orde pertama. Metode ini diterapkan secara langsung dan secara mudah untuk masalah nonhomogen. Subbab ini akan menerapkan MDA untuk menyelesaikan persamaan diferensial parsial nonlinear. Hal ini sangat penting karena dalam menyelesaikan persamaan diferensial parsial tidak hanya terdapat suku linear saja namun terdapat suku nonlinear juga seperti , dan lain sebagainya.
Berikut ini akan dijelaskan secara rinci mengenai skema Adomian dalam menghitung suku nonlinear. Untuk memudahkan, maka penjelasan mengenai persamaan diferensial parsial nonlinear akan didukung dengan beberapa contoh ilustratif yang mencakup berbagai bentuk nonlinear.
Telah diketahui bahwa metode dekomposisi Adomian menunjukkan bahwa fungsi yang tak diketahui dapat diwakili oleh deret dekomposisi berikut:
∑
(3.22)
dengan dapat dihitung dengan cara rekursif. Namun demikian, suku nonlinear
seperti , dan lain-lain bisa dinyatakan dalam deret terbatas yang disebut polinomial Adomian yang dituliskan sebagai berikut:
∑
(3.23)
Untuk menyelesaikan persamaan diferensial parsial nonlinear dengan menggunakan MDA terdapat beberapa cara. Salah satunya adalah polinomial Adomian untuk suku nonlinear dapat didefinisikan dengan menggunakan formula sebagai berikut:
[ (∑ )]
Namun, dalam tugas akhir ini penulis tidak menggunakan cara di atas, sebab memerlukan perhitungan yang lebih rumit. Sehingga dalam tugas akhir ini penulis menggunakan cara lain.
Cara yang akan diperkenalkan selanjutnya ini merupakan cara sederhana dan dapat mempermudah dalam menghitung polinomial Adomian. Cara ini didasarkan pada aljabar dan identitas trigonometri serta deret Taylor. Cara ini menggunakan operasi dasar dan tidak memerlukan formula tertentu, yang diambil dari buku karangan Wazwaz (2009).
Seperti yang didefinisikan oleh metode dekomposisi yaitu cara ini menunjukkan bahwa mensubsitusi sebagai jumlahan dari dengan . Hal ini jelas bahwa selalu ditentukan independen dari polinomial lainnya dengan , dan didefinisikan sebagai berikut:
(3.24)
Cara ini mengasumsikan bahwa pertama memisahkan
untuk setiap suku nonlinear . Dengan melakukan pemisahan ini
maka komponen sisa dapat diperluas dengan menggunakan operasi aljabar, identitas trigonometri, dan deret Taylor. Selanjutnya mengumpulkan semua suku
ekspansi yang dihasilkan sedemikian sehingga jumlah subskrip dari komponen dalam setiap suku adalah sama. Setelah melakukan pengumpulan suku-suku tersebut maka perhitungan polinomial Adomian dengan demikian selesai.
Untuk meningkatkan pemahaman mengenai cara ini maka akan diperkenalkan beberapa contoh berikut.
i. Kasus Polinomial Nonlinear
Misalkan .
Akan dimisalkan sebagai berikut, yaitu:
∑
(3.25)
Dengan mensubsitusi persamaan (3.25) kedalam , maka diperoleh:
(3.26)
Hasil ekspansi dari persamaan (3.26) dapat disusun kembali dengan mengelompokan semua suku dengan jumlah dari subskrip adalah sama. Ini berarti bahwa persamaan (3.26) dapat ditulis sebagai berikut:
(3.27)
Maka polinomial Adomian secara lengkap adalah sebagai berikut:
dan seterusnya.
ii. Turunan Nonlinear
Misalkan .
Akan dimisalkan sebagai berikut, yaitu :
∑
(3.28)
Dengan mensubsitusikan persamaan (3.28) kedalam maka diperoleh:
( )
(3.29)
Dengan mengumpulkan suku-suku seperti yang sudah dijelaskan sebelumnya, maka diperoleh:
(3.30)
Sehingga polinomial Adomiannya adalah sebagai berikut:
dan seterusnya.
B. Metode Dekomposisi Adomian untuk Persamaan Burger
Dipandang persamaan Burger sebagai berikut:
(3.31)
dengan nilai awal,
Persamaan (3.31) di atas akan ditulis dalam bentuk:
(3.32)
Misalkan dan . Maka persamaan (3.31) di atas ditulis dalam bentuk sebagai berikut:
(3.33)
Dengan mensubsitusikan pada kedua sisi persamaan (3.33), diperoleh:
lalu, dengan menggunakan operasi ∫ maka:
atau
atau
(3.34)
Misalkan ∑ dan ∑ dengan merupakan bentuk polinomial Adomian, sehingga persamaan (3.34) ditulis sebagai berikut:
∑ ∑ (3.35)
Karena ∑ , dan ∑ , maka persamaan (3.35) diatas menjadi:
atau atau
Oleh sebab itu diperoleh solusi sebagai berikut:
(3.36)
Diketahui bahwa ∑ maka:
( )
dan sebagainya maka diperoleh:
(3.37)
Dengan menggunakan pendekatan suku ke- , maka dapat ditulis dalam bentuk sebagai berikut,yaitu:
∑
(3.38)
Sebagai contoh penerapan MDA pada persamaan Burger maka akan dipandang nilai awal sebagai berikut:
Dengan menggunakan program MAPLE maka solusi penyelesaian untuk
adalah sebagai berikut:
(3.39)
Karena telah diketahui bahwa ∑ maka solusi pendekatan suku ke-4
adalah . Sehingga ilustrasi solusi pendekatan
untuk kecepatan aliran dapat dilihat pada gambar 3.1 dan gambar 3.2 di bawah ini
Gambar 3. 1 Solusi penyelesaian untuk kecepatan aliran .
(a) (b)
Gambar 3.2 Solusi untuk kecepatan aliran saat (a) dan saat
Jadi, setiap iterasi pada persamaan (3.39) diatas jika dijumlahkan akan menghasilkan suatu deret, yaitu:
atau
atau
(3.40)
Akibatnya, diperoleh solusi eksak sebagai berikut:
(3.41)
dengan | | atau jaminan kekonvergenan solusi eksak tersebut yaitu
.
C. Metode Dekomposisi Adomian untuk Persamaan Gelombang Air Dangkal
Dipandang persamaan gelombang air dangkal (PGAD) adalah sebagai berikut:
(
) ( )
(3.42)
dengan , , dan memenuhi kondisi awal
( ) ( ) (3.43)
dengan adalah ketinggian air dari permukaan air hingga dasar tanah,
air hingga dasar tanah saat air dalam keadaan diam. Variabel independen dan secara berturut-turut menyatakan jarak sepanjang arah aliran dan waktu.
Persamaan (2.1) dapat ditulis ke bentuk yang lebih sederhana, yaitu:
(3.44)
dengan
( ) ( ) (3.45) Untuk menyelesaikan PGAD dengan menggunakan MDA, maka persamaan di atas akan ditulis sebagai berikut:
(3.46)
dan
(3.47)
dengan nilai awal:
dan
Misalkan
dan sehingga persamaan (3.46) dan (3.47) ditulis
sebagai berikut:
dan
Dengan mensubsitusikan operasi pada kedua sisi persamaan di atas maka
(3.48) dan
(3.49)
Lalu, dengan menggunakan operasi ∫ pada persamaan (3.48) maka diperoleh: atau atau
untuk memudahkan perhitungan, maka bentuk dan pada persamaan diatas akan diubah menjadi:
. Misalkan dan , sehingga diperoleh:
[ ] (3.50)
Selanjutnya, dengan menggunakan operasi ∫ pada persamaan (3.49) maka diperoleh: atau karena ,maka [ ]
untuk memudahkan perhitungan, maka bentuk pada persamaan diatas akan diubah menjadi:
[ ]
Misalkan , maka:
[ ] (3.51)
Berdasarkan hasil penurunan persamaan (3.46) dan (3.47) dengan MDA ,maka diperoleh: [ ] (3.52) dan [ ] (3.53) dengan: Misalkan ∑ , ∑ dan ∑ ∑ ∑
dengan , , dan adalah bentuk polinomial Adomian. Ketiga permisalan diatas akan disubsitusikan ke dalam persamaan (3.52) dan (3.53) untuk memperoleh solusi dan .
Untuk mencari solusi , maka akan disubsitusikan ketiga permisalan
