Klasifikasi Persamaan Diferensial Parsial Orde Dua

BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL

D. Klasifikasi Persamaan Diferensial Parsial Orde Dua

F. Matriks Tridiagonal

A. Penurunan Persamaan Gerak Lapisan Fluida Satu Dimensi B. Masalah Pergerakan Lapisan Fluida

C. Solusi Analitis Masalah Pergerakan Lapisan Fluida D. Metode Volume Hingga Lax-Friedrichs

E. Metode Beda Hingga

BAB IV ANALISIS HASIL SIMULASI

A. Metode Volume Hingga Lax-Friedrichs B. Metode Beda Hingga

BAB V PENUTUP

A. Kesimpulan B. Saran

9

BAB II

PERSAMAAN DIFERENSIAL

Dalam bab ini akan dibahas mengenai dasar teori dari skripsi ini. Dasar teori dari skripsi ini meliputi integral, klasifikasi persamaan diferensial, nilai eigen dan vektor eigen, matriks tridiagonal, klasifikasi persamaan diferensial parsial orde dua, dan penurunan numeris.

A. Integral

Pada bagian ini akan dibahas mengenai integral yang meliputi definisi dan contoh dari integral tentu dan teorema fundamental kalkulus.

Definisi 2.1

Suatu fungsi 𝐹 disebut anti turunan dari 𝑓 pada interval 𝐼, jika 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥) untuk setiap 𝑥 dalam interval 𝐼.

Contoh 2.1

Carilah suatu anti turunan dari 𝑓(𝑥) = 𝑥2. Penyelesaian:

Fungsi 𝐹(𝑥) = 𝑥3 bukanlah anti turunannya, karena turunan dari 𝑥3 adalah 3𝑥2. Akan tetapi hal ini menyarankan 𝐹(𝑥) =¹₃𝑥3, yang memenuhi 𝐹′(𝑥) =¹₃3𝑥2 = 𝑥2. Dengan demikian, suatu anti turunan dari 𝑓 adalah ¹₃𝑥3.

Anti turunan dinotasikan dengan ∫ … 𝑑𝑥. Notasi tersebut menunjukkan anti turunan terhadap 𝑥. Anti turunan biasanya disebut integral tak tentu.

1. Integral Tentu

Perhatikan Gambar 2.1 berikut ini:

Gambar 2.1. Ilustrasi fungsi satu variabel.

𝑎 𝑏 ^𝑥

𝑦

Untuk menghitung luas di bawah kurva 𝑦 = 𝑓(𝑥), dapat dilakukan dengan aproksimasi, yaitu dengan membagi interval [𝑎, 𝑏] oleh partisi 𝑝 = {𝑥₀, 𝑥₁, … , 𝑥_𝑛} ke dalam n subinterval yaitu [𝑥₀, 𝑥₁], [𝑥₁, 𝑥₂], …[𝑥_𝑛−1, 𝑥_𝑛]. Panjang subinterval ke-𝑖 ditulis dengan ∆𝑥_𝑖 = 𝑥_𝑖 − 𝑥_𝑖−1. Selanjutnya dipilih sebarang 𝑥_𝑖^∗ dari [𝑥₀, 𝑥₁], [𝑥₁, 𝑥₂], …[𝑥_𝑛−1, 𝑥_𝑛] dengan 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛. Total luas di bawah kurva dapat dihitung dengan 𝑓(𝑥₁∗)∆𝑥₁+ 𝑓(𝑥₂∗)∆𝑥₂+ ⋯ + 𝑓(𝑥_𝑛∗)∆𝑥_𝑛 = ∑𝑛 𝑓(𝑥_𝑖∗)∆𝑥_𝑖

𝑖=1 yang disebut jumlahan Riemann fungsi 𝑓 pada interval [𝑎, 𝑏], sebagai pendekatan luas daerah di bawah kurva 𝑦 = 𝑓(𝑥) dan diatas sumbu 𝑥.

Semakin banyak subinterval seragam yang digunakan artinya ∆𝑥_𝑖 → 0, maka semakin baik pula aproksimasi luasan tersebut dan semakin dekat dengan luasan yang sebenarnya. Dengan demikian, luas daerah = lim

∆𝑥_𝑖→0∑𝑛 𝑓(𝑥_𝑖∗)∆𝑥_𝑖

𝑖=1 .

Definisi 2.2

Misalkan𝑓 suatu fungsi yang didefinisikan pada selang tertutup [𝑎, 𝑏]. Jika

lim

∆𝑥_𝑖→0∑ 𝑓(𝑥_𝑖^∗)∆𝑥_𝑖 𝑛

𝑖=1

ada, maka nilai limit tersebut dinamakan integral tentu 𝑓 dari 𝑎 ke 𝑏 dan ditulis sebagai ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = lim

∆𝑥_𝑖→0∑^𝑛_𝑖=1𝑓(𝑥_𝑖∗)∆𝑥_𝑖 𝑏

2. Teorema Fundamental Kalkulus

Pada bagian ini hanya akan diberikan teorema fundamental kalkulus, tidak dibahas mengenai pembuktiannya.

Teorema 2.1 (Teorema Nilai Rata-Rata)

Jika 𝑓 fungsi kontinu pada [𝑎, 𝑏], maka terdapat 𝑐 ∈ [𝑎, 𝑏], sehingga berlaku 𝑓(𝑐) = ¹ 𝑏 − 𝑎^{∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥} 𝑏 𝑎 .

Teorema 2.2 (Teorema Fundamental Kalkulus I)

Jika 𝑓 fungsi kontinu pada [𝑎, 𝑏], maka 𝐹(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡_𝑎^𝑥 kontinu pada [𝑎, 𝑏] dan terdiferensial pada (𝑎, 𝑏) dan berlaku

𝐹′(𝑥) =_𝑑𝑥^𝑑 ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡_𝑎^𝑥 = 𝑓(𝑥).

Teorema 2.3 (Teorema Fundamental Kalkulus II)

Jika 𝑓 fungsi kontinu pada setiap titik dalam [𝑎, 𝑏] dan 𝐹 adalah antiturunan dari 𝑓 pada [𝑎, 𝑏], maka

Bukti dari ketiga teorema yang disebut di atas dapat dilihat pada buku karangan Thomas (2010).

B. Klasifikasi Persamaan Diferensial

Berikut ini akan dibahas mengenai klasifikasi persamaan diferensial. Klasifikasi tersebut meliputi definisi dan contoh persamaan diferensial, persamaan diferensial biasa, persamaan diferensial parsial, dan orde persamaan diferensial.

Definisi 2.3

Persamaan diferensial adalah persamaan yang melibatkan variabel tak bebas dari fungsi yang tidak diketahui dan turunan terhadap variabel-variabel bebas dari fungsi tersebut.

Contoh 2.3

Persamaan-persamaan di bawah ini merupakan contoh persamaan diferensial: 𝑑𝑦 𝑑𝑡 ^{= −𝑦2,} (2.1) 𝑑𝑦 𝑑𝑥^{+ 2} 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2 = 0, ^(2.2) 𝜕𝑢 𝜕𝑡 ⁼ 𝜕2𝑢 𝜕𝑥2 +^𝜕2𝑢 𝜕𝑦2 , ^(2.3) 𝜕2𝑢 𝜕𝑥2 +^𝜕2𝑢 𝜕𝑦2+^𝜕2𝑢 𝜕𝑧2 = 0. ^(2.4)

Definisi 2.4

Persamaan diferensial biasa adalah persamaan diferensial yang melibatkan turunan biasa atas satu atau lebih variabel tak bebas terhadap satu variabel bebas.

Contoh 2.4

Persamaan (2.1) dan (2.2) adalah contoh persamaan diferensial biasa. Pada persamaan (2.1) variabel 𝑦 adalah variabel terikat atau tak bebas dan variabel 𝑡 adalah variabel bebas. Pada persamaan (2.2) variabel 𝑦 adalah varabel tak bebas dan variabel 𝑥 adalah variabel bebas.

Definisi 2.5

Persamaan diferensial parsial adalah persamaan diferensial yang melibatkan turunan parsial atas satu atau lebih variabel tak bebas terhadapvariabel bebas, dengan catatan bahwa banyaknya variabel bebas dalam persamaan tersebut adalah lebih dari satu.

Contoh 2.5

Persamaan (2.3) dan (2.4) merupakan contoh persamaan diferensial parsial. Pada persamaan (2.3) variabel 𝑥, 𝑦, dan 𝑡 merupakan variabel bebas dan variabel 𝑢 merupakan variabel tak bebas. Pada persamaan (2.4) variabel 𝑥, 𝑦, dan 𝑧 merupakan variabel bebas dan variabel 𝑢 merupakan variabel tak bebas.

Definisi 2.6

Orde persamaan diferensial adalah tingkat tertinggi dari turunan yang muncul dalam persamaan diferensial tersebut.

Contoh 2.6

Persamaan (2.1) adalah persamaan diferensial biasa orde pertama karena tingkat tertinggi yang muncul adalah tingkat satu. Persamaan (2.2) adalah contoh persamaan diferensial biasa orde dua karena tingkat turunan yang muncul adalah tingkat dua. Persamaan (2.3) dan (2.4) adalah persamaan diferensial parsial orde dua karena tingkat tertinggi dari turunanparsial yang muncul adalah tingkat dua.

C. Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Berikut akan dibahas mengenai nilai eigen dan vektor eigen beserta dengan contohnya.

Definisi 2.8

Misalkan 𝑨 adalah suatu matriks 𝑛 × 𝑛. Skalar 𝜆 disebut sebagai suatu nilai eigen atau nilai karakteristik dari 𝑨 jika terdapat suatu vektor taknol 𝑥̅, sehingga 𝑨𝑥̅ = 𝜆𝑥̅. Vektor 𝑥̅ disebut vektor eigen atau vektor karakteristik yang bersesuaian dengan nilai eigen λ dari 𝑨.

Contoh 2.8

𝑨𝑥̅ = (4 −2

1 1 ^{) (2}1^{) = (6}3^{) = 3 (2}1^{) = 3𝑥̅}

maka dari persamaan ini dapat dilihat bahwa 𝜆 = 3 adalah nilai eigen dari 𝐴 dan 𝑥̅ = (2₁) merupakan vektor eigen yang bersesuaian dengan𝜆 = 3 tersebut, seperti yang dijelaskan oleh Leon (2001).

Secara geometris, perkalian matriks 𝑨 dengan vektor 𝑥̅ memiliki kelipatan 3 terhadap vektor 𝑥̅. Ilustrasi secara geometris ditunjukkan dalam Gambar 2.2.

Gambar 2.2. Ilustrasi geometri vektor eigen.

D. Klasifikasi Persamaan Diferensial Parsial Orde Dua

Pada bagian ini akan dibahas tentang menentukan jenis suatu persamaan diferensial parsial orde dua.

2 1 6 3 𝑥 𝑦 𝑥̅ 3𝑥̅

Persamaan diferensial parsial orde dua, yang linear homogen, dan memiliki koefisien konstan berbentuk

𝑎𝑢_𝑥𝑥+ 2𝑏𝑢_𝑥𝑦+ 𝑐𝑢_𝑦𝑦+ 𝑑𝑢_𝑥+ 𝑒𝑢_𝑦 + 𝑓𝑢 = 0

dengan𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑦) dan 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓 adalah konstanta. Tiga suku pertama bentuk persamaan diferensial parsial linear homogen orde dua di atas disebut bagian utama persamaan diferensial parsial dan digunakan untuk menentukan jenis persamaan diferensial parsial.

Dipandang bagian utama persamaan diferensial parsial:

𝑎𝑢_𝑥𝑥+ 2𝑏𝑢_𝑥𝑦+ 𝑐𝑢_𝑦𝑦 = 𝑎^𝜕 2𝑢 𝜕𝑥2+ 2𝑏 ^𝜕 2𝑢 𝜕𝑥𝜕𝑦^{+ 𝑐} 𝜕2𝑢 𝜕𝑦2 = (^𝜕 𝜕𝑥 𝜕 𝜕𝑦^{) (𝑎 𝑏}𝑏 𝑐⁾ ( 𝜕 𝜕𝑥 𝜕 𝜕𝑦) .

Matriks koefisien (𝑎 𝑏_{𝑏 𝑐}) merupakan matriks simetri yang mempunyai nilai eigen berupa bilangan real,

det ((𝑎 𝑏_{𝑏 𝑐}) − 𝜆 (1 0_{0 1})) = det (𝑎 − 𝜆_{𝑏 𝑐 − 𝜆}^𝑏 ) = (𝑎 − 𝜆)(𝑐 − 𝜆)−𝑏2

= 𝜆2− (𝑎 + 𝑐)𝜆 + 𝑎𝑐 − 𝑏2

(2.9)

Jika 𝜆₁ dan 𝜆₂ adalah nilai eigen dari matriks 𝑨 = (𝑎 𝑏_{𝑏 𝑐}) maka persamaan karakteristiknya adalah

↔ 𝜆2− (𝜆₁+ 𝜆₂)𝜆 + 𝜆₁𝜆₂ = 0 dari (2.9) dan (2.10) didapat:

a. 𝜆₁+ 𝜆₂ = 𝑎 + 𝑐 = trace(𝐴)

b. 𝜆₁𝜆₂ = 𝑎𝑐 − 𝑏2 = det (𝐴)

Persamaan diferensial parsial disebut parabolik jika 𝑎𝑐 − 𝑏2 = 0,yang artinya𝜆₁𝜆₂ = 0; dengan kata lain, salah satu nilai eigennya bernilai 0. Persamaan diferensial parsial disebut eliptik apabila 𝑎𝑐 − 𝑏2 > 0,yang artinya𝜆₁𝜆₂ > 0; dengan kata lain, kedua nilai eigennya positif atau kedua nilai eigennya negatif. Persamaan diferensial parsial disebut hiperbolik jika 𝑎𝑐 − 𝑏2 < 0,yang artinya𝜆₁𝜆₂ < 0; dengan kata lain, salah satu nilai eigennya positif dan salah satu nilai eigennya negatif.