BAB III MODEL KONDUKSI PANAS
D. Konduksi Panas Melalui Dinding
BAB IV PENUTUP A. Kesimpulan
B. Saran
BAB II
MODEL MATEMATIKA DAN PERSAMAAN DIFERENSIAL
A. MODEL MATEMATIKA
Model merupakan gambaran (tiruan, perwakilan) suatu obyek yang disusun berdasarkan tujuan tertentu. Obyek di sini dapat berupa suatu sistem, suatu perilaku sistem, atau suatu proses tertentu. Sebagai contoh dari model adalah sebuah maket. Biro arsitektur yang merencanakan pembangunan suatu kompleks akan membuat gambar-gambar sketsa, menyusun perhitungan-perhitungan konstruksi kemudian membuat maket yang merupakan tiruan dari calon kompleks. Jika ada segi-segi yang kurang disetujui oleh pemilik, maka rencana masih dapat diubah dengan mudah.
Sistem merupakan suatu himpunan beserta relasi antar unsur-unsurnya yang disusun dengan tujuan tertentu. Sebagai contoh dari sebuah sistem adalah suatu rumah sakit. Suatu rumah sakit adalah suatu sistem yang bertujuan merawat orang sakit. Semua bagian rumah sakit harus berfungsi mendukung tujuan di atas.
Model hanya menirukan sebagian dari obyek sesuai dengan tujuan penyusunan model dengan maksud supaya lebih mudah dikenali, dipelajari
dan dimanipulasi lebih lanjut. Dengan demikian dapat dipahami bahwa model pasti lebih sederhana dari aslinya.
Model dapat dibedakan berdasarkan tujuan penyusunan model. Model yang berguna mengendalikan keadaan, sifat, atau perilaku sistem dengan cara mencari keterkaitan antara unsur-unsurnya disebut model keterkaitan. Model yang bertujuan untuk mengadakan pendugaan (prediksi) untuk memperbaiki keadaan obyek disebut model pendugaan. Sedangkan model yang berguna mengadakan optimasi bagi obyek disebut model optimasi.
Model menurut jenisnya dapat dibedakan menjadi dua yaitu model fisis dan model simbolik (model matematika). Model fisis merupakan model yang biasanya cukup mirip dengan obyek dari segi fisis, misalnya bentuknya atau polanya. Model simbolik (model matematika) merupakan model yang menggunakan lambang-lambang (simbol) matematika/logika untuk menyajikan perilaku obyek.
Model matematika dapat dianggap sebagai usaha abstraksi terhadap obyek lewat cara analitis atau numeris dalam benuk persamaan-persamaan matematika. Model ini juga dapat berupa persamaan-persamaan diferensial.
B. LIMIT FUNGSI DAN TURUNAN
Definisi 2.1.
Niai mutlak biangan real didefinisikan sebagai berikut
{ } Contoh 2.2. 1. 2. 3. ( ) Teorema 2.3. Misalkan , maka 1. 2. | | . Bukti:
1. Akan dibuktikan bahwa untuk sebarang maka . Untuk dan maka , sehingga berlaku . Untuk dan maka , sehingga berlaku
Untuk dan maka , sehingga berlaku ( ) .
Untuk dan maka , sehingga berlaku ( ) .
Untuk dan maka , sehingga berlaku ( )( ) .
Jadi terbukti bahwa untuk sebarang maka . 2. Akan dibuktikan bahwa untuk sebarang maka | | .
Untuk dan maka , sehingga berlaku | | . Untuk dan maka , sehingga berlaku | | . Untuk dan maka , sehingga berlaku | | . /
.
Untuk dan maka , sehingga berlaku | | . /
.
Untuk dan maka , sehingga berlaku | |
.
Contoh 2.4.
1. Misalkan adalah suatu bilangan positif. Buktikan bahwa
Penyelesaian:
Akan dibuktikan bahwa .
(kalikan dengan 5) ( )
( ) ( ) .
Jadi, terbukti bahwa . 2. Misalkan adalah suatu bilangan positif. Tentukan bilangan positif
sedemikian rupa sehingga
Penyelesaian:
( )
( ) (dikalikan dengan ) Jadi, bilangan positif yang memenuhi
Definisi 2.5.
( ) berarti bahwa untuk tiap yang diberikan (betapapun kecilnya), terdapat yang berpadanan sedemikian sehingga ( ) asalkan bahwa ,yakni,
( )
Contoh 2.6.
Buktikan bahwa ( )
Penyelesaian:
Misalkan bilangan positif sebarang. Akan dibuktikan terdapat suatu
sedemikian sehingga
( )
Perhatikan ketaksamaan pada ruas kanan
( ) ( )
( )
Dengan demikian, jika dipilih maka untuk
menghasilkan
( ) ( )
Jadi, terbukti bahwa ( ) .
Teorema 2.7.
Jika dan suatu konstanta, maka
( )
Bukti:
Akan dibuktikan bahwa untuk setiap terdapat suatu sehingga
( ) ( )
Untuk , maka ( ) ( ) , ditentukan suatu untuk setiap sehingga
Karena , maka menjadi
Untuk , maka ( ) ( ) untuk setiap nilai . Ambil sebarang bilangan positif sehingga berlaku
( ) ( )
Jadi, terbukti bahwa ( ) .
Contoh 2.8.
( )
Teorema 2.9.
Jika suatu konstanta, maka untuk setiap bilangan ,
Bukti:
Akan dibuktikan bahwa untuk setiap terdapat suatu sehingga
Ambil sebarang bilangan positif , maka .
Contoh 2.10.
Teorema 2.11.
Jika ( ) dan ( ) , maka
, ( ) ( )-
, ( ) ( )- ( ) ( )
Bukti:
Akan dibuktikan bahwa untuk setiap terdapat suatu sehingga
, ( ) ( )- ( )
Karena diketahui ( ) , maka dari definisi limit diperoleh bahwa untuk terdapat suatu sehingga
( )
Karena diketahui ( ) , maka dari definisi limit diperoleh bahwa untuk terdapat suatu sehingga
Misalkan adalah bilangan terkecil dari dua bilangan dan . Jadi
dan . Karena itu
( )
dan
( )
Dengan demikian jika , maka
, ( ) ( )- ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) ( )
Jadi, terbukti bahwa , ( ) ( )- .
Akan dibuktikan bahwa untuk setiap terdapat suatu sehingga
, ( ) ( )- ( )
Karena diketahui ( ) , maka dari definisi limit diperoleh bahwa untuk terdapat suatu sehingga
Karena diketahui ( ) , maka dari definisi limit diperoleh bahwa untuk terdapat suatu sehingga
( )
Misalkan adalah bilangan terkecil dari dua bilangan dan . Jadi
dan . Karena itu
( )
dan
( )
Dengan demikian jika , maka
, ( ) ( )- ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) ( )
Jadi, terbukti bahwa , ( ) ( )- . Jadi, terbukti bahwa
, ( ) ( )-
Contoh 2.12. ( ) Teorema 2.13.
Jika ( ) dan fungsi kontinu di , maka
( )( ) ( ) (( ( )) ( ( ))
Bukti:
Karena kontinu di maka untuk setiap terdapat suatu
sehingga
( ) ( ) (1) Karena ( ) , untuk setiap terdapat suatu
sehingga
( ) (2) Jika dan disubstitusikan ke dalam (1) oleh ( ) maka
( ) | ( ( )) ( )| (3) dari pernyataan (2) dan (3) diperoleh bahwa untuk setiap terdapat suatu sehingga
| ( ( )) ( )|
Jadi, terbukti bahwa
( )( ) ( ) (( ( )) ( ( ))
Teorema 2.14.
Jika ( ) dan ( ) maka
( ) ( ) jika
Bukti:
Misalkan fungsi yang didefinisikan oleh ( ) . Maka fungsi komposisi didefinisikan oleh ( ( )) ( )⁄ . Fungsi kontinu dimana-mana kecuali di 0. Karena itu
( ) ( ( )) ( ( ))
Sehingga diperoleh ( ) ( ) ( ) ( )
Jadi, terbukti bahwa ( ) ( ) jika
Contoh 2.15. Definisi 2.16.
Misalkan suatu fungsi yang didefinisikan untuk setiap bilangan pada selang ( ). Limit ( ) adalah , dituliskan
apabila untuk setiap , betapapun kecilnya, terdapat suatu bilangan
sehingga ( ) jika .
Contoh 2.17.
Buktikan bahwa
Penyelesaian:
Bagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi yang muncul pada penyebut yaitu .
.
Definisi 2.18.
Misalkan suatu fungsi yang didefinisikan pada selang ( ). Limit ( ) adalah , dituliskan
( )
apabila untuk setiap , betapapun kecilnya, terdapat suatu bilangan
sehingga ( ) jika .
Contoh 2.19.
Tentukan
Penyelesaian:
Bagi pembilang dan penyebut dengan .
. Jadi, .
Definisi 2.20.
Turunan fungsi adalah fungsi lain (dibaca “ aksen”) yang nilainya
pada sebarang bilangan adalah
( ) ( ) ( )
asalkan limit ini ada.
Contoh 2.21. Andaikan ( ) . Cari ( ) Penyelesaian: ( ) ( ) ( ) [( ) ( )] , ( )
C. PERSAMAAN DIFERENSIAL
Persamaan diferensial merupakan persamaan yang memuat turunan satu (atau beberapa) fungsi yang tidak diketahui. Sebagai contoh dari persamaan diferensial sebagai berikut
(4) (5) ( )( ) (6) (7)
Bila peubah yang terikat dalam suatu persamaan diferensial adalah suatu fungsi satu peubah bebas maka persamaan tersebut merupakan persamaan diferensial biasa. Sedangkan, jika peubah yang terikat dalam suatu persamaan diferensial adalah suatu fungsi dua atau lebih peubah bebas maka persamaan tersebut merupakan persamaan diferensial parsial. Dalam contoh di atas persamaan (4)-(6) merupakan contoh persamaan diferensial biasa dan persamaan (7) merupakan contoh persamaan diferensial parsial.
Definisi 2.22.
Persamaan diferensial biasa merupakan suatu persamaan diferensial yang memuat fungsi satu peubah bebas. Sedangkan, persamaan diferensial
parsial merupakan suatu persamaan diferensial yang memuat fungsi dua atau lebih peubah bebas.
Contoh 2.23.
Pada contoh persamaan diferensial di atas yang merupakan persamaan diferensial biasa adalah persamaan (1)-(3). Sedangkan, contoh persamaan diferensial parsial adalah persamaan (4).
Definisi 2.24.
Suatu persamaan diferensial biasa tingkat merupakan suatu persamaan yang dapat ditulis dalam bentuk ( ) ( ( ))
dimana ( ) semua ditentukan nilainya oleh .
Contoh 2.25.
Persamaan (1) merupakan contoh persamaan diferensial biasa tingkat 1. Sedangkan, persamaan (2) dan (3) merupakan contoh persamaan diferensial biasa tingkat 2.
Definisi 2.26.
Suatu penyelesaian persamaan diferensial biasa
( ) ( ( )) merupakan suatu fungsi ( ) yang ditentukan pada suatu selang bagian yang secara identik memenuhi persamaan ( ) ( ( )) pada seluruh selang .
Contoh 2.27.
Suatu fungsi , yang ditulis sebagai merupakan penyelesaian dari Bukti:
Hasil substitusi ke dalam persamaan
menghasilkan ( ) atau
Hasil substitusi tersebut merupakan suatu kesamaan dalam untuk semua
Jadi, merupakan penyelesaian dari
Definisi 2.28.
Penyelesaian umum suatu persamaan diferensial tingkat adalah suatu penyelesaian yang mengandung konstanta sebarang yang bebas.
Penyelesaian khusus suatu persamaan diferensial adalah penyelesaian sebarang yang dapat diperoleh dengan memberikan nilai tertentu kepada konstanta sebarang dalam penyelesaian umum untuk persamaan tersebut.
Contoh 2.29.
Perhatikan persamaan diferensial tingkat satu
atau dapat ditulis
Bila kedua ruas diintegralkan akan diperoleh
∫ ∫
dengan suatu konstanta sebarang.
Jadi, merupakan penyelesaian umum dari
Penyelesaian khusus dapat diperoleh dengan memberikan nilai tertentu kepada
BAB III
MODEL KONDUKSI PANAS
A. Panas dan Suhu
Panas dan suhu mempunyai hubungan yang sangat erat. Suhu merupakan suatu besaran untuk mengukur panas. Perpindahan panas merupakan proses perpindahan energi yang mengalir pada suhu yang berbeda, energi yang mengalir tersebut disebut juga energi panas atau panas. Bila sebuah media atau obyek dikenai energi panas maka suhu media tersebut menjadi naik. Demikian juga, suatu obyek menjadi dingin akibat suhu yang turun karena panas yang hilang ke sekitarnya. Suatu media dengan massa yang lebih banyak akan lebih banyak memerlukan panas untuk menaikkan suhu, sedangkan jika suhu dari sebuah media turun, maka energi panas dari media tersebut lebih banyak yang hilang.
Asumsikan perubahan pada panas adalah berbanding langsung dengan perubahan suhu dan juga massa dari suatu obyek, yakni dapat ditulis sebagai
{ } * + * + (3.1)
dengan adalah konstanta positif pembanding sebagai panas jenis dari bahan, diasumsikan tidak bergantung pada massa sebuah obyek dan perubahan suhu.
Misalkan didefinisikan sebagai laju perubahan panas terhadap waktu (diukur dalam watt), adalahmassa dari bahan yang akan dipanaskan atau didinginkan (diukur dalam kg), dan merupakan suhu, maka diperoleh
(3.2) Setiap bahan memiliki panas jenis yang berbeda-beda. Di bawah
ini diberikan data nilai panas jenis dari berbagai bahan.
Tabel 1. Panas jenis untuk beberapa bahan (Barnes, Gleeen, 2009)
Bahan Bahan
Aluminium 896 Asbes 841
Tembaga 383 Batu bata 840
Stainlis steel 461 Gelas 800
Kayu 2385 Mentega 2300
Beton 878 Daging domba 3430
B. Konduksi Panas pada Proses Pendinginan Air
Panas dari sebuah obyek menjadi hilang karena adanya penukaran energi panas dengan sekitarnya. Jika perbedaan suhu antara permukaan dari suatu obyek dan sekitarnya menjadi bertambah, maka diharapkan panas menjadi cepat hilang.
Diasumsikan bahwa laju dari aliran panas adalah berbanding langsung dengan perbedaan suhu diantara permukaan dan sekitarnya. Dari asumsi tersebut dirumuskan Hukum Newton pada keadaaan pendinginan, yang akan berlaku juga pada masalah pemanasan.
Perubahan suhu akibat pertukaran panas menurut Newton adalah berbanding lurus dengan waktu. Bila suhu obyek lebih tinggi dari pada suhu sekitarnya maka akan terjadi pendinginan pada obyek atau penurunan suhu dan demikian pula sebaliknya. Perbandingan ini dapat dijadikan persamaan dengan melibatkan suatu faktor konstanta, sehingga
( )
dengan dan masing-masing merupakan suhu obyek dan suhu sekitarnya. Tanda negatif menunjukkan terjadinya penurunan suhu bila
.
Perbedaan suhu ditentukan dari panas pada permukaan yang dapat menghilang ataupun bertambah. Jika adalah luas permukaan dari sebuah obyek, suhu dari sebuah obyek lebih tinggi dari suhu di sekitarnya, maka dapat ditulis
{ } { } { } 2 3 ( ) (3.3) Ketika suhu pada sekitar lebih tinggi daripada suhu pada obyek
( ), maka laju penukaran panas sebagai berikut,
{ } ( )
(3.4) Jadi, hukum Newton pada masalah pendinginan maupun pemanasan dirumuskan sebagai berikut,
{ } (3.5) dengan
= perbedaan suhu
= luas permukaan yang panasnya hilang ataupun bertambah (diukur dalam m2)
= koefisien pendinginan Newton (diukur dalam watt/m2/0C) .
Konduksi merupakan perpindahan panas dari daerah yang bersuhu tinggi ke daerah yang bersuhu rendah dalam suatu media. Media tersebut dapat berupa zat padat, zat cair maupun gas. Perpindahan terjadi karena molekul bersinggungan secara langsung tanpa adanya perpindahan molekul yang cukup besar. Suhu elemen suatu zat sebanding dengan energi kinetik (energi yang diakibatkan karena suatu gerak) rata-rata dari molekul-molekul yang membentuk zat tersebut. Energi yang dimiliki suatu elemen zat yang diakibatkan adanya kecepatan dan posisi relatif molekul-molekulnya merupakan energi dalam.
Misalnya ada secangkir kopi panas di atas meja dan ingin diminum sesegera mungkin. Jika kopi bersuhu 600C, berapa lama harus menunggu untuk meminumnya ketika suhu kopi tersebut menjadi 400C?Pada masalah ini terlihat perbedaan antara panas dan suhu. Panas dan suhu sangat penting untuk menyelesaikan masalah tersebut.
Pada masalah secangkir kopi di atas terdapat hubungan antara laju perubahan panas dan laju perubahan suhu. Untuk mendeskripsikan panas yang terkandung dalam secangkir kopi, ditunjukkan sebagai berikut
{ } { } (3.6) Jadi, persamaan konduksi panas pada masalah pendinginan air sebagai berikut
( ) ( ) ( ) ( ) (3.7) Nilai dapat ditentukan dari suhu awal. Jika suhu pada saat awal ( ) bernilai maka
( )
Jadi, penyelesaian persamaan (3.7) adalah sebagai berikut
( ) (3.8)
Tanda negatif menunjukkan adanya panas yang hilang ke sekitar atau terjadinya pendinginan.
Untuk maka fungsi suhu pada persamaan (3.8) akan menjadi sebagai berikut
( )
Koefisien pendinginan Newton ( ) memiliki nilai yang berbeda-beda. Di bawah ini diberikan nilai pendinginan Newton pada suatu lempengan dengan ketebalan 0,5 m. Nilai koefisien pendinginan Newton semakin besar pada saat laju aliran udara semakin besar. Akibatnya, nilai koefisien pendinginan Newton sangat berpengaruh terhadap aplikasi model yang telah diperoleh.
Tabel 2. Nilai koefisien pendinginan Newton
Lempengan pada udara terbuka 4.5
Lempengan dengan laju aliran udara 2 m/s 12
Lempengan dengan laju aliran udara 35 m/s 75
Koefisien pendinginan Newton pada udara terbuka digunakan pada keadaan normal, yakni keadaan dimana tidak ada hembusan udara. Koefisien pendinginan Newton pada lempengan dengan laju aliran udara 2 m/s digunakan ketika ada tiupan atau angin sepoi-sepoi. Sedangkan koefisien pendinginan Newton pada lempengan dengan laju udara 35 m/s digunakan pada saat terjadi angin kencang seperti angin topan.
Contoh 3.1
Dari data secangkir kopi yang memiliki diameter 7cm dan tinggi 8cm, massa dari kopi tersebut adalah 0,2 kg. Diketahui bahwa suhu sekitar dari kopi tersebut adalah 260C dan suhu awal dari kopi 780C. Misalkan cangkir tersebut terbuat dari gelas sehingga panas jenisnya adalah 800 dan koefisien pendinginan Newton 4,5. Berapa lama waktu yang dibutuhkan untuk menunggu saat kopi siap diminum pada susu 550C?
Penyelesaian:
Dari masalah tersebut diketahui bahwa koefisien pendinginan Newton ( ) adalah4,5, panas jenis ( ) adalah 800 watt/kg 0C. Massa dari bahan yang akan di dinginkan ( ) adalah 0.2 kg. Suhu awal ( ) dari bahan adalah 78 0
C dan suhu sekitarnya ( ) adalah 26 0C. Cangkir tersebut memiliki diameter 7 cm dan tinggi 8 cm, sehingga jari-jari cangkir adalah 3.5 cm. Dari data di atas, maka luas permukaan gelas dapat didekati sebagai luas permukaan tabung tanpa tutup sebagai berikut
= Luas cangkir
= Luas tabung dengan tutup
= Luas alas + luas selimut tabung + luas tutup
=( ) ( ) ( )
= ( ) ( ) ( ) cm2 = cm2
= m2
Waktu yang dibutuhkan untuk menunggu agar suhu kopi turun dari 78 0C menjadi 55 0C diperoleh dengan menggunakan persamaan (3.7) adalah sebagai berikut ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) s menit
Jadi, waktu yang dibutuhkan untuk menunggu suhu dari kopi menjadi 550C adalah sekitar 822 s atau 14 menit.
Dari data di atas dapat diilustrasikan dalam bentuk grafik sebagai berikut
Gambar 3.1. Grafik fungsi suhu terhadap waktu pada proses pendinginan air.
Jika air didinginkan dalam waktu yang lama maka suhunya akan menjadi sebagai berikut
Jadi, jika air didinginkan dalam waktu yang sangat lama maka suhu dari air tersebut akan mendekati suhu sekitarnya. Dari grafik pada Gambar 3.1. dapat dilihat bahwa untuk maka ( ) . Pada Gambar 3.1. tampak bahwa grafik turun sesuai dengan fungsi eksponensial. Setelah dilakukan praktek secara nyata dengan diukur menggunakan termometer ternyata waktu yang dibutuhkan untuk menunggu suhu dari kopi turun menjadi 55 0C adalah sekitar 17 menit. Pada masalah secangkir kopi ini diasumsikan bahwa cangkir atau gelas seakan-akan tidak ada, sehingga waktu yang dibutuhkan untuk menunggu kopi menjadi dingin pada suhu 55 0C menjadi lebih cepat daripada dalam keadaan real. Jadi hasil dari model sudah mendekati nilai yang sesungguhnya. Model ini sudah dikatakan baik karena ketika menunggu air sampai berapa lamapun suhu hanya akan mendekati suhu sekitar.
C. Konduksi Panas pada Pemanas Air
Pada contoh pemanas air, persamaan diferensial untuk suhu diperoleh dari air yang dipanaskan dengan elemen pemanas elektrik. Masalah pemanas air ini pada dasarnya mempunyai prinsip yang sama dengan masalah secangkir kopi, bedanya bahwa pada masalah pemanas air, panas ditambahkan melalui elemen pemanas.
Beberapa contoh alat pemanas air adalah ceret dan ketel. Masalah pemanas air menggunakan elemen elektrik yang biasa digunakan di tiap-tiap rumah, biasanya berisi 2 liter air, dengan tinggi pemanas air 20 cm
dan diameter 15 cm. Awalnya diasumsikan air menjadi bersuhu 150C. Elemen pemanas yang digunakan untuk memanaskan memiliki laju konstan (per jam) 3,6 Kw (yang lain biasanya menggunakan 4,8 kW/jam). Pada gambar di bawah ini menunjukkan ilustrasi dari panas yang keluar dan masuk dari sistem. Berapa lama waktu yang dibutuhkan untuk mengambil air tersebut saat bersuhu 600C?
Elemen pemanas
Gambar 3.2. Diagram skema dari pemanas air.
Dalam menyelesaikan masalah pemanas air dikenalkan beberapa notasi. Misalkan ( ) sebagai suhu air pada waktu , merupakan suhu awal air, merupakan suhu akhir air, sebagai massa dari air yang akan dipanaskan dan sebagai laju persediaan energi panas. (dalam m2) menunjukkan luas permukaan dari pemanas air atau tangki yang panasnya keluar.
Pertama, asumsikan air pada tangki seluruhnya bersuhu homogen. Tanpa asumsi tersebut masalah akan menjadi lebih komplek, karena suhu akan menjadi fungsi dari waktu dan posisi. Dengan asumsi tersebut yang
dipertimbangkan hanya suhu dari air sebagai fungsi terhadap waktu. Kedua, asumsikan bahwa panas yang hilang dari permukaan tangki menurut hukum Newton pada pendinginan. Akhirnya, asumsikan bahwa panas konstan, sebagai panas jenis dan koefisien pendinginan Newton.
Untuk mendeskripsikan masalah pemanasan air pertimbangkan sistem yang mengaplikasikan hukum keseimbangan seperti ditunjukkan pada gambar berikut ini.
Panas dari panas yang hilang
elemen pemanas ke sekitar
Gambar 3.3. Skema perpindahan panas.
Panas pada tangki yang berasal dari elemen pemanas akan sama besarnya dengan panas yang hilang ke sekitar.
Keseimbangan panas untuk sistem dideskripsikan dengan persamaan berikut ini,
{ } { } { } (3.9) Panas pada tangki
Perubahan suhu digunakan untuk memperoleh persamaan matematika. Persamaan dasar yang digunakan untuk merelasikan panas dengan suhu adalah sebagai berikut,
{ } (3.10) dengan adalah panas tertentu dari air, sebagai massa dari air dan ( )
menunjukkan suhu pada waktu .
Asumsikan bahwa elemen pemanas memproduksi panas dengan laju konstan per unit waktu, yang dinyatakan dengan . Jadi,
{ } (3.11) Laju panas yang hilang ke sekitar dirumuskan dengan
menggunakan hukum Newton pada pendinginan, yaitu
{ } * +
( ( ) ) (3.12) dengan adalah luas permukaan dari pemanas dan adalah koefisien pendinginan Newton. Perbedaan suhu merupakan perbedaan antara suhu arus air ( ( )) dan suhu sekitar ( )
Dengan mensubstitusikan persamaan (3.10), (3.11) dan (3.12) ke dalam persamaan (3.9) diperoleh persamaan diferensial yang mendeskripsikan variasi suhu terhadap waktu sebagai berikut,
( ( ) ) (3.13) Atau dapat ditulis
( ( ) ) ( ) ( ) (3.14) Misalkan, ( ) maka atau
Jika persamaan tersebut diintegralkan akan diperoleh
∫ ∫
Di substitusikan ke dalam ruas kiri persamaan (3.14) menjadi sebagai berikut, ∫ ( ( )) ( ( )) (3.15) ( ( )) ( ( )) ( ) ( ( )) . / ( ) ( ) . /
( ) . / (3.16) Nilai dapat diperoleh dari persamaan (3.15) sebagai berikut
( ( ))
( ( )) ( ( ))
Jadi, penyelesaian dari persamaan (3.16) adalah
. /
dengan ( ) (3.17) Untuk maka fungsi suhu pada persamaan (3.17) akan menjadi sebagai berikut . ( )/ . ( )/
Contoh 3.2
Sebagai contoh dari masalah pemanas ini adalah memanaskan air dengan menggunakan pemanas. Diketahui pemanas tersebut memiliki diameter 10 cmdan tinggi 20 cm, massa dari air yang akan dipanaskan 1,5 kg, suhu awal air dan suhu sekitar sama yaitu 26 0C, karena pemanas terbuat dari stainlis steel maka panas jenisnya adalah 461, diberikan koefisien pendinginan atau pemanasan Newton 4,5 dan misalkan laju panas yang digunakan adalah 100 watt. Berapa lama waktu yang dibutuhkan untuk menunggu air tersebut sampai mendidih 100 0C ?
Penyelesaian :
Dari data tersebut diketahui bahwa suhu awal ( ) dari bahan adalah 26 0C dan suhu sekitar ( ) adalah 26 0C. Diberikan koefisien pemanasan Newton ( ) adalah 4,5 dan panas jenis ( ) 461 watt/kg 0C. Massa dari bahan yang dipanaskan ( ) adalah 1,5 kg. Laju panas ( ) yang digunakan 100 watt. Diketahui pemanas memiliki diameter 10 cm dan tinggi 20 cm, sehingga jari-jari dari pemanas adalah 5 cm.
= Luas pemanas = Luas alas
= , dengan = jari-jari cangkir dan tinggi cangkir =( )
= ( ) cm2 = m2
Waktu yang dibutuhkan untuk menunggu sampai air mendidih pada suhu 100 0C diperoleh dengan menggunakan persamaan (3.14) adalah sebagai berikut . / dengan ( ) = ( ( ) ( )) = ( ) = ( ) =
Sehingga waktu yang dibutuhkan yaitu
. /
100= ( ) . / 100 = . / . / . / . / . / . / ( ) ( ) ( ) s menit.
Jadi, waktu yang dibutuhkan untuk menunggu air sampai mendidih pada suhu 100 0C adalah sekitar 531 s atau 9 menit.
Dari data di atas dapat diilustrasikan melalui grafik sebagai berikut
Gambar 3.4. Grafik fungsi suhu terhadap waktu pada proses pemanasan air dengan
.
Jika air dipanaskan dalam waktu yang lama maka suhunya akan menjadi sebagai berikut
0 C.
Jadi, jika air dipanaskan dalam waktu yang sangat lama akan mendekati suhu 2857 0C. Padahal dalam keadaan real, jika air dipanaskan dalam waktu yang sangat lama akan habis karena adanya penguapan.
Untuk maka waktu yang dibutuhkan untuk menunggu air sampai mendidih pada suhu 100 0C adalah sebagai berikut
. / dengan ( ) = ( ( ) ( )) = ( ) = ( )
=
Sehingga waktu yang dibutuhkan yaitu
. / 100= ( ) . / 100 = . / . / . / . / . / . / ( ) ( ) ( )
s
menit.
Jadi, jika ingin menunggu air sampai mendidih 1000C maka dibutuhkan waktu sekitar 163 s atau sekitar 3 menit. dengan diketahui bahwa daya yang digunakan adalah 350 watt.
Dari data untuk dapat diilustrasikan melalui grafik sebagai berikut
Jika air dipanaskan dalam waktu yang lama maka suhunya akan menjadi sebagai berikut 0 C.
Jadi, jika air dipanaskan dalam waktu yang sangat lama akan mendekati suhu 9934 0C. Padahal dalam keadaan real, jika air dipanaskan dalam waktu yang sangat lama akan habis karena adanya penguapan.
Untuk , maka waktu yang dibutuhkan untuk menunggu air sampai mendidih pada suhu 100 0C adalah sebagai berikut
. / dengan ( ) = ( ( ) ( )) = ( ) = ( ) =
Sehingga waktu yang dibutuhkan yaitu . / 100= ( ) . / 100 = . / . / . / . / . / . / ( ) ( ) ( )
s
menit.
Jadi, waktu yang dibutuhkan untuk menunggu air sampai mendidih dalam suhu 1000C adalah sekitar 131 s atau sekitar 2 menit. Dengan diketahui bahwa daya yang digunakan adalah 450 watt.
Dari data untuk dapat diilustrasikan melalui grafik sebagai berikut
Gambar 3.6. Grafik fungsi suhu terhadap waktu pada proses pemanasan air dengan