BAB II SEJARAH DAN KONSEP DASAR GEOMETRI BOLA
B. Konsep Dasar Dalam Geometri Bola
Dalam pembahasan geometri bola di bawah ini, akan diasumsikan bahwa bola memiliki radius ukuran satu satuan.
Definisi 2.1 (Wentworth, 1899: 381)
Bola merupakan permukaan di mana setiap titik pada permukaan tersebut berjarak sama dari sebuah titik yang disebut pusat.
Titik yang dimaksud pada definisi di atas merupakan titik pusat bola. Pada gambar 2.1, titik merupakan pusat bola .
Definisi 2.2 (Wentworth, 1899: 381)
Segmen garis lurus yang menghubungkan titik pada permukaan bola dengan titik pusat bola disebut sebagai radius.
Radius pada bola diilustrasikan pada gambar 2.2, di mana pada gambar tersebut radius dinamai .
Definisi 2.3 (Wentworth, 1899: 381)
Segmen garis lurus yang melewati pusat bola dan berhenti pada dua titik di permukaan bola disebut sebagai diameter.
Pada gambar 2.3, segmen garis lurus merupakan diameter bola.
Perpotongan bola dengan sebuah bidang menghasilkan sebuah lingkaran. Gambar 2.4, merupakan ilustrasi lingkaran dari perpotongan bola dengan bidang Pada gambar tersebut, lingkaran dilukiskan dengan garis tebal.
Gambar 2.2 Ilustrasi Radius Bola
Jika bidang yang memotong bola melalui pusat bola, maka lingkaran yang terbentuk disebut lingkaran besar. Sedangkan jika bidang tersebut tidak melalui pusat bola maka lingkaran yang terbentuk disebut lingkaran kecil. Nampak pada gambar 2.5, lingkaran besar yang terbentuk dari perpotongan bola dengan bidang .
Setiap lingkaran besar memiliki dua buah titik pusat, dan dua titik pusat tersebut berjarak sama terhadap setiap titik pada lingkaran besar. Dua titik pusat dari sebuah lingkaran besar disebut sebagai titik berlawanan. Sehingga setiap titik pada bola menentukan titik lainnya yang disebut sebagai titik lawan. Pada gambar 2.5, titik dan merupakan pusat lingkaran besar dan juga merupakan titik berlawanan. Contoh nyata dari lingkaran besar adalah garis bujur dan garis khatulistiwa. Sedangkan contoh nyata dari dua titik berlawanan adalah kutub utara dan kutub selatan.
Seperti pada geometri Euclid, garis pada geometri bola juga ditentukan melalui dua titik pada permukaan bola. Garis pada geometri bola adalah lingkaran besar. Melalui dua titik yang bukan merupakan titik berlawanan dapat dibentuk sebuah garis. Jika kedua titik tersebut merupakan titik berlawanan, maka dapat dibentuk tak hingga banyak garis.
Gambar 2.6 (a) menunjukkan bahwa dari sembarang dua titik pada bola yaitu dan yang bukan merupakan titik berlawanan, dapat dibentuk sebuah garis. Sedangkan pada gambar 2.6 (b) ditunjukkan bahwa dapat dibentuk tak hingga banyak garis melalui titik berlawanan dan .
(a) (b) Gambar 2.6 Ilustrasi Garis dari Dua Titik Gambar 2.5 Ilustrasi Lingkaran Besar
Pada geometri Euclid, sebuah garis dapat diperpanjang sampai tak hingga panjangnya. Hal tersebut berbeda dengan garis pada geometri bola, karena garis pada geometri bola memiliki batas. Misalkan titik merupakan sebuah titik pada garis, jika lingkaran besar tersebut ditelusuri mulai dari titik , maka penelusuran tersebut akan berakhir pada titik juga. Jika pada geometri Euclid terdapat konsep kesejajaran garis, maka pada geometri bola tidak ada konsep kesejajaran garis sebagai akibat dari postulat kesejajaran Riemann.
Dua titik pada garis membagi garis menjadi dua buah busur. Jika kedua titik tersebut bukan merupakan titik berlawanan maka garis terbagi menjadi busur panjang dan busur pendek. Dalam geometri bola, busur terpendek dipandang sebagai segmen garis. Suatu segmen garis yang dibatasi oleh titik dan dinotasikan dengan , lalu panjang busur terpendek tersebut didefinisikan sebagai jarak antara dua titik. Jadi jarak antara kedua titik tersebut disebut juga sebagai panjang segmen garis pada geometri bola. Panjang dinotasikan dengan .
Sebagai ilustrasi perhatikan gambar 2.7 (a). Pada gambar tersebut terdapat dua busur yang terbentuk dari dua titik dan titik yang dilukiskan sebagai garis putus-putus dan garis yang tidak putus-putus. Sesuai dengan penjelasan di atas, ditunjukkan oleh garis tak putus-putus dan merupakan jarak antara titik ke titik . Pada gambar 2.7 (b), jika kedua titik merupakan titik berlawanan, maka jarak kedua titik tersebut sama panjang yaitu .
Berikut merupakan tabel perbandingan konsep jarak pada geometri Euclid dan geometri bola:
No Pada geometri Euclid Pada geometri bola 1. Jarak dua titik diukur
sepanjang garis yang menghubungkan kedua titik tersebut. Hanya ada sebuah jarak yang dapat diukur.
Jarak pada lingkaran besar diukur dari dua titik yang menghubungkannya. Terdapat dua jarak yang dapat diukur. Jarak yang digunakan adalah jarak terpendek. 2. Tidak ada jarak terpanjang
atau terpendek dari dua titik yang diberikan.
Jarak terpanjang dari dua titik adalah 180˚.
3. Dari dua titik yang diberikan hanya dapat dilukis sebuah segmen garis.
Dari dua titik yang bukan merupakan titik berlawanan, terdapat sebuah segmen garis.
Jika kedua titik tersebut merupakan titik berlawanan, terdapat tak hingga banyak segmen garis yang terbentuk, dan memiliki panjang yang sama yaitu 180˚.
(a) (b) Gambar 2.7 Ilustrasi Segmen Garis
Definisi 2.4 (Moise, 1990: 60)
Pada geometri Euclid, titik dikatakan berada diantara titik dan jika:
(i) , , dan kolinier (ii)
Gambar 2.8 menunjukkan konsep di atas.
Konsep keantaraan pada geometri bola didefinisikan seperti pada konsep keantaraan pada geometri Euclid, dengan menggunakan segmen garis. Pada gambar 2.9 tampak bahwa berada diantara .
Namun terdapat sebuah perbedaan sifat antara konsep keantaraan pada geometri Euclid, dengan konsep keantaraan pada geometri bola. Perbedaan tersebut timbul karena memungkinkannya untuk tidak terdapat keantaraan pada geometri bola. Jika diberikan tiga titik , , pada garis
Gambar 2.8 Ilustrasi I Keantaraan
dengan jarak setiap titik adalah 120˚ seperti pada gambar 2.10, maka tidak ada satupun titik yang berada diantara kedua titik lainnya. Hal ini dikarenakan tidak terbuktinya syarat (ii) pada konsep keantaraan. Seharusnya tetapi pada kasus ini , yang menyebabkan tidak berada diantara dan , yang menyebabkan tidak berada diantara dan , serta yang menyebabkan tidak berada diantara dan .
Definisi 2.5 (Wentworth, 1899: 389)
Sudut pada geometri bola merupakan perpotongan dua buah segmen garis. Pada gambar 2.11, sudut yang terbentuk dari dan dinotasikan dengan , sedangkan besar dinotasikan dengan . Besar sudut dalam geometri bola didefinisikan sebagai besar sudut antara dua bidang yang memuat dua segmen garis tersebut.
Definisi 2.6 (Wentworth, 1899: 392)
Segitiga pada geometri bola merupakan gabungan tiga segmen garis yang menghubungkan tiga titik non kolinear.
Misalkan terdapat tiga titik non kolinear , , dan . Selanjutnya dibentuk , , dan sehingga terbentuk sebuah segitiga yang dinotasikan dengan . Gambar 2.12 ini merupakan contoh segitiga dalam geometri bola, yaitu dan .
Berbeda dengan geometri Euclid, jumlah besar sudut dalam sebuah segitiga pada geometri bola tidak sama dengan melainkan lebih dari
Gambar 2.11 Ilustrasi Sudut
dan kurang dari (Wentworth, 1899: 393), selain itu jumlah dari ketiga sisinya kurang dari (Wentworth, 1899: 397) .
Definisi 2.7 (Dickinson, 2008: 24)
Segitiga siku-siku pada geometri bola merupakan segitiga yang memiliki paling tidak satu sudut siku-siku.
Gambar 2.13 merupakan contoh segitiga siku-siku pada geometri bola. Pada gambar tersebut, memiliki satu sudut yang besarnya yaitu , dan memiliki dua sudut siku-siku yaitu dan .
Definisi 2.8 (Dickinson, 2008: 26)
Lingkaran luar segitiga merupakan lingkaran yang memuat semua titik sudut segitiga.
Untuk setiap segitiga pada geometri bola, dapat dibuat lingkaran luar segitiga yang memuat ketiga titik sudut segitiga tersebut. Pada gambar 2.14, memiliki lingkaran luar segitiga dengan pusat dan mamiliki lingkaran luar segitiga dengan pusat .
Seperti pada geometri Euclid, pada geometri bola juga terdapat aturan kongruensi pada segitiga. Jika kongruen dengan , maka dinotasikan dengan . Pada geometri bola jika dua buah segitiga terletak pada bola berukuran sama memenuhi satu dari empat syarat di bawah ini, maka kedua segitiga tersebut dikatakan kongruen. Empat syarat tersebut antara lain:
1. Dua buah sisi yang bersesuaian sama panjang dan sebuah sudut yang diapit oleh kedua sisi tersebut sama besar.
2. Dua buah sudut yang bersesuaian sama besar dan sisi di antara kedua sudut tersebut sama panjang.
3. Setiap sisi yang bersesuaian sama panjang. 4. Setiap sudut yang bersesuaian sama besar.
Selain aturan kongruensi, aturan segitiga sama kaki pada geometri bola juga serupa dengan aturan segitiga sama kaki pada geometri Euclid. Pada segitiga sama kaki, sudut-sudut yang berhadapan dengan sisi-sisi yang sama panjang akan memiliki besar sudut yang sama. Sebaliknya, sisi-sisi yang berhadapan dengan sudut yang sama besar akan memiliki
panjang sisi yang sama. Penjelasan lebih lanjut mengenai pembuktian aturan kongruensi dan aturan segitiga sama kaki dapat dilihat pada lampiran A1-A3.
23