Kita juga memerlukan untuk dapat menterjemahkan pernyataan dibawah ini :
Terdapatlah paling sedikit satu obyek x sedemikian sehingga Pred(x).
Kita dapat menjadikannya dengan menuliskan :
x(Pred(x))
yg berarti :
Tidaklah benar bahwa properti false untuk semua anggota atau
Tidaklah benar bahwa untuk semua anggota (x), anggota (x) tidak mempunyai sifat Pred.
Logika Predikat
Kuantor Eksistensial
Kita kenalkan suatu kuator baru : terdapatlah (there exist) , seperti pada :
x(Pred(x)) yg dibaca :
Terdapatlah suatu nilai dp x sedemikian sehingga Pred(x) Catatan .
Perhatikan : x y ( y = 2.x) (yg benar dalam interpretasi-termaksud, untk setiap integer terdapatlah integer yg sama dng dua kali nilai inte ger tsb) dan
x y (y = 2 x) ( yg tak benar, karena tak ada integer yang sama dengan dua kali setiap integer)
Logika Predikat
Terjemahan antara FoL (Fisrt-order Language) dan Bhs Harian
Dalam Komunikasi dengan komputer maka diperlukan untuk dapat mengekspresikan pernyataan dlm bahasa sehari-hari ke pernyataan logis (untuk dapat dikonversikan ke bahasa pemrograman, terutama bahasa Prolog) dan juga sebaliknya.
Jika menggunakan FoL, kuantifikasi dibenarkan hanya untuk suatu
variabel. Jika restriksi ini dihilangkan maka kita akan sampai ke
logika order-lebih tinggi (mis. “untuk semua predikat” dst). Logika order-lebih tinggi merupakan logika lanjut.
Logika Predikat
Terjemahan antara FoL (Fisrt-order Language) ke Bhs Harian
Pada bagian ini hanya akan berbicara menterjemahkan FoL ke bahasa natural. Jika diberikan bahwa arti dp semua predikat yang berada dlm formula diketahui, maka proses adalah sbb :
a).Terjemahkan formula dengan menulis arti secara literal dp simbol -simbol logis dan predikat seperti apa yang tertera.
b). Tuliskan dengan kata-kata kalimat sedemikian sehingga ia mem punyai arti logis yang sama (benar atau salah dp kalimat harus tak ber
ubah) tetapi ditulis dalam bahasa natural yang lebih dapat diterima. Di
Logika Predikat
Terjemahan antara FoL (Fisrt-order Language) ke Bhs Harian
Contoh.
Andaikan dipunyai predikat sbb :
a). Truk(x) x adalah Truk b). Mobil(x) x adalah Mobil c). Sepeda(x) x adalah Sepeda
d). Lebih_Mahal(x,y) x adalah lebih mahal dp y e). Lebih_Cepat(x,y) x adalah lebih cepat dp y (a). Terjemahkan kedalam bahasa sehari-hari.
x (Sepeda(x) y (Mobil(y) Lebih_Mahal(y,x)) Solusi :
Untuk semua x, jika x adalah suatu sepeda, maka terdapatlah suatu y sedemikian sehingga y adalah mobil dan y lebih mahal dp x
Tulis kembali :
Logika Predikat
Terjemahan antara FoL (Fisrt-order Language) ke Bhs Harian
Contoh.
(b). Terjemahkan formula berikut ke bahasa natural.
xy ((Truk(x) Sepeda(y)) Lebih_cepat(x,y)) Solusi
Secara literal maka :
Untuk semua x, untuk semua y, jika x adalah truk dan y adalah sepe da, maka x lebih cepat dp y.
Tulis kembali :
Setiap truk lebih cepat dp sebarang sepeda.
(c). Terjemahkan formula berikut ke bahasa natural.
z (Mobil(z) xy (Truk(x) Sepeda(y))
(Lebih_cepat(z,x) Lebih_cepat(z,y) Lebih_mahal(z,x) Lebih_mahal(z,y))))
Logika Predikat
Terjemahan antara FoL (Fisrt-order Language) ke Bhs Harian
Contoh.
(c). Terjemahkan formula berikut ke bahasa natural.
z (Mobil(z) xy (Truk(x) Sepeda(y))
(Lebih_cepat(z,x) Lebih_cepat(z,y) Lebih_mahal(z,x) Lebih_mahal(z,y))))
Solusi :
Terdapatlah z sedemikian sehingga z adl suatu mobil dan untuk semua x, untuk semua y jika x adl suatu truk dan y suatu sepeda, maka z lebih cepat dp x dan z adl lebih cepat dp y dan z lebih mahal dp x dan z adl lebih mahal dp y.
Ditulis kembali :
Terdapatlah suatu mobil yang lebih cepat dan lebih mahal dp sebarang truk dan sepeda.
Logika Predikat
Ekspresi kalimat Harian sebagai FoL (Fisrt-order Language)
Andaikan suatu kalimat diekspresikan dalam bahasa sehari-hari, di inginkan untuk disajikan dalam FoL.
Pertama-tama diidentifikasikan predikat yg inginkan dan kemudian kalimat diatur kembali sehingga ia mempunyai suatu formulasi logis. Formulasi logis berarti bahwa penghubung logis dan kuantor harus di buat eksplisit.
Jadi urutannya sbb :
a). Buat penafsiran mengenai pernyataan tersebut (jika kurang jelas). b). Tentukan dan deklarasikan predikat-predikat yang digunakan.
Logika Predikat
Contoh.
Setiap orang kehilangan uang pada pacuan kuda.
Solusi
(Catatan : kita tidak memperhatikan nilai kebenaran dp pernyataan
ini , yg penting adalah bagaimana mengekspresikannya sebagai suatu formula logis order-pertama).
Jelas bahwa predikat dapat dicirikan sehingga didapat :
“ x kehilangan uang ” (yg akan disajikan dengan Hilang_uang(x)), dan
“ x berada pada pacuan kuda ” (yg disajikan dng Pacu_kuda(x).)
Logika Predikat
Contoh.
Jadi kalimat “Setiap orang kehilangan uang pada pacuan kuda.” dapat diartikan/ditafsirkan bahwa , untuk semua orang yang berada
pada pacuan kuda maka kehilangan uang , jadi kita dapat mendeduksi
bahwa kuantornya adl “Untuk semua” dan terdapat satu penghubung logis “implikasi” sehingga kalimat dapat diatur kembali menjadi :
“Untuk semua x, jika x berada pada pacuan kuda maka x kehilangan uang”
Sehingga didapat hasilnya :
x (Pacu_kuda(x) Hilang_uang(x))
Logika Predikat
Contoh.
Pada contoh diatas UoD adalah manusia, tetapi jika UoD nya adl
makhluk hidup maka harus diperkenalkan predikat baru agar kalimat
diatas mempunyai makna yaitu predikat Manusia(x) dan juga penggan deng baru “konjungsi”. Sehingga didapat hasilnya :
x ((Manusia(x) Pacu_kuda(x)) Hilang_uang(x)) yg berarti
“Untuk semua x, jika x adalah suatu makhluk hidup dan x berada di pacuan kuda maka x kehilangan uang”
Logika Predikat
Contoh.
Terjemahkan kalimat berikut ke formula logis.
“Beberapa orang yg berada di pacuan kuda kehilangan uang tetapi be berapa orang yang cerdik tak kehilangan”
Solusi
Predikat yang diperlukan adl :
Pacuan_kuda(x) x orang yg berada di pacuan kuda Hilang_uang(x) x orang yang kehilangan uang Cerdik(x) x orang yang cerdik
Maka
“ Terdapatlah x sedemikian sehingga x berada di pacuan kuda dan x kehilangan uang, dan terdapatlah y sedemikian sehingga y bera da pada pacuan kuda, y cerdik dan tidak kehilangan uang”
Logika Predikat
Perhatikan bahwa kata “tetapi” diganti dengan “dan” sehingga dalam hal ini perlu penafsiran yang cermat.
Dengan demikian maka didapat formula :
x (Pacuan_kuda(x) Hilang_uang(x) y (Pacuan_kuda(y) Cerdik(y) Hilang_uang(y))
Logika Predikat
Contoh.
Setiap Mahasiswa mempunyai seorang kawan belajar.
Solusi
Jika kalimat diatas ditafsirkan “Untuk setiap mahasiswa x ada maha
siswa lain y, dimana y adalah kawan belajar x” , maka jelaslah bahwa predikat dapat dicirikan sehingga didapat : “ y adl kawan belajar x”
yg disajikan dng Kawan_belajar(y,x). Selanjutnya dapat dideduksi kan bahwa terdapat kuantor “Untuk semua” dan “Terdapatlah “ sehi ngga didapat bentuk formula :
x y (Kawan_belajar(y,x))
Logika Predikat
Contoh.
Jika kalimat diatas ditafsirkan “Untuk setiap mahasiswa x ada maha
siswa lain y, dimana y adalah kawan belajar x dan jika ada
mahasiswa z maka jika z bukan y maka z bukan kawan belajar dng x” ,
maka jelaslah bahwa predikat dapat dicirikan sehingga didapat : “ y adl kawan belajar x” yg disajikan dng Kawan_belajar(y,x), selanjut
nya dapat dideduksikan bahwa terdapat kuantor “Untuk semua”, “Ter dapatlah “, penggandeng logis “negasi”, “konjungsi”, sehingga didapat bentuk formula :
x y z (Kawan_belajar(y,x) ((z y) Kawan_belajar(z,x))) Ekspresi kalimat Harian sebagai FoL (Fisrt-order Language)
Logika Predikat
Bantuan dalam mengekspresikan kalimat sehari-hari ke FoL.
(a). Jika menggunakan kuantor universal biasanya diikuti oleh peng gunaan implikasi.
Contoh :
“ Semua orang tua mempunyai rambut putih”
Andaikan Or_tu(x) adl “x adl orang tua“ dan Ra_tih(x) adl “ x berambut putih” m sehingga jika ditulis kembali :
“ Untuk semua x, jika x orang tua maka x mempunyai rambut putih” dengan FoL : x (Or_tu(x) Ra_tih(x) .
Logika Predikat
Sangat umum membuat pernyataan dengan menggunakan kuantor uni versal yang diikuti dengan implikasi selalu berbentuk :
“Untuk setiap anggota dari UoD, jika suatu kondisi dipenuhi maka kondisi yang lain dipenuhi “
Contoh : “Setiap laki-laki harus wajib militer”, FoL adl : (x)p(x)q(x)
(b). Jika menggunakan suatu kuantor eksistensial biasanya diikuti dng suatu konjungsi.
Contoh : “Ada beberapa laki-laki yang tidak wajib militer”, FoL adl : (x)p(x) q(x)
Logika Predikat
Ekspresi kalimat Harian sebagai FoL (Fisrt-order Language)
Contoh :
a). Setiap laki-laki harus wajib militer
b). Ada beberapa laki-laki yang tidak wajib militer.
Ditulis sebagai berikut (ditafsirkan) :
a). Untuk setiap x, jika x laki-laki maka x harus wajib militer b). Terdapat x sehingga x laki-laki dan x tidak wajib militer.
Didapat predikat : jika p (predikat) adalah menunjukkan sifat “laki-laki” dan q (predikat) menunjukkan sifat “wajib militer”, dan terdapat juga penggandeng logis “implikasi” serta “ konjungsi” maka kalimat tersebut dapat ditulis :
Logika Predikat
Ekspresi kalimat Harian sebagai FoL (Fisrt-order Language)
Contoh-Contoh
a). Pernyataan p : “Ada peserta kuliah Logika informatika mendapat nilai A”
Ingkarannya :
p adalah : “ Tidak ada peserta kuliah logika infor matika mendapat nilai A”
atau boleh dikatakan : “ Setiap peserta kuliah logika informatika mendapat nilai tidak A ”
Jika dua pernyataan tersebut ditulis dengan kuantor dan semesta pembicaraannya adalah semua peserta kuliah logika informatika, maka kalimat pertama : (x)A(x) ( A adalah sifat mendapat nilai A) dan yang kedua (negasinya ) : (x)A(x)
Ekspresi kalimat Harian sebagai FoL (Fisrt-order Language)
Contoh-Contoh
b). Terjemahkan kalimat berikut ke bentuk FoL : “Setiap anak sekolah berpikir bahwa Matematika mata pelajaran yang sulit”. Solusi .
Kalimat diformulasikan kembali menjadi :
“Untuk semua x, jika x adalah anak sekolah maka x berpikir bahwa matematika mata pelajaran yang sulit”
Andaikan :
- Anak_sekolah(x) adl “x adl anak sekolah”,
- Mpel_Sulit(x,y) adl “x berpikir bahwa y adl mata pelajaran yg sulit”
- m adalah “Matematika” Maka kalimat menjadi :
x (Anak_sekolah(x) Mpel_Sulit(x,m)
Logika Predikat
Ekspresi kalimat Harian sebagai FoL (Fisrt-order Language)
Contoh-Contoh
Logika Predikat
c). Pandang pernyataan dibawah ini : “beberapa pemain sepakbola tak akan pernah bermain dalam Liga Utama atau pada Divisi Papan-atas”
Kerjakan hal berikut :
c1). Terjemahkan ke logika predikat
c2). Negasikan formula logika pada jawab c1).
c3). Terjemahkan negasi tersebut pada c2) ke bahasa sehari-hari Kalimat ditulis kembali :
“Terdapat x sedemikian sehingga x adalah pemain sepak bola dan x tak akan pernah bermain di Liga Utama atau pada Divisi Papan-atas” Andaikan : Pemain_SB(x) adl x pemain sepak-bola, Liga_UT(x) adl “x akan bermain di Liga Utama”, dan Div_PA(x) adl “x bermain di Divisi Papan-atas”
Ekspresi kalimat Harian sebagai FoL (Fisrt-order Language)
Contoh-Contoh
Logika Predikat
c1). Hasil terjemahannya adl :
x ( Pemain_SB(x) (Liga_UT(x) Divisi_PA(x))). dalam bahasa sehari-hari skope daripada “tidak” apakah distributif yaitu “tidak makan atau minum” apakah berarti “tidak makan atau tidak minum” ??? Sementara ini kita artikan begitu.
c2). Hasil negasinya adl :
x ( Pemain_SB(x) (Liga_UT(x) Divisi_PA(x))). dimana berubah menjadi , sehingga ………..
Ekspresi kalimat Harian sebagai FoL (Fisrt-order Language)
Contoh-Contoh
Logika Predikat
x ( Pemain_SB(x) (Liga_UT(x) Divisi_PA(x))). dimana berubah menjadi , sehingga menjadi
x ( ( Pemain_SB(x) ( Liga_UT(x) Divisi_PA(x) ) ) ). yg ekuivalen dng
x [ Pemain_SB(x) { Liga_UT(x) Divisi_PA(x) } ] . yg ekuivalen dng
x [ Pemain_SB(x) { Liga_UT(x) Divisi_PA(x) } ] c3). Dalam bahasa sehari-hari
“Untuk semua x, jika x pemain sepak bola maka x bermain di Liga Utama atau x bermain di Divisi Papan Atas” , shingga menjadi
“Setiap pemain sepak bola bermain di Liga Utama atau Divisi Papan Atas.”
Ekspresi kalimat Harian sebagai FoL (Fisrt-order Language)
Soal-soal
Untuk setiap pernyataan dibawah ini kejakan : a). Ubahlah menjadi PL
b). Negasikan hasilnya
c). Ubahlah kembali ke bhs sehari-hari.
1). Semua kesatria pembrani adalah pahlawan
2). Beberapa orang berpikir bahwa Gudeg makanan khasYogya
3). Terdapat beberapa orang yang berpikir bahwa Mahesa Jenar dan Kamandoko keduanya adalah raja silat.
4). Richard III adalah seorang raja yang baik tetapi beberapa orang berpikir tidak
5). Untuk setiap pahlawan, terdapatlah suatu seorang penjahat yang
harus dikalahkan dan seorang pahlawan wanita harus diselamatkan.