II LANDASAN TEOR - Bifurkasi Hopf Pada Sistem Persamaan Van Der Pol Dengan Gaya Luar Yang Perio

Persamaan van der Pol adalah suatu persamaan diferensal tak linear yang dapat didekati dengan bentuk sistem persamaan diferensial linear. Teori sistem persamaan diferensial linear dan kestabilannya disarikan dari buku [Anton 1995], [Farlow 1994], [Szidarovszky & Bahill 1998], [Tu 1994] dan [Verhulst 1990]. Sebelum membahas teori sistem persamaan diferensial linear, maka berikut ini akan dibahas konsep limit cycle.

Penjelasan tentang limit cycle terdapat dalam buku [Strogatz 1994]. Limit cycle adalah suatu bentuk trayektori tertutup dan terisolasi. Pada umumnya untuk menggambarkan limit cycle, sistem

persamaan diferensial dituliskan sebagai persamaan diferensial dalam koordinat kutub. Jika semua lingkungan trayektori mendekati limit cycle maka limit cycle disebut limit cycle stabil (lihat gambar 1). Pada keadaan sebaliknya limit cycle disebut limit cycle tak stabil (lihat gambar 2). Sedangkan pada kasus tertentu limit cycle disebut limit cycle setengah stabil (lihat gambar 3).

1.1 Latar Belakang

Penelitian yang dilakukan oleh Van der Pol pada sebuah tabung triode tertutup, yaitu sebuah alat yang digunakan untuk mengendalikan arus listrik dalam suatu sirkuit pada transmitter dan receiver menghasilkan suatu perilaku penyelesaian yang unik dan berbeda dengan perilaku penyelesaian persamaan diferensial linear. Van der Pol mengusulkan model yang dikaji dalam penelitian berupa persamaan diferensial tak linear yang selanjutnya disebut persamaan Van der Pol. Dalam penelitiannya tersebut, Van der Pol memberikan kontribusi pada pengembangan metode matematika, khususnya pada masalah persamaan diferensial. Dalam hal ini, ia berkontribusi pada teori kestabilan penyelesaian persamaan diferensial. Penelitian Van der pol tersebut memberikan motivasi bagi Cartwright dan Littlewood untuk mengkaji kestabilan persaman Van der Pol khususnya yang memuat gaya luar [Cartwright 1945]. Persamaan van der Pol ini hingga sekarang masih dikaji oleh beberapa peneliti, khususnya pada masalah perturbasi dan relaksasi osilasi. Persamaan ini juga dijadikan model pada beberapa fenomena fisika, biologi dan seismology [Guckeinheimer 2000]. Akan tetapi masalah bifurkasi dari sistem persamaan ini masih sangat sedikit kajiannya.

Dalam karya ilmiah ini, persamaan van der Pol akan dinyatakan dalam suatu sistem

persamaan diferensial orde satu untuk mengklasifikasi bifurkasi Hopf dari orbit periodik dalam sistem yang telah tereduksi. Reduksi ke dalam sistem persamaan diferensial yang dilakukan didasarkan pada alur yang terdapat dalam paper [Guckeinheimer 2003].

1.2 Tujuan Penulisan

Tujuan dari penulisan karya ilmiah ini adalah mengkaji persamaaan Van der Pol yang memuat gaya luar dengan cara menyatakan persamaan tersebut ke dalam suatu persamaan diferensial orde satu. Persamaan yang dihasilkan akan digunakan untuk mengklasifikasi bifurkasi Hopf yang memberikan orbit periodik dalam sistem yang telah tereduksi tersebut.

1.3 Sistematika Penulisan

Pada bab pertama dijelaskan latar belakang dan tujuan dari penulisan karya ilmiah ini. Bab dua berisi landasan teori yang menjadi konsep dasar dalam penyusunan pembahasan. Pada bab tiga akan dibahas persamaan Van der Pol dan mereduksi persamaan tersebut menjadi suatu sistem persamaan diferensial orde satu. Selain itu, pada bab ini juga akan dianalisis bifurkasi Hopf dengan menggunakan persamaan yang telah tereduksi. Simpulan dari karya ilmiah ini akan dibahas pada bab empat.

II LANDASAN TEORI

Penjelasan tentang limit cycle terdapat dalam buku [Strogatz 1994]. Limit cycle adalah suatu bentuk trayektori tertutup dan terisolasi. Pada umumnya untuk menggambarkan limit cycle, sistem

Gambar 2. Limit cycle tak stabil.

Gambar 3 Limit cycle setengah stabil. Eksistensi limit cycle dijamin oleh Teorema Lienard berikut:

Teorema Lienard

Tinjau persamaan Lienard berikut.

( )

2 0 d x dx f x g x dt + dt+ = . (3) Persamaan (3) dapat dinyatakan sebagai sistem persamaan berikut

( ) ( ) x y y g x f x y = =− − . (4) Jika fungsi f dan g memenuhi kondisi: 1) f dan g terturunkan dan kontinu, 2) −g x

( )

−x , untuk setiap x. 3) g x

( )

>0 untuk x>0 4) f x

( )

= f

( )

−x , untuk setiap x. 5) Fungsi ganjil

( )

0 ( ) x F x =

∫

f u du, benilai nol untuk x=a, negatif untuk 0< <x a,

( ) 0

F a = , positif dan tak turun untuk x>a, dan F x( )→ ∞ untuk x→ ∞, maka sistem persamaan (4) memiliki penyelesaian tunggal dan mempunyai limit cycle stabil. Bukti secara lengkap dapat dilihat dalam [Perko 1991].

Misalkan diberikan suatu sistem persamaan diferensial orde satu sebagai berikut ( , ), ( , ). dx x f x y dt dy y g x y dt = = = = (5)

Jika fungsi f dan g kontinu bernilai real dan dinyatakan dalam x dan y saja serta tidak bergantung pada waktu, maka sistem persamaan (5) disebut sistem persamaan diferensial mandiri. Sistem persamaan van der Pol salah satu contoh sistem persamaan diferensial mandiri.

Selanjutnya akan dibahas kestabilan suatu titik dari suatu sistem dinamik. Misalkan diberikan sistem persamaan diferensial (SPD) berikut. ( ), n. dx x f x x dt = = ∈R (6) Titik *

x disebut titik tetap jika *

( ) 0 f x = . Titik tetap disebut juga titik kritis atau titik keseimbangan. Selanjutnya, misalkan titik

x adalah titik tetap SPD mandiri (6) dan ( )

x t adalah solusi yang memenuhi kondisi awal x(0)=x0dan

* 0

x ≠x . Titik x* dikatakan titik tetap stabil, jika terdapat

0 0

ε > , yang memenuhi sifat berikut: untuk setiap ε1 , 0<ε1<ε0, terdapat ε>0

sedemikian sehingga jika * 0 x −x <ε maka * 1 ( ) x −x t <ε , untuk setiap t>t0.

Sebaliknya titik x* dikatakan titik tetap tidak stabil, jika terdapat ε >₀ 0, yang memenuhi sifat berikut: untuk setiap ε >0 ,

0< <ε ε , sedemikian sehingga, jika

* 0

x −x <ε maka x*−x t( ) <ε0 , untuk

setiap t>t₀.

Untuk menganalisis kestabilan titik tetap dari sistem persamaan diferensial tak linear, dapat dilakukan dengan pelinearan pada sistem persamaan diferensialnya. Misalkan diberikan SPD taklinear sebagai berikut. x=f(x) (7) dengan , n n U→R U ⊂R f: .

Dengan menggunakan uraian Taylor dari f

di titik tetap

x

*, maka persamaan (6) dapat ditulis sebagai berikut.

( )x ϕ

= +

x Ax . (8) Persamaan tersebut merupakan SPD taklinear dengan A adalah matriks Jacobi,

* * * 1 1 1 1 11 1 1 ( ) ( )_{x x} n n n n x x n n nn Df x Df x f f x x f f x x a a a a = = = = ∂ ∂ ⎡ ⎤ ⎢_∂ _∂ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢_∂ _∂ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢∂ ∂ ⎥ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ " # % # " " # % # " A = =

dan ϕ( )x suku berorde tinggi yang bersifat

lim ( ) 0.

x→ ϕ x = Selanjutnya Ax pada persamaan (8) disebut pelinearan dari sistem taklinear persamaan (7) dan didapatkan bentuk

x Ax. (9) Untuk sistem yang berada dalam bidang

2 R , diperoleh ( ) ϕ( )x = = + x f x Ax dengan 1 1 1 2 1 1 2 2 2 1 2 2 1 2 ( ) ( , ) ( ) ( , ) x f x ax bx x x x f x cx dx x x ϕ ϕ = = + + = = + + dimana 1 1 11 12 1 2 2 2 21 22 1 2 f f a a b a x x f f c a d a x x ∂ ∂ = = = = ∂ ∂ ∂ ∂ = = = = ∂ ∂ , , dan 1 1 2 2 1 2 0 0 ( , ) ( , ) lim lim 0 r r x x x x r r ϕ ϕ → = → =

dengan r= x12−x22 . Nilai ϕ1 dan ϕ2

kecil sekali, sehingga dapat diabaikan.

Selanjutnya, misalkan Aadalah matriks n n× , maka suatu vektor taknol xdi dalam

R disebut vektor eigen dari A, jika untuk suatu skalar λ, yang disebut nilai eigen dari

A, berlaku: λ

Ax = x. (10) Vektor

x

disebut vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen λ. Untuk mencari niali eigen dari matriks

A

yang berukuran n n× , maka persamaan (10) dapat dituliskan sebagai berikut:

0 λ −

(A I)x = (11) dengan Imatriks identitas. Persamaan (10) mempunyai solusi tak nol jika dan hanya jika

det (A−λI) = 0. (12)

Persamaan (12) disebut persamaan karakteristik.

Nilai eigen yang diperoleh dari hasil pelinearan tersebut dapat digunakan untuk menganalisis kestabilan di sekitar titik tetap yang diperoleh, yang kemudian dapat digambarkan orbitnya. Misalkan diberikan matriks A berukuran 2 2× sebagai berikut.

a b c d ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ A .

Persamaan karakteristiknya berbentuk

det a b 0 c d λ λ − ⎛ ⎞ = ⎜ ₋ ⎟ ⎝ ⎠ atau 2 0 λ −τλ+ =_A dengan ( ) trace a d τ= A = + dan det( ) ad bc = = − A A .

Sehingga diperoleh nilai eigen dari A

adalah 2 4 2 τ τ λ= ± − A .

Analisis kestabilan titik tetap dilakukan untuk setiap nilai eigen yang diperoleh. Dalam tulisan ini akan diperlihatkan 6 kasus sebagai berikut:

1. Jika A<0, nilai eigen mempunyai akar real yang yang berbeda tanda, maka titik tetap bersifat titik pelana (saddle point) (lihat Gambar 4).

Gambar 4. Titik Pelana (saddle point). 2. Jika A>0,τ>0 dan memenuhi kondisi

4 0

τ − A> , berarti kedua nilai eigen mempunyai nilai yang sama, maka titik tetap merupakan simpul tak sejati (nodes) tak stabil (lihat Gambar 5). Jika

τ < maka titik tetap merupakan nodes stabil (lihat Gambar 6).

Gambar 6. Simpul tak sejati stabil. 3. Jika A>0,τ>0 dan memenuhi kondisi

4 0

τ − _A< , berarti nilai eigennya merupakan complex conjugate, maka titik tetap bersifat spiral tak stabil (lihat Gambar 7). Jika τ <0 maka titik tetap bersifat spiral stabil (lihat Gambar 8).

Gambar 7. Spiral takstabil.

Gambar 8. Spiral stabil. 4. Jika 2

4 0

τ − _A= , τ >0, dan ada 2 vektor eigen bebas liear, maka bersifat simpul sejati (star node) tak stabil (lihat Gambar 9). Jika τ <0, maka titik tetap bersifat simpul sejati stabil (lihat Gambar 10).

Gambar 9. Simpul sejati tak stabil.

Gambar 10. Simpul sejati stabil.

5. Jika 2

4 0

τ − A= , τ >0 dan ada satu vektor eigen bebas linear, maka titik tetap bersifat degenerate node tak stabil. Jika τ <0, maka titik tetap bersifat degenerate node stabil (lihat Gambar 11).

6. Jika τ =0, nilai eigen merupakan imajiner murni, maka titik tetap bersifat center yang selalu stabil (lihat Gambar 12).

Gambar 11. Degenerate.

Gambar 12. Center.

Berdasarkan uraian di atas dapat disimpulkan bahwa kestabilan titik tetap mempunyai 3 prilaku sebagai berikut:

1. Stabil, jika

a. Setiap nilai eigen real adalah negatif (λ <i 0 untuk setiap i). b. Setiap komponen nilai eigen

kompleks bagian realnya lebih kecil atau sama dengan nol, (Re

( )

λi ≤0untuk setiap i).

2. Tak stabil, jika

a. Setiap nilai eigen real adalah positif (λi >0 untuk setiap i).

b. Setiap komponen nilai eigen kompleks bagian realnya lebih besar dari nol, (Re( )λi >0untuk

setiap i). 3. Sadel, jika

Perkalian dua buah nilai eigen real sembarang adalah negatif (λ λ <_i _j 0 untuk i dan j sembarang).

Dalam karya ilmiah ini juga akan dilakukan analisis untuk Bifurkasi Hopf. Penjelasan mengenai Bifurkasi Hopf terdapat dalam buku [Borelli 1998]. Misalkan diberikan suatu sistem :

( )

(

)

( )

(

)

, , , , x c x c y P x y c y c x c y Q x y c α β β α = + + = − + + (13)

dengan

P

dan

Q setidaknya merupakan

orde kedua dalam xdan y dan terturunkan dua kali secara kontinu dalam x, y dan c. Fungsi α

( )

c dan β

( )

c adalah fungsi yang kontinu dan terturunkan pada c. Nilai eigen untuk matriks Jacobi dari sistem persamaan (13) adalah α

( )

c ±iβ

( )

c . Selanjutnya, perhatikan Teorema Bifurkasi Hopf berikut. Teorema Bifurkasi Hopf

Misalkan α

( )

0 =0, α′

( )

0 >0 dan

( )

0 0

β ≠ , dimana sistem persamaan (13) stabil asimtotik di titik awal untuk c=0, maka titik awal tidak stabil dan menghasilkan limit cycle yang besarnya

( )

k c , dengan k

( )

0 =0 dan k c

( )

fungsi konstan dan naik untuk setiap c≥0 yang

cukup kecil dimana c mendekati nol dari kiri. Periode dari cycle mendekati nilai

2π β untuk c≥0 yang kecil.

Teorema di atas diperkuat dengan teorema berikut ini:

Misalkan A operator linear pada ruang vektor dimensi dua dengan λ α= ±iβ, merupakan nilai eigen dari A, maka terdapat matriks R sehingga R α β αI βJ β α ≡⎡_⎢ ⎤_⎥≡ + − ⎣ ⎦ dengan 0 1 1 0 J≡ ⎢⎡ ⎤_⎥ − ⎣ ⎦.

Penjelasan dan bukti teorema di atas dapat dilihat pada [Tu 1994].

Dalam dokumen Bifurkasi Hopf Pada Sistem Persamaan Van Der Pol Dengan Gaya Luar Yang Periodik (Halaman 44-49)