BAB III METODE PENELITIAN
3.2 Langkah-Langkah Analisis
Langkah-langkah analisis penelitian yang digunakan untuk mencari elemen-elemen Engel kiri dari grup dihedral adalah sebagai berikut:
1. Menentukan elemen-elemen Engel kiri dari grup dihedral 𝐷2𝑛 untuk 𝑛 = 3, 4, … , 20, 24, … , 40 dengan menghitung komutator bernorma dari setiap 𝑎 ∈ 𝐷2𝑛 sebagai berikut:
a) Menghitung komutator bernorma [𝑔,𝑚𝑎] untuk setiap 𝑔 ∈ 𝐷2𝑛 dengan 𝑚 = 1,2, … hingga diperoleh [𝑔,𝑚𝑎] = 1 atau [𝑔,𝑚𝑎] ≠ 1 dan [𝑔,𝑚+𝑡𝑎] = [𝑔,𝑚𝑎] untuk setiap 𝑡 ∈ ℤ+.
b) Jika terdapat 𝑚 yang memenuhi [𝑔,𝑚𝑎] = 1 maka 𝑎 merupakan elemen 𝑚-Engel kiri dari grup dihedral 𝐷2𝑛.
c) Jika komutator bernorma [𝑔,𝑚𝑎] ≠ 1 dan [𝑔,𝑚+𝑡𝑎] = [𝑔,𝑚𝑎] untuk setiap 𝑡 ∈ ℤ+, maka 𝑎 bukan merupakan elemen Engel kiri dari grup dihedral 𝐷2𝑛.
2. Mendaftar elemen-elemen Engel kiri dari grup dihedral 𝐷2𝑛 dengan 𝑛 = 3, 4, … , 20, 24, … , 40.
3. Membuat dugaan bentuk elemen-elemen dari grup dihedral 𝐷2𝑛 yang merupakan elemen 𝑚-Engel kiri untuk 𝑛 ∈ ℤ+ dan 𝑛 ≥ 3.
4. Membuktikan dugaan bentuk elemen-elemen Engel kiri dari grup dihedral 𝐷2𝑛.
28 BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
Pada bab ini akan dibahas cara menentukan elemen-elemen Engel kiri dari grup dihedral 𝐷2𝑛 dengan 𝑛 = 3,4,5,6,8. Dari elemen-elemen Engel kiri yang telah ditentukan. Selanjutnya akan ditentukan bentuk umum elemen-elemen Engel kiri dari grup dihedral.
4.1 Elemen Engel Kiri dari Grup Dihedral-6 ( 𝟔,∘)
Grup dihedral 𝐷2𝑛 dengan 𝑛 = 3 adalah 𝐷6 = {1, 𝑟, 𝑟2, 𝑠, 𝑠𝑟, 𝑠𝑟2}.
Berikutnya akan diselidiki elemen-elemen dari 𝐷6 yang merupakan elemen-elemen Engel kiri.
1. Komutator bernorma dari 1 ∈ 𝐷6
Berdasarkan definisi, untuk 𝑚 = 0 diperoleh [𝑥,𝑚𝑦] = [𝑥,0𝑦] = 𝑥. Jadi [𝑥,01] = 𝑥, untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐷6.
Untuk 𝑚 = 1 diperoleh komutator bernorma [𝑔,11] untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷6 adalah
[𝑟,11] = [𝑟, 1] = 𝑟−1∘ 1−1∘ 𝑟 ∘ 1 = 𝑟2∘ 1 ∘ 𝑟 ∘ 1 = 1 Dengan cara yang sama maka diperoleh
[1,1] = [𝑟2, 1] = [𝑠, 1] = [𝑠𝑟, 1] = [𝑠𝑟2, 1] = 1
Karena terdapat bilangan bulat tak-negatif 𝑚 = 1 yang memenuhi [𝑔,𝑚1] = 1 untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷6, maka dapat disimpulkan bahwa 1 merupakan elemen Engel kiri dari grup dihedral 𝐷6, khususnya 1 merupakan elemen 1-Engel kiri.
2. Komutator bernorma dari 𝑟 ∈ 𝐷6
Berdasarkan definisi, untuk 𝑚 = 0 diperoleh [𝑥,𝑚𝑦] = [𝑥,0𝑦] = 𝑥. Jadi [𝑥,0𝑟] = 𝑥, untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐷6.
Untuk 𝑚 = 1 diperoleh komutator bernorma [𝑔,1𝑟] untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷6 adalah
[𝑠,1𝑟] = [𝑠, 𝑟] = 𝑠−1∘ 𝑟−1∘ 𝑠 ∘ 𝑟 = 𝑠 ∘ 𝑟2∘ 𝑠 ∘ 𝑟 = 𝑟2 Dengan cara yang sama maka diperoleh
[1, 𝑟] = [𝑟, 𝑟] = [𝑟2, 𝑟] = 1 [𝑠𝑟, 𝑟] = [𝑠𝑟2, 𝑟] = 𝑟2
Untuk 𝑚 = 2 diperoleh komutator bernorma [𝑔,2𝑟] untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷6 adalah
[𝑠,2𝑟] = [[𝑠, 𝑟], 𝑟] = [𝑟2, 𝑟] = (𝑟2)−1∘ 𝑟−1∘ 𝑟2∘ 𝑟 = 𝑟 ∘ 𝑟2∘ 𝑟2∘ 𝑟 = 1 Dengan cara yang sama maka diperoleh
[1,2𝑟] = [𝑟,2𝑟] = [𝑟2,2𝑟] = [𝑠𝑟,2𝑟] = [𝑠𝑟2,2𝑟] = 1
Karena terdapat bilangan bulat tak-negatif 𝑚 = 2 yang memenuhi [𝑔,𝑚𝑟] = 1 untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷6, maka dapat disimpulkan bahwa 𝑟 merupakan elemen Engel kiri dari grup dihedral 𝐷6, khususnya 𝑟 merupakan elemen 2-Engel kiri.
3. Komutator bernorma dari 𝑟2 ∈ 𝐷6
Berdasarkan definisi, untuk 𝑚 = 0 diperoleh [𝑥,𝑚𝑦] = [𝑥,0𝑦] = 𝑥. Jadi [𝑥,0𝑟2] = 𝑥, untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐷6.
Untuk 𝑚 = 1 diperoleh komutator bernorma [𝑔,1𝑟2] untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷6 adalah
[𝑠,1𝑟2] = [𝑠, 𝑟2] = 𝑠−1∘ (𝑟2)−1∘ 𝑠 ∘ 𝑟2 = 𝑠 ∘ 𝑟 ∘ 𝑠 ∘ 𝑟2 = 𝑟
Dengan cara yang sama maka diperoleh
[1, 𝑟2] = [𝑟, 𝑟2] = [𝑟2, 𝑟2] = 1 [𝑠𝑟, 𝑟2] = [𝑠𝑟2, 𝑟2] = 𝑟
Untuk 𝑚 = 2 diperoleh komutator bernorma [𝑔,2𝑟2] untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷6 adalah
[𝑠,2𝑟2] = [[𝑠, 𝑟2], 𝑟2] = [𝑟, 𝑟2] = 𝑟−1∘ (𝑟2)−1∘ 𝑟 ∘ 𝑟2 = 𝑟2∘ 𝑟 ∘ 𝑟 ∘ 𝑟2
= 1
Dengan cara yang sama maka diperoleh
[1,2𝑟2] = [𝑟,2𝑟2] = [𝑟2,2𝑟2] = [𝑠𝑟,2𝑟2] = [𝑠𝑟2,2𝑟2] = 1
Karena terdapat bilangan bulat tak-negatif 𝑚 = 2 yang memenuhi [𝑔,𝑚𝑟2] = 1 untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷6, maka dapat disimpulkan bahwa 𝑟2 merupakan elemen Engel kiri dari grup dihedral 𝐷6, khususnya 𝑟2 merupakan elemen 2-Engel kiri.
4. Komutator bernorma dari 𝑠 ∈ 𝐷6
Berdasarkan definisi, untuk 𝑚 = 0 diperoleh [𝑥,𝑚𝑦] = [𝑥,0𝑦] = 𝑥. Jadi [𝑥,0𝑠] = 𝑥, untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐷6.
Untuk 𝑚 = 1 diperoleh komutator bernorma [𝑔,1𝑠] untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷6 adalah
[𝑟,1𝑠] = [𝑟, 𝑠] = 𝑟−1∘ 𝑠−1∘ 𝑟 ∘ 𝑠 = 𝑟2∘ 𝑠 ∘ 𝑟 ∘ 𝑠 = 𝑟 Dengan cara yang sama maka diperoleh
[1, 𝑠] = [𝑠, 𝑠] = 1 [𝑠𝑟, 𝑠] = 𝑟 [𝑟2, 𝑠] = [𝑠𝑟2, 𝑠] = 𝑟2
Perhatikan bahwa [𝑟, 𝑠] = 𝑟 sehingga untuk sebarang bilangan bulat positif 𝑚 menghasilkan [𝑟,𝑚𝑠] = 𝑟. Karena tidak terdapat bilangan bulat positif 𝑚 yang memenuhi [𝑟,𝑚𝑠] = 1 untuk sebarang 𝑚, maka 𝑠 bukan merupakan elemen Engel kiri dari grup dihedral 𝐷6.
5. Komutator bernorma dari 𝑠𝑟 ∈ 𝐷6
Berdasarkan definisi, untuk 𝑚 = 0 diperoleh [𝑥,𝑚𝑦] = [𝑥,0𝑦] = 𝑥. Jadi [𝑥,0𝑠𝑟] = 𝑥, untuk sebarang 𝑥 ∈ 𝐷6.
Untuk 𝑚 = 1 diperoleh komutator bernorma [𝑔,1𝑠𝑟] untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷6 adalah
[𝑟,1𝑠𝑟] = [𝑟, 𝑠𝑟] = 𝑟−1∘ (𝑠𝑟)−1∘ 𝑟 ∘ 𝑠𝑟 = 𝑟2∘ 𝑠𝑟 ∘ 𝑟 ∘ 𝑠𝑟 = 𝑟 Dengan cara yang sama maka diperoleh
[1, 𝑠𝑟] = [𝑠𝑟, 𝑠𝑟] = 1 [𝑠𝑟2, 𝑠𝑟] = 𝑟 [𝑟2, 𝑠𝑟] = [𝑠, 𝑠𝑟] = 𝑟2
Perhatikan bahwa [𝑟, 𝑠𝑟] = 𝑟 sehingga untuk sebarang bilangan bulat positif menghasilkan [𝑟,𝑚𝑠𝑟] = 𝑟. Karena tidak terdapat bilangan bulat positif 𝑚 yang memenuhi [𝑟,𝑚𝑠𝑟] = 1 untuk sebarang 𝑚, maka 𝑠𝑟 bukan merupakan elemen Engel kiri dari grup dihedral 𝐷6.
6. Komutator bernorma dari 𝑠𝑟2 ∈ 𝐷6
Berdasarkan definisi, untuk 𝑚 = 0 diperoleh [𝑥,𝑚𝑦] = [𝑥,0𝑦] = 𝑥. Jadi [𝑥,0𝑠𝑟2] = 𝑥, untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐷6.
Untuk 𝑚 = 1 diperoleh komutator bernorma [𝑔,1𝑠𝑟2] untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷6 adalah
[𝑟,1𝑠𝑟2] = [𝑟, 𝑠𝑟2] = 𝑟−1∘ (𝑠𝑟2)−1∘ 𝑟 ∘ 𝑠𝑟2 = 𝑟2∘ 𝑠𝑟2∘ 𝑟 ∘ 𝑠𝑟2 = 𝑟
Dengan cara yang sama maka diperoleh
[1, 𝑠𝑟2] = [𝑠𝑟2, 𝑠𝑟2] = 1 [𝑠, 𝑠𝑟2] = 𝑟 [𝑟2, 𝑠𝑟2] = [𝑠𝑟, 𝑠𝑟2] = 𝑟2
Perhatikan bahwa [𝑟, 𝑠𝑟2] = 𝑟 sehingga untuk sebarang bilangan bulat positif 𝑚 menghasilkan [𝑟,𝑚𝑠𝑟2] = 𝑟. Karena tidak terdapat bilangan bulat positif 𝑚 yang memenuhi [𝑟,𝑚𝑠𝑟2] = 1 untuk sebarang 𝑚, maka 𝑠𝑟2 bukan merupakan elemen Engel kiri dari grup dihedral 𝐷6.
Dari hasil perhitungan di atas, maka diperoleh elemen-elemen Engel kiri dari grup dihedral 6 adalah
𝐿1(𝐷6) = {1}
𝐿2(𝐷6) ∖ 𝐿1(𝐷6) = {𝑟, 𝑟2} 𝐿(𝐷6) = {1, 𝑟, 𝑟2}.
4.2 Elemen Engel Kiri dari Grup Dihedral-8 (𝑫𝟖,∘)
Grup dihedral 𝐷2𝑛 dengan 𝑛 = 4 adalah 𝐷8 = {1, 𝑟, 𝑟2, 𝑟3, 𝑠, 𝑠𝑟, 𝑠𝑟2, 𝑠𝑟3}.
Berikutnya akan diselidiki elemen-elemen dari 𝐷8 yang merupakan elemen-elemen Engel kiri.
1. Komutator bernorma dari 1 ∈ 𝐷8
Berdasarkan definisi, untuk 𝑚 = 0 diperoleh [𝑥,𝑚𝑦] = [𝑥,0𝑦] = 𝑥. Jadi [𝑥,01] = 𝑥, untuk sebarang 𝑥 ∈ 𝐷8.
Untuk 𝑚 = 1 diperoleh komutator bernorma [𝑔,11] untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷8 adalah
[𝑟,11] = [𝑟, 1] = 𝑟−1∘ 1−1∘ 𝑟 ∘ 1 = 𝑟3∘ 1 ∘ 𝑟 ∘ 1 = 1
Dengan cara yang sama maka diperoleh
[1,1] = [𝑟2, 1] = [𝑟3, 1] = [𝑠, 1] = [𝑠𝑟, 1] = [𝑠𝑟2, 1] = [𝑠𝑟3, 1] = 1 Karena terdapat bilangan bulat tak-negatif 𝑚 = 1 yang memenuhi [𝑔,𝑚1] = 1 untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷8, maka dapat disimpulkan bahwa 1 merupakan elemen Engel kiri dari grup dihedral 𝐷8, khususnya 1 merupakan elemen 1-Engel kiri.
2. Komutator bernorma dari 𝑟 ∈ 𝐷8
Berdasarkan definisi, untuk 𝑚 = 0 diperoleh [𝑥,𝑚𝑦] = [𝑥,0𝑦] = 𝑥. Jadi [𝑥,0𝑟] = 𝑥, untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐷8.
Untuk 𝑚 = 1 diperoleh komutator bernorma [𝑔,1𝑟] untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷8 adalah
[𝑠,1𝑟] = [𝑠, 𝑟] = 𝑠−1∘ 𝑟−1∘ 𝑠 ∘ 𝑟 = 𝑠 ∘ 𝑟3∘ 𝑠 ∘ 𝑟 = 𝑟2 Dengan cara yang sama maka diperoleh
[1, 𝑟] = [𝑟, 𝑟] = [𝑟2, 𝑟] = [𝑟3, 𝑟] = 1 [𝑠𝑟, 𝑟] = [𝑠𝑟2, 𝑟] = [𝑠𝑟3, 𝑟] = 𝑟2
Untuk 𝑚 = 2 diperoleh komutator bernorma [𝑔,2𝑟] untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷8 adalah
[𝑠,2𝑟] = [[𝑠, 𝑟], 𝑟] = [𝑟2, 𝑟] = (𝑟2)−1∘ 𝑟−1∘ 𝑟2∘ 𝑟 = 𝑟2∘ 𝑟3∘ 𝑟2∘ 𝑟
= 1
Dengan cara yang sama maka diperoleh
[1,2𝑟] = [𝑟,2𝑟] = [𝑟2,2𝑟] = [𝑟3,2𝑟] = [𝑠𝑟,2𝑟] = [𝑠𝑟2,2𝑟] = [𝑠𝑟3,2𝑟]
= 1
Karena terdapat bilangan bulat tak-negatif 𝑚 = 2 yang memenuhi [𝑔,𝑚𝑟] = 1 untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷8, maka dapat disimpulkan bahwa 𝑟
merupakan elemen Engel kiri dari grup dihedral 𝐷8, khususnya 𝑟 merupakan elemen 2-Engel kiri.
3. Komutator bernorma dari 𝑟2 ∈ 𝐷8
Berdasarkan definisi, untuk 𝑚 = 0 diperoleh [𝑥,𝑚𝑦] = [𝑥,0𝑦] = 𝑥. Jadi [𝑥,0𝑟2] = 𝑥, untuk sebarang 𝑥 ∈ 𝐷8.
Untuk 𝑚 = 1 diperoleh komutator bernorma [𝑔,1𝑟2] untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷8 adalah
[𝑠,1𝑟2] = [𝑠, 𝑟2] = 𝑠−1∘ (𝑟2)−1∘ 𝑠 ∘ 𝑟2 = 𝑠 ∘ 𝑟2∘ 𝑠 ∘ 𝑟2 = 1 Dengan cara yang sama maka diperoleh
[1, 𝑟2] = [𝑟, 𝑟2] = [𝑟2, 𝑟2] = [𝑟3, 𝑟2] = [𝑠𝑟, 𝑟2] = [𝑠𝑟2, 𝑟2] = [𝑠𝑟3, 𝑟2]
= 1
Karena terdapat bilangan bulat tak-negatif 𝑚 = 1 yang memenuhi [𝑔,𝑚𝑟2] = 1 untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷8, maka dapat disimpulkan bahwa 𝑟2 merupakan elemen Engel kiri dari grup dihedral 𝐷8, khususnya 𝑟2 merupakan elemen 1-Engel kiri.
4. Komutator bernorma dari 𝑟3 ∈ 𝐷8
Berdasarkan definisi, untuk 𝑚 = 0 diperoleh [𝑥,𝑚𝑦] = [𝑥,0𝑦] = 𝑥. Jadi [𝑥,0𝑟3] = 𝑥, untuk sebarang 𝑥 ∈ 𝐷8.
Untuk 𝑚 = 1 diperoleh komutator bernorma [𝑔,1𝑟3] untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷8 adalah
[𝑠,1𝑟3] = [𝑠, 𝑟3] = 𝑠−1∘ (𝑟3)−1∘ 𝑠 ∘ 𝑟3 = 𝑠 ∘ 𝑟 ∘ 𝑠 ∘ 𝑟3 = 𝑟2 Dengan cara yang sama maka diperoleh
[1, 𝑟3] = [𝑟, 𝑟3] = [𝑟2, 𝑟3] = [𝑟3, 𝑟3] = 1 [𝑠𝑟, 𝑟3] = [𝑠𝑟2, 𝑟3] = [𝑠𝑟3, 𝑟3] = 𝑟2
Untuk 𝑚 = 2 diperoleh komutator bernorma [𝑔,2𝑟3] untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷8 adalah
[𝑠,2𝑟3] = [[𝑠, 𝑟3], 𝑟3] = [𝑟2, 𝑟3] = (𝑟2)−1∘ (𝑟3)−1∘ 𝑟2∘ 𝑟3
= 𝑟2 ∘ 𝑟 ∘ 𝑟2∘ 𝑟3= 1 Dengan cara yang sama maka diperoleh
[1,2𝑟3] = [𝑟,2𝑟3] = [𝑟2,2𝑟3] = [𝑟3,2𝑟3] = [𝑠𝑟,2𝑟3] = [𝑠𝑟2,2𝑟3]
= [𝑠𝑟3,2𝑟3] = 1
Karena terdapat bilangan bulat tak-negatif 𝑚 = 2 yang memenuhi [𝑔,𝑚𝑟3] = 1 untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷8, maka dapat disimpulkan bahwa 𝑟3 merupakan elemen Engel kiri dari grup dihedral 𝐷8, khususnya 𝑟3 merupakan elemen 2-Engel kiri.
5. Komutator bernorma dari 𝑠 ∈ 𝐷8
Berdasarkan definisi, untuk 𝑚 = 0 diperoleh [𝑥,𝑚𝑦] = [𝑥,0𝑦] = 𝑥. Jadi [𝑥,0𝑠] = 𝑥, untuk sebarang 𝑥 ∈ 𝐷8.
Untuk 𝑚 = 1 diperoleh komutator bernorma [𝑔,1𝑠] untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷8 adalah
[𝑟,1𝑠] = [𝑟, 𝑠] = 𝑟−1∘ 𝑠−1∘ 𝑟 ∘ 𝑠 = 𝑟3∘ 𝑠 ∘ 𝑟 ∘ 𝑠 = 𝑟2 Dengan cara yang sama maka diperoleh
[1, 𝑠] = [𝑟2, 𝑠] = [𝑠, 𝑠] = [𝑠𝑟2, 𝑠] = 1 [𝑟3, 𝑠] = [𝑠𝑟, 𝑠] = [𝑠𝑟3, 𝑠] = 𝑟2
Untuk 𝑚 = 2 diperoleh komutator bernorma [𝑔,2𝑠] untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷8 adalah
[𝑟,2𝑠] = [[𝑟, 𝑠], 𝑠] = [𝑟2, 𝑠] = (𝑟2)−1∘ 𝑠−1∘ 𝑟2∘ 𝑠 = 𝑟2∘ 𝑠 ∘ 𝑟2∘ 𝑠 = 1 Dengan cara yang sama maka diperoleh
[1,2𝑠] = [𝑟2,2𝑠] = [𝑟3,2𝑠] = [𝑠,2𝑠] = [𝑠𝑟,2𝑠] = [𝑠𝑟2,2𝑠] = [𝑠𝑟3,2𝑠]
= 1
Karena terdapat bilangan bulat tak-negatif 𝑚 = 2 yang memenuhi [𝑔,𝑚𝑠] = 1 untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷8, maka dapat disimpulkan bahwa 𝑠 merupakan elemen Engel kiri dari grup dihedral 𝐷8, khususnya 𝑠 merupakan elemen 2-Engel kiri.
6. Komutator bernaorma dari 𝑠𝑟 ∈ 𝐷8
Berdasarkan definisi, untuk 𝑚 = 0 diperoleh [𝑥,𝑚𝑦] = [𝑥,0𝑦] = 𝑥. Jadi [𝑥,0𝑠𝑟] = 𝑥, untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐷8.
Untuk 𝑚 = 1 diperoleh komutator bernorma [𝑔,1𝑠𝑟] untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷8 adalah
[𝑟,1𝑟] = [𝑟, 𝑠𝑟] = 𝑟−1∘ (𝑠𝑟)−1∘ 𝑟 ∘ 𝑠𝑟 = 𝑟3∘ 𝑠𝑟 ∘ 𝑟 ∘ 𝑠𝑟 = 𝑟2 Dengan cara yang sama maka diperoleh
[1, 𝑠𝑟] = [𝑟2, 𝑠𝑟] = [𝑠𝑟, 𝑠𝑟] = [𝑠𝑟3, 𝑠𝑟] = 1 [𝑟3, 𝑠𝑟] = [𝑠, 𝑠𝑟] = [𝑠𝑟2, 𝑠𝑟] = 𝑟2
Untuk 𝑚 = 2 diperoleh komutator bernorma [𝑔,2𝑠𝑟] untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷8 adalah
[𝑟,2𝑠𝑟] = [[𝑟, 𝑠𝑟], 𝑠𝑟] = [𝑟2, 𝑠𝑟] = (𝑟2)−1∘ (𝑠𝑟)−1∘ 𝑟2∘ 𝑠𝑟
= 𝑟2∘ 𝑠𝑟 ∘ 𝑟2∘ 𝑠𝑟 = 1 Dengan cara yang sama maka diperoleh
[1,2𝑠𝑟] = [𝑟2,2𝑠𝑟] = [𝑟3,2𝑠𝑟] = [𝑠,2𝑠𝑟] = [𝑠𝑟,2𝑠𝑟] = [𝑠𝑟2,2𝑠𝑟]
= [𝑠𝑟3,2𝑠𝑟] = 1
Karena terdapat bilangan bulat tak-negatif 𝑚 = 2 yang memenuhi [𝑔,𝑚𝑠𝑟] = 1 untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷8, maka dapat disimpulkan bahwa 𝑠𝑟
merupakan elemen Engel kiri dari grup dihedral 𝐷8, khususnya 𝑠𝑟 merupakan elemen 2-Engel kiri.
7. Komutator bernorma dari 𝑠𝑟2 ∈ 𝐷8
Berdasarkan definisi, untuk 𝑚 = 0 diperoleh [𝑥,𝑚𝑦] = [𝑥,0𝑦] = 𝑥. Jadi [𝑥,0𝑠𝑟2] = 𝑥, untuk sebarang 𝑥 ∈ 𝐷8.
Untuk 𝑚 = 1 diperoleh komutator bernorma [𝑔,1𝑠𝑟2] untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷8 adalah
[𝑟,1𝑠𝑟2] = [𝑟, 𝑠𝑟2] = 𝑟−1∘ (𝑠𝑟2)−1∘ 𝑟 ∘ 𝑠𝑟2 = 𝑟3∘ 𝑠𝑟2∘ 𝑟 ∘ 𝑠𝑟2 = 𝑟2 Dengan cara yang sama maka diperoleh
[1, 𝑠𝑟2] = [𝑟2, 𝑠𝑟2] = [𝑠, 𝑠𝑟2] = [𝑠𝑟2, 𝑠𝑟2] = 1 [𝑟3, 𝑠𝑟2] = [𝑠𝑟, 𝑠𝑟2] = [𝑠𝑟3, 𝑠𝑟2] = 𝑟2
Untuk 𝑚 = 2 diperoleh komutator bernorma [𝑔,2𝑠𝑟2] untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷8 adalah
[𝑟,2𝑠𝑟2] = [[𝑟, 𝑠𝑟2], 𝑠𝑟2] = [𝑟2, 𝑠𝑟2] = (𝑟2)−1∘ (𝑠𝑟2)−1∘ 𝑟2∘ 𝑠𝑟2
= 𝑟2∘ 𝑠𝑟2∘ 𝑟2∘ 𝑠𝑟2 = 1 Dengan cara yang sama maka diperoleh
[1,2𝑠𝑟2] = [𝑟2,2𝑠𝑟2] = [𝑟3,2𝑠𝑟2] = [𝑠,2𝑠𝑟2] = [𝑠𝑟,2𝑠𝑟2] = [𝑠𝑟2,2𝑠𝑟2]
= [𝑠𝑟3,2𝑠𝑟2] = 1
Karena terdapat bilangan bulat tak-negatif 𝑚 = 2 yang memenuhi [𝑔,𝑚𝑠𝑟2] = 1 untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷8, maka dapat disimpulkan bahwa 𝑠𝑟2 merupakan elemen Engel kiri dari grup dihedral 𝐷8, khususnya 𝑠𝑟2 merupakan elemen 2-Engel kiri.
8. Komutator bernorma dari 𝑠𝑟3 ∈ 𝐷8
Berdasarkan definisi, untuk 𝑚 = 0 diperoleh [𝑥,𝑚𝑦] = [𝑥,0𝑦] = 𝑥. Jadi [𝑥,0𝑠𝑟3] = 𝑥, untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐷8.
Dari hasil perhitungan di atas, maka diperoleh elemen Engel kiri dari grup dihedral 𝐷8 adalah Untuk 𝑚 = 1 diperoleh komutator bernorma [𝑔,1𝑠𝑟3] untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷8 adalah
[𝑟,1𝑠𝑟3] = [𝑟, 𝑠𝑟3] = 𝑟−1∘ (𝑠𝑟3)−1∘ 𝑟 ∘ 𝑠𝑟3 = 𝑟3∘ 𝑠𝑟3∘ 𝑟 ∘ 𝑠𝑟3 = 𝑟2 Dengan cara yang sama maka diperoleh
[1, 𝑠𝑟3] = [𝑟2, 𝑠𝑟3] = [𝑠𝑟, 𝑠𝑟3] = [𝑠𝑟3, 𝑠𝑟3] = 1 [𝑟3, 𝑠𝑟3] = [𝑠, 𝑠𝑟3] = [𝑠𝑟2, 𝑠𝑟3] = 𝑟2
Untuk 𝑚 = 2 diperoleh komutator bernorma [𝑔,2𝑠𝑟3] untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷8 adalah
[𝑟,2𝑠𝑟3] = [[𝑟, 𝑠𝑟3], 𝑠𝑟] = [𝑟2, 𝑠𝑟3] = (𝑟2)−1∘ (𝑠𝑟3)−1∘ 𝑟2∘ 𝑠𝑟3
= 𝑟2∘ 𝑠𝑟3∘ 𝑟2∘ 𝑠𝑟3 = 1 Dengan cara yang sama maka diperoleh
[1,2𝑠𝑟3] = [𝑟2,2𝑠𝑟3] = [𝑟3,2𝑠𝑟3] = [𝑠,2𝑠𝑟3] = [𝑠𝑟,2𝑠𝑟3] = [𝑠𝑟2,2𝑠𝑟3]
= [𝑠𝑟3,2𝑠𝑟3] = 1
Karena terdapat bilangan bulat tak-negatif 𝑚 = 2 yang memenuhi [𝑔,𝑚𝑠𝑟3] = 1 untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷8, maka dapat disimpulkan bahwa 𝑠𝑟3 merupakan elemen Engel kiri dari grup dihedral 𝐷8, khususnya 𝑠𝑟3 merupakan elemen 2-Engel kiri.
Dari hasil perhitungan di atas, maka diperoleh elemen-elemen Engel kiri dari grup dihedral 𝐷8 adalah
𝐿1(𝐷8) = {1, 𝑟2}
𝐿2(𝐷8) ∖ 𝐿1(𝐷8) = {𝑟, 𝑟3} 𝐿3(𝐷8) ∖ 𝐿2(𝐷16) = {𝑠, 𝑠𝑟, 𝑠𝑟2, 𝑠𝑟3} 𝐿(𝐷8) = {1, 𝑟, 𝑟2, 𝑟3, 𝑠, 𝑠𝑟, 𝑠𝑟2, 𝑠𝑟3} = 𝐷8.
4.3 Elemen Engel Kiri dari Grup Dihedral-10 (𝑫𝟏𝟎,∘)
Grup dihedral 𝐷2𝑛 dengan 𝑛 = 5 adalah 𝐷10 = {1, 𝑟, 𝑟2, 𝑟3, 𝑟4, 𝑠, 𝑠𝑟, 𝑠𝑟2, 𝑠𝑟3, 𝑠𝑟4}. Berikutnya akan diselidiki apakah elemen-elemen dari 𝐷10 yang merupakan elemen-elemen Engel kiri.
1. Komutator bernorma dari1 ∈ 𝐷10
Berdasarkan definisi, untuk 𝑚 = 0 diperoleh [𝑥,𝑚𝑦] = [𝑥,0𝑦] = 𝑥. Jadi [𝑥,01] = 𝑥, untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐷8.
Untuk 𝑚 = 1 diperoleh komutator bernorma [𝑔,11] untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷10 adalah
[𝑟,11] = [𝑟, 1] = 𝑟−1∘ 1−1∘ 𝑟 ∘ 1 = 𝑟4∘ 1 ∘ 𝑟 ∘ 1 = 1 Dengan cara yang sama maka diperoleh
[1,1] = [𝑟2, 1] = [𝑟3, 1] = [𝑟4, 1] = [𝑠, 1] = [𝑠𝑟, 1] = [𝑠𝑟2, 1] = [𝑠𝑟3, 1]
= [𝑠𝑟4, 1] = 1
Karena terdapat bilangan bulat tak-negatif 𝑚 = 1 yang memenuhi [𝑔,𝑚1] = 1 untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷10, maka dapat disimpulkan bahwa 1 merupakan elemen Engel kiri dari grup dihedral 𝐷10, khususnya 1 merupakan elemen 1-Engel kiri.
2. Komutator bernorma dari 𝑟 ∈ 𝐷10
Berdasarkan definisi, untuk 𝑚 = 0 diperoleh [𝑥,𝑚𝑦] = [𝑥,0𝑦] = 𝑥.
[𝑥,0𝑦] = 𝑥. Jadi [𝑥,0𝑟] = 𝑥, untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐷8.
Untuk 𝑚 = 1 diperoleh komutator bernorma [𝑔,1𝑟] untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷10 adalah
[𝑠,1𝑟] = [𝑠, 𝑟] = 𝑠−1∘ 𝑟−1∘ 𝑠 ∘ 𝑟 = 𝑠 ∘ 𝑟4∘ 𝑠 ∘ 𝑟 = 𝑟2 Dengan cara yang sama maka diperoleh
[1, 𝑟] = [𝑟, 𝑟] = [𝑟2, 𝑟] = [𝑟3, 𝑟] = [𝑟4, 𝑟] = 1 [𝑠𝑟, 𝑟] = [𝑠𝑟2, 𝑟] = [𝑠𝑟3, 𝑟] = [𝑠𝑟4, 𝑟] = 𝑟2
Untuk 𝑚 = 2 diperoleh komutator bernorma [𝑔,2𝑟] untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷10 adalah
[𝑠,2𝑟] = [[𝑠, 𝑟], 𝑟] = [𝑟2, 𝑟] = (𝑟2)−1∘ 𝑟−1∘ 𝑟2∘ 𝑟 = 𝑟3∘ 𝑟4∘ 𝑟2∘ 𝑟
= 1
Dengan cara yang sama maka diperoleh
[1,2𝑟] = [𝑟,2𝑟] = [𝑟2,2𝑟] = [𝑟3,2𝑟] = [𝑟4,2𝑟] = [𝑠,2𝑟] = [𝑠𝑟2,2𝑟]
= [𝑠𝑟3,2𝑟] = [𝑠𝑟4,2𝑟] = 1
Karena terdapat bilangan bulat tak-negatif 𝑚 = 2 yang memenuhi [𝑔,𝑚𝑟] = 1 untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷10, maka dapat disimpulkan bahwa 𝑟 merupakan elemen Engel kiri dari grup dihedral 𝐷10, khususnya 𝑟 merupakan elemen 2-Engel kiri.
3. Komutator bernorma dari 𝑟2 ∈ 𝐷10
Berdasarkan definisi, untuk 𝑚 = 0 diperoleh [𝑥,𝑚𝑦] = [𝑥,0𝑦] = 𝑥. Jadi [𝑥,0𝑟2] = 𝑥, untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐷8.
Untuk 𝑚 = 1 diperoleh komutator bernorma [𝑔,1𝑟2] untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷10 adalah
[𝑠,1𝑟2] = [𝑠, 𝑟2] = 𝑠−1∘ (𝑟2)−1∘ 𝑠 ∘ 𝑟2 = 𝑠 ∘ 𝑟3∘ 𝑠 ∘ 𝑟2 = 𝑟4 Dengan cara yang sama maka diperoleh
[1, 𝑟2] = [𝑟, 𝑟2] = [𝑟2, 𝑟2] = [𝑟3, 𝑟2] = [𝑟4, 𝑟2] = 1 [𝑠𝑟, 𝑟2] = [𝑠𝑟2, 𝑟2] = [𝑠𝑟3, 𝑟2] = [𝑠𝑟4, 𝑟2] = 𝑟4
Untuk 𝑚 = 2 diperoleh komutator bernorma [𝑔,2𝑟2] untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷10 adalah
[𝑠,2𝑟2] = [[𝑠, 𝑟2], 𝑟2] = [𝑟4, 𝑟2] = (𝑟4)−1∘ (𝑟2)−1∘ 𝑟4∘ 𝑟2
= 𝑟 ∘ 𝑟3∘ 𝑟4∘ 𝑟2= 1 Dengan cara yang sama maka diperoleh
[1,2𝑟2] = [𝑟,2𝑟2] = [𝑟2,2𝑟2] = [𝑟3,2𝑟2] = [𝑟4,2𝑟2] = [𝑠𝑟,2𝑟2]
= [𝑠𝑟2,2𝑟2] = [𝑠𝑟3,2𝑟2] = [𝑠𝑟4,2𝑟2] = 1
Karena terdapat bilangan bulat tak-negatif 𝑚 = 2 yang memenuhi [𝑔,𝑚𝑟2] = 1 untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷10, maka dapat disimpulkan bahwa 𝑟2 merupakan elemen Engel kiri dari grup dihedral 𝐷10, khususnya 𝑟2 merupakan elemen 2-Engel kiri.
4. Komutator bernorma dari 𝑟3 ∈ 𝐷10
Berdasarkan definisi, untuk 𝑚 = 0 diperoleh [𝑥,𝑚𝑦] = [𝑥,0𝑦] = 𝑥. Jadi [𝑥,0𝑟3] = 𝑥, untuk sebarang 𝑥 ∈ 𝐷8.
Untuk 𝑚 = 1 diperoleh komutator bernorma [𝑔,1𝑟3] untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷10 adalah
[𝑠,1𝑟3] = [𝑠, 𝑟3] = 𝑠−1∘ (𝑟3)−1∘ 𝑠 ∘ 𝑟3 = 𝑠 ∘ 𝑟2∘ 𝑠 ∘ 𝑟3 = 𝑟 Dengan cara yang sama maka diperoleh
[1, 𝑟3] = [𝑟, 𝑟3] = [𝑟2, 𝑟3] = [𝑟3, 𝑟3] = [𝑟4, 𝑟3] = 1 [𝑠𝑟, 𝑟3] = [𝑠𝑟2, 𝑟3] = [𝑠𝑟3, 𝑟3] = [𝑠𝑟4, 𝑟3] = 𝑟
Untuk 𝑚 = 2 diperoleh komutator bernorma [𝑔,2𝑟3] untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷10 adalah
[𝑠,2𝑟3] = [[𝑠, 𝑟3], 𝑟3] = [𝑟, 𝑟3] = 𝑟−1∘ (𝑟3)−1∘ 𝑟 ∘ 𝑟3 = 𝑟4∘ 𝑟2∘ 𝑟 ∘ 𝑟3
= 1
Dengan cara yang sama maka diperoleh
[1,2𝑟3] = [𝑟,2𝑟3] = [𝑟2,2𝑟3] = [𝑟3,2𝑟3] = [𝑟4,2𝑟3] = [𝑠𝑟,2𝑟3]
= [𝑠𝑟2,2𝑟3] = [𝑠𝑟3,2𝑟3] = [𝑠𝑟4,2𝑟3] = 1
Karena terdapat bilangan bulat tak-negatif 𝑚 = 2 yang memenuhi [𝑔,𝑚𝑟3] = 1 untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷10, maka dapat disimpulkan bahwa 𝑟3 merupakan elemen Engel kiri dari grup dihedral 𝐷10, khususnya 𝑟3 merupakan elemen 2-Engel kiri.
5. Komutator bernorma dari 𝑟4 ∈ 𝐷10
Berdasarkan definisi, untuk 𝑚 = 0 diperoleh [𝑥,𝑚𝑦] = [𝑥,0𝑦] = 𝑥. Jadi [𝑥,0𝑟4] = 𝑥, untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐷8.
Untuk 𝑚 = 1 diperoleh komutator bernorma [𝑔,1𝑟4] untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷10 adalah
[𝑠,1𝑟4] = [𝑠, 𝑟4] = 𝑠−1∘ (𝑟4)−1∘ 𝑠 ∘ 𝑟4 = 𝑠 ∘ 𝑟 ∘ 𝑠 ∘ 𝑟4 = 𝑟3 Dengan cara yang sama maka diperoleh
[1, 𝑟4] = [𝑟2, 𝑟4] = [𝑟3, 𝑟4] = [𝑟4, 𝑟4] = 1 [𝑠𝑟, 𝑟4] = [𝑠𝑟2, 𝑟4] = [𝑠𝑟3, 𝑟4] = [𝑠𝑟4, 𝑟4] = 𝑟3
Untuk 𝑚 = 2 diperoleh komutator bernorma [𝑔,2𝑟4] untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷10 adalah
[𝑠,2𝑟4] = [[𝑠, 𝑟4], 𝑟4] = [𝑟3, 𝑟4] = (𝑟3)−1∘ (𝑟4)−1∘ 𝑟3∘ 𝑟4
= 𝑟2 ∘ 𝑟 ∘ 𝑟3∘ 𝑟4= 1 Dengan cara yang sama maka diperoleh
[1,2𝑟4] = [𝑟,2𝑟4] = [𝑟2,2𝑟4] = [𝑟3,2𝑟4] = [𝑟4,2𝑟4] = [𝑠𝑟,2𝑟4]
= [𝑠𝑟2,2𝑟4] = [𝑠𝑟3,2𝑟4] = [𝑠𝑟4,2𝑟4] = 1
Karena terdapat bilangan bulat tak-negatif 𝑚 = 2 yang memenuhi [𝑔,𝑚𝑟4] = 1 untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷10, maka dapat disimpulkan bahwa 𝑟4 merupakan elemen Engel kiri dari grup dihedral 𝐷10, khususnya 𝑟4 merupakan elemen 2-Engel kiri.
6. Komutator bernorma dari 𝑠 ∈ 𝐷10
Berdasarkan definisi, untuk 𝑚 = 0 diperoleh [𝑥,𝑚𝑦] = [𝑥,0𝑦] = 𝑥. Jadi [𝑥,0𝑠] = 𝑥, untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐷8.
Untuk 𝑚 = 1 diperoleh komutator bernorma [𝑔,1𝑠] untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷10 adalah
[𝑟,1𝑠] = [𝑟, 𝑠] = 𝑟−1∘ 𝑠−1∘ 𝑟 ∘ 𝑠 = 𝑟4∘ 𝑠 ∘ 𝑟 ∘ 𝑠 = 𝑟3 Dengan cara yang sama maka diperoleh
[1, 𝑠] = [𝑠, 𝑠] = 1 [𝑟2, 𝑠] = [𝑠𝑟2, 𝑠] = 𝑟 [𝑟4, 𝑠] = [𝑠𝑟4, 𝑠] = 𝑟2
[𝑠𝑟, 𝑠] = 𝑟3 [𝑟3, 𝑠] = [𝑠𝑟3, 𝑠] = 𝑟4
Untuk 𝑚 = 2 diperoleh komutator bernorma [𝑔,2𝑠] untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷10 adalah
[𝑟,2𝑠] = [[𝑟, 𝑠], 𝑠] = [𝑟3, 𝑠] = (𝑟3)−1∘ 𝑠−1∘ 𝑟3∘ 𝑠 = 𝑟2∘ 𝑠 ∘ 𝑟3∘ 𝑠 = 𝑟4 Dengan cara yang sama maka diperoleh
[1,2𝑠] = [𝑠,2𝑠] = 1 [𝑟4,2𝑠] = [𝑠𝑟4,2𝑠] = 𝑟
[𝑟3,2𝑠] = [𝑠𝑟3,2𝑠] = 𝑟2 [𝑟2,2𝑠] = [𝑠𝑟2,2𝑠] = 𝑟3
[𝑠𝑟,2𝑠] = 𝑟4
Untuk 𝑚 = 3 diperoleh komutator bernorma [𝑔,3𝑠] untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷10 adalah
[𝑟,3𝑠] = [[𝑟,2𝑠], 𝑠] = [𝑟4, 𝑠] = (𝑟4)−1∘ 𝑠−1∘ 𝑟4∘ 𝑠 = 𝑟 ∘ 𝑠 ∘ 𝑟4∘ 𝑠 = 𝑟2 Dengan cara yang sama maka diperoleh
[1,3𝑠] = [𝑠,3𝑠] = 1 [𝑟3,3𝑠] = [𝑠𝑟3,3𝑠] = 𝑟
[𝑠𝑟,3𝑠] = 𝑟2 [𝑟4,3𝑠] = [𝑠𝑟4,3𝑠] = 𝑟3 [𝑟2,3𝑠] = [𝑠𝑟2,3𝑠] = 𝑟4
Untuk 𝑚 = 4 diperoleh komutator bernorma [𝑔,4𝑠] untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷10 adalah
[𝑟,4𝑠] = [[𝑟,3𝑠], 𝑠] = [𝑟2, 𝑠] = (𝑟2)−1∘ 𝑠−1∘ 𝑟2∘ 𝑠 = 𝑟3∘ 𝑠 ∘ 𝑟2∘ 𝑠 = 𝑟 Dengan cara yang sama maka diperoleh
[1,4𝑠] = [𝑠,4𝑠] = 1 [𝑠𝑟,4𝑠] = 𝑟 [𝑟2,4𝑠] = [𝑠𝑟2,4𝑠] = 𝑟2 [𝑟3,4𝑠] = [𝑠𝑟3,4𝑠] = 𝑟3 [𝑟4,4𝑠] = [𝑠𝑟4,4𝑠] = 𝑟3
Untuk 𝑚 = 5 diperoleh komutator bernorma [𝑔,5𝑠] untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷10 adalah
[𝑟,5𝑠] = [[𝑟,4𝑠], 𝑠] = [𝑟, 𝑠] = 𝑟−1∘ 𝑠−1∘ 𝑟 ∘ 𝑠 = 𝑟4∘ 𝑠 ∘ 𝑟 ∘ 𝑠 = 𝑟3
Dengan cara yang sama maka diperoleh
[1,5𝑠] = [𝑠,5𝑠] = 1 [𝑟2,5𝑠] = [𝑠𝑟2,5𝑠] = 𝑟 [𝑟4,5𝑠] = [𝑠𝑟4,5𝑠] = 𝑟2
[𝑠𝑟,5𝑠] = 𝑟3 [𝑟3,5𝑠] = [𝑠𝑟3,5𝑠] = 𝑟4
Perhatikan bahwa untuk sebarang bilangan bulat positif 𝑚, komutator bernorma [𝑟,𝑚𝑠] ≠ 1 dan [𝑟,𝑚+𝑡𝑠] = [𝑟,𝑚𝑠] untuk setiap 𝑡 ∈ ℤ+. Dengan demikian 𝑠 bukan merupakan elemen Engel kiri dari grup dihedral 𝐷10. 7. Komutator bernorma dari 𝑠𝑟 ∈ 𝐷10
Berdasarkan definisi, untuk 𝑚 = 0 diperoleh [𝑥,𝑚𝑦] = [𝑥,0𝑦] = 𝑥. Jadi [𝑥,0𝑠𝑟] = 𝑥, untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐷8.
Untuk 𝑚 = 1 diperoleh komutator bernorma [𝑔,1𝑠𝑟] untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷10 adalah
[𝑟,1𝑠𝑟] = [𝑟, 𝑠𝑟] = 𝑟−1∘ (𝑠𝑟)−1∘ 𝑟 ∘ 𝑠𝑟 = 𝑟4∘ 𝑠𝑟 ∘ 𝑟 ∘ 𝑠𝑟 = 𝑟3 Dengan cara yang sama maka diperoleh
[1, 𝑠𝑟] = [𝑠𝑟, 𝑠𝑟] = 1 [𝑟2, 𝑠𝑟] = [𝑠𝑟3, 𝑠𝑟] = 𝑟
[𝑟4, 𝑠𝑟] = [𝑠, 𝑠𝑟] = 𝑟2 [𝑠𝑟2, 𝑠𝑟] = 𝑟3 [𝑟3, 𝑠𝑟] = [𝑠𝑟4, 𝑠𝑟] = 𝑟4
Untuk 𝑚 = 2 diperoleh komutator bernorma [𝑔,2𝑠𝑟] untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷10 adalah
[𝑟,2𝑠𝑟] = [[𝑟, 𝑠𝑟], 𝑠𝑟] = [𝑟3, 𝑠𝑟] = (𝑟3)−1∘ (𝑠𝑟)−1∘ 𝑟3∘ 𝑠𝑟
= 𝑟2∘ 𝑠𝑟 ∘ 𝑟3∘ 𝑠𝑟 = 𝑟4 Dengan cara yang sama maka diperoleh
[1,2𝑠𝑟] = [𝑠𝑟,2𝑠𝑟] = 1 [𝑟4,2𝑠𝑟] = [𝑠,2𝑠𝑟] = 𝑟 [𝑟3,2𝑠𝑟] = [𝑠𝑟4,2𝑠𝑟] = 𝑟2 [𝑟2,2𝑠𝑟] = [𝑠𝑟3,2𝑠𝑟] = 𝑟3
[𝑠𝑟2,2𝑠𝑟] = 𝑟4
Untuk 𝑚 = 3 diperoleh komutator bernorma [𝑔,3𝑠𝑟] untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷10 adalah
[𝑟,3𝑠𝑟] = [[𝑟,2𝑠𝑟], 𝑠𝑟] = [𝑟4, 𝑠𝑟] = (𝑟4)−1∘ (𝑠𝑟)−1∘ 𝑟4∘ 𝑠𝑟
= 𝑟 ∘ 𝑠𝑟 ∘ 𝑟4∘ 𝑠𝑟 = 𝑟2 Dengan cara yang sama maka diperoleh
[1,3𝑠𝑟] = [𝑠𝑟,3𝑠𝑟] = 1 [𝑟3,3𝑠𝑟] = [𝑠𝑟4,3𝑠𝑟] = 𝑟
[𝑠𝑟2,3𝑠𝑟] = 𝑟2 [𝑟4,3𝑠𝑟] = [𝑠,3𝑠𝑟] = 𝑟3 [𝑟2,3𝑠𝑟] = [𝑠𝑟3,3𝑠𝑟] = 𝑟4
Untuk 𝑚 = 4 diperoleh komutator bernorma [𝑔,4𝑠𝑟] untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷10 adalah
[𝑟,4𝑠𝑟] = [[𝑟,3𝑠𝑟], 𝑠𝑟] = [𝑟2, 𝑠𝑟] = (𝑟2)−1∘ (𝑠𝑟)−1∘ 𝑟2∘ 𝑠𝑟
= 𝑟3∘ 𝑠𝑟 ∘ 𝑟2∘ 𝑠𝑟 = 𝑟 Dengan cara yang sama maka diperoleh
[1,4𝑠𝑟] = [𝑠𝑟,4𝑠𝑟] = 1
[𝑠𝑟2,4𝑠𝑟] = 𝑟 [𝑟2,4𝑠𝑟] = [𝑠𝑟3,4𝑠𝑟] = 𝑟2 [𝑟3,4𝑠𝑟] = [𝑠𝑟4,4𝑠𝑟] = 𝑟3 [𝑟4,4𝑠𝑟] = [𝑠,4𝑠𝑟] = 𝑟4
Untuk 𝑚 = 5 diperoleh komutator bernorma [𝑔,5𝑠𝑟] untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷10 adalah
[𝑟,5𝑠𝑟] = [[𝑟,4𝑠𝑟], 𝑠𝑟] = [𝑟, 𝑠𝑟] = 𝑟−1∘ (𝑠𝑟)−1∘ 𝑟 ∘ 𝑠𝑟
= 𝑟4∘ 𝑠𝑟 ∘ 𝑟 ∘ 𝑠𝑟 = 𝑟3 Dengan cara yang sama maka diperoleh
[1,5𝑠𝑟] = [𝑠𝑟,5𝑠𝑟] = 1 [𝑟2,5𝑠𝑟] = [𝑠𝑟3,5𝑠𝑟] = 𝑟
[𝑟4,5𝑠𝑟] = [𝑠,5𝑠𝑟] = 𝑟2 [𝑠𝑟2,5𝑠𝑟] = 𝑟3 [𝑟3,5𝑠𝑟] = [𝑠𝑟4,5𝑠𝑟] = 𝑟4
Perhatikan bahwa untuk sebarang bilangan bulat positif 𝑚, komutator bernorma [𝑟,𝑚𝑠𝑟] ≠ 1 dan [𝑟,𝑚+𝑡𝑠𝑟] = [𝑟,𝑚𝑠𝑟] untuk setiap 𝑡 ∈ ℤ+. Dengan demikian 𝑠𝑟 bukan merupakan elemen Engel kiri dari grup dihedral 𝐷10.
8. Komutator bernorma dari 𝑠𝑟2 ∈ 𝐷10
Berdasarkan definisi, untuk 𝑚 = 0 diperoleh [𝑥,𝑚𝑦] = [𝑥,0𝑦] = 𝑥. Jadi [𝑥,0𝑠𝑟2] = 𝑥, untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐷8.
Untuk 𝑚 = 1 diperoleh komutator bernorma [𝑔,1𝑠𝑟2] untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷10 adalah
[𝑟,1(𝑠𝑟2)] = [𝑟, 𝑠𝑟2] = 𝑟−1∘ (𝑠𝑟2)−1∘ 𝑟 ∘ 𝑠𝑟2 = 𝑟4∘ 𝑠𝑟2∘ 𝑟 ∘ 𝑠𝑟2 = 𝑟3
Dengan cara yang sama maka diperoleh
[1, 𝑠𝑟2] = [𝑠𝑟2, 𝑠𝑟2] = 1 [𝑟2, 𝑠𝑟2] = [𝑠𝑟4, 𝑠𝑟2] = 𝑟 [𝑟4, 𝑠𝑟2] = [𝑠𝑟, 𝑠𝑟2] = 𝑟2
[𝑠𝑟3, 𝑠𝑟2] = 𝑟3 [𝑟3, 𝑠𝑟2] = [𝑠, 𝑠𝑟2] = 𝑟4
Untuk 𝑚 = 2 diperoleh komutator bernorma [𝑔,2𝑠𝑟2] untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷10 adalah
[𝑟,2𝑠𝑟2] = [[𝑟, 𝑠𝑟2], 𝑠𝑟2] = [𝑟3, 𝑠𝑟2] = (𝑟3)−1∘ (𝑠𝑟2)−1∘ 𝑟3∘ 𝑠𝑟2
= 𝑟2∘ 𝑠𝑟2∘ 𝑟3∘ 𝑠𝑟2 = 𝑟4 Dengan cara yang sama maka diperoleh
[1,2𝑠𝑟2] = [𝑠𝑟2,2𝑠𝑟2] = 1 [𝑟4,2𝑠𝑟2] = [𝑠𝑟,2𝑠𝑟2] = 𝑟 [𝑟3,2𝑠𝑟2] = [𝑠,2𝑠𝑟2] = 𝑟2 [𝑟2,2𝑠𝑟2] = [𝑠𝑟4,2𝑠𝑟2] = 𝑟3
[𝑠𝑟3,2𝑠𝑟2] = 𝑟4
Untuk 𝑚 = 3 diperoleh komutator bernorma [𝑔,3𝑠𝑟2] untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷10 adalah
[𝑟,3𝑠𝑟2] = [[𝑟,2𝑠𝑟2], 𝑠𝑟2] = [𝑟4, 𝑠𝑟2] = (𝑟4)−1∘ (𝑠𝑟2)−1∘ 𝑟4∘ 𝑠𝑟2
= 𝑟 ∘ 𝑠𝑟2∘ 𝑟4∘ 𝑠𝑟2 = 𝑟2 Dengan cara yang sama maka diperoleh
[1,3𝑠𝑟2] = [𝑠𝑟2,3𝑠𝑟2] = 1 [𝑟3,3𝑠𝑟2] = [𝑠,3𝑠𝑟2] = 𝑟
[𝑠𝑟3,3𝑠𝑟2] = 𝑟2
[𝑟4,3𝑠𝑟2] = [𝑠𝑟,3𝑠𝑟2] = 𝑟3 [𝑟2,3𝑠𝑟2] = [𝑠𝑟4,3𝑠𝑟2] = 𝑟4
Untuk 𝑚 = 4 diperoleh komutator bernorma [𝑔,4𝑠𝑟2] untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷10 adalah
[𝑟,4𝑠𝑟2] = [[𝑟,3𝑠𝑟2], 𝑠𝑟2] = [𝑟2, 𝑠𝑟2] = (𝑟2)−1∘ (𝑠𝑟2)−1∘ 𝑟2∘ 𝑠𝑟2
= 𝑟2∘ 𝑠𝑟2∘ 𝑟3∘ 𝑠𝑟2 = 𝑟 Dengan cara yang sama maka diperoleh
[1,4𝑠𝑟2] = [𝑠𝑟2,4𝑠𝑟2] = 1 [𝑠𝑟3,4𝑠𝑟2] = 𝑟 [𝑟2,4𝑠𝑟2] = [𝑠𝑟4,4𝑠𝑟2] = 𝑟2
[𝑟3,4𝑠𝑟2] = [𝑠,4𝑠𝑟2] = 𝑟3 [𝑟4,4𝑠𝑟2] = [𝑠𝑟,4𝑠𝑟2] = 𝑟4
Untuk 𝑚 = 5 diperoleh komutator bernorma [𝑔,5𝑠𝑟2] untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷10 adalah
[𝑟,5𝑠𝑟2] = [[𝑟,4𝑠𝑟2], 𝑠𝑟2] = [𝑟, 𝑠𝑟2] = 𝑟−1∘ (𝑠𝑟2)−1∘ 𝑟 ∘ 𝑠𝑟2
= 𝑟4∘ 𝑠𝑟2∘ 𝑟 ∘ 𝑠𝑟2 = 𝑟3 Dengan cara yang sama maka diperoleh
[1,5𝑠𝑟2] = [𝑠𝑟2,5𝑠𝑟2] = 1 [𝑟2,5𝑠𝑟2] = [𝑠𝑟4,5𝑠𝑟2] = 𝑟 [𝑟4,5𝑠𝑟2] = [𝑠𝑟,5𝑠𝑟2] = 𝑟2
[𝑠𝑟3,5𝑠𝑟2] = 𝑟3 [𝑟3,5𝑠𝑟2] = [𝑠,5𝑠𝑟2] = 𝑟4
Perhatikan bahwa untuk sebarang bilangan bulat positif 𝑚, komutator bernorma [𝑟,𝑚𝑠𝑟2] ≠ 1 dan [𝑟,𝑚+𝑡𝑠𝑟2] = [𝑟,𝑚𝑠𝑟2] untuk setiap 𝑡 ∈ ℤ+.
Dengan demikian 𝑠𝑟2 bukan merupakan elemen Engel kiri dari grup dihedral 𝐷10.
9. Komutator bernorma dari 𝑠𝑟3 ∈ 𝐷10
Berdasarkan definisi, untuk 𝑚 = 0 diperoleh [𝑥,𝑚𝑦] = [𝑥,0𝑦] = 𝑥. Jadi [𝑥,0𝑠𝑟3] = 𝑥, untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐷8.
Untuk 𝑚 = 1 diperoleh komutator bernorma [𝑔,1𝑠𝑟3] untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷10 adalah
[𝑟,1(𝑠𝑟3)] = [𝑟, 𝑠𝑟3] = 𝑟−1∘ (𝑠𝑟3)−1∘ 𝑟 ∘ 𝑠𝑟3 = 𝑟4∘ 𝑠𝑟3∘ 𝑟 ∘ 𝑠𝑟3 = 𝑟3 Dengan cara yang sama maka diperoleh
[1, 𝑠𝑟3] = [𝑠𝑟3, 𝑠𝑟3] = 1 [𝑟2, 𝑠𝑟3] = [𝑠, 𝑠𝑟3] = 𝑟 [𝑟4, 𝑠𝑟3] = [𝑠𝑟2, 𝑠𝑟3] = 𝑟2
[𝑠𝑟4, 𝑠𝑟3] = 𝑟3 [𝑟3, 𝑠𝑟3] = [𝑠𝑟, 𝑠𝑟3] = 𝑟4
Untuk 𝑚 = 2 diperoleh komutator bernorma [𝑔,2𝑠𝑟3] untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷10 adalah
[𝑟,2𝑠𝑟3] = [[𝑟, 𝑠𝑟3], 𝑠𝑟3] = [𝑟3, 𝑠𝑟3] = (𝑟3)−1∘ (𝑠𝑟3)−1∘ 𝑟3∘ 𝑠𝑟3
= 𝑟2∘ 𝑠𝑟3∘ 𝑟3∘ 𝑠𝑟3 = 𝑟4 Dengan cara yang sama maka diperoleh
[1,2𝑠𝑟3] = [𝑠𝑟3,2𝑠𝑟3] = 1 [𝑟4,2𝑠𝑟3] = [𝑠𝑟2,2𝑠𝑟3] = 𝑟 [𝑟3,2𝑠𝑟3] = [𝑠𝑟,2𝑠𝑟3] = 𝑟2
[𝑟2,2𝑠𝑟3] = [𝑠,2𝑠𝑟3] = 𝑟3 [𝑠𝑟4,2𝑠𝑟3] = 𝑟4
Untuk 𝑚 = 3 diperoleh komutator bernorma [𝑔,3𝑠𝑟3] untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷10 adalah
[𝑟,3𝑠𝑟3] = [[𝑟,2𝑠𝑟3], 𝑠𝑟3] = [𝑟4, 𝑠𝑟3] = (𝑟4)−1∘ (𝑠𝑟3)−1∘ 𝑟4∘ 𝑠𝑟3
= 𝑟 ∘ 𝑠𝑟3∘ 𝑟4∘ 𝑠𝑟3 = 𝑟2 Dengan cara yang sama maka diperoleh
[1,3𝑠𝑟3] = [𝑠𝑟3,3𝑠𝑟3] = 1 [𝑟3,3𝑠𝑟3] = [𝑠𝑟,3𝑠𝑟3] = 𝑟
[𝑠𝑟4,3𝑠𝑟3] = 𝑟2 [𝑟4,3𝑠𝑟3] = [𝑠𝑟2,3𝑠𝑟3] = 𝑟3
[𝑟2,3𝑠𝑟3] = [𝑠,3𝑠𝑟3] = 𝑟4
Untuk 𝑚 = 4 diperoleh komutator bernorma [𝑔,4𝑠𝑟3] untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷10 adalah
[𝑟,4𝑠𝑟3] = [[𝑟,3𝑠𝑟3], 𝑠𝑟3] = [𝑟2, 𝑠𝑟3] = (𝑟2)−1∘ (𝑠𝑟3)−1∘ 𝑟2∘ 𝑠𝑟3
= 𝑟3∘ 𝑠𝑟3∘ 𝑟2∘ 𝑠𝑟3 = 𝑟 Dengan cara yang sama maka diperoleh
[1,4𝑠𝑟3] = [𝑠𝑟3,4𝑠𝑟3] = 1 [𝑠𝑟4,4𝑠𝑟3] = 𝑟 [𝑟2,4𝑠𝑟3] = [𝑠,4𝑠𝑟3] = 𝑟2 [𝑟3,4𝑠𝑟3] = [𝑠𝑟,4𝑠𝑟3] = 𝑟3 [𝑟4,4𝑠𝑟3] = [𝑠𝑟2,4𝑠𝑟3] = 𝑟4
Untuk 𝑚 = 5 diperoleh komutator bernorma [𝑔,5𝑠𝑟3] untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷10 adalah
[𝑟,5𝑠𝑟3] = [[𝑟,4𝑠𝑟3], 𝑠𝑟3] = [𝑟, 𝑠𝑟3] = 𝑟−1∘ (𝑠𝑟3)−1∘ 𝑟 ∘ 𝑠𝑟3
= 𝑟4∘ 𝑠𝑟3∘ 𝑟 ∘ 𝑠𝑟3 = 𝑟3
Dengan cara yang sama maka diperoleh
[1,5𝑠𝑟3] = [𝑠𝑟3,5𝑠𝑟3] = 1 [𝑟2,5𝑠𝑟3] = [𝑠,5𝑠𝑟3] = 𝑟 [𝑟4,5𝑠𝑟3] = [𝑠𝑟2,5𝑠𝑟3] = 𝑟2
[𝑠𝑟4,5𝑠𝑟3] = 𝑟3 [𝑟3,5𝑠𝑟3] = [𝑠𝑟,5𝑠𝑟3] = 𝑟4
Perhatikan bahwa untuk sebarang bilangan bulat positif 𝑚, komutator bernorma [𝑟,𝑚𝑠𝑟3] ≠ 1 dan [𝑟,𝑚+𝑡𝑠𝑟3] = [𝑟,𝑚𝑠𝑟3] untuk setiap 𝑡 ∈ ℤ+. Dengan demikian 𝑠𝑟3 bukan merupakan elemen Engel kiri dari grup dihedral 𝐷10.
10. Komutator bernorma dari 𝑠𝑟4 ∈ 𝐷10
Berdasarkan definisi, untuk 𝑚 = 0 diperoleh [𝑥,𝑚𝑦] = [𝑥,0𝑦] = 𝑥. Jadi [𝑥,0𝑠𝑟4] = 𝑥, untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐷8.
Untuk 𝑚 = 1 diperoleh komutator bernorma [𝑔,1𝑠𝑟4] untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷10 adalah
[𝑟,1𝑠𝑟4] = [𝑟, 𝑠𝑟4] = 𝑟−1∘ (𝑠𝑟4)−1∘ 𝑟 ∘ 𝑠𝑟4 = 𝑟4∘ 𝑠𝑟4∘ 𝑟 ∘ 𝑠𝑟4 = 𝑟3 Dengan cara yang sama maka diperoleh
[1, 𝑠𝑟4] = [𝑠𝑟4, 𝑠𝑟4] = 1 [𝑟2, 𝑠𝑟4] = [𝑠𝑟, 𝑠𝑟4] = 𝑟 [𝑟4, 𝑠𝑟4] = [𝑠𝑟3, 𝑠𝑟4] = 𝑟2
[𝑠, 𝑠𝑟4] = 𝑟3
[𝑟3, 𝑠𝑟4] = [𝑠𝑟2, 𝑠𝑟4] = 𝑟4
Untuk 𝑚 = 2 diperoleh komutator bernorma [𝑔,2𝑠𝑟4] untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷10 adalah
[𝑟,2𝑠𝑟4] = [[𝑟, 𝑠𝑟4], 𝑠𝑟4] = [𝑟3, 𝑠𝑟4] = (𝑟3)−1∘ (𝑠𝑟4)−1∘ 𝑟3∘ 𝑠𝑟4
= 𝑟2∘ 𝑠𝑟4∘ 𝑟3∘ 𝑠𝑟4 = 𝑟4 Dengan cara yang sama maka diperoleh
[1,2𝑠𝑟4] = [𝑠𝑟4,2𝑠𝑟4] = 1 [𝑟4,2𝑠𝑟4] = [𝑠𝑟3,2𝑠𝑟4] = 𝑟 [𝑟3,2𝑠𝑟4] = [𝑠𝑟2,2𝑠𝑟4] = 𝑟2 [𝑟2,2𝑠𝑟4] = [𝑠𝑟,2𝑠𝑟4] = 𝑟3
[𝑠,2𝑠𝑟4] = 𝑟4
Untuk 𝑚 = 3 diperoleh komutator bernorma [𝑔,3𝑠𝑟4] untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷10 adalah
[𝑟,3𝑠𝑟4] = [[𝑟,2𝑠𝑟4], 𝑠𝑟4] = [𝑟4, 𝑠𝑟4] = (𝑟4)−1∘ (𝑠𝑟4)−1∘ 𝑟4∘ 𝑠𝑟4
= 𝑟 ∘ 𝑠𝑟4∘ 𝑟4∘ 𝑠𝑟4 = 𝑟2 Dengan cara yang sama maka diperoleh
[1,3𝑠𝑟4] = [𝑠𝑟4,3𝑠𝑟4] = 1 [𝑟3,3𝑠𝑟4] = [𝑠𝑟2,3𝑠𝑟4] = 𝑟
[𝑠,3𝑠𝑟4] = 𝑟2
[𝑟4,3𝑠𝑟4] = [𝑠𝑟3,3𝑠𝑟4] = 𝑟3 [𝑟2,3𝑠𝑟4] = [𝑠𝑟,3𝑠𝑟4] = 𝑟4
Untuk 𝑚 = 4 diperoleh komutator bernorma [𝑔,4𝑠𝑟4] untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷10 adalah
[𝑟,4𝑠𝑟4] = [[𝑟,3𝑠𝑟4], 𝑠𝑟4] = [𝑟2, 𝑠𝑟4] = (𝑟2)−1∘ (𝑠𝑟4)−1∘ 𝑟2∘ 𝑠𝑟4
= 𝑟3∘ 𝑠𝑟4∘ 𝑟2∘ 𝑠𝑟4 = 𝑟 Dengan cara yang sama maka diperoleh
[1,4𝑠𝑟4] = [𝑠𝑟4,4𝑠𝑟4] = 1
[𝑠,4𝑠𝑟4] = 𝑟
[𝑟2,4𝑠𝑟4] = [𝑠𝑟,4𝑠𝑟4] = 𝑟2 [𝑟3,4𝑠𝑟4] = [𝑠𝑟2,4𝑠𝑟4] = 𝑟3 [𝑟4,4𝑠𝑟4] = [𝑠𝑟3,4𝑠𝑟4] = 𝑟4
Untuk 𝑚 = 5 diperoleh komutator bernorma [𝑔,5𝑠𝑟4] untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷10 adalah
[𝑟,5𝑠𝑟4] = [[𝑟,4𝑠𝑟4], 𝑠𝑟4] = [𝑟, 𝑠𝑟4] = 𝑟−1∘ (𝑠𝑟4)−1∘ 𝑟 ∘ 𝑠𝑟4
= 𝑟4∘ 𝑠𝑟4∘ 𝑟 ∘ 𝑠𝑟4 = 𝑟3 Dengan cara yang sama maka diperoleh
[1,5𝑠𝑟4] = [𝑠𝑟4,5𝑠𝑟4] = 1 [𝑟2,5𝑠𝑟4] = [𝑠𝑟,5𝑠𝑟4] = 𝑟 [𝑟4,5𝑠𝑟4] = [𝑠𝑟3,5𝑠𝑟4] = 𝑟2
[𝑠,5𝑠𝑟4] = 𝑟3
[𝑟3,5𝑠𝑟4] = [𝑠𝑟2,5𝑠𝑟4] = 𝑟4
Perhatikan bahwa untuk sebarang bilangan bulat positif 𝑚, komutator bernorma [𝑟,𝑚𝑠𝑟4] ≠ 1 dan [𝑟,𝑚+𝑡𝑠𝑟4] = [𝑟,𝑚𝑠𝑟4] untuk setiap 𝑡 ∈ ℤ+. Dengan demikian 𝑠𝑟4 bukan merupakan elemen Engel kiri dari grup dihedral 𝐷10.
Dari hasil perhitungan di atas, maka diperoleh elemen-elemen Engel kiri dari grup dihedral 𝐷10 adalah
𝐿1(𝐷10) = {1}
𝐿2(𝐷10) ∖ 𝐿1(𝐷10) = {𝑟, 𝑟2, 𝑟3, 𝑟4} 𝐿(𝐷10) = {1, 𝑟, 𝑟2, 𝑟3, 𝑟4}.
4.4 Elemen Engel Kiri dari Grup Dihedral-12 (𝑫𝟏𝟐,∘)
Grup dihedral 𝐷2𝑛 dengan 𝑛 = 6 adalah 𝐷12 = {1, 𝑟, 𝑟2, 𝑟3, 𝑟4, 𝑟5, 𝑠, 𝑠𝑟, 𝑠𝑟2, 𝑠𝑟3, 𝑠𝑟4, 𝑠𝑟5}. Berikutnya akan diselidiki elemen-elemen dari 𝐷12 yang merupakan elemen-elemen Engel kiri.
1. Komutator bernorma dari 1 ∈ 𝐷12
Berdasarkan definisi, untuk 𝑚 = 0 diperoleh [𝑥,𝑚𝑦] = [𝑥,0𝑦] = 𝑥. Jadi [𝑥,01] = 𝑥, untuk sebarang 𝑥 ∈ 𝐷12.
Untuk 𝑚 = 1 diperoleh komutator bernorma [𝑔,11] untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷12 adalah
[𝑟,11] = [𝑟, 1] = 𝑟−1∘ 1−1∘ 𝑟 ∘ 1 = 𝑟5∘ 1 ∘ 𝑟 ∘ 1 = 1 Dengan cara yang sama maka diperoleh
[1,1] = [𝑟2, 1] = [𝑟3, 1] = [𝑟4, 1] = [𝑟5, 1] = [𝑠, 1] = [𝑠𝑟, 1] = [𝑠𝑟2, 1]
= [𝑠𝑟3, 1] = [𝑠𝑟4, 1] = [𝑠𝑟5, 1] = 1
Karena terdapat bilangan bulat tak-negatif 𝑚 = 1 yang memenuhi [𝑔,𝑚1] = 1 untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷12, maka dapat disimpulkan bahwa 1 merupakan elemen Engel kiri dari grup dihedral 𝐷12, khususnya 1 merupakan elemen 1-Engel kiri.
2. Komutator bernorma dari 𝑟 ∈ 𝐷12
Berdasarkan definisi, untuk 𝑚 = 0 diperoleh [𝑥,𝑚𝑦] = [𝑥,0𝑦] = 𝑥. Jadi [𝑥,0𝑟] = 𝑥, untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐷12.
Untuk 𝑚 = 1 diperoleh komutator bernorma [𝑔,1𝑟] untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷12 adalah
[𝑠,1𝑟] = [𝑠, 𝑟] = 𝑠−1∘ 𝑟−1∘ 𝑠 ∘ 𝑟 = 𝑠 ∘ 𝑟5∘ 𝑠 ∘ 𝑟 = 𝑟2 Dengan cara yang sama maka diperoleh
[1, 𝑟] = [𝑟, 𝑟] = [𝑟2, 𝑟] = [𝑟3, 𝑟] = [𝑟4, 𝑟] = [𝑟5, 𝑟] = 1 [𝑠𝑟, 𝑟] = [𝑠𝑟2, 𝑟] = [𝑠𝑟3, 𝑟] = [𝑠𝑟4, 𝑟] = [𝑠𝑟5, 𝑟] = 𝑟2
Untuk 𝑚 = 2 diperoleh komutator bernorma [𝑔,2𝑟] untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷12 adalah
[𝑠,2𝑟] = [[𝑠, 𝑟], 𝑟] = [𝑟2, 𝑟] = (𝑟2)−1∘ 𝑟−1∘ 𝑟2∘ 𝑟 = 𝑟4∘ 𝑟5∘ 𝑟2∘ 𝑟
= 1
Dengan cara yang sama maka diperoleh
[1,2𝑟] = [𝑟,2𝑟] = [𝑟2,2𝑟] = [𝑟3,2𝑟] = [𝑟4,2𝑟] = [𝑟5,2𝑟] = [𝑠𝑟,2𝑟]
= [𝑠𝑟2,2𝑟] = [𝑠𝑟3,2𝑟] = [𝑠𝑟4,2𝑟] = [𝑠𝑟5,2𝑟] = 1 Karena terdapat bilangan bulat tak-negatif 𝑚 = 2 yang memenuhi [𝑔,𝑚𝑟] = 1 untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷12, maka dapat disimpulkan bahwa 𝑟 merupakan elemen Engel kiri dari grup dihedral 𝐷12, khususnya 𝑟 merupakan elemen 2-Engel kiri.
3. Komutator bernorma dari 𝑟2 ∈ 𝐷12
Berdasarkan definisi, untuk 𝑚 = 0 diperoleh [𝑥,𝑚𝑦] = [𝑥,0𝑦] = 𝑥. Jadi [𝑥,0𝑟2] = 𝑥, untuk sebarang 𝑥 ∈ 𝐷12.
Untuk 𝑚 = 1 diperoleh komutator bernorma [𝑔,1𝑟2] untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷12 adalah
[𝑠,1𝑟2] = [𝑠, 𝑟2] = 𝑠−1∘ (𝑟2)−1∘ 𝑠 ∘ 𝑟2 = 𝑠 ∘ 𝑟4∘ 𝑠 ∘ 𝑟2 = 𝑟4 Dengan cara yang sama maka diperoleh
[1, 𝑟2] = [𝑟, 𝑟2] = [𝑟2, 𝑟2] = [𝑟3, 𝑟2] = [𝑟4, 𝑟2] = [𝑟5, 𝑟2] = 1 [𝑠𝑟, 𝑟2] = [𝑠𝑟2, 𝑟2] = [𝑠𝑟3, 𝑟2] = [𝑠𝑟4, 𝑟2] = [𝑠𝑟5, 𝑟2] = 𝑟4
Untuk 𝑚 = 2 diperoleh komutator bernorma [𝑔,2𝑟2] untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷12 adalah
[𝑠,2𝑟2] = [[𝑠, 𝑟2], 𝑟2] = [𝑟4, 𝑟2] = (𝑟4)−1∘ (𝑟2)−1∘ 𝑟4∘ 𝑟2
= 𝑟2 ∘ 𝑟4∘ 𝑟4∘ 𝑟2 = 1 Dengan cara yang sama maka diperoleh
[1,2𝑟2] = [𝑟,2𝑟2] = [𝑟2,2𝑟2] = [𝑟3,2𝑟2] = [𝑟4,2𝑟2] = [𝑟5,2𝑟2]
= [𝑠𝑟,2𝑟2] = [𝑠𝑟2,2𝑟2] = [𝑠𝑟3,2𝑟2] = [𝑠𝑟4,2𝑟2]
= [𝑠𝑟5,2𝑟2] = 1
Karena terdapat bilangan bulat tak-negatif 𝑚 = 2 yang memenuhi [𝑔,𝑚𝑟2] = 1 untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷12, maka dapat disimpulkan bahwa 𝑟2 merupakan elemen Engel kiri dari grup dihedral 𝐷12, khususnya 𝑟2 merupakan elemen 2-Engel kiri.
4. Komutator bernorma dari 𝑟3 ∈ 𝐷12
Berdasarkan definisi, untuk 𝑚 = 0 diperoleh [𝑥,𝑚𝑦] = [𝑥,0𝑦] = 𝑥. Jadi [𝑥,0𝑟3] = 𝑥, untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐷12.
Untuk 𝑚 = 1 diperoleh komutator bernorma [𝑔,1𝑟3] untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷12 adalah
[𝑠,1𝑟3] = [𝑠, 𝑟3] = 𝑠−1∘ (𝑟3)−1∘ 𝑠 ∘ 𝑟3 = 𝑠 ∘ 𝑟3∘ 𝑠 ∘ 𝑟3 = 𝑟 Dengan cara yang sama maka diperoleh
[1, 𝑟3] = [𝑟, 𝑟3] = [𝑟2, 𝑟3] = [𝑟3, 𝑟3] = [𝑟4, 𝑟3] = [𝑟5, 𝑟3] = [𝑠𝑟, 𝑟3]
= [𝑠𝑟2, 𝑟3] = [𝑠𝑟3, 𝑟3] = [𝑠𝑟4, 𝑟3] = [𝑠𝑟5, 𝑟3] = 1 Karena terdapat bilangan bulat tak-negatif 𝑚 = 1 yang memenuhi [𝑔,𝑚𝑟3] = 1 untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷12, maka dapat disimpulkan bahwa 𝑟3 merupakan elemen Engel kiri dari grup dihedral 𝐷12, khususnya 𝑟3 merupakan elemen 1-Engel kiri.
5. Komutator bernorma dari 𝑟4 ∈ 𝐷12
Berdasarkan definisi, untuk 𝑚 = 0 diperoleh [𝑥,𝑚𝑦] = [𝑥,0𝑦] = 𝑥. Jadi [𝑥,0𝑟4] = 𝑥, untuk sebarang 𝑥 ∈ 𝐷12.
Untuk 𝑚 = 1 diperoleh komutator bernorma [𝑔,1𝑟4] untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷12 adalah
[𝑠,1𝑟4] = [𝑠, 𝑟4] = 𝑠−1∘ (𝑟4)−1∘ 𝑠 ∘ 𝑟4 = 𝑠 ∘ 𝑟2∘ 𝑠 ∘ 𝑟4 = 𝑟2 Dengan cara yang sama maka diperoleh
[1, 𝑟4] = [𝑟2, 𝑟4] = [𝑟3, 𝑟4] = [𝑟4, 𝑟4] = [𝑟5, 𝑟4] = 1 [𝑠𝑟, 𝑟4] = [𝑠𝑟2, 𝑟4] = [𝑠𝑟3, 𝑟4] = [𝑠𝑟4, 𝑟4] = [𝑠𝑟5, 𝑟4] = 𝑟2
Untuk 𝑚 = 2 diperoleh komutator bernorma [𝑔,2𝑟4] untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷12 adalah
[𝑠,2𝑟4] = [[𝑠, 𝑟4], 𝑟4] = [𝑟2, 𝑟4] = (𝑟2)−1∘ (𝑟4)−1∘ 𝑟2∘ 𝑟4
= 𝑟4 ∘ 𝑟2∘ 𝑟2∘ 𝑟4 = 1 Dengan cara yang sama maka diperoleh
[1,2𝑟4] = [𝑟,2𝑟4] = [𝑟2,2𝑟4] = [𝑟3,2𝑟4] = [𝑟4,2𝑟4] = [𝑟5,2𝑟4]
= [𝑠𝑟,2𝑟4] = [𝑠𝑟2,2𝑟4] = [𝑠𝑟3,2𝑟4] = [𝑠𝑟4,2𝑟4]
= [𝑠𝑟5,2𝑟4] = 1
Karena terdapat bilangan bulat tak-negatif 𝑚 = 2 yang memenuhi [𝑔,𝑚𝑟4] = 1 untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷12, maka dapat disimpulkan bahwa 𝑟4 merupakan elemen Engel kiri dari grup dihedral 𝐷12, khususnya 𝑟4 merupakan elemen 2-Engel kiri.
6. Komutator bernorma dari 𝑟5 ∈ 𝐷12
Berdasarkan definisi, untuk 𝑚 = 0 diperoleh [𝑥,𝑚𝑦] = [𝑥,0𝑦] = 𝑥. Jadi [𝑥,0𝑟5] = 𝑥, untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐷12.
Untuk 𝑚 = 1 diperoleh komutator bernorma [𝑔,1𝑟5] untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷12 adalah
[𝑠,1𝑟5] = [𝑠, 𝑟5] = 𝑠−1∘ (𝑟5)−1∘ 𝑠 ∘ 𝑟5 = 𝑠 ∘ 𝑟 ∘ 𝑠 ∘ 𝑟5 = 𝑟4 Dengan cara yang sama maka diperoleh
[1, 𝑟5] = [𝑟2, 𝑟5] = [𝑟3, 𝑟5] = [𝑟4, 𝑟5] = [𝑟5, 𝑟5] = 1 [𝑠𝑟, 𝑟5] = [𝑠𝑟2, 𝑟5] = [𝑠𝑟3, 𝑟5] = [𝑠𝑟4, 𝑟5] = [𝑠𝑟5, 𝑟5] = 𝑟4
Untuk 𝑚 = 2 diperoleh komutator bernorma [𝑔,2𝑟5] untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷12 adalah
[𝑠,2𝑟5] = [[𝑠, 𝑟5], 𝑟5] = [𝑟4, 𝑟5] = (𝑟4)−1∘ (𝑟5)−1∘ 𝑟4∘ 𝑟5
= 𝑟2 ∘ 𝑟 ∘ 𝑟4∘ 𝑟5= 1 Dengan cara yang sama maka diperoleh
[1,2𝑟5] = [𝑟,2𝑟5] = [𝑟2,2𝑟5] = [𝑟3,2𝑟5] = [𝑟4,2𝑟5] = [𝑟5,2𝑟5]
= [𝑠𝑟,2𝑟5] = [𝑠𝑟2,2𝑟5] = [𝑠𝑟3,2𝑟5] = [𝑠𝑟4,2𝑟5]
= [𝑠𝑟5,2𝑟5] = 1
Karena terdapat bilangan bulat tak-negatif 𝑚 = 2 yang memenuhi [𝑔,𝑚𝑟5] = 1 untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷12, maka dapat disimpulkan bahwa 𝑟5 merupakan elemen Engel kiri dari grup dihedral 𝐷12, khususnya 𝑟5 merupakan elemen 2-Engel kiri.
7. Komutator bernorma dari 𝑠 ∈ 𝐷12
Berdasarkan definisi, untuk 𝑚 = 0 diperoleh [𝑥,𝑚𝑦] = [𝑥,0𝑦] = 𝑥. Jadi [𝑥,0𝑠] = 𝑥, untuk sebarang 𝑥 ∈ 𝐷12.
Untuk 𝑚 = 1 diperoleh komutator bernorma [𝑔,1𝑠] untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷12 adalah
[𝑟2,1𝑠] = [𝑟2, 𝑠] = (𝑟2)−1∘ 𝑠−1∘ 𝑟2∘ 𝑠 = 𝑟4∘ 𝑠 ∘ 𝑟2∘ 𝑠 = 𝑟2
Dengan cara yang sama maka diperoleh
[1, 𝑠] = [𝑟3, 𝑠] = [𝑠, 𝑠] = [𝑠𝑟3, 𝑠] = 1 [𝑟5, 𝑠] = [𝑠𝑟2, 𝑠] = [𝑠𝑟5, 𝑠] = 𝑟2 [𝑟, 𝑠] = [𝑟4, 𝑠] = [𝑠𝑟, 𝑠] = [𝑠𝑟4, 𝑠] = 𝑟4
Perhatikan bahwa [𝑟2, 𝑠] = 𝑟2 sehingga untuk sebarang bilangan bulat positif 𝑚 menghasilkan [𝑟2,𝑚𝑠] = 𝑟2. Karena tidak terdapat bilangan bulat positif 𝑚 yang memenuhi [𝑟2,𝑚𝑠] = 1 untuk sebarang 𝑚, maka 𝑠 bukan merupakan elemen Engel kiri dari grup dihedral 𝐷12.
8. Komutator bernorma dari 𝑠𝑟 ∈ 𝐷12
Berdasarkan definisi, untuk 𝑚 = 0 diperoleh [𝑥,𝑚𝑦] = [𝑥,0𝑦] = 𝑥. Jadi [𝑥,0𝑠𝑟] = 𝑥, untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐷12.
Untuk 𝑚 = 1 diperoleh komutator bernorma [𝑔,1𝑠𝑟] untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷12 adalah
[𝑟2,1𝑠𝑟] = [𝑟2, 𝑠𝑟] = (𝑟2)−1∘ (𝑠𝑟)−1∘ 𝑟2∘ 𝑠𝑟 = 𝑟4∘ 𝑠𝑟 ∘ 𝑟2∘ 𝑠𝑟 = 𝑟2 Dengan cara yang sama maka diperoleh
[1, 𝑠𝑟] = [𝑟3, 𝑠𝑟] = [𝑠𝑟, 𝑠𝑟] = [𝑠𝑟4, 𝑠𝑟] = 1 [𝑟5, 𝑠𝑟] = [𝑠, 𝑠𝑟] = [𝑠𝑟3, 𝑠𝑟] = 𝑟2 [𝑟, 𝑠𝑟] = [𝑟4, 𝑠𝑟] = [𝑠𝑟2, 𝑠𝑟] = [𝑠𝑟5, 𝑠𝑟] = 𝑟4
Perhatikan bahwa [𝑟2, 𝑠𝑟] = 𝑟2 sehingga untuk sebarang bilangan bulat positif 𝑚 menghasilkan [𝑟2,𝑚𝑠𝑟] = 𝑟2. Karena tidak terdapat bilangan bulat positif 𝑚 yang memenuhi [𝑟2,𝑚𝑠𝑟] = 1 untuk sebarang 𝑚, maka 𝑠𝑟 bukan merupakan elemen Engel kiri dari grup dihedral 𝐷12.
9. Komutator bernorma dari 𝑠𝑟2 ∈ 𝐷12
Berdasarkan definisi, untuk 𝑚 = 0 diperoleh [𝑥,𝑚𝑦] = [𝑥,0𝑦] = 𝑥. Jadi [𝑥,0𝑠𝑟2] = 𝑥, untuk sebarang 𝑥 ∈ 𝐷12.
Untuk 𝑚 = 1 diperoleh komutator bernorma [𝑔,1𝑠𝑟2] untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷12 adalah
[𝑟2,1𝑠𝑟2] = [𝑟2, 𝑠𝑟2] = (𝑟2)−1∘ (𝑠𝑟2)−1∘ 𝑟2∘ 𝑠𝑟2 = 𝑟4∘ 𝑠𝑟2∘ 𝑟 ∘ 𝑠𝑟2
= 𝑟2
Dengan cara yang sama maka diperoleh
[1, 𝑠𝑟2] = [𝑟3, 𝑠𝑟2] = [𝑠𝑟2, 𝑠𝑟2] = [𝑠𝑟5, 𝑠𝑟2] = 1 [𝑟5, 𝑠𝑟2] = [𝑠𝑟, 𝑠𝑟2] = [𝑠𝑟4, 𝑠𝑟2] = 𝑟2 [𝑟, 𝑠𝑟2] = [𝑟4, 𝑠𝑟2] = [𝑠, 𝑠𝑟2] = [𝑠𝑟3, 𝑠𝑟2] = 𝑟4
Perhatikan bahwa [𝑟2, 𝑠𝑟2] = 𝑟2 sehingga untuk sebarang bilangan bulat positif 𝑚 menghasilkan [𝑟2,𝑚𝑠𝑟2] = 𝑟2. Karena tidak terdapat bilangan bulat positif 𝑚 yang memenuhi [𝑟2,𝑚𝑠𝑟2] = 1 untuk sebarang 𝑚, maka 𝑠𝑟2 bukan merupakan elemen Engel kiri dari grup dihedral 𝐷12.
10. Komutator bernorma dari 𝑠𝑟3 ∈ 𝐷12
Berdasarkan definisi, untuk 𝑚 = 0 diperoleh [𝑥,𝑚𝑦] = [𝑥,0𝑦] = 𝑥. Jadi [𝑥,0𝑠𝑟3] = 𝑥, untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐷12.
Untuk 𝑚 = 1 diperoleh komutator bernorma [𝑔,1𝑠𝑟3] untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷12 adalah
[𝑟2,1𝑠𝑟3] = [𝑟2, 𝑠𝑟3] = (𝑟2)−1∘ (𝑠𝑟3)−1∘ 𝑟2∘ 𝑠𝑟3= 𝑟4∘ 𝑠𝑟3∘ 𝑟2∘ 𝑠𝑟3
= 𝑟2
Dengan cara yang sama maka diperoleh
[1, 𝑠𝑟3] = [𝑟3, 𝑠𝑟3] = [𝑠, 𝑠𝑟3] = [𝑠𝑟3, 𝑠𝑟3] = 1
[𝑟5, 𝑠𝑟3] = [𝑠𝑟2, 𝑠𝑟3] = [𝑠𝑟5, 𝑠𝑟3] = 𝑟2 [𝑟, 𝑠𝑟3] = [𝑟4, 𝑠𝑟3] = [𝑠𝑟, 𝑠𝑟3] = [𝑠𝑟4, 𝑠𝑟3] = 𝑟4
Perhatikan bahwa [𝑟2, 𝑠𝑟3] = 𝑟2 sehingga untuk sebarang bilangan bulat positif 𝑚 menghasilkan [𝑟2,𝑚𝑠𝑟3] = 𝑟2. Karena tidak terdapat bilangan bulat positif 𝑚 yang memenuhi [𝑟2,𝑚𝑠𝑟3] = 1 untuk sebarang 𝑚, maka 𝑠𝑟3 bukan merupakan elemen Engel kiri dari grup dihedral 𝐷12.
11. Komutator bernorma dari 𝑠𝑟4 ∈ 𝐷12
Berdasarkan definisi, untuk 𝑚 = 0 diperoleh [𝑥,𝑚𝑦] = [𝑥,0𝑦] = 𝑥. Jadi [𝑥,0𝑟4] = 𝑥, untuk sebarang 𝑥 ∈ 𝐷12.
Untuk 𝑚 = 1 diperoleh komutator bernorma [𝑔,1𝑠𝑟4] untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷12 adalah
[𝑟2,1𝑠𝑟4] = [𝑟2, 𝑠𝑟4] = (𝑟2)−1∘ (𝑠𝑟4)−1∘ 𝑟2∘ 𝑠𝑟4= 𝑟4∘ 𝑠𝑟4∘ 𝑟2∘ 𝑠𝑟4
= 𝑟2
Dengan cara yang sama maka diperoleh
[1, 𝑠𝑟4] = [𝑟3, 𝑠𝑟4] = [𝑠𝑟, 𝑠𝑟4] = [𝑠𝑟4, 𝑠𝑟4] = 1 [𝑟5, 𝑠𝑟4] = [𝑠, 𝑠𝑟4] = [𝑠𝑟3, 𝑠𝑟4] = 𝑟2 [𝑟, 𝑠𝑟4] = [𝑟4, 𝑠𝑟4] = [𝑠𝑟2, 𝑠𝑟4] = [𝑠𝑟5, 𝑠𝑟4] = 𝑟4
Perhatikan bahwa [𝑟2, 𝑠𝑟4] = 𝑟2 sehingga untuk sebarang bilangan bulat positif 𝑚 menghasilkan [𝑟2,𝑚𝑠𝑟4] = 𝑟2. Karena tidak terdapat bilangan bulat positif 𝑚 yang memenuhi [𝑟2,𝑚𝑠𝑟4] = 1 untuk sebarang 𝑚 maka 𝑠𝑟4 bukan merupakan elemen Engel kiri dari grup dihedral 𝐷12.
12. Komutator bernorma dari 𝑠𝑟5 ∈ 𝐷12
Berdasarkan definisi, untuk 𝑚 = 0 diperoleh [𝑥,𝑚𝑦] = [𝑥,0𝑦] = 𝑥. Jadi [𝑥,0𝑟5] = 𝑥, untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐷12.
Untuk 𝑚 = 1 diperoleh komutator bernorma [𝑔,1𝑠𝑟5] untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷12 adalah
[𝑟2,1𝑠𝑟5] = [𝑟2, 𝑠𝑟5] = (𝑟2)−1∘ (𝑠𝑟5)−1∘ 𝑟2∘ 𝑠𝑟5= 𝑟4∘ 𝑠𝑟5∘ 𝑟2∘ 𝑠𝑟5
= 𝑟2
Dengan cara yang sama maka diperoleh
[1, 𝑠𝑟5] = [𝑟3, 𝑠𝑟5] = [𝑠𝑟2, 𝑠𝑟5] = [𝑠𝑟5, 𝑠𝑟5] = 1 [𝑟5, 𝑠𝑟5] = [𝑠𝑟, 𝑠𝑟5] = [𝑠𝑟4, 𝑠𝑟5] = 𝑟2 [𝑟, 𝑠𝑟5] = [𝑟4, 𝑠𝑟5] = [𝑠, 𝑠𝑟5] = [𝑠𝑟3, 𝑠𝑟5] = 𝑟4
Perhatikan bahwa [𝑟2, 𝑠𝑟5] = 𝑟2 sehingga untuk sebarang bilangan bulat positif 𝑚 menghasilkan [𝑟2,𝑚𝑠𝑟5] = 𝑟2. Karena tidak terdapat bilangan bulat positif 𝑚 yang memenuhi [𝑟2,𝑚𝑠𝑟5] = 1 untuk sebarang 𝑚, maka 𝑠𝑟5 bukan merupakan elemen Engel kiri dari grup dihedral 𝐷12.
Dari hasil perhitungan di atas, maka diperoleh elemen-elemen Engel kiri dari grup dihedral 𝐷12 adalah
𝐿1(𝐷12) = {1}
𝐿2(𝐷12) ∖ 𝐿1(𝐷12) = {𝑟, 𝑟2, 𝑟3, 𝑟4, 𝑟5} 𝐿(𝐷12) = {1, 𝑟, 𝑟2, 𝑟3, 𝑟4, 𝑟5}.
4.5 Elemen Engel Kiri dari dari Grup Dihedral-16 (𝑫𝟏𝟔,∘)
Grup dihedral 𝐷2𝑛 dengan 𝑛 = 8 adalah 𝐷16 = {1, 𝑟, 𝑟2, 𝑟3, 𝑟4, 𝑟5, 𝑟6, 𝑟7, 𝑠, 𝑠𝑟, 𝑠𝑟2, 𝑠𝑟3, 𝑠𝑟4, 𝑠𝑟5, 𝑠𝑟6, 𝑠𝑟7}.Berikutnya akan diselidiki elemen-elemen dari 𝐷24 yang merupakan elemen-elemen Engel kiri.
1. Komutator bernorma dari 1 ∈ 𝐷16
Berdasarkan definisi, untuk 𝑚 = 0 diperoleh [𝑥,𝑚𝑦] = [𝑥,0𝑦] = 𝑥. Jadi [𝑥,01] = 𝑥, untuk sebarang 𝑥 ∈ 𝐷16.
Untuk 𝑚 = 1 diperoleh komutator bernorma [𝑔,11] untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷12 adalah
[𝑟,11] = [𝑟, 1] = 𝑟−1∘ 1−1∘ 𝑟 ∘ 1 = 𝑟7∘ 1 ∘ 𝑟 ∘ 1 = 1 Dengan cara yang sama maka diperoleh
[1,1] = [𝑟2, 1] = [𝑟3, 1] = [𝑟4, 1] = [𝑟5, 1] = [𝑟6, 1] = [𝑟7, 1] = [𝑠, 1]
= [𝑠𝑟, 1] = [𝑠𝑟2, 1] = [𝑠𝑟3, 1] = [𝑠𝑟4, 1] = [𝑠𝑟5, 1]
= [𝑠𝑟6, 1] = [𝑠𝑟7, 1] = 1
Karena terdapat bilangan bulat tak-negatif 𝑚 = 1 yang memenuhi [𝑔,𝑚1] = 1 untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷16, maka dapat disimpulkan bahwa 1 merupakan elemen Engel kiri dari grup dihedral 𝐷16, khususnya 1 merupakan elemen 1-Engel kiri.
2. Komutator bernorma dari 𝑟 ∈ 𝐷16
Berdasarkan definisi, untuk 𝑚 = 0 diperoleh [𝑥,𝑚𝑦] = [𝑥,0𝑦] = 𝑥. Jadi [𝑥,0𝑟] = 𝑥, untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐷16.
Untuk 𝑚 = 1 diperoleh komutator bernorma [𝑔,1𝑟] untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷12 adalah
[𝑠,1𝑟] = [𝑠, 𝑟] = 𝑠−1∘ 𝑟−1∘ 𝑠 ∘ 𝑟 = 𝑠 ∘ 𝑟7∘ 𝑠 ∘ 𝑟 = 𝑟2 Dengan cara yang sama maka diperoleh
[1, 𝑟] = [𝑟, 𝑟] = [𝑟2, 𝑟] = [𝑟3, 𝑟] = [𝑟4, 𝑟] = [𝑟5, 𝑟] = [𝑟6, 𝑟] = [𝑟7, 𝑟]
= 1
[𝑠𝑟, 𝑟] = [𝑠𝑟2, 𝑟] = [𝑠𝑟3, 𝑟] = [𝑠𝑟4, 𝑟] = [𝑠𝑟5, 𝑟] = [𝑠𝑟6, 𝑟] = [𝑠𝑟7, 𝑟]
= 𝑟2
Untuk 𝑚 = 2 diperoleh komutator bernorma [𝑔,2𝑟] untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷12 adalah
[𝑠,2𝑟] = [[𝑠, 𝑟], 𝑟] = [𝑟2, 𝑟] = (𝑟2)−1∘ 𝑟−1∘ 𝑟2∘ 𝑟 = 𝑟6∘ 𝑟7∘ 𝑟2∘ 𝑟
= 1
Dengan cara yang sama maka diperoleh
[1,2𝑟] = [𝑟,2𝑟] = [𝑟2,2𝑟] = [𝑟3,2𝑟] = [𝑟4,2𝑟] = [𝑟5,2𝑟] = [𝑟6,2𝑟]
= [𝑟7,2𝑟] = [𝑠𝑟,2𝑟] = [𝑠𝑟2,2𝑟] = [𝑠𝑟3,2𝑟] = [𝑠𝑟4,2𝑟]
= [𝑠𝑟5,2𝑟] = [𝑠𝑟6,2𝑟] = [𝑠𝑟7,2𝑟] = 1
Karena terdapat bilangan bulat tak-negatif 𝑚 = 2 yang memenuhi [𝑔,𝑚𝑟] = 1 untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷24, maka dapat disimpulkan bahwa 𝑟 merupakan elemen Engel kiri dari grup dihedral 𝐷24, khususnya 𝑟 merupakan elemen 2-Engel kiri.
3. Komutator bernorma dari 𝑟2 ∈ 𝐷16
Berdasarkan definisi, untuk 𝑚 = 0 diperoleh [𝑥,𝑚𝑦] = [𝑥,0𝑦] = 𝑥. Jadi [𝑥,0𝑟2] = 𝑥, untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐷16.
Untuk 𝑚 = 1 diperoleh komutator bernorma [𝑔,1𝑟2] untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷12 adalah
[𝑠,1𝑟2] = [𝑠, 𝑟2] = 𝑠−1∘ (𝑟2)−1∘ 𝑠 ∘ 𝑟2 = 𝑠 ∘ 𝑟6∘ 𝑠 ∘ 𝑟2 = 𝑟4 Dengan cara yang sama maka diperoleh
[1, 𝑟2] = [𝑟, 𝑟2] = [𝑟2, 𝑟2] = [𝑟3, 𝑟2] = [𝑟4, 𝑟2] = [𝑟5, 𝑟2] = [𝑟6, 𝑟2]
= [𝑟7, 𝑟2] = 1
[𝑠𝑟, 𝑟2] = [𝑠𝑟2, 𝑟2] = [𝑠𝑟3, 𝑟2] = [𝑠𝑟4, 𝑟2] = [𝑠𝑟5, 𝑟2] = [𝑠𝑟6, 𝑟2]
= [𝑠𝑟7, 𝑟2] = 𝑟4
Untuk 𝑚 = 2 diperoleh komutator bernorma [𝑔,2𝑟2] untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷12 adalah
[𝑠,2𝑟2] = [[𝑠, 𝑟2], 𝑟2] = [𝑟4, 𝑟2] = (𝑟4)−1∘ (𝑟2)−1∘ 𝑟4∘ 𝑟2
= 𝑟4 ∘ 𝑟6∘ 𝑟4∘ 𝑟2 = 1 Dengan cara yang sama maka diperoleh
[1,2𝑟2] = [𝑟,2𝑟2] = [𝑟2,2𝑟2] = [𝑟3,2𝑟2] = [𝑟4,2𝑟2] = [𝑟5,2𝑟2]
= [𝑟6,2𝑟2] = [𝑟7,2𝑟2] = [𝑠𝑟,2𝑟2] = [𝑠𝑟2,2𝑟2]
= [𝑠𝑟3,2𝑟2] = [𝑠𝑟4,2𝑟2] = [𝑠𝑟5,2𝑟2] = [𝑠𝑟6,2𝑟2]
= [𝑠𝑟7,2𝑟2] = 1
Karena terdapat bilangan bulat tak-negatif 𝑚 = 2 yang memenuhi [𝑔,𝑚𝑟2] = 1 untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷16, maka dapat disimpulkan bahwa 𝑟2 merupakan elemen Engel kiri dari grup dihedral 𝐷16, khususnya 𝑟2 merupakan elemen 2-Engel kiri.
4. Komutator bernorma dari 𝑟3 ∈ 𝐷16
Berdasarkan definisi, untuk 𝑚 = 0 diperoleh [𝑥,𝑚𝑦] = [𝑥,0𝑦] = 𝑥. Jadi [𝑥,0𝑟3] = 𝑥, untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐷16.
Untuk 𝑚 = 1 diperoleh komutator bernorma [𝑔,1𝑟3] untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷12 adalah
[𝑠,1𝑟3] = [𝑠, 𝑟3] = 𝑠−1∘ (𝑟3)−1∘ 𝑠 ∘ 𝑟3 = 𝑠 ∘ 𝑟5∘ 𝑠 ∘ 𝑟3 = 𝑟6 Dengan cara yang sama maka diperoleh
[1, 𝑟3] = [𝑟, 𝑟3] = [𝑟2, 𝑟3] = [𝑟3, 𝑟3] = [𝑟4, 𝑟3] = [𝑟5, 𝑟3] = [𝑟6, 𝑟3]
= [𝑟7, 𝑟3] = 1
[𝑠𝑟, 𝑟3] = [𝑠𝑟2, 𝑟3] = [𝑠𝑟3, 𝑟3] = [𝑠𝑟4, 𝑟3] = [𝑠𝑟5, 𝑟3] = [𝑠𝑟6, 𝑟3]
= [𝑠𝑟7, 𝑟3] = 𝑟6
Untuk 𝑚 = 2 diperoleh komutator bernorma [𝑔,2𝑟3] untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷12 adalah
[𝑠,2𝑟3] = [[𝑠, 𝑟3], 𝑟3] = [𝑟6, 𝑟3] = (𝑟6)−1∘ (𝑟3)−1∘ 𝑟6∘ 𝑟3
= 𝑟2 ∘ 𝑟5∘ 𝑟6∘ 𝑟3 = 1 Dengan cara yang sama maka diperoleh
[1,2𝑟3] = [𝑟,2𝑟3] = [𝑟2,2𝑟3] = [𝑟3,2𝑟3] = [𝑟4,2𝑟3] = [𝑟5,2𝑟3]
= [𝑟6,2𝑟3] = [𝑟7,2𝑟3] = [𝑠𝑟,2𝑟3] = [𝑠𝑟2,2𝑟3]
= [𝑠𝑟3,2𝑟3] = [𝑠𝑟4,2𝑟3] = [𝑠𝑟5,2𝑟3] = [𝑠𝑟6,2𝑟3]
= [𝑠𝑟7,2𝑟3] = 1
Karena terdapat bilangan bulat tak-negatif 𝑚 = 2 yang memenuhi [𝑔,𝑚𝑟3] = 1 untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷16, maka dapat disimpulkan bahwa 𝑟3 merupakan elemen Engel kiri dari grup dihedral 𝐷16, khususnya 𝑟3 merupakan elemen 2-Engel kiri.
5. Komutator bernorma dari 𝑟4 ∈ 𝐷16
Berdasarkan definisi, untuk 𝑚 = 0 diperoleh [𝑥,𝑚𝑦] = [𝑥,0𝑦] = 𝑥. Jadi [𝑥,0𝑟4] = 𝑥, untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐷16.
Untuk 𝑚 = 1 diperoleh komutator bernorma [𝑔,1𝑟4] untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷12 adalah
[𝑠,1𝑟4] = [𝑠, 𝑟4] = 𝑠−1∘ (𝑟4)−1∘ 𝑠 ∘ 𝑟4 = 𝑠 ∘ 𝑟4∘ 𝑠 ∘ 𝑟4 = 1 Dengan cara yang sama maka diperoleh
[1, 𝑟4] = [𝑟2, 𝑟4] = [𝑟3, 𝑟4] = [𝑟4, 𝑟4] = [𝑟5, 𝑟4] = [𝑟6, 𝑟4] = [𝑟7, 𝑟4]
= [𝑟8, 𝑟4] = [𝑟9, 𝑟4] = [𝑟10, 𝑟4] = [𝑟11, 𝑟4] = [𝑠𝑟, 𝑟4]
= [𝑠𝑟2, 𝑟4] = [𝑠𝑟3, 𝑟4] = [𝑠𝑟4, 𝑟4] = [𝑠𝑟5, 𝑟4] = [𝑠𝑟6, 𝑟4]
= [𝑠𝑟7, 𝑟4] = [𝑠𝑟8, 𝑟4] = [𝑠𝑟9, 𝑟4] = [𝑠𝑟10, 𝑟4]
= [𝑠𝑟11, 𝑟4] = 1
Karena terdapat bilangan bulat tak-negatif 𝑚 = 1 yang memenuhi [𝑔,𝑚𝑟4] = 1 untuk setiap 𝑔 ∈ 𝐷16, maka dapat disimpulkan bahwa 𝑟4 merupakan elemen Engel kiri dari grup dihedral 𝐷16, khususnya 𝑟4 merupakan elemen 1-Engel kiri.
6. Komutator bernorma dari 𝑟5 ∈ 𝐷16
Berdasarkan definisi, untuk 𝑚 = 0 diperoleh [𝑥,𝑚𝑦] = [𝑥,0𝑦] = 𝑥. Jadi [𝑥,0𝑟5] = 𝑥, untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐷16.
Untuk 𝑚 = 1 diperoleh komutator bernorma [𝑔,1𝑟5] untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷12 adalah
[𝑠,1𝑟5] = [𝑠, 𝑟5] = 𝑠−1∘ (𝑟5)−1∘ 𝑠 ∘ 𝑟5 = 𝑠 ∘ 𝑟3∘ 𝑠 ∘ 𝑟5 = 𝑟2 Dengan cara yang sama maka diperoleh
[1, 𝑟5] = [𝑟2, 𝑟5] = [𝑟3, 𝑟5] = [𝑟4, 𝑟5] = [𝑟5, 𝑟5] = [𝑟6, 𝑟5] = [𝑟7, 𝑟5]
= 1
[𝑠𝑟, 𝑟5] = [𝑠𝑟2, 𝑟5] = [𝑠𝑟3, 𝑟5] = [𝑠𝑟4, 𝑟5] = [𝑠𝑟5, 𝑟5] = [𝑠𝑟6, 𝑟5]
= [𝑠𝑟7, 𝑟5] = 𝑟10
Untuk 𝑚 = 2 diperoleh komutator bernorma [𝑔,2𝑟5] untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷12 adalah
[𝑠,2𝑟5] = [[𝑠, 𝑟5], 𝑟5] = [𝑟2, 𝑟5] = (𝑟2)−1∘ (𝑟5)−1∘ 𝑟2∘ 𝑟5
= 𝑟6 ∘ 𝑟3∘ 𝑟2∘ 𝑟5 = 1
Dengan cara yang sama maka diperoleh
[1,2𝑟5] = [𝑟,2𝑟5] = [𝑟2,2𝑟5] = [𝑟3,2𝑟5] = [𝑟4,2𝑟5] = [𝑟5,2𝑟5]
= [𝑟6,2𝑟5] = [𝑟7,2𝑟5] = [𝑠𝑟,2𝑟5] = [𝑠𝑟2,2𝑟5]
= [𝑠𝑟3,2𝑟5] = [𝑠𝑟4,2𝑟5] = [𝑠𝑟5,2𝑟5] = [𝑠𝑟6,2𝑟5]
= [𝑠𝑟7,2𝑟5] = 1
Karena terdapat bilangan bulat tak-negatif 𝑚 = 2 yang memenuhi [𝑔,𝑚𝑟5] = 1 untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷16, maka dapat disimpulkan bahwa 𝑟5 merupakan elemen Engel kiri dari grup dihedral 𝐷16, khususnya 𝑟5 merupakan elemen 2-Engel kiri.
7. Komutator bernorma dari 𝑟6 ∈ 𝐷16
Berdasarkan definisi, untuk 𝑚 = 0 diperoleh [𝑥,𝑚𝑦] = [𝑥,0𝑦] = 𝑥. Jadi [𝑥,0𝑟6] = 𝑥, untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐷16.
Untuk 𝑚 = 1 diperoleh komutator bernorma [𝑔,1𝑟6] untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷12 adalah
[𝑠,1𝑟6] = [𝑠, 𝑟6] = 𝑠−1∘ (𝑟6)−1∘ 𝑠 ∘ 𝑟6 = 𝑠 ∘ 𝑟2∘ 𝑠 ∘ 𝑟6 = 1 Dengan cara yang sama maka diperoleh
[1, 𝑟6] = [𝑟2, 𝑟6] = [𝑟3, 𝑟6] = [𝑟4, 𝑟6] = [𝑟5, 𝑟6] = [𝑟6, 𝑟6] = [𝑟7, 𝑟6]
= 1
[𝑠𝑟, 𝑟6] = [𝑠𝑟2, 𝑟6] = [𝑠𝑟3, 𝑟6] = [𝑠𝑟4, 𝑟6] = [𝑠𝑟5, 𝑟6] = [𝑠𝑟6, 𝑟6]
= [𝑠𝑟7, 𝑟6] = 𝑟4
Untuk 𝑚 = 2 diperoleh komutator bernorma [𝑔,2𝑟6] untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷12 adalah
[𝑠,2𝑟6] = [[𝑠, 𝑟6], 𝑟6] = [𝑟4, 𝑟6] = (𝑟4)−1∘ (𝑟6)−1∘ 𝑟4∘ 𝑟6
= 𝑟4 ∘ 𝑟2∘ 𝑟4∘ 𝑟6 = 1
Dengan cara yang sama maka diperoleh
[1,2𝑟6] = [𝑟,2𝑟6] = [𝑟2,2𝑟6] = [𝑟3,2𝑟6] = [𝑟4,2𝑟6] = [𝑟5,2𝑟6]
= [𝑟6,2𝑟6] = [𝑟7,2𝑟6] = [𝑠𝑟,2𝑟6] = [𝑠𝑟2,2𝑟6]
= [𝑠𝑟3,2𝑟6] = [𝑠𝑟4,2𝑟6] = [𝑠𝑟5,2𝑟6] = [𝑠𝑟6,2𝑟6]
= [𝑠𝑟7,2𝑟6] = 1
Karena terdapat bilangan bulat tak-negatif 𝑚 = 2 yang memenuhi [𝑔,𝑚𝑟6] = 1 untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷16, maka dapat disimpulkan bahwa 𝑟6 merupakan elemen Engel kiri dari grup dihedral 𝐷16, khususnya 𝑟6 merupakan elemen 2-Engel kiri.
8. Komutator bernorma dari 𝑟7 ∈ 𝐷16
Berdasarkan definisi, untuk 𝑚 = 0 diperoleh [𝑥,𝑚𝑦] = [𝑥,0𝑦] = 𝑥. Jadi [𝑥,0𝑟7] = 𝑥, untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐷16.
Untuk 𝑚 = 1 diperoleh komutator bernorma [𝑔,1𝑟7] untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷12 adalah
[𝑠,1𝑟7] = [𝑠, 𝑟7] = 𝑠−1∘ (𝑟7)−1∘ 𝑠 ∘ 𝑟7 = 𝑠 ∘ 𝑟 ∘ 𝑠 ∘ 𝑟7 = 𝑟6 Dengan cara yang sama maka diperoleh
[1, 𝑟7] = [𝑟2, 𝑟7] = [𝑟3, 𝑟7] = [𝑟4, 𝑟7] = [𝑟5, 𝑟7] = [𝑟6, 𝑟7] = [𝑟7, 𝑟7]
= 1
[𝑠𝑟, 𝑟7] = [𝑠𝑟2, 𝑟7] = [𝑠𝑟3, 𝑟7] = [𝑠𝑟4, 𝑟7] = [𝑠𝑟5, 𝑟7] = [𝑠𝑟6, 𝑟7]
= [𝑠𝑟7, 𝑟7] = 𝑟2
Untuk 𝑚 = 2 diperoleh komutator bernorma [𝑔,2𝑟7] untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷12 adalah
[𝑠,2𝑟7] = [[𝑠, 𝑟7], 𝑟7] = [𝑟6, 𝑟7] = (𝑟6)−1∘ (𝑟7)−1∘ 𝑟6∘ 𝑟7
= 𝑟2 ∘ 𝑟 ∘ 𝑟6∘ 𝑟7= 1
Dengan cara yang sama maka diperoleh
[1,2𝑟7] = [𝑟,2𝑟7] = [𝑟2,2𝑟7] = [𝑟3,2𝑟7] = [𝑟4,2𝑟7] = [𝑟5,2𝑟7]
= [𝑟6,2𝑟7] = [𝑟7,2𝑟7] = [𝑠𝑟,2𝑟7] = [𝑠𝑟2,2𝑟7]
= [𝑠𝑟3,2𝑟7] = [𝑠𝑟4,2𝑟7] = [𝑠𝑟5,2𝑟7] = [𝑠𝑟6,2𝑟7]
= [𝑠𝑟7,2𝑟7] = 1
Karena terdapat bilangan bulat tak-negatif 𝑚 = 2 yang memenuhi [𝑔,𝑚𝑟7] = 1 untuk setiap 𝑔 ∈ 𝐷16, maka dapat disimpulkan bahwa 𝑟7 merupakan elemen Engel kiri dari grup dihedral 𝐷16, khususnya 𝑟7 merupakan elemen 2-Engel kiri.
9. Komutator bernorma dari 𝑠 ∈ 𝐷16
Berdasarkan definisi, untuk 𝑚 = 0 diperoleh [𝑥,𝑚𝑦] = [𝑥,0𝑦] = 𝑥. Jadi [𝑥,0𝑠] = 𝑥, untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐷16.
Untuk 𝑚 = 1 diperoleh komutator bernorma [𝑔,1𝑠] untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷12 adalah
[𝑟,1𝑠] = [𝑟, 𝑠] = 𝑟−1∘ 𝑠−1∘ 𝑟 ∘ 𝑠 = 𝑟7∘ 𝑠 ∘ 𝑟 ∘ 𝑠 = 𝑟6 Dengan cara yang sama maka diperoleh
[1, 𝑠] = [𝑟4, 𝑠] = [𝑠, 𝑠] = [𝑠𝑟4, 𝑠] = 1 [𝑟3, 𝑠] = [𝑟7, 𝑠] = [𝑠𝑟3, 𝑠] = [𝑠𝑟7, 𝑠] = 𝑟2 [𝑟2, 𝑠] = [𝑠𝑟6, 𝑠] = [𝑠𝑟2, 𝑠] = [𝑠𝑟6, 𝑠] = 𝑟4
[𝑟5, 𝑠] = [𝑠𝑟, 𝑠] = [𝑠𝑟5, 𝑠] = 𝑟6
Untuk 𝑚 = 2 diperoleh komutator bernorma [𝑔,2𝑠] untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷12 adalah
[𝑟,2𝑠] = [[𝑟, 𝑠], 𝑠] = [𝑟6, 𝑠] = (𝑟6)−1∘ 𝑠−1∘ 𝑟6∘ 𝑠 = 𝑟2∘ 𝑠 ∘ 𝑟6∘ 𝑠 = 𝑟4 Dengan cara yang sama maka diperoleh
[1,2𝑠] = [𝑟2,2𝑠] = [𝑟4,2𝑠] = [𝑟6,2𝑠] = [𝑠,2𝑠] = [𝑠𝑟2,2𝑠] = [𝑠𝑟4,2𝑠]
= [𝑠𝑟6,2𝑠] = 1
[𝑟3,2𝑠] = [𝑟5,2𝑠] = [𝑟7,2𝑠] = [𝑠𝑟,2𝑠] = [𝑠𝑟3,2𝑠] = [𝑠𝑟5,2𝑠] = [𝑠𝑟7,2𝑠]
= 𝑟4
Untuk 𝑚 = 3 diperoleh komutator bernorma [𝑔,3𝑠] untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷12 adalah
[𝑟,3𝑠] = [[𝑟,2𝑠], 𝑠] = [𝑟4, 𝑠] = (𝑟4)−1∘ 𝑠−1∘ 𝑟4∘ 𝑠 = 𝑟4∘ 𝑠 ∘ 𝑟4 ∘ 𝑠 = 1 Dengan cara yang sama maka diperoleh
[1,3𝑠] = [𝑟2,3𝑠] = [𝑟4,3𝑠] = [𝑟6,3𝑠] = [𝑠,3𝑠] = [𝑠𝑟2,3𝑠] = [𝑠𝑟4,3𝑠]
= [𝑠𝑟6,3𝑠] = [𝑟3,3𝑠] = [𝑟5,3𝑠] = [𝑟7,3𝑠] = [𝑠𝑟,3𝑠]
= [𝑠𝑟3,3𝑠] = [𝑠𝑟5,3𝑠] = [𝑠𝑟7,3𝑠] = 1
Karena terdapat bilangan bulat tak-negatif 𝑚 = 3 yang memenuhi [𝑔,𝑚3] = 1 untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷16, maka dapat disimpulkan bahwa 𝑠 merupakan elemen Engel kiri dari grup dihedral 𝐷16, khususnya 𝑠 merupakan elemen 3-Engel kiri.
10. Komutator bernorma dari 𝑠𝑟 ∈ 𝐷16
Berdasarkan definisi, untuk 𝑚 = 0 diperoleh [𝑥,𝑚𝑦] = [𝑥,0𝑦] = 𝑥. Jadi [𝑥,0𝑠𝑟] = 𝑥, untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐷16.
Untuk 𝑚 = 1 diperoleh komutator bernorma [𝑔,1𝑠𝑟] untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷12 adalah
[𝑟,1𝑠𝑟] = [𝑟, 𝑠𝑟] = 𝑟−1∘ (𝑠𝑟)−1∘ 𝑟 ∘ 𝑠𝑟 = 𝑟7∘ 𝑠𝑟 ∘ 𝑟 ∘ 𝑠𝑟 = 𝑟6 Dengan cara yang sama maka diperoleh
[1, 𝑠𝑟] = [𝑟4, 𝑠𝑟] = [𝑠𝑟, 𝑠𝑟] = [𝑠𝑟5, 𝑠𝑟] = 1 [𝑟3, 𝑠𝑟] = [𝑟7, 𝑠𝑟] = [𝑠, 𝑠𝑟] = [𝑠𝑟4, 𝑠𝑟] = 𝑟2
[𝑟2, 𝑠𝑟] = [𝑠𝑟6, 𝑠𝑟] = [𝑠𝑟3, 𝑠𝑟] = [𝑠𝑟7, 𝑠𝑟] = 𝑟4 [𝑟5, 𝑠𝑟] = [𝑠𝑟2, 𝑠𝑟] = [𝑠𝑟6, 𝑠𝑟] = 𝑟6
Untuk 𝑚 = 2 diperoleh komutator bernorma [𝑔,2𝑠𝑟] untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷12 adalah
[𝑟,2𝑠𝑟] = [[𝑟, 𝑠𝑟], 𝑠𝑟] = [𝑟6, 𝑠𝑟] = (𝑟6)−1∘ (𝑠𝑟)−1∘ 𝑟6∘ 𝑠𝑟
= 𝑟2∘ 𝑠𝑟 ∘ 𝑟6∘ 𝑠𝑟 = 𝑟4 Dengan cara yang sama maka diperoleh
[1,2𝑠𝑟] = [𝑟2,2𝑠𝑟] = [𝑟4,2𝑠𝑟] = [𝑟6,2𝑠𝑟] = [𝑠𝑟,2𝑠𝑟] = [𝑠𝑟3,2𝑠𝑟]
= [𝑠𝑟5,2𝑠𝑟] = [𝑠𝑟7,2𝑠𝑟] = 1
[𝑟3,2𝑠𝑟] = [𝑟5,2𝑠𝑟] = [𝑟7,2𝑠𝑟] = [𝑠,2𝑠𝑟] = [𝑠𝑟2,2𝑠𝑟] = [𝑠𝑟4,2𝑠𝑟]
= [𝑠𝑟6,2𝑠𝑟] = 𝑟4
Untuk 𝑚 = 3 diperoleh komutator bernorma [𝑔,3𝑠𝑟] untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷12 adalah
[𝑟,3𝑠𝑟] = [[𝑟,2𝑠𝑟], 𝑠𝑟] = [𝑟4, 𝑠𝑟] = (𝑟4)−1∘ (𝑠𝑟)−1∘ 𝑟4∘ 𝑠𝑟
= 𝑟4∘ 𝑠𝑟 ∘ 𝑟4∘ 𝑠𝑟 = 1 Dengan cara yang sama maka diperoleh
[1,3𝑠𝑟] = [𝑟2,3𝑠𝑟] = [𝑟4,3𝑠𝑟] = [𝑟6,3𝑠𝑟] = [𝑠,3𝑠𝑟] = [𝑠𝑟2,3𝑠𝑟]
= [𝑠𝑟4,3𝑠𝑟] = [𝑠𝑟6,3𝑠𝑟] = [𝑟3,3𝑠𝑟] = [𝑟5,3𝑠𝑟]
= [𝑟7,3𝑠𝑟] = [𝑠𝑟,3𝑠𝑟] = [𝑠𝑟3,3𝑠𝑟] = [𝑠𝑟5,3𝑠𝑟]
= [𝑠𝑟7,3𝑠𝑟] = 1
Karena terdapat bilangan bulat tak-negatif 𝑚 = 3 yang memenuhi [𝑔,𝑚3] = 1 untuk setiap 𝑔 ∈ 𝐷16, maka dapat disimpulkan bahwa 𝑠𝑟 merupakan elemen Engel kiri dari grup dihedral 𝐷16, khususnya 𝑠𝑟 merupakan elemen 3-Engel kiri.
11. Komutator bernorma dari 𝑠𝑟2 ∈ 𝐷16
Berdasarkan definisi, untuk 𝑚 = 0 diperoleh [𝑥,𝑚𝑦] = [𝑥,0𝑦] = 𝑥. Jadi [𝑥,0𝑠𝑟2] = 𝑥, untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐷16.
Untuk 𝑚 = 1 diperoleh komutator bernorma [𝑔,1𝑠𝑟2] untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷12 adalah
[𝑟,1𝑠𝑟2] = [𝑟, 𝑠𝑟2] = 𝑟−1∘ (𝑠𝑟2)−1∘ 𝑟 ∘ 𝑠𝑟2 = 𝑟7∘ 𝑠𝑟2∘ 𝑟 ∘ 𝑠𝑟2 = 𝑟6 Dengan cara yang sama maka diperoleh
[1, 𝑠𝑟2] = [𝑟4, 𝑠𝑟2] = [𝑠𝑟2, 𝑠𝑟2] = [𝑠𝑟6, 𝑠𝑟2] = 1 [𝑟3, 𝑠𝑟2] = [𝑟7, 𝑠𝑟2] = [𝑠𝑟, 𝑠𝑟2] = [𝑠𝑟5, 𝑠𝑟2] = 𝑟2
[𝑟2, 𝑠𝑟2] = [𝑟6, 𝑠𝑟2] = [𝑠, 𝑠𝑟2] = [𝑠𝑟4, 𝑠𝑟2] = 𝑟4 [𝑟5, 𝑠𝑟2] = [𝑠𝑟3, 𝑠𝑟2] = [𝑠𝑟7, 𝑠𝑟2] = 𝑟6
Untuk 𝑚 = 2 diperoleh komutator bernorma [𝑔,2𝑠𝑟2] untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷12 adalah
[𝑟,2𝑠𝑟2] = [[𝑟, 𝑠𝑟2], 𝑠𝑟2] = [𝑟6, 𝑠𝑟2] = (𝑟6)−1∘ (𝑠𝑟2)−1∘ 𝑟6∘ 𝑠𝑟2
= 𝑟2∘ 𝑠𝑟2∘ 𝑟6∘ 𝑠𝑟2 = 𝑟4 Dengan cara yang sama maka diperoleh
[1,2𝑠𝑟2] = [𝑟2,2𝑠𝑟2] = [𝑟4,2𝑠𝑟2] = [𝑟6,2𝑠𝑟2] = [𝑠,2𝑠𝑟2] = [𝑠𝑟2,2𝑠𝑟2]
= [𝑠𝑟4,2𝑠𝑟2] = [𝑠𝑟6,2𝑠𝑟2] = 1
[𝑟3,2𝑠𝑟2] = [𝑟5,2𝑠𝑟2] = [𝑟7,2𝑠𝑟2] = [𝑠𝑟,2𝑠𝑟2] = [𝑠𝑟3,2𝑠𝑟2]
= [𝑠𝑟5,2𝑠𝑟2] = [𝑠𝑟7,2𝑠𝑟2] = 𝑟4
Untuk 𝑚 = 3 diperoleh komutator bernorma [𝑔,3𝑠𝑟2] untuk sebarang 𝑔 ∈ 𝐷12 adalah
[𝑟,3𝑠𝑟2] = [[𝑟,2𝑠𝑟2], 𝑠𝑟2] = [𝑟4, 𝑠𝑟2] = (𝑟4)−1∘ (𝑠𝑟2)−1∘ 𝑟4∘ 𝑠𝑟2
= 𝑟4∘ 𝑠𝑟2∘ 𝑟4∘ 𝑠𝑟2 = 1