BAB V PERSAMAAN TIGA MOMEN
5.2 Langkah-langkah Metode Persamaan Tiga Momen
Tentukan apakah struktur statis tak tentu tersebut mempunyai pergoyangan , dengan rumus :
n = 2j- (m+2f+2h+R)
Kalau n < 0, berarti stuktur tersebut tidak bergoyang.
Kalau ada pergoyangan, gambarkan bentuk pergoyangan dan tentukan arah rotasi batang–batang akibat pergoyangan tersebut. Dalam menggambarkan bentuk pergoyangan ada dua ketentuan yang harus diperhatikan yaitu :
• Batang tidak berubah panjang, Suatu batang ( ij ) kalau joint i bergerak ke kanan sebesar ∆ , maka joint j juga akan berpindah ke kanan sebesar ∆.
• Batang dapat berotasi akibat perpindahan relatif ujung-ujung batang. Perpindahan relatif antara ujung-ujung batang dapat digambarkan tegak lurus sumbu batang dan arah rotasi digambarkan dari arah asli sumbu batang ke arah sumbu batang setelah bergoyang.
∆ ∆ i’ i j j’ L (a) j i θ ij L j’ θji ∆ θij = θji = L ∆ (b)
Gambarkan permisalan arah momen-momen batang. Untuk momen kantilever, dapat dihitung besarnya dan ditentukan secara pasti arah putarannya, sedangkan untuk momen- momen batang yang lain besar maupun arahnya dimisalkan dengan mengingat ketentuan bahwa jumlah momen-momen batang yang bertemu pada satu titik simpul sama dengan nol. Jadi kalau pada satu titik simpul bertemu dua batang , maka besarnya momen-momen batang tadi sama, tetapi arahnya berlawanan. Dari langkah langkah yang telah dikerjakan diatas dapat ditentukan jumlah
variablenya, yaitu momen-mpmen batang yang belum diketahui besarnya dan perpidahan relatif ujung batang (∆) kalau ada goyangan.
Gambarkan pemisalan bentuk garis elastis struktur. Untuk menggambarkan permisalan bentuk garis elastis struktur, harus mengingat ketentuan bahwa rotasi batang-batang yang bertemu pada satu titik simpul adalah sama, besar maupun arahnya. Jadi kalau salah satu batang yang bertemu pada satu titik dimisalkan rotasinya searah jarum jam, maka batang-batang yang lain yang bertemu pada titik simpul tersebut harus digambarkan dengan arah rotasi yang sama yaitu searah jarum jam.
Untuk menghitung variabel-variabel diatas, susunlah persamaan-persamaan sejumlah variable yang ada. Penyusunan persamaan–persamaan tersebut berdasarkan ketentuan keseimbangan momen dan rotasi batang-batang pada titik simpul atau perletakan.
• Momen batang-batang yang bertemu pada satu titik simpul sama dengan nol. Untuk momen batang yang digambarkan dengan arah sama, diberi tanda sama. Misalnya kalau searah jarum jam diberi tanda positif (+). Maka yang berlawanan arah jarum jam diberi tanda negatif (-), atau sebaliknya .
• Rotasi batang dengan perletakan jepit sama dengan nol.
• Rotasi batang-batang yang bertemu pada satu titik simpul sama besar maupun arahnya. Untuk menyusun persamaan rotasi harus memperhatikan permisalan garis elastis (rotasi batang) dengan beban dan momen – momen yang ada pada batang tersebut. Kalau arah rotasi batang pada permisalan garis elastis sesuai dengan rotasi batang yang diakibatkan oleh beban dan momen batang yang bekerja diberi tanda positif (+) , kalau sebaliknya diberi tanda negatif (-).
• Kalau ada variabel pergoyangan (∆) maka perlu tambahan persamaan keseimbangan struktur. Disini kita buat perhitungan free body diagram dengan arah momen-momen batang seperti yang dimisalkan, sehingga kita mendapatkan satu persamaan yang menghubungkan antara variable satu dengan yang lainnya. Dari persamaan-persamaan yang disusun diatas, maka variable-variable yang
berupa momen-momen batang tadi dapat dihitung besarnya. Kalau nilai variable yang didapat positif (+), maka arah momen permisalan benar, sedangkan kalau nilainya negatif (-), maka arah momen yang dimisalkan terbalik.
Setelah momen-momen diperoleh, dengan perhitungan keseimbangan tiap-tiap batang (free body diagram), bidang momen, gaya lintang dan gaya normal dari struktur statis tidak tertemtu tersebut dapat digambarkan.
Contoh langkah-langkah perhitungan dengan metoda persamaan tiga momen
1. Balok diatas tiga tumpuan, A
jepit, B dan C rol. Dengan beban seperti tergambar :
n = 2j-(m+2f+ 2h+2) n = 2x3 – (2+2x1+2x0+2) n = 0
( Tidak ada penggoyangan ) Pemisalan momen batang: MCD = ½ (q )l2 + P x 2 =1/2 (1)2 + 1 x 2 = 4 tm Σ MC = 0 MCB = 4 TM Σ MB = 0 MBA + MBC =0 MBA = - MBC (sama besar, berlawanan arah, MB ) A jepit, ada MA q = 1 t/m P = 1 t A 6 m 2 m B C 6 m EI EI EI D P = 1 t A B D C MA MB MC =4 tm A B C D θ BA θ BC a). Balok statis tidak tertentu
b). Permisalan arah momen batang
c). Permisalan garis elastis
Gambar 2.2 Penyelesaian dengan persamaan tiga momen
• Variabel yang ada : MA dan MB. Berarti ada dua buah variabel • Permisalan garis elastis.
Salah satu batang dimisalkan dulu, misalnya batang AB melendut ke bawah berarti rotasi BA berlawanan arah jarum jam. Maka batang yang lain mengikuti dengan mengingat rotasi batang-batang yang bertemu pada satu titik simpul sama besar maupun arahnya.
• Menyusun persamaan :
Karena ada dua variable ( MA dan MB ) maka butuh dua persamaan.
- Dari persamaan keseimbangan momen, telah dipenuhi dari pemisalan arah momen batang
- Dari persamaan rotasi batang-batang : A jepit θAB = 0 (1)
Titik B θBA= θBC (2)
• Dari dua persamaan tersebut , MA dan MB dapat dihitung, setelah momen momen batang didapat, dengan perhitungan “ free body diagram “ bidang momen ( M ), gaya lintang ( D ), dan gaya normal ( N ), dapat digambarkan. 2.
a). Portal statis tidak tertentu P1=1t 4 m 4 m 1 m A B EI EI EI C D EI E P2=2t q = 1 t/m’ A B C C’ D D’
Suatu portal dengan perletakan A dan B sendi, dengan ukuran dan beban seperti tergambar
n = 2 j – (m + 2 f + 2 f + 2) = 2 x 4 – (3 + 2 x 0 + 2 x 2 + 0) n = 1
ada sebuah bentuk pergoyangan. Gambar pergoyangan
Batang AC, A sendi berarti C hanya bisa bisa berpindah tegak lurus sumbu batang AC.
Misalkan C berpindah ke C’ sebesar ∆ kekanan. Batang CD tidak berubah panjang, D juga bergerak kekanan sebesar ∆ ke D’. untuk batang BD keadaannya sama seperti batang AC. Batang-batang AC dan BD akibat
b). Gambar pengoyangan
c). Pemisahan Momen Batang
Menyusun persamaan :
Karena ada 4 variabel (∆, MC, MDB, MDC) bentuk empat persamaan. - Dari persamaan keseimbangan momen.
Σ MD = 0 MDB + MDC – MDE = 0 (1) - Dari rotasi titik simpul
Titik C θCA = θCD (2)
Titik D θDB = θDC (3)
- Karena ada variabel ∆, maka perlu persamaan keseimbangan struktur (4)
Dari keempat persamaan yang disusun, variabel-variabel MC, MDB, MDC dan ∆ dapat
A B C E θCD θDCD θCA θDB
d). Pemisahan garis elastis
Gambar 5.3 Penyelesaian dengan persamaan tiga momen
Variabel yang ada : ∆, MC, MDB, MDC
Pemisahan gambar garis elastis. Batang CD dimisalkan melendut kebawah, berarti θCD searah jarum jam sedangkan θDC berlawan arah jarum jam. Maka untuk batang AC, θCA searah jarum jam, sedangkan untuk batang DB, θDB
berlawanan arah jarum jam.
A B MC MDB D E P1=1t P2=2t MDC C MDE = 1,5 tm MC
Pemisahan momen batang. MDE = ½ (1) 1² + 1 x 1 = 1,5 tm Titik C, MCA = MCD sama besar berlawan arah (MC)
Titik D, ada MDB, MDC dan MDE = 1,5 tm
diagram, bidang Momen (M), gaya Lintang (D), dan gaya Normal (N) dapat digambarkan.