Proses Transforma
3.1.6. Linear Programming
Linear programming merupakan suatu model yang dapat digunakan dalam pemecahan masalah pengalokasiaan sumber-sumber terbatas secara optimal. Masalah tersebut timbul apabila seseorang diharuskan untuk memilih atau menentukan tingkat setiap kegiatan yang akan dilakukannya, dimana masing- masing kegiatan membutuhkan sumber yang sama sedangkan jumlahnya terbatas diantara berbagai alternatif penggunaan sumberdaya-sumberdaya tersebut agar berbagai tujuan yang telah ditetapkan yaitu maksimasi laba atau minimisasi biaya dicapai atau dioptimalkan.
Dalam memecahkan masalah linear programming menggunakan model matematis. Linear yang berarti bahwa semua fungsi-fungsi matematis yang disajikan dalam model haruslah fungsi-fungsi linear. Jadi linear programming mencakup perencanaan kegiatan-kegiatan untuk mencapai suatu hasil yang optimal, yaitu suatu hasil yang mencerminkan tercapainya sasaran tertentu yang paling baik (menurut model matematis) di antara alternatif-alternatif yang mungkin, dengan menggunakan fungsi linear. Menurut Supranto (1998), persoalan linear programming ialah suatu persoalan untuk menentukan besarnya masing- masing nilai variabel sedemikia n rupa sehingga nilai fungsi tujuan atau obyektif yang linear menjadi optimum dengan memperhatikan pembatas-pembatas yang ada
yaitu inputnya. Sedangkan menurut Soekartawi (1992), problem dalam linear programming adalah memperhatikan penggunaan atau alokasi yang efesien dari sumberdaya yang terbatas untuk mencapai tujuan yang diinginkan. Problem ini dicirikan oleh sejumlah solusi untuk memenuhi kondisi-kondisi dasar dari setiap problem.
Dalam linear programming dikenal dua macam fungsi yaitu fungsi tujuan dan fungsi batasan. Fungsi tujuan dalah fungsi yang menggambarkan tujuan atau sasaran di dalam permasalahan linear programming yang berkaitan dengan pengaturan secara optimal sumberdaya-sumberdaya untuk memperoleh keuntungan maksimal atau biaya minimal, dimana nilai yang akan dioptimalkan dinyatakan sebagai Z. Sedangkan fungsi batasan merupakan bentuk penyajian secara matematis batasan-batasan kapasitas yang tersedia yang akan dialokasikan secara optimal ke berbagai kegiatan.
Adapun simbol-simbol di dalam linear programming adalah sebagai berikut :
m : macam batasan-batasan sumber atau fasilitas yang tersedia. n : macam kegiatan-kegiatan yang menggunakan sumber atau fasilitas tersebut.
i : nomor setiap macam sumber atau fasilitas yang tersedia (i=1,2,…..,m) j : nomor setiap macam kegiatan yang menggunakan sumber atau fasilitas
yang tersedia (j=1,2,…,n)
xj : tingkat kegiatan ke,j. (j=1,2,….,n)
aij : banyaknya sumber (fasilitas) i yang tersedia untuk dialokasikan ke setiap unit kegiatan (I=1,2,….,n)
bi : banyaknya sumber (fasilitas) i yang tersedia untuk dialokasikan ke setiap unit kegiatan (I= 1,2,…,n)
Z : nilai yang dioptimalkan (maksimum atau minimum)
Cj : kenaikan nilai Z apabila ada pertambahan tingkat kegiatan (xj) dengan satu satuan (unit); atau merupakan sumbangan setiap satuan keluaran kegiatan j terhadap nilai Z.
Untuk selanjutnya keseluruhan simbol-simbol di atas disusun ke dalam bentuk tabel standar linear programming seperti tampak pada Tabel 4.
Tabel 4. Data Untuk Model Linear Programming Kegiatan
Sumber
Pemakaian Sumber per Unit Kegiatan (Keluaran) Kapasitas Sumber 1 2 3 . . . m a11 a12 a13…………..a1n a21 a22 a23…………..a2n a31 a32 a3 3………….a3n . . . . . . . . . . . . am1 am2 am3……….an m b1 b2 b3 . . . bm ∆ ∆Z pertambahan tiap unit Tingkat kegiatan C1 C2 C3………..Cn X1 X2 X3………...Xn
Sumber : Handoko, Subagyo dan Asri , 2000
Bentuk umum persoalan linear programming dapat dilihat pada contoh sebagai berikut, jika seorang produsen mempunyai m bahan mentah dan ingin memproduksi jenis produk dimana setiap jenis produk menggunakan semua jenis
bahan mentah dengan proporsi tertentu. Dari berbagai jenis produk yang diproduksi akan dijual. Persoalan yang timbul, berapa besarnya masing-masing jenis produk sehingga jumlah hasil penjulan maksimum (sebesar-besarnya atau sebanyak- banyaknya).
Dimana :
xj = jumlah produk j, j = 1,2,…..,n
hi = bahan mentah jenis i yang tersedia, i = 1,2,…..,m
aij = bahan mentah i yang dipergunakan untuk memproduksi 1 unit produkj.
cj = harga jual 1 unit jcjxj = penerimaan hasil penjualan produk j, sejumlah xj unit
Maka persoalan linear programming menjadi : Cari x1,x2,….xj….,xn s.r.s. : z = c1x1 + c2 x2 + …… + cjxj+……+cnxn : maksimum d.p. : a11x1 + a12x2+…..+a1jxj+……+a1 nxn <= h1 a21x1 + a22x2+…..+a2jxj+……+a2 nxn <= h2 . . ai1x1 + ai2x2+…..+aijxj+……+ainxn <= hi . . am1x1 + am2x2+…..+amjxj+……+amnxn <= hm Xj>=0 j, = 1,2,3,….n
Adapun asumsi-asumsi dasar dalam linear programming dapat diperinci sebagai sebagai berikut (Handoko, Subagyo dan Asri ,2000) :
1. Proportionality.
Asumsi ini berarti bahwa naik turunnya nilai Z dan penggunaan sumber atau fasilitas yang tersedia akan berubah secara sebanding (proportional) dengan perubahan tingkat kegiatan.
a) Z = C1X1 + C2X2 + C3X3 +……..CnXn
Setiap penambahan 1 unit X1 akan menaikkan Z dengan C1. Setiap penambahan 1 unit X2 akan menaikkan nilai Z dengan C2,dan seterusnya.
b) a11+X1 + a1 2X2 + a13X3 +……+anXn≤b1
Setiap pertambahan 1 unit X1 akan menaikkan penggunaan sumber atau fasilitas 1 dengan a11. Setiap pertambahan 1 unit X2 akan menaikkan penggunaan sumber atau fasilitas 1 dengan a12, dan seterusnya. Dengan kata lain, setiap ada kenaikan kapasitas rill tidak perlu ada biaya persiapan (set up cost).
2. Additivity.
Asumsi ini berarti bahwa nilai tujuan tiap kegiatan tidak saling mempengaruhi, atau dalam LP dianggap bahwa kenaikan dari nilai tujuan (Z) yang diakibatkan oleh kenaikan suatu kegiatan dapat ditambahkan tanpa mempengaruhi bagian nilai Z yang diperoleh dari kegiatan lain.
3. Divisibility.
Asumsi ini menyatakan bahwa keluaran (output) yang dihasilkan oleh setiap kegiatan dapat berupa bilangan pecaha n. Demikian pula dengan nilai Z yang dihasilkan.
4. Deterministic.
Asumsi ini menyatakan bahwa semua parameter yang terdapat dalam model LP (aij, bi, cj) dapat diperkirakan dengan pasti, meskipun jarang dengan tepat.
Menurut Soekartawi (1992), linear programming (LP) memiliki kelebihan dan kekurangan. Kelebihan LP antara lain adalah : a) mudah dilaksanakan terutama jika menggunakan alat Bantu komputer, b) dapat menggunakan banyak variabel, sehingga berbagai kemungkinan untuk memperoleh pemanfaatan sumber daya
yang optimum dapat dicapai, dan c) fungsi tujuan dapat difleksibelkan sesuai dengan tujuan penelitian atau berdasarkan data yang tersedia.
Adapun kekurangan LP adalah apabila alat Bantu komputer tidak tersedia, maka LP dengan menggunakan banyak variabel akan menyulitkan dalam analisisnya dan bahkan mungkin tidak dapat dikerjakan secara manual. Untuk variabel yang jumlahnya sedikit maka LP dapat dikerjakan secara manual dengan bantuan metode simpleks. Selain itu pula dalam LP mengasumsikan bahwa semua parameter model diketahui dengan pasti (asumsi deterministik). Padahal sebelumnya dalam kehidupan nyata, jarang diketahui kepastian yang sesungguhnya. Tehnik LP mengkompensasikan kekurangan ini dengan memberikan analisis pasca-optimum dan analisis parametrik yang sistematis yang memungkinkan pengambilan keputusan untuk menguji sensitivitas pemecahan optimum yang startegis terhadap perubahan berbagai parameter dari model tersebut.