T UJUAN - MAKALAH KALKULUS TURUNAN DAN APLIKASI TURUNAN DALAM KEHIDUPAN SEHARI-HARI (OPTIMASI)

BAB I PENDAHULUAN

C. T UJUAN

1. Mengetahui contoh aplikasi turunan dalam cabang ilmu matematika yang dapat dijumpai pada kehidupan nyata.

2. Mengetahui teorema-teorema dan aturan yang dapat dipakai dalam menganalisis dan menyelesaikan permasalahan terkait aplikasi turunan.

3. Mengetahui cara, langkah, dan prosedur dalam menyelesaikan persoalan terkait aplikasi turunan yang berhubungan dengan nilai maksimum dan minimum serta laju yang berkaitan.

3 BAB II

KAJIAN TEORI DAN PEMBAHASAN

A. Kajian Teori 1. Turunan

1.1 Definisi Turunan

Turunan fungsi f adalah fungsi lain f’ yang nilainya pada sebarang bilangan riil 𝑥 didefinisikan dengan :

𝑓^′(𝑥) = lim

ℎ → 0

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) ℎ

Daerah asal f’ adalah himpunan semua x pada daerah asal f di mana

ℎ → 0lim

𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)

ℎ ada dan bukan ∞ atau -∞

Dikatakan f terdiferensiasi di x = a jika lim

ℎ → 0

𝑓(𝑎+ℎ)−𝑓(𝑎) ℎ ada.

1.2 Aturan Pencarian Turunan

Aturan pencarian turunan dibagi menjadi beberapa teorema, beberapanya yakni,

a. Teorema Aturan Selisih

Jika f dan g adalah fungsi- fungsi yang terdiferensiasi, maka : (𝑓 − 𝑔)’(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)

4 b. Teorema Hasil Kali

Jika f dan g adalah fungsi- fungsi yang terdiferensiasi, maka : (𝑓𝑔)’(𝑥) = 𝑓(𝑥)𝑔’(𝑥) + 𝑔(𝑥)𝑓’(𝑥)

a. Teorema Aturan Rantai

Misalkan 𝑦 = 𝑓(𝑢) dan 𝑢 = 𝑔(𝑥) menentukan fungsi komposit 𝑦 = 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓𝑜𝑔 (𝑥). Jika 𝑔 terdiferensiasi di 𝑥 dan 𝑓 terdiferensiasi di 𝑢 = 𝑔(𝑥) maka 𝑦 = 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓𝑜𝑔 (𝑥) terdiferensiasi di x dan :

(𝑓𝑜𝑔)^′𝑥 = 𝑓^′(𝑔(𝑥))𝑔^′(𝑥) atau

Aturan Rantai: Turunan fungsi komposisi adalah turunan fungsi luar (outer function) yang dievaluasi pada fungsi dalam (inner function) lalu dikali dengan turunan fungsi dalam.

Contoh 1.3 :

Jika 𝑦 = (2𝑥2 – 4𝑥 + 1)⁶⁰, carilah 𝐷_𝑥𝑦!

Penyelesaian :

y = 𝑢 ⁶⁰ dan 𝑢 = 2𝑥² – 4𝑥 + 1

Fungsi sebelah luar adalah 𝑓(𝑢) = 𝑢⁶⁰ dan fungsi sebelah dalam adalah :

1.4 Turunan Fungsi Trigonometri

Pada turunan fungsi trigonometri terdapat beberapa teorema yakni a. Teorema A

Aturan Hasil Kali diperlukan di sini.

Dx (x² sin x) = 𝑥²𝐷_𝑥 (𝑠𝑖𝑛 𝑥) + 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝐷_𝑥 (𝑥²) Dx (x² sin x) = 𝑥² 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 2𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑥

6 1.5 Laju yang Berkaitan

Jika variabel 𝑦 bergantung pada waktu 𝑡, maka dydt disebut laju perubahan sesaat (time rate of change). Jika 𝑦 mengukur jarak, maka laju sesaat ini disebut kecepatan (velocity).

Jika 𝑦 diberikan secara eksplisit sebagai fungsi 𝑡, maka masalah mencari ^𝑑𝑦

𝑑𝑡 dapat dilakukan dengan mendiferensiasikan dan kemudian menghitung turunan pada saat yang diminta. Bisa jadi, sebagai ganti diketahuinya 𝑦 secara eksplisit dalam 𝑡, kita mengetahui sesuatu tentang ^𝑑𝑥

𝑑𝑡. Kita masih tetap mampu mencari ^𝑑𝑦

𝑑𝑡, karena ^𝑑𝑦

𝑑𝑡 dan ^𝑑𝑥

𝑑𝑡

adalah laju yang berkaitan (related rates).

2. Nilai Maksimum dan Minimum

2.1 Definisi Nilai Maksimum dan Minimum

Misalkan 𝑆 daerah asal 𝑓, mengandung titik 𝑐. Kita katakan bahwa : (i) 𝑓(𝑐) adalah nilai maksimum (maximum value) dari 𝑓 pada 𝑆

jika 𝑓(𝑐) ≥ 𝑓(𝑥) untuk setiap 𝑥 di 𝑆.

(ii) 𝑓(𝑐) adalah nilai minimum (minimum value) dari 𝑓 pada 𝑆 jika 𝑓(𝑐) ≤ 𝑓(𝑥) untuk setiap 𝑥 di 𝑆.

(iii) 𝑓(𝑐) adalah nilai ekstrim (extreme value) dari 𝑓 pada 𝑆 jika 𝑓(𝑐) merupakan salah satu dari nilai maksimum atau nilai minimum.

(iv) Fungsi yang dimaksimumkan atau diminimumkan disebut fungsi objektif (objective function).

Contoh 2.1 :

Perhatikan grafik berikut!

7 Fungsi 𝑦 = 𝑓(𝑥) =¹

𝑥

Penyelesaian :

Maka, berdasarkan grafik fungsi tersebut diperoleh :

(i) Pada (0, ∞), fungsi 𝑓 tidak memiliki nilai maksimum dan nilai minimum.

(ii) Pada [1,3], fungsi 𝑓 memiliki nilai maksimum 3 dan nilai minimum 13.

(iii) Pada (1,3], fungsi 𝑓 tidak memiliki nilai maksimum, tetapi memiliki nilai minimum 13.

2.2 Teorema Nilai Maksimum dan Minimum

a. Teorema A. Teorema Keberadaan Maks-Min (Max-Min Existence Theorem)

Jika fungsi 𝑓 kontinu pada interval tertutup [𝑎, 𝑏], maka 𝑓 memiliki nilai maksimum dan nilai minimum pada [𝑎, 𝑏].

Catatan :

Teorema di atas memberikan arti bahwa kekontinuan merupakan syarat cukup suatu fungsi agar memiliki nilai maksimum dan nilai minimum.

b. Teorema Titik Kritis

Misalkan fungsi 𝑓 terdefinisi pada interval 𝐼 yang berisi titik 𝑐. Jika 𝑓(𝑐) adalah nilai ekstrim, maka 𝑐 harus merupakan titik kritis.

Titik 𝑐 tersebut haruslah memenuhi paling tidak salah satu dari syarat-syarat berikut, yaitu :

(i) Titik ujung dari I; atau

(ii) Titik stasioner dari f; atau (iii) Titik singular dari f.

Misalkan domain fungsi f adalah interval I = [a,b].

Titik 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏 disebut titik ujung (end point) dari I.

Jika 𝑥 = 𝑐 adalah titik dengan 𝑓′(𝑐) = 0, maka 𝑐 disebut titik stasioner (stationary point).

Jika 𝑥 = 𝑐 adalah titik dalam (interior point) dari 𝐼 dan 𝑓′(𝑐) tidak ada, maka 𝑐 disebut titik singular (singular point).

Titik ujung, titik stasioner, dan titik singular tersebut disebut juga titik kritis (critical point) dari fungsi 𝑓.

Contoh 2.2 :

Tentukanlah titik-titik kritis dari fungsi 𝑓, dengan 𝑓(𝑥) = −2𝑥³+ 3𝑥² di 𝐼 = [−1,2]!

Penyelesaian :

• Untuk mencari titik stasioner, selesaikan : 𝑓𝑥 = −6𝑥² + 6𝑥 = 0

Diperoleh : 𝑥 = 0 𝑑𝑎𝑛 𝑥 = 1.

• Fungsi 𝑓 tidak memiliki titik singular karena 𝑓′(𝑥) = 6𝑥²+ 6𝑥 selalu ada.

• Titik ujung dari intervalnya ialah : 𝑥 = −1 𝑑𝑎𝑛 𝑥 = 2.

Jadi, titik kritis dari fungsi 𝑓 tersebut ialah -1, 0, 1, dan 2.

2.3 Ekstrim Lokal dan Ekstrim pada Interval Terbuka a. Teorema Uji Turunan Kedua (Second Derivative Test)

Misalkan 𝑓′ dan 𝑓′′ ada di setiap titik di interval (𝑎, 𝑏) yang memuat titik 𝑐. Misalkan pula 𝑓′(𝑐) = 0.

(i) Jika 𝑓′′(𝑐) < 0, maka 𝑓(𝑐) merupakan nilai maksimum lokal dari fungsi f.

(ii) Jika 𝑓′′(𝑐) > 0, maka 𝑓(𝑐) merupakan nilai minimum lokal dari fungsi 𝑓.

Catatan :

Ingat jika 𝑓′′(𝑥) < 0, maka grafik fungsi 𝑓 cekung ke bawah. Jika 𝑓′′(𝑥) > 0, maka grafik fungsi f cekung ke atas.

Contoh 2.3 :

Tentukanlah nilai ekstrim lokal dari fungsi :

𝑓𝑥 = 13𝑥³− 𝑥² − 3𝑥 + 4 pada (−∞, ∞) dengan menggunakan Teorema Uji Turunan Kedua!

Penyelesaian :

Turunan fungsi 𝑓 adalah 𝑓′(𝑥) = 𝑥²− 2𝑥 − 3 = (𝑥 − 3)(𝑥 + 1).

Turunan fungsi 𝑓′ adalah 𝑓^′′(𝑥) = 2𝑥 − 2.

Perhatikan 𝑓′ − 1 = 0 dan 𝑓′(3) = 0.

Berdasarkan Teorema Uji Turunan Kedua, maka :

(i) Karena 𝑓′′(−1) = −4, maka 𝑓(−1) = ¹⁷

3 adalah nilai maksimum lokal dari fungsi 𝑓.

(ii) Karena 𝑓^′′(3) = 4, maka 𝑓(3) = −5 adalah nilai minimum lokal dari fungsi f.

Catatan :

Apabila suatu masalah/soal tidak diberi keterangan “lokal”, maka nilai maksimum dan minimum yang dimaksud bersifat global.

11 B. Pembahasan

1. Aplikasi Turunan

Turunan adalah cabang matematika yang merupakan alat untuk menyelesaikan berbagai masalah dalam kehidupan sehari-hari diantaranya menentukan nilai maksimum dan minimum dari suatu fungsi, laju yang berkaitan, menentukan kecepatan dan percepatan, pembuatan konstruksi bangunan, pengukuran suatu tempat, dan lain-lain. Nilai maksimum dan minimum dapat berupa masalah optimasi.

2. Teorema dan Aturan Turunan Terkait Aplikasi Turunan

Teorema dan aturan turunan yang dapat digunakan dalam menganalisis dan menyelesaikan permasalahan terkait aplikasi turunan diantaranya teorema aturan selisih, teorema hasil kali, teorema aturan rantai, teorema A fungsi trigonometri, laju yang berkaitan, teorema keberadaan maks-min, teorema titik kritis, teorema uji turunan kedua, dan lain-lain.

3. Cara, Langkah, dan Prosedur dalam Menyelesaikan Persoalan Terkait Aplikasi Turunan

3.1 Laju yang berkaitan

a) Sebuah wadah berbentuk setengah bola dengan diameter 24 cm.

Wadah tersebut berisi aseton setinggi h cm. Oleh karena aseton tersebut menguap, tinggi aseton berkurang dengan laju 0,001 cm/detik.

a. Tentukan persamaan luas permukaan aseton bagian atas!

b. Hitunglah laju perubahan luas permukaan aseton bagian atas pada saat tinggi aseton 6 cm!

Jawaban :

12 Diketahui :

Diameter wadah = 24 cm

Jari – jari wadah (OB = OC = OD) = 12 cm

Berikan variabel jari-jari permukaan cairan aseton (AC) dengan r dan tinggi cairan aseton dengan h yang ditunjukkan oleh

OA = (12 – h) cm

a. Tentukan persamaan luas permukaan aseton bagian atas!

Penyelesaian :

• Mencari persamaan jari-jari dengan phytagoras pada segitiga OAC

𝐴𝐶² = 𝑂𝐶²− 𝑂𝐴² 𝑟² = 12²− (12 − ℎ)²

𝑟² = 144 − (144 − 24ℎ + ℎ²) 𝑟² = (24ℎ − ℎ²) 𝑐𝑚

• Luas permukaan aseton berupa lingkaran sehingga dapat dinyatakan sebagai berikut :

𝐿 = 𝜋𝑟²

(substitusikan nilai 𝑟² = 24ℎ − ℎ²) 𝐿 = 𝜋(24ℎ − ℎ²)

𝐿 = (24𝜋ℎ − 𝜋ℎ²) 𝑐𝑚²

Jadi, persamaan luas permukaan aseton bagian atas ialah : 𝐿 = (24𝜋ℎ − 𝜋ℎ²) 𝑐𝑚²

b. Hitunglah laju perubahan luas permukaan aseton bagian atas pada saat tinggi aseton 6 cm.

Penyelesaian :

Ditanya (^𝑑𝐿_𝑑𝑡) saat h = 6 cm

Diketahui hubungan antara luas permukaan dan tinggi (h) sebagai

𝐿 = (24𝜋ℎ − 𝜋ℎ²)

Diketahui juga laju perubahan ketinggian aseton sebagai ^𝑑ℎ

𝑑𝑡 = 0,001 𝑐𝑚/𝑑𝑒𝑡𝑖𝑘

Laju perubahan luas permukaan aseton dapat dinyatakan sebagai

Jadi, laju perubahan luas permukaan aseton bagian atas pada saat tinggi aseton 6 cm adalah 0,012𝜋 𝑐𝑚²/𝑑𝑒𝑡𝑖𝑘

Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa

a. Persamaan luas permukaan aseton bagian atas ialah : 𝐿 = (24𝜋ℎ − 𝜋ℎ²) 𝑐𝑚² ; dan

b. laju perubahan luas permukaan aseton bagian atas pada saat tinggi aseton 6 cm adalah 0,012𝜋 𝑐𝑚²/𝑑𝑒𝑡𝑖𝑘.

b) Pada mesin yang ditunjukkan pada gambar di bawah ini, suatu batang penghubung yang berukuran 7 inci diikat ke suatu kruk dengan radius 3 inci. Poros kruk berputar berlawanan arah jarum jam dengan kecepatan konstan 200 putaran per menit (ppm). Tentukan kecepatan piston ketika 𝜃 =^𝜋

14 Jawab :

• Beri label jarak seperti yang ditunjukkan pada gambar di bawah ini!

• Oleh karena satu putaran penuh sama dengan 2π radian,

Maka : ^𝑑𝜃

𝑑𝑡 = 200(2𝜋) = 400𝜋 rad/menit.

• Kecepatan yang diketahui :

𝑑𝜃

𝑑𝑡 = 400𝜋 (laju konstan)

• Temukan :

𝑑𝑥

𝑑𝑡 ketika 𝜃 =^𝜋

• Menggunakan Hukum Kosinus untuk menemukan persamaan yang menghubungkan 𝑥 dan 𝜃. Maka, persamaan tersebut :

𝑏² = 𝑎 + 𝑐²− 2𝑎𝑐 cos 𝜃

15 7² = 3²+ 𝑥²− 2(3)(𝑥) cos 𝜃

Laju perubahan jarak (x) terhadap waktu (^𝑑𝑥

𝑑𝑡) atau kecepatan piston dapat dinyatakan sebagai

• Turunan pertama dari persamaan 7² = 3²+ 𝑥²−

 ke dalam persamaan turunan diatas untuk

𝑥 sebagaimana yang ditunjukkan di bawah ini : 7² = 3²+ 𝑥²− 2(3)(𝑥) cos^𝜋

3, kecepatan piston ialah :

𝑑𝑥

*Catatan : Kecepatan bernilai negatif karena 𝑥 merepresentasikan suatu kecepatan yang semakin berkurang.

Jadi, kecepatan piston ketika 𝜃 = ^𝜋

3 ialah sebesar −4018 𝑖𝑛𝑐𝑖/𝑚𝑒𝑛𝑖𝑡 di mana nilai negatif tersebut menunjukkan bahwa kecepatan piston semakin berkurang.

3.2 Optimasi (Aplikasi Turunan)

• Meminimalkan Material : Luas Permukaan Perhatikan gambar berikut!

Sebuah pabrik produsen wadah penyimpanan makanan membuat kaleng silinder dengan volume 500 mL. (1 mL = 1 cm³). Berapa ukuran tinggi dan jari-jari lingkaran yang akan meminimalkan penggunaan bahan untuk memproduksi masing-masing kaleng, yaitu meminimalkan luas permukaan dari kaleng tersebut?

Jawaban =

Diketahui Volume silinder = 500 mL

Berikan variabel h = tinggi dan r = jari-jari lingkaran Volume silinder = 𝜋𝑟²ℎ

500 = 𝜋𝑟²ℎ ℎ = ⁵⁰⁰

𝜋𝑟²

Kaleng silinder tersusun oleh dua lingkaran pada tutup dan alas dan dinding samping yang bila ditaruh mendatar berbentuk persegi

panjang dengan tinggi h dan panjang sama dengan keliling tutup dan alasnya.

Maka, dapat diketahui bahwa :

Luas permukaan kaleng = 2 × luas lingkaran + luas dinding samping.

Luas permukaan = 2𝜋𝑟²+ 2𝜋𝑟ℎ Oleh karena diketahui h = ⁵⁰⁰

𝜋𝑟², maka : L = 2𝜋𝑟²+ 2𝜋𝑟 (⁵⁰⁰

𝜋𝑟²) = 2𝜋𝑟²+¹⁰⁰⁰

𝑟 , 𝑟 ≠ 0, 𝑟 ∈ (0, ∞)

Masalah = menentukan jari-jari silinder agar meminimalkan banyak material yang dibutuhkan untuk memproduksi kaleng dimodelkan dengan mencari r sedemikian hingga L(r) minimum

Analisis penyelesaian :

• Mencari titik kritis

- Titik ujung selang = Tidak ada karena merupakan selang buka

- Titik Stasioner = 𝐿(𝑟) = 2𝜋𝑟²+¹⁰⁰⁰

𝑟

18 𝐿^′(𝑟) = 4𝜋𝑟 −¹⁰⁰⁰

𝑟² , 𝑟 ≠ 0

Titik stasioner adalah titik dimana L’(r) = 0 0 = 4𝜋𝑟 −¹⁰⁰⁰

Titik singular adalah titik dimana L(r) tidak terdefinisi. L(r) tidak terdefinisi di r = 0, tetapi 0 bukan termasuk daerah asal fungsi L sehingga fungsi L tidak mempunyai titik singular.

Maka, satu-satu nya titik kritis adalah titik stasioner yaitu 𝑟 = √²⁵⁰

𝜋

3 ≈ 4.3 𝑐𝑚

• Cek titik kritis

a) Menunjukkan apakah titik kritis merupakan titik minimum atau maksimum dengan mengecek dari kiri dan kanan titik

Berdasarkan Teorema A Uji Turunan Pertama,

Jika L’(r) < 0 untuk semua x dalam (0,4.3) dan L’(r) > 0 untuk semua x dalam (4.3,0), maka L(r) adalah nilai minimum lokal.

b) Dengan menggunakan uji turunan kedua 4.3

- - - + + + + + + +

Menurut teorema uji turunan kedua, jika f’’(c) > 0, maka f(c) merupakan nilai minimum lokal dari fungsi f. Dengan catatan, sesuai pada grafik, jika f”(x) > 0 maka grafik fungsi f cekung ke atas.

Jadi, jari-jari lingkaran yang menghasilkan nilai minimum adalah

√²⁵⁰

𝜋

3 ≈ 4.3 𝑐𝑚 .

Substitusikan nilai r ke persamaan ℎ = ⁵⁰⁰

𝜋𝑟²

Kesimpulannya adalah untuk mendapatkan luas permukaan yang minimum sehingga meminimalkan penggunaan bahan dalam

pembuatan kaleng silinder dibutuhkan jari-jari dengan ukuran

√²⁵⁰

𝜋

3 ≈ 4.3 𝑐𝑚 dan tinggi dengan ukuran ⁵⁰⁰

𝜋( √²⁵⁰ 𝜋

3 )

2 ≈ 8.6 𝑐𝑚.

BAB II PENUTUP

A. Simpulan

Aplikasi Turunan dalam cabang Ilmu Matematika banyak ditemukan dalam kehidupan sehari-hari seperti mencari luas permukaan benda, laju perubahan kecepatan, serta menentukan nilai minimum atau maksimum dalam suatu permasalahan. Terdapat beberapa teorema atau aturan yang digunakan untuk menganalisis dan menyelesaikan permasalahan terkait aplikasi turunan.

Teorama dan aturan tersebut di antaranya adalah Teorema Aturan Selisih, Teorema Hasil Kali, Teorema Aturan Rantai, Teorema Titik Kritis, dan Teorema Uji Turunan Kedua. Dalam menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan aplikasi turunan, penerapan teorema-teorema tersebut harus dilakukan dengan langkah-langkah yang jelas dan sistematis agar didapatkan nilai atau hasil yang akurat.

B. Saran

1. Kalkulus merupakan ilmu yang sangat sulit dipelajari, maka setiap orang dituntut untuk lebih kreatif dan inovatif.

2. Untuk mempermudah mempelajari kalkulus kita bisa mencoba soal-soal yang berkaitan.

3. Dalam mencari alternatif menyelesaikan soal kalkulud kita perlu mengembangkan dan memajukan pola pikir.

DAFTAR PUSTAKA

Bittinger, M. L., D. J. Ellenbogen, dan S. A. Surgent. 2012. Calculus and Its Applications. 10th ed. Boston: Pearson Education.

Larson, Ron. Dan B. H. Edwards. 2010. Calculus. 9th ed. Belmont:

Cengage Learning.

Varberg, D., E. J. Purcell, S. E. Rigdon. 2010. Kalkulus Edisi Kesembilan Jilid 1. Jakarta: Penerbit Erlangga.

Dalam dokumen MAKALAH KALKULUS TURUNAN DAN APLIKASI TURUNAN DALAM KEHIDUPAN SEHARI-HARI (OPTIMASI) Diajukan untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Kalkulus (Halaman 4-0)