Matriks dan Ruang Vektor - HIMPUNAN KONVEKS DAN TEORI OPTIMISASI

BAB II HIMPUNAN KONVEKS DAN TEORI OPTIMISASI

A. Matriks dan Ruang Vektor

Pada subbab ini akan dibahas mengenai matriks, panjang (norm), ja-rak, ruang vektor, dan beberapa definisi serta teorema dasar tentang analisis real.

Definisi 2.1.1 (Ruang Berdimensi n)

Jika n adalah suatu bilangan bulat positif, maka tupel n berurutan adalah suatu

urutan dari n bilangan real , , … , . Himpunan semua tupel n

Definisi 2.1.2 (Matriks)

Matriks adalah jajaran empat persegi panjang dari bilangan-bilangan yang atur menurut baris dan kolom. Bilangan-bilangan dalam jajaran tersebut di-sebut dengan elemen dari matriks.

Elemen-elemen yang terletak pada baris i dan kolom j di dalam ma-triks A dapat dinyatakan sebagai . Sehingga, matriks secara umum dapat di-tulis sebagai berikut:

Atau lebih singkat dapat ditulis sebagai atau .

Definisi 2.1.3 (Matriks Simetrik)

Sebuah matriks bujur sangkar A adalah simetrik jika dan hanya jika A = A^T.

Definisi 2.1.4 (Matriks Definit Positif dan Matriks Semidefinit Positif) Misalkan A adalah matriks simetrik.

A dikatakan definit positif jika x^TAx > 0, , 0. A dikatakan semidefinit positif jika x^TAx ≥0, .

Dari Definisi 2.1.4, dapat disimpulkan bahwa jika A adalah matriks definit positif, maka A juga adalah matriks semidefinit positif.

Untuk lebih memahami definisi matriks, matriks simetrik, matriks de-finit positif dan matriks semidede-finit positif, maka akan diberikan contoh beri-kut.

Contoh 2.1.1

Misalkan diberikan suatu matriks simetrik:

2 1 0

1 2 1

0 1 2

Untuk mengkaji bahwa matriks A adalah matriks definit positif, maka harus ditunjukkan bahwa x^TAx > 0, , 0. ! ! ! ²_{1 2}^{1 0}₁ 0 1 2 ! ! ! ! ! ! ! " 2!^2! ^! ! ! " 2! ! #2! ! $ " ! # ! " 2! ! $ " ! # ! " 2! $ 2! ! ! ! ! " 2! !_%!_& !_%!_&" 2! 2! 2! ! " 2! 2!_%!_&" 2! ! " #! 2! ! " ! $ " #! 2!_%!_&" ! $ " !

! " #! ! $ " #!_% !_&$ " !

Dari sini dapat disimpulkan bahwa matriks A bersifat definit positif karena ! " #! ! $ " #!_% !_&$ " ! ' 0, , kecuali jika

! ! ! 0.

▄

Contoh 2.1.2

Misalkan diberikan suatu matriks simetrik: ( )2 0_{0 2*}

Untuk mengkaji bahwa matriks G adalah matriks semidefinit positif, maka ha-rus ditunjukkan bahwa x^TGx ≥0, .

( ! ! _{)2 0}

0 2* )^!^! ^* ! ! ₊^2!_2! _, ! #2! $ " ! #2! $ 2! " 2!

Karena ( 2! " 2! - 0, , maka dapat disimpulkan bahwa matriks G adalah matriks semidefinit positif.

Definisi 2.1.5 (Ruang Vektor)

Misalkan . adalah himpunan tak kosong yang dilengkapi dengan operasi pen-jumlahan dan perkalian skalar dengan bilangan real. Artinya, bila diberikan dua elemen / dan 3 di . dan , 5 , maka penjumlahan / " 3 dan perka-lian skalar / didefinisikan dan terletak di V juga. Kemudian V dengan kedua operasi ini disebut ruang vektor jika kedua operasi tersebut memenuhi aksi-oma-aksioma berikut.

Untuk setiap /, 3, 6 . dan , 5 berlaku: (i) / " 3 3 " /.

(ii) / " #3 " 6$ #/ " 3$ " 6.

(iii) Ada elemen 7 . sehingga / " 7 /. (iv) Ada elemen / . sehingga / " # /$ 7. (v) #/ " 3$ / " 3.

(vi) # " 5$/ / " 5/. (vii) # 5$/ #5/$. (viii) 1/ /.

Untuk lebih memahami definisi ruang vektor, maka akan diberikan contoh berikut.

Contoh 2.1.3

Buktikan bahwa 8#9 , 9 , … , 9 $|9 , 9 , … , 9 < adalah ruang vektor!

Bukti:

Misalkan / #9 , 9 , … , 9 $ dan 3 #= , = , … , = $, maka

/ " 3 #9 " = , 9 " = , … , 9 " = $ dan / # 9 , 9 , … , 9 $. a) / " 3 #9 " = , 9 " = , … , 9 " = $ #= " 9 , = " 9 , … , = " 9 $ 3 " / b) #/ " 3$ " 6 >#9 " = , 9 " = , … , 9 " = $? " #@ , @ , … , @ $ >#9 , 9 , … , 9 $ " #= , = , … , = $? " #@ , @ , … , @ $ #9 , 9 , … , 9 $ " #= , = , … , = $ " #@ , @ , … , @ $ #9 , 9 , … , 9 $ " ##= , = , … , = $ " #@ , @ , … , @ $$ #9 , 9 , … , 9 $ " #= " @ , = " @ , … , = " @ $ / " #3 " 6$ c) / " 7 #9 , 9 , … , 9 $ " #0, 0, … , 0$ #9 " 0, 9 " 0, … , 9 " 0$

#9 , 9 , … , 9 $ / d) / " # /$ #9 , 9 , … , 9 $ " # 9 , 9 , … , 9 $ #9 " # 9 $, 9 " # 9 $, … , 9 " # 9 $$ #0, 0, … , 0$ 7 e) #/ " 3$ #9 " = , 9 " = , … , 9 " = $ ##9 , 9 , … , 9 $ " #= , = , … , = $$ #9 , 9 , … , 9 $ " #= , = , … , = $ / " 3 f) # " 5$/ # " 5$#9 , 9 , … , 9 $ ># " 5$9 , # " 5$9 , … , # " 5$9 ? # 9 " 59 , 9_%" 59_%, … , 9 " 59 $ # 9 , 9 , … , 9 $ " #59 , 59 , … , 59 $ #9 , 9 , … , 9 $ " 5#9 , 9 , … , 9 $ / " 5/ g) # 5$/ # 5$#9 , 9 , … , 9 $

># 5$9 , # 5$9 , … , # 5$9 ? # #59 $, #59 $, … , #59 $$ #59 , 59 , … , 59 $ #5/$ h) 1/ 1#9 , 9 , … , 9 $ #19 , 19 , … , 19 $ #9 , 9 , … , 9 $ /

Karena 8#9 , 9 , … , 9 $|9 , 9 , … , 9 < dengan operasi penjumlahan dan perkalian skalar memenuhi aksioma-aksioma seperti pada Definisi 2.1.5, maka terbukti bahwa adalah ruang vektor.

▄

Definisi 2.1.6 (Ruang Hasil Kali Dalam)

Hasil kali dalam pada adalah sebuah fungsi yang mengasosiasikan se-buah bilangan real A , BC dengan sepasang vektor x dan y di , sehingga ak-sioma-aksioma berikut ini terpenuhi bagi semua vektor x, y, dan z di dan semua bilangan skalar s.

(i) A , BC AB, C (Aksioma Kesimetrian) (ii) A " B, DC A , DC " AB, DC (Aksioma Penjumlahan)

(iii) AE , BC EA , BC (Aksioma Homogenitas) (iv) A , C - 0 (Aksioma Positivitas) (v) A , C 0 jika dan hanya jika 0

Sebuah ruang vektor real yang memiliki sebuah hasil kali dalam disebut ruang hasil kali dalam.

Untuk lebih memahami sifat hasil kali dalam yang pertama, yakni A , BC AB, C , maka akan diberikan contoh berikut.

Contoh 2.1.4 Untuk F ! ! ! G dan B F H H H

G adalah sembarang vektor-vektor di , bukti-kan jika A , BC B, maka B AB, C!

Bukti:

Ambil sebarang vektor F ! ! ! G dan B F H H H

G dalam ruang vektor . Akan dibuktikan A , BC B memenuhi A , BC AB, C.

B ! ! … ! F

H H H

! H " ! H " … " ! H H ! " H ! " … " H ! H H … H F ! ! ! G B AB, C

Jadi, terbukti bahwa A , BC AB, C. ▄

Definisi 2.1.7 (Panjang atau Norm)

Panjang atau norm sebuah vektor di dinotasikan dengan L L dan dide-finisikan sebagai

L L A , C^MN # · $^MN P! " ! " … " ! .

Sebuah pemetaan L . L dikatakan sebuah norm jika dan hanya jika memenuhi sifat berikut:

(1) L L - 0,

(2) L L 0 jika dan hanya jika x = 0, (3) Lα L |R|L L, R ,

Definisi 2.1.8 (Ortogonal)

Dua vektor u dan v di dalam ruang hasil kali dalam di dikatakan ortogo-nal jika A/, 3C 0.

Teorema 2.1.1 (Hukum Phytagoras)

Jika u dan v adalah vektor-vektor ortogonal di dalam ruang hasil kali dalam di , maka

L/ " 3L L/L " L3L .

Bukti:

L/ " 3L A/ " 3, / " 3C

A/, /C " A/, 3C " A3, /C " A3, 3C A/, /C " A/, 3C " A/, 3C " A3, 3C A/, /C " 2A/, 3C " A3, 3C

L/L " L3L ▄

Definisi 2.1.9 (Proyeksi Skalar dan Proyeksi Vektor)

Jika u dan v adalah vektor-vektor di dalam ruang hasil kali dalam di dan 3 0, maka proyeksi skalar dari u pada v diberikan oleh R ^A/,3C_L3L dan proyeksi vektor dari u pada v diberikan oleh T R U_L3L3V ^A/,3C_A3,3C3 .

Teorema 2.1.2

Jika 3 0 dan p adalah proyeksi vektor dari u pada v, maka / T dan p ada-lah ortogonal.

Bukti:

Karena AT, TC A_L3L^W 3,_L3L^W 3C U_L3L^W V A3, 3C R dan A/, TC ^#A/,3C$_A3,3C R . Ini mengakibatkan A/ T, TC A/, TC AT, TC R R 0. Oleh karena itu, / T dan p adalah ortogonal.

▄

Teorema 2.1.3 (Ketaksamaan Cauchy-Schwarz)

Jika u dan v adalah vektor-vektor di dalam ruang hasil kali dalam di , maka |A/, 3C| S L/LL3L

Bukti:

Jika 3 0, maka |A/, 3C| 0 L/LL3L. Jika 3 0, maka misalkan p seba-gai proyeksi vektor dari u pada v. Karena p ortogonal pada / T, maka me-nurut Hukum Phytagoras

LTL " L/ TL L/L

X LTL L/L L/ TL

X^{#A/, 3C$}L3L ^L/L ^{L/ TL}

X #A/, 3C$ L/L L3L L/ TL L3L S L/L L3L

Dengan mengambil akarnya, maka diperoleh |A/, 3C| S L/LL3L. ▄

Untuk lebih memahami definisi norm serta sifat-sifat dari norm, maka akan diberikan contoh berikut.

Contoh 2.1.5 Buktikan bahwa L L Y|! | Z [\ adalah norm! Bukti:

Untuk membuktikan bahwa L L adalah norm, maka harus ditunjukkan bah-wa L L memenuhi keempat sifat dari norm.

Misalkan, x dan y adalah sebarang vektor di dan R adalah sebarang bila-ngan real.

(1) Akan dibuktikan bahwa L L - 0

L L Y|! | Z [\

- 0

(2) Akan dibuktikan bahwa L L 0 jika dan hanya jika 0. Jika 0, maka ! 0, ].

Oleh karena itu, ∑ |! |Z

[\ 0dan L L 0. Sebaliknya, jika L L 0, maka ∑ |! |Z

[\ 0.

Karena |! | - 0, dengan demikian ∑ |! |Z

[\ 0 hanya dipenuhi jika |! | 0 sehingga 0.

(3) Akan dibuktikan bahwa LR L |R|L L , R , . LR L Y|R! | \ |R| _Y|! | \ ` |R|L L

(4) Akan dibuktikan bahwa L " BL S L L " LBL .

L " BL Y|! " H | \ S Y|! | " \ Y|H | \

L L " LBL

Jadi, L " BL S L L " LBL . ▄

Teorema 2.1.4 (Ketaksamaan Cauchy-Buniakowski-Schwarz) Misalkan , B , maka gY ! H \ g S L L LBL Bukti: Pertidaksamaan |∑ ! Hh

i\j | S L L LBL akan bersifat trivial jika dan hanya jika 0 atau B 0. Oleh karena itu, andaikan bahwa dan B, keduanya taknol. Misalkan, k adalah sebarang bilangan real. Maka,

0 S L " kBL Y#! " kH $ \ Y ! \ " 2k Y ! H " k Y H \ \ L L " 2k Y ! H " k LBL \ Misalkan, LBL , 5 ∑ ! H , dan l L Lh

i\j ^. ^Sehingga pertidaksa-maan menjadi k " 25k " l - 0 untuk semua k . Hal ini dapat terjadi

jika dan hanya jika diskriminan atau m #25$ 4 l 45 4 l o 0. Karena itu, 5 o l. Dengan mensubstitusikan nilai dari , 5, dan l, maka di-peroleh

_Y ! H \

` S L L LBL Dengan mengambil akarnya, maka diperoleh

gY ! H \ g S L L LBL ▄ Contoh 2.1.6 Buktikan bahwa L L _Y ! \ ` p adalah norm! Bukti:

Untuk membuktikan bahwa L L adalah norm, maka harus ditunjukkan bah-wa L L memenuhi keempat sifat dari norm.

Misalkan, x dan y adalah sebarang vektor di dan R adalah sebarang bila-ngan real.

(1) Akan dibuktikan bahwa L L - 0 .

Karena ! - 0 untuk sebarang bilangan real !, maka

L L #Y ! $ / - 0 \

(2) Akan dibuktikan bahwa L L 0 jika dan hanya jika 0. Jika 0, maka ! 0, ].

Oleh karena itu, ∑ !h 0

i\j ^danL L 0. Sebaliknya, jika L L 0, maka ∑ !h 0

i\j ^.

Karena ! - 0, dengan demikian #∑ ! $h / 0

i\j ^{hanya dipenuhi} jika ! 0 sehingga 0.

(3) Akan dibuktikan bahwa LR L |R|L L , R , . LR L _Y#R! $ \ ` _R Y ! \ ` / |R| _Y ! \ ` / |R|L L

(4) Akan dibuktikan bahwa L " BL S L L " LBL . L " BL Y#! " H $ \ Y ! " 2 \ Y ! H " Y H \ \ S L L " 2 gY ! H \

g " LBL #Sifat nilai mutlak$

S L L " 2L L LBL " LBL # Ketaksamaan Cauchy-Buniakowski-Schwarz)

#L L " LBL $

Dengan mengambil akarnya, maka diperoleh L " BL S L L " LBL .

▄

Selanjutnya, akan diberikan definisi dan sifat jarak pada .

Definisi 2.1.10 (Jarak)

Jarak antara dua buah titik titik dan B dinotasikan dengan

Teorema 2.1.5 (Sifat-Sifat Jarak pada )

Jika x, y, dan z adalah vektor-vektor pada , maka: (1) L BL - 0

(2) L BL 0 jika dan hanya jika B (3) L DL S L BL " LB DL

(4) L BL LB L

Bukti:

(1) Akan dibuktikan bahwa L BL - 0.

Bukti: L BL 2 / 1 1 2 ) (       −

∑

= n i i i y x

Karena #! H $ - 0 untuk sebarang bilangan real ! dan H, maka L BL - 0.

▄

(2) Akan dibuktikan bahwa L BL 0 jika dan hanya jika B.

Bukti:

Oleh karena itu, ∑ #! H $_\ 0dan L BL 0. Sebaliknya, jika L BL 0, maka ∑ #! H $_\ 0.

Karena #! H $ - 0, dengan demikian ∑ #!_\ H $ 0 hanya dipenuhi jika ! H 0 sehingga B.

▄

(3) Akan dibuktikan bahwa L DL S L BL " LB DL.

Bukti: L DL L B " B DL A B " B D, B " B DC A B, B " B DC " AB D, B " B DC A B, BC " A B, B DC " AB D, BC "AB D, B DC L BL " A B, B DC " AB D, BC " LB DL L BL " A B, B DC " A B, B DC " LB DL L BL " 2A B, B DC " LB DL S L BL " 2L BLLB DL " LB DL (Ketaksamaan Cauchy-Schwarz) #L BL " LB DL$

L DL S L BL " LB DL.

Jadi, terbukti untuk L DL S L BL " LB DL. ▄

(4) Akan dibuktikan bahwa L BL LB L.

Bukti:

L BL L# 1$#B $L | 1|LB L

LB L

▄

Teorema 2.1.6 (Hukum Paralelogram) Untuk semua , B L " BL " L BL 2#L L " LBL $ Bukti: L " BL " L BL A " B, " BC " A B, BC A , " BC " AB, " BC " A , BC AB, BC

A , C " AB, BC " A , C " AB, BC 2A , C " 2AB, BC

2L L " 2LBL 2#L L " LBL $ ▄

Selanjutnya, akan diberikan definisi kitar dan titik-interior.

Definisi 2.1.11 (Kitar)

Diberikan titik dan δ > 0. Kitar- δ dari x didefinisikan sebagai s_t# $ 8B |LB L o δ<

Definisi 2.1.12 (Titik Interior)

Misalkan m v dan m. Titik x dikatakan titik interior dari D jika ada suatu kitar- δ dari x sedemikian sehingga s_t# $ v m.

Untuk lebih memahami definisi titik interior, maka akan diberikan contoh berikut.

Contoh 2.1.7

Himpunan ini merepresentasikan titik yang berada di dalam lingkaran dengan pusat (0,0) dan radius 1 seperti pada Gambar 2.1.1.

Gambar 2.1.1 Lingkaran ! " ! o 1

Titik-titik yang berada di dalam lingkaran adalah titik interior. Sedangkan, ti-tik-titik yang berada pada batas dan luar lingkaran bukan merupakan titik inte-rior.

Definisi 2.1.13 (Himpunan Terbuka)

Himpunan semua titik interior dari D disebut interior D dan dinotasikan de-ngan int(D). Selanjutnya, jika int(D) = D, yakni setiap titik dari D adalah titik interior dari D, maka D adalah himpunan terbuka.

Definisi 2.1.14 (Himpunan Tertutup)

Suatu himpunan m v dikatakan tertutup jika dan hanya jika komplemen-nya adalah terbuka.

Untuk lebih memahami definisi himpunan terbuka, maka akan diberi-kan contoh berikut.

Contoh 2.1.8

Berdasarkan Contoh 2.1.7, A adalah himpunan terbuka, karena titik-titik yang berada di dalam lingkaran adalah titik interior.

Selanjutnya, akan diberikan definisi relasi dan himpunan terurut secara parsial.

Definisi 2.1.15 (Relasi)

Sebuah relasi dari suatu himpunan A ke himpunan B adalah suatu subset R dari X x, di mana X x 8# , 5$: , 5 x<.

Relasi dapat pula ditulis sebagai z 5 yang berarti bahwa # , 5$ z.

Definisi 2.1.16 (Himpunan Terurut Secara Parsial)

Misalkan R adalah sebuah relasi pada sebuah himpunan S, maka R disebut re-lasi urutan parsial jika yang memenuhi tiga sifat berikut:

(i) Refleksif

(ii) Antisimetris

R dikatakan antisimetris jika dan hanya jika z 5 dan 5 z , maka 5, untuk setiap # , 5$ {.

(iii) Transitif

R dikatakan transitif jika dan hanya jika z 5 dan 5 z l, maka z l, untuk setiap # , 5, l$ {.

Himpunan S bersama dengan suatu relasi urutan parsial R pada A dikatakan himpunan terurut secara parsial.

Relasi urutan parsial dari sebuah himpunan S biasanya dinotasikan dengan S atau -. Relasi S 5 dibaca dengan “a mendahului b”, sedangkan relasi - b dibaca dengan “a melampaui b”.

Untuk lebih memahami definisi himpunan terurut secara parsial, maka akan diberikan contoh berikut.

Contoh 2.1.9

Perhatikan bilangan bulat positif }. Didefinisikan relasi " membagi 5" de-ngan |5, jika terdapat sebuah l } sedemikian sehingga l 5. Misalnya, 2|4, 3|12, 7|21, dan seterusnya. Tunjukkan bahwa pembagian adalah sebuah pengurutan parsial dari }, yakni tunjukkan bahwa berlaku sifat berikut:

a. Refleksif: | .

b. Antisimetris: Jika |5 dan 5| maka 5. c. Transitif: Jika |5 dan 5|l maka |l.

Bukti:

a. Karena · 1 , maka | .

b. Andaikan |5 dan 5| , misalkan 5 † dan E5. Maka, 5 †E5 se-hingga †E 1. Karena † dan E adalah bilangan bulat positif, maka † 1 dan E 1. Dengan demikian, 5.

c. Andaikan |5 dan 5|l, misalkan 5 † dan l E5. Maka, l E† se-hingga |l.

▄

Berikut ini diberikan definisi batas atas, supremum, batas bawah, dan infimum.

Definisi 2.1.17 (Batas Atas)

Misalkan A adalah himpunan bagian dari sebuah himpunan S yang terurut se-cara parsial.

Sebuah elemen M dalam S dikatakan sebuah batas atas dari A jika M me-lampaui setiap elemen dari A, yaitu M adalah sebuah batas atas dari A jika un-tuk setiap x dalam A diperoleh ! S ‡.

Definisi 2.1.18 (Supremum)

Jika sebuah batas atas dari A mendahului setiap batas atas lain dari A maka di-sebut batas atas terkecil atau supremum dari A yang dinotasikan dengan sup (A).

Definisi 2.1.19 (Batas Bawah)

Sebuah elemen m dalam S dikatakan sebuah batas bawah dari A jika m men-dahului setiap elemen dari A, yaitu m adalah sebuah batas bawah dari A jika untuk setiap x dalam A diperoleh ˆ S !.

Definisi 2.1.20 (Infimum)

Jika sebuah batas bawah dari A melampaui setiap batas bawah lain dari A ma-ka disebut batas bawah terbesar atau infimum dari A yang dinotasikan dengan inf (A).

Definisi 2.1.21 (Terbatas ke Atas dan Terbatas ke Bawah) Misalkan { merupakan subhimpunan tak kosong dari .

a. Himpunan { dikatakan terbatas ke atas jika ada bilangan 9 sedemi-kian sehingga E S 9 untuk semua E {. Setiap bilangan 9 dikatakan batas atas dari {.

b. Himpunan { dikatakan terbatas ke bawah jika ada bilangan @ se-demikian sehingga @ S E untuk semua E {. Setiap bilangan @ dikata-kan batas bawah dari {.

Lemma 2.1.1

Batas bawah ‰ dari himpunan tak kosong { di adalah infimum dari { jika dan hanya jika Š ' 0 terdapat ! { sedemikian sehingga ‰ " Š ' !.

Bukti #‹$

Diketahui ‰ inf { dan Š ' 0.

Akan ditunjukkan terdapat ! { sedemikian sehingga ‰ " Š ' !. Jika 5 batas bawah { maka 5 S ‰.

Karena ‰ " Š ' ‰ maka ‰ " Š bukan batas bawah {.

Karena ‰ " Š bukan batas bawah { maka harus ada ! { sehingga ‰ " Š ' !. #Œ$

Jika ‰ suatu batas bawah {, dan untuk setiap Š ' 0 terdapat ! { sedemikian sehingga ‰ " Š ' !.

Akan dibuktikan ‰ inf {.

Misalkan bahwa 5 suatu batas bawah {. Karena ! { dan 5 suatu batas ba-wah { maka ! - 5.

Karena ‰ " Š ' ! maka ‰ " Š ' 5.

Jadi untuk setiap Š ' 0 berlaku ‰ " Š ' 5. Andaikan 5 ' ‰ maka jika diambil Š ^•Ž• akan diperoleh ‰ " Š ^••• sehingga 5 ' ‰ " Š ' ‰ dan 5 ' ‰ " Š ' ! yang kontradiksi dengan pernyataan bahwa 5 batas bawah. Jadi, jika 5 batas bawah { haruslah ‰ - 5 sehingga ‰ merupakan batas bawah terbesar atau ‰ inf {.

▄

Definisi 2.1.22 (Barisan Naik dan Barisan Turun)

Misalkan ‘ 8! < merupakan barisan bilangan real. Barisan ‘ dikatakan naik jika memenuhi pertidaksamaan

! S ! S S ! S ! _• S

dan dikatakan turun jika memenuhi pertidaksamaan

! - ! - - ! - ! _•

-Jika barisan ‘ merupakan barisan naik atau barisan turun maka merupakan barisan monoton.

Teorema 2.1.7

Barisan turun dan terbatas ke bawah adalah konvergen.

Bukti:

Diberikan 8! < turun dan terbatas ke bawah. Karena 8! : ’ }< “ maka terdapat 5 dan 5 inf8! : ’ }<. Jadi, untuk setiap ’ } berlaku

! - 5 (2.1) Karena 5 inf8! : ’ }<, maka untuk Š ' 0 yang diberikan terdapat s } dan

5 Š ' !_” - 5 (2.2) Karena 8! < turun, maka mengingat (2.1) dan (2.2), untuk setiap ’ - s ber-laku

5 Š ' !_” - ! - 5 ' 5 " Š (2.3) Jadi, diperoleh pernyataan bahwa untuk setiap Š ' 0 terdapat s } sedemi-kian sehingga untuk setiap ’ - } dan ’ - s, maka |! 5| o Š. Jadi, 8! < konvergen dan lim ! 5 inf8! : ’ }<.

▄

Untuk lebih memahami definisi batas atas, batas bawah, supremum, dan infimum, maka akan diberikan contoh berikut.

Contoh 2.1.10

Misalkan . 8 , 5, l, r, •, –, —< terurut seperti pada Gambar 2.1.1 dan misal-kan ‘ 8l, r, •<. Tentukan batas atas, batas bawah, supremum, dan infimum dari X!

– — • l r 5

Gambar 2.1.2 Himpunan Terurut

Penyelesaian:

Elemen •, –, dan — didahului oleh setiap elemen dari X, sehingga •, –, dan — adalah batas atas dari X.

Elemen mendahului setiap elemen dari X, sehingga adalah batas bawah dari X.

Elemen • mendahului – dan —, sehingga • adalah supremum dari X.

Elemen mendahului setiap batas bawah dari X, sehingga adalah infimum dari X.

Definisi 2.1.23 (Barisan Cauchy)

Barisan 8 _˜< v dikatakan Barisan Cauchy jika lim _,•™šL _•L 0. Dengan kata lain untuk setiap Š ' 0, terdapat bilangan bulat s sedemikian sehingga L _•L o Š untuk semua ˆ, ‰ ' s.

Untuk lebih memahami definisi barisan Cauchy, maka akan diberikan contoh berikut.

Contoh 2.1.11

Buktikan bahwa › œ adalah barisan Cauchy!

Bukti:

Jika diberikan Š ' 0, dapat dipilih s } sedemikian sehingga s '_• . Maka, jika ’, ˆ - s, diperoleh S _”o^• dan dengan cara yang sama diperoleh S_”o^• . Oleh karena itu, jika ’, ˆ - s, maka

ž ž S " o^•"^• Š.

Karena berlaku untuk sebarang Š ' 0, maka dapat disimpulkan bahwa › œ adalah barisan Cauchy.

Definisi 2.1.24 (Konvergen)

Barisan 8E < dikatakan konvergen jika terdapat E dengan sifat, untuk se-barang Š ' 0 yang diberikan, terdapat s } sehingga untuk semua ’ } dengan ’ - s berlaku |E E | o Š. Bilangan s dinamakan limit 8E < untuk ’ ™ ∞ dan ditulis lim_’™∞E_’ EataudisingkatlimE E.

Untuk lebih memahami definisi konvergen dari suatu barisan, maka akan diberikan contoh berikut.

Contoh 2.1.12

Jika E l untuk semua ’ } dan c suatu konstanta, maka buktikan bahwa 8E < konvergen ke c!

Bukti:

Untuk semua ’ } berlaku |E l| 0. Jadi, jika diberikan Š ' 0, maka terdapat s } sehingga ’ - s berlaku |E l| o Š. Dalam hal ini, dapat diambil bilangan bulat positif manapun untuk }, karena |E l| 0 o Š un-tuk ’ }.

▄

Dalam dokumen Metode titik-interior pada pemrograman kuadratik konveks. (Halaman 25-58)