Mekanika Taklinier Ayunan Sederhana

Potret Fase Sistem PDB Nonlinier dan Aplikasi

8.0.2 Mekanika Taklinier Ayunan Sederhana

Ayunan sederhana terdiri dari sebuah bandul B bermassa m pada spotong tongkat yang ringan dan kaku sepanjang L, diikat bagian atasnya sedemikian hingga sisem itu dapat berayun pada bidang vertikal, lihat Gambar 8.3.

θ L C T _C’ B −m g c o sθ −m g −m g sinθ A ^s 0

Gambar 8.3: Ayunan Bandul

Bila bandul itu ditarik satu arah dan dilepas dari keadaan diam pada saat

t = 0 dan misal θ(t) merupakan perpindahan sudut dari tongkat pada saat t dari

keadaan setimbang )A dimana sudut θ(t) positif bila bandul berada disebelah kanan dari kedudukan setimbang dan negatif bila berada disebelah kiri. Kita ingin mengkaji θ(t) bila bandul berayun kembali dan bergerak sepanjang busur lingkaran CC0. Dari informasi yang ada telah diketahui

θ(0) = θ0, θ⁰(0) = 0

dimana θ(0) = θ₀ adalah perpindahaan sudut awal dari tongkat dan θ(0) = 0 karena bandul dilepas dari keadaan diam. Ada dua gaya yang berkerja yaitu gaya berat (−mg) dan gaya tegangan tongkat T . Gaya −mg dipecah menjadi dua komponen −mg cos θ dan −mg sin θ, lihat Gambarband. Gaya −mg cos θ mengimbangi tegangan T pada tongkat, sedang gaya −mg sin θ menggerakkan bandul sepanjang busur lingkaran BA. Menurut H.K. Newton II diperoleh

m^d2s

dt2 = −mg sin θ (8.14)

dimana s adalah panjang busur AB dan d2s

dt2 percepatan sepanjang busur. Karena

L merupakan panjang tongkat maka panjang busur s = Lθ. m^d

2s dt2 = L^d

2θ

atau

d2θ dt2 + ^g

L^{sin θ = 0 (8.16)}

θ(0) = θ0 θ⁰(0) = 0. (8.17)

Kedua persamaan terakhir ini menggambarkan secara lengkap gerak pendulum itu bersama nilai awalnya.

Selanjutnya persamaan ini dapat dirubah kedalam sistem PDB order satu, dengan memisalkan ω2 = _L^g, x1 = θ dan x2 = θ0, sehingga diperoleh

x0

1 = x₂ (8.18)

x⁰₂ = −ω²sin x₁. (8.19)

Untuk menganalisa titik kritis persamaan ini, dapat ditentukan dari mengnolkan ruas kiri, sehingga

x₂ = 0

−ω²sin x₁ = 0.

Dengan menyelesaikan persamaan kedua diperoleh x₁ = θ = 0, ±π, ±2π, ±3π, . . . sehinggga titik kritisnya adalah

. . . , (−2π, 0), (−π, 0), (0, 0), (π, 0), (2π, 0), . . .

Memahami sin x adalah fungsi periodik maka cukup dipelajari (0, 0), (π, 0) saja. Untuk (0, 0) maka ekspansi deret Taylor disekitar x = 0 adalah

sin x = x −^x3 3! ⁺

x5

5! ^{− . . . ,}

sehingga persamaan (8.18-8.19) dapat dihampiri oleh sistem linier

x0

1 = x₂, x0

2 = −ω2x. (8.20)

Dengan demikian persamaan karakteristik (8.20) adalah r2+ω2 = 0 dengan akar-akar r12= ±ωi. Menurut Tabel 7.1 Tabel 8.1 dan maka titik kritis (0, 0) adalah stabil pusat untuk sistem (8.20) dan merupakan titik pusat atau fokus untuk sistem (8.18-8.19), lihat Gambar 8.3. Panah pada trayektori menunjukkan arah perputaran jarum jam karena persamaan pertama dalam (8.20) yaitu x membesar bila y positif. Analog dengan ini sistem (8.18-8.19) juga mempunyai titik kritis pada (2πn, 0) untuk n = ±1, ±2, . . . .

2π −2π 0 π −π

x

₂

x

₁

Gambar 8.4: Trayekktori sistem ayunan bandul

Selanjutnya kita kaji titik kritis (π, 0). Ekspansi deret Taylor untuk sin x disekitar x = π diberikan oleh

sin x = −(x − π) +^{(x − π)}

3

3 ⁻

(x − π)5

5! ^{+ . . . .} Jadi sistem yang dilinierkan berbentuk

x0

1 = x₂, x0

2 = ω2(x − π). (8.21)

dan mempunyai titik kritis pada (π, 0). Titik kritis dapat dipetakan ke (0, 0) dengan memisalkan v = x − π sehingga menjadi

v0 = x₂, x0

2 = ω2v. (8.22)

Persamaan karakteristiknya adalah r2 − ω2 = 0 dengan akar-akar r₁₂ = ±ω. Karena akar-akarnya riel dan tandanya berlawanan, maka titik kritis (0, 0) meru-pakan titik plana oleh karena itu merumeru-pakan titik kesetimbangan takstabil dari (8.22). Sebagai implikasinya, titik kritis (π, 0) juga merupakan titik plana dan karena itu merupakan titik kesetimbangan takstabil dari sistem yang dilinierkan (8.21), lihat Tabel 7.1. Selanjutnya menurut Tabel 8.1, diperoleh kenyataan bahwa karena (π, 0) merupakan titik plana maka titik ini merupakan kesetim-bangan stabil dari sistem (8.18-8.19). Sistem ini juga akan mempunyai sebuah titik plana pada titik (2n+1)π, 0) untuk n = ±1, ±2, . . . , dan selengkapnya dapat dilihat dalam Gambar 8.5. Dengan menggunakan fungsi DEplot diperoleh potret fase dapat dilihat dalam Gambar 8.6.

Secara eksplisit kita juga dapat menurunkan persamaan trayektori per-samaan (8.18-8.19). Dengan menggabungkan kedua perper-samaan itu, yaitu

dx₂

dx₁ ^{= −ω}

2sin x₁

x

₂

x

₁ π 2π 3π 0 −π −2π −3π −4π 4π

Gambar 8.5: Potret fase

2π π

−π

−2π

maka persamaan ini merupakan PDB terpisah dimana solusinya adalah 1

2^x

2

2 − ω2cos x₁ = c. (8.23)

Untuk menggambarkan potret fase dari persamaan ini adalah tepat sekali untuk menyatakan c dalam syarat awal. Andaikan bahwa x2 = (x2)0 bila x1 = 0 maka dari (8.23) didapat bahwa

c = ¹ 2^(x2) 2 0− ω² 1 2^x 2 2− ω²cos x1 = ¹ 2^(x2) 2 0− ω² x2 2+ 2ω2(1 − cos x₁) = (x₂)2 0 x2 2+ 4ω2sin2 x₁ 2 ^{= (x2)} 2 0 (8.24)

Persamaan terakhir ini merupakan persamaan yang menggambarkan tiga tipe kurva yang beraputan dalam Gambar 8.5 dalam tiga kasus berikut.

KASUS 1 |(x₂)₀| < 2ω. Nilai maksimum dari sudut x₁ (ingat bahwa

x1 = θ) dicapai bila x2 = 0 dan

x_maks= 2 arcsin^(x2)0 2ω ^{< π.}

Dalam kasus ini ayunan itu berosilasi antara sudut ekstrem ±x_maks. Trayek-torinya merupakan kurva tertutup sebagaimana terlihat dalam bagian paling dalam kurva dalam Gambar 8.5.

KASUS 2 |(x₂)₀| > 2ω. Dalam kasus ini ayunan membuat putaran

lengkap. Trayektorinya akan berbentuk kurva ombak pada bagian atas dan bawah kurva dalam Gambar 8.5.

KASUS 3 |(x2)0| = 2ω. Dalam hal ini trayektori berbentuk simpal (kop)

tebal yang memisahkan trayektori tertutup dan trayektori ombak dalam Gambar 8.5. Persamaan trayektori ini dapat diturunkan langsung dari persamaan (8.24) jika kita substitusikan 2ω dalam (x₂)₀ sehingga diperoleh

x2 = ±2ω cos ^x 2

Latihan Tutorial 3

1. Dalam interaksi mangsa dan pemangsa, misal populasi mangsa mempunyai persediaan makanan yang terbatas maka model persamaan interaksi itu akan menjadi x0

1 = a₁x₁ − a₂x₁x₂ − ²₁x2 1, x0

2 = −a₃x₂ + a₄x₁x₂ − ²₂x2 2

dimana ²1, ²1 > 0. Sebagi contoh khusus model ini adalah x0

1 = 3x1 − x₁x₂− 2x2

1, x0

2 = −x₂+ 2x₁x₂− x2

2, dimana x₁, x₂ diukur dalam ratusan mahluk. Kajilah stabilitsa dari tiap titik kritisnya dan tentukan apakah ini merupakan titik simpul, plana atau fokus.

2. Persamaan difrensial

θ⁰⁰+ kθ + ω²sin θ = 0, k > 0

merupakan gerak ayunan yang dipengaruhi gaya gesekan (gaya peredam) yang berbanding lurus dengan kecepatan sudut θ. Transformasikan PDB ini kedalam sistem PDB order satu dan buktikan bahwa hanya (nπ, 0) untuk

n = 0, ±1, ±2, . . . merupakan titik kritis dari sistem ini. Dalam setiap kasus

kajilah stabilitas sistem pada (0, 0) dan tentukan apakah (0, 0) merupakan titik simpul, plana atau fokus untuk

(a) k < 2ω (b) k = 2ω (c) k > 2ω 3. Persamaan difrensial

x00+ µ(x2− 1)x0+ x = 0, µ > 0

disebut persamaan vanderP ol dan mengatur rangkaian listrik tertentu yang mengandung pipa hampa. Transformasikan PDB ini kedalam sistem PDB order satu dan buktikan bahwa hanya (0, 0) satu-satunya titik kritis dari sistem ini. Kajilah stabilitas sistem pada (0, 0) bila µ < 2 dabn µ > 2. Dalam setiap kasus tentukan apakah (0, 0) merupakan titik simpul, plana atau fokus.

4. Dua tangki saling berhubungan (lihat Gambar 1). Awal mula tangki I berisi 30 Lt air yang berisi 20 gram garam, sementara tangki II berisi 20 Lt air dengan 15 gram garam. Kemudian air yang berisi 1 gram/Lt dituangkan kedalam tangki I dengan laju 2 Lt/menit dan bercampur sempurna dalam tangki I, pada saat yang bersamaan campuran itu mengalir ke tangki II dengan laju 4 Lt/menit. Disisi lain air yang berisi 3 gram/Lt dituangkan kedalam tangki II dengan laju 1 Lt/menit dan bercampur sempurna dalam tangki II dan pada saat yang bersamaan pula campuran itu mengalir ke luar dimana 2 Lt/menit mengalir kembali ke tangki I dan 3 Lt/menit mengalir keluar meninggalkan sistem.

2 Lt/min, 1 gram/Lt

2 Lt/min 4 Lt/min

3 Lt/min

1 Lt/min, 3 gram/Lt

Gambar 8.7: Dua tangki yang saling berhubungan.

(a) Tentukan model matematik lengkap dengan masalah nilai awalnya dari peristiwa ini.

(b) Tentukan titik kesetimbangan (titik kritis) dari dari sistem PD order pertama tersebut.

(c) Tentukan ekspresi model matematik yang menyatakan banyaknya garam dalam tangki I dan II setiap saat.

5. Suatu rangkaian tertutup seri dari hambatan (R), induktor (L) dan kapa-sitor (C) dihubungkan dengan sumber tegangan bolak balik E = 100 sin 60t Volt, lihat Gambar 2 dibawah ini. Jika muatan listrik awal dan arus listrik awal sama dengan nol, tentukan fungsi muatan listrik Q dalam kapasitor setelah saat tertentu t > 0.

E R = 2 ohm L=1/10 henry C=1/260 farad Keterangan: R : Hambatan L : Induktor C : Kapasitor I

Boyce, W. E. & Diprima, R. C. 1997. Elementary Differential Equations and

Boudary Value Problems. John Wiley & Sons, Inc. Singapore

Burden, R. L. and Faires, J. D. 1997.Numerical Analysis. Brooks/Cole Publishing Company. U.S.

Lambert, J.D. 1993. Numerical Methods for Ordinary Differential Systems. John Wiley & Sons, Inc. Singapore

Powell, M.J.D. 1981. Approximation Theory and Methods. Cambridge University Press. U.K.

Ross, S. L. 1989. Introduction to Ordinary Differential Equations. John Wiley & Sons, Inc. New York. U.S.

Shampine, L. F. & Baca, L.S. 1989. Computer Solution of Ordinary Differential

Equations: The Initial Value Problem. Freeman. San Francisco.