egiatan
K
6.4
2pq p2 + q2 p2 − q2 Gambar 6.15.Panjang sisi segitiga siku-siku adalah (p2 + q2), (p2 − q2), dan 2pq. Dengan
ukuran panjang itu, ketiganya akan membentuk tripel Pythagoras. Kita akan menguji dengan melakukan kegiatan berikut.
Isilah tabel berikut dengan sebarang dua bilangan asli p dan q sedemikian sehingga p > q, dengan tujuan untuk menentukan tiga bilangan yang membentuk tripel Pythagoras.
p q (p2 + q2) (p2 − q2) 2pq Hubungan Tripel Pythagoras 2 3 3 4 4 4 5 5 5 5 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 22 + 12 = 5 32 + 12 = 10 32 + 22 = 13 22 – 12 = 3 32 – 12 = 8 2 × 2 × 1 = 4 2 × 3 × 1 = 6 52 = 32 + 42 102 = 82 + 62 5, 3, 4 10, 8, 6
Setelah melengkapi tabel di atas, kita sudah menemukan beberapa tripel Pythagoras. Kalian bisa menentukan tripel Pythagoras lainnya berdasarkan ketentuan yang sudah diberikan.
Ayo Kita Menanya
?
?
Berdasarkan pengamatan kalian, kalian mungkin bertanya mengapa panjang sisi segitiga siku-siku harus (p2 + q2), (p2 − q2), dan 2pq? Apakah sisi-sisi
tersebut memenuhi teorema Pythagoras? Buatlah pertanyaan selain yang sudah disebutkan terkait dengan tripel Pythagoras. Silakan ajukan pertanyaan yang telah kalian buat kepada guru atau teman kalian.
+
=+ Ayo Kita
Menggali Informasi
Selain dengan menggunakan cara seperti pada tabel di atas, kita bisa mencari bilangan-bilangan yang memenuhi tripel Pythagoras dengan cara seperti berikut.
1. Pilihlah sebarang bilangan ganjil dan bilangan ini kita jadikan sebagai panjang sisi terpendek dari segitiga.
2. Gunakan rumus M = S2 – 1
2 dengan S = panjang sisi terpendek untuk kemudian menghitung M merupakan sisi tegak lainnya.
3. Kalian telah mendapatkan dua sisi tegak dari segitiga. Untuk mencari panjang hipotenusa, gunakan rumus c2 = a2 + b2.
Dengan mengambil sebarang satu bilangan ganjil sebagai nilai S, buktikan bahwa cara kedua di atas juga bisa membuat tripel Pythagoras.
Ayo Kita Menalar
Perhatikan pada informasi yang telah kalian ketahui tentang tripel Pythagoras dengan menggunakan rumus M = S2 – 1
2 . Mengapa aturan ini hanya berhasil jika sisi terpendeknya adalah bilangan ganjil?
Ayo Kita Berbagi
Diskusikan jawaban Ayo Kita Bernalar di atas dengan teman kalian. Kemudian, sampaikan hasil menalar kalian di kelas.
Ayo Kita
!
?!
?
Berlatih
6.3
1. Manakah di antara kelompok tiga bilangan berikut yang membentuk segitiga siku-siku, segitiga lancip, dan segitiga tumpul?
a. b. c. d. 13, 9, 11 8, 17, 15 130, 120, 50 12, 16, 5 e. f. g. h. 10, 20, 24 18, 22, 12 1,73; 2,23; 1,41 12, 36, 35
2. Manakah di antara kelompok tiga bilangan berikut yang merupakan tripel Pythagoras?
a. 10, 12, 14 b. 7, 13, 11 c. 6, 212 , 612
3. Tentukan apakah ∆KLM dengan titik K(6, −6), L(39, −12), dan M(24, 18) adalah segitiga sebarang, segitiga sama kaki, atau segitiga sama sisi. Jelaskan jawaban kalian.
4. Jika 32, x, 68 adalah tripel Pythagoras. Berapakah nilai x? Tunjukkan bagaimana kalian mendapatkannya.
5. Bilangan terkecil dari tripel Pythagoras adalah 33. Tentukan tripel Pythagoras. Jelaskan bagaimana kalian menemukan dua bilangan lainnya.
6. Bingkai jendela yang terlihat berbentuk persegi panjang dengan tinggi 408 cm, panjang 306 cm, dan panjang salah satu diagonalnya 525 cm. Apakah bingkai jendela tersebut benar-benar persegi panjang? Jelaskan.
7. Panjang sisi-sisi segitiga adalah 1 cm, 2a cm, dan 3a cm. Buktikan bahwa ketiga ukuran tersebut bukan merupakan tripel Pythagoras.
a. Jika (p – q), p, (p + q) membentuk tripel Pythagoras, tentukan hubungan antara p dan q.
b. Jika p = 8, tentukan tripel Pythagoras. 8. Perhatikan ∆ABC berikut ini.
BD = 4 cm, AD = 8 cm, dan
CD = 16 cm.
a. Tentukan panjang AC. b. Tentukan panjang AB. c. Apakah ∆ABC adalah
segitiga siku-siku? Jelaskan.
9. Diketahui persegi panjang ABCD. Terdapat titik P sedemikian sehingga PC
= 8 cm, PA = 6 cm, dan PB = 10 cm. Dapatkah kalian menentukan jarak titik
P ke D? Bagaimana kalian menemukannya?
C A D 4 16 8 B
Menemukan Perbandingan
Sisi-sisi pada
Segitiga Siku-siku Sama kaki
egiatan
K
6.5
Teorema Pythagoras dapat digunakan untuk melakukan penyelidikan terhadap sifat menarik dari segitiga siku-siku sama kaki dan segitiga siku-siku yang besar sudutnya 30° - 60° - 90°. Dalam kegiatan ini kita akan menemukan hubungan antarpanjang sisi pada segitiga siku-siku sama kaki dan segitiga siku-siku 30° - 60° - 90°.
Ayo
Kita Amati
Salah satu dari segitiga khusus adalah segitiga siku- siku sama kaki dengan besar ketiga sudutnya adalah 45o - 45o - 90o. Setiap segitiga siku-siku sama kaki
adalah setengah dari persegi.
45°
45° Gambar 6.16
Ayo Kita Menanya
?
?
Buatlah pertanyaan yang terkait dengan panjang sisi segitiga siku-siku sama kaki. Misalnya, “Bagaimana hubungan antara ketiga sisi pada segitiga siku- siku sama kaki? Bagaimana menghitung panjang salah satu sisi segitiga siku- siku sama kaki jika hanya salah satu panjang sisi segitiga yang diketahui?” Kalian bisa mengajukan pertanyaan yang telah kalian buat kepada guru atau teman kalian.
+
=+ Ayo Kita
Menggali Informasi
Untuk menjawab pertanyaan yang mungkin kalian pikirkan, lakukan kegiatan di bawah ini.
Dengan menggunakan teorema Pythagoras, tentukan panjang sisi hipotenusa setiap segitiga siku-siku sama kaki pada Gambar 6.17 di bawah. Kemudian, sederhanakan setiap bentuk akar kuadratnya.
1 1 ? 2 2 3 3 ? p p ? Gambar 6.17 Salin dan lengkapi tabel berikut.
Panjang sisi siku-siku 1 2 3 4 5 6 ... 10 ... p
Panjang hipotenusa
Perhatikan panjang hipotenusa setiap kolom yang telah kalian lengkapi. Bagaimanakah pola yang terbentuk dari panjang sisi siku-siku dan panjang sisi miring pada segitiga siku-siku sama kaki?
Ayo Kita Menalar
Jika diberikan segitiga siku-siku sama kaki ABC, tentukan rasio AB : AC : BC.
Dengan menggunakan kalimat kalian sendiri, tentukan hubungan panjang ketiga sisi dari segitiga siku-siku sama kaki. Sampaikan di depan kelas dan bandingkan dengan jawaban teman kalian yang lain.
Ayo Kita Berbagi
Diskusikan jawaban Ayo Kita Bernalar di atas dengan teman kalian. Kemudian, sampaikan hasil menalar kalian di kelas.
Untuk lebih memahami penggunaan rasio panjang sisi segitiga siku-siku sama kaki, amatilah contoh berikut.
Contoh 6.9
Perhatikan gambar di samping. Diketahui segitiga siku-siku ∆KLM dengan panjang KL = 8 cm, dan ∠KLM = 45°. Tentukan panjang LM. Penyelesaian Alternatif KL : LM = 1 : 2 8 : LM = 1 : 2 LM × 1 = 8 × 2 LM = 8 2
Jadi, panjang LM adalah 8 2 cm.
A C B Gambar 6.18 L K M 45°
Contoh 6.10
Gambar di bawah diberi nama sesuai dengan pembuatnya, yakni Theodorus dari Cyrene, masyarakat Yunani awal. Theodorus adalah orang yang berpaham seperti Pythagoras.
Roda Theodorus dimulai dengan segitiga siku-siku dengan panjang kedua sisinya adalah 1 satuan panjang dan bergerak berlawanan arah jarum jam seperti berikut. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2
Gambar 6.19 Roda Theodorus
Tentukan panjang hipotenusa pada segitiga siku-siku terakhir dari Roda Theodorus di atas. (Alternatif penyelesaian kami tinggalkan untuk latihan kalian)
Salah satu dari segitiga khusus lainnya adalah segitiga dengan besar ketiga sudutnya adalah 30° - 60° - 90°. Bagaimana cara kita menentukan hubungan panjang ketiga sisi pada segitiga ini? Sama halnya pada segitiga siku-siku sama kaki, kita bisa dengan mudah menentukan panjang salah satu sisi segitiga siku-siku yang bersudut 30° – 60° – 90° meskipun hanya diketahui salah satu panjang sisinya. Untuk mengetahui bagaimana caranya, lakukan kegiatan berikut.
Ayo
Kita Amati
Perhatikan segitiga ABC pada Gambar 6.20 di samping.
Segitiga ABC adalah segitiga sama sisi. Garis
CD adalah garis simetri segitiga ABC.
1. Berapakah besar ketiga sudut segitiga
ABC?
2. Berapakah besar sudut di bawah ini? a. ∠ACD
b. ∠ADC
c. ∠BCD
d. ∠BDC
3. Bagaimanakah panjang ruas garis AD dan BD?
4. Berapakah perbandingan panjang sisi BD dan AB? Berapakah perbandingan panjang sisi BD dan BC?
5. Perhatikan segitiga BDC. Jika diketahui panjang BC = 20 cm, tentukan: a. panjang BD,
b. panjang CD.