Bab 9 Geometri
1. Menemukan Konsep Jarak Titik, Garis, dan Bidang
Gambar 9.1a Burung Gambar 9.1b Titik pada garis A
B
Perhatikan Gambar 9.1a dan Gambar 9.1b. Apa yang dapat kamu lihat? Misalkan kabel listrik adalah suatu garis dan burung adalah titik, maka dapat dikatakan bahwa tempat hinggap burung pada kabel listrik merupakan sebuah titik yang terletak pada suatu garis, yang dapat dilihat pada Gambar 9.1b.
Gambar berikut akan mencoba pemahaman kamu terhadap kedudukan titik dengan garis.
Gambar 9.2a Jembatan penyeberangan Gambar 9.2a Garis dan titik
Jika dimisalkan jembatan penyeberangan merupakan suatu garis dan lokomotif kereta adalah suatu titik. Kita dapat melihat bahwa lokomotif tidak terletak atau melalui jembatan penyeberangan. Artinya jika dihubungkan dengan garis dan titik maka dapat dikatakan bahwa contoh di atas merupakan suatu titik yang tidak terletak pada garis.
Untuk lebih melengkapi pemahaman kedudukan titik terhadap garis, perhatikan pula Gambar 9.3a dan Gambar 9.3b.
Gambar 9.3a Bola di lapangan Gambar 9.3b Dua titik A dan B
Gambar di atas merupakan ilustrasi contoh kedudukan titik terhadap bidang, dengan bola sebagai titik dan lapangan sebagai bidang. Sebuah titik dikatakan terletak pada sebuah bidang jika titik itu dapat dilalui bidang seperti terlihat pada titik A pada gambar dan sebuah titik dikatakan terletak di luar bidang jika titik itu tidak dapat dilalui bidang.
Perhatikan dua permasalahan di bawah ini!
Masalah-9.1
Sebuah kardus berbentuk kubus ABCD.EFGH. Perhatikanlah kubus tersebut. Segmen atau ruas garis AB sebagai wakil garis g.
Pertanyaan:
a. Tentukan titik sudut kubus yang terletak pada garis g!
b. Tentukan titik sudut kubus yang berada di luar garis g!
Gambar 9.4 Kubus ABCD.EFGH
dan garis g
Alternatif Penyelesaian
Pandang kubus ABCD.EFGH dan garis g dari gambar di atas, dapat diperoleh: a. titik sudut kubus yang terletak pada garis g adalah titik A dan B,
b. titik sudut kubus yang berada di luar garis g adalah titik C, D, E, F, G, dan H.
Contoh 9.1
Perhatikan kubus ABCD.EFGH pada Gambar 9.5! Terhadap bidang DCGH, tentukanlah:
a. titik sudut kubus apa saja yang terletak pada bidang DCGH!
b. titik sudut kubus apa saja yang berada di luar bidang DCGH!
87 Matematika
Alternatif Penyelesaian
Pandang kubus ABCD.EFGH, pada bidang DCGH dapat diperoleh:
• Titik sudut yang berada di bidang DCGH adalah D, C, G, dan H.
• Titik sudut yang berada di luar bidang DCGH adalah A, B, E, dan F.
1) Jika suatu titik dilalui garis, maka dikatakan titik terletak pada garis tersebut. 2) Jika suatu titik tidak dilalui garis, maka dikatakan titik tersebut berada di luar
garis.
3) Jika suatu titik dilewati suatu bidang, maka dikatakan titik itu terletak pada bidang.
4) Jika titik tidak dilewati suatu bidang, maka titik itu berada di luar bidang.
Deinisi 9.1
Jika suatu titik dilalui oleh garis atau bidang, apakah titik tersebut memiliki jarak terhadap garis dan apakah titik memiliki jarak terhadap bidang?
b. Jarak antara Titik dan Titik
Masalah-9.2
Rumah Andi, Bedu, dan Cintia berada dalam satu pedesaan. Rumah Andi dan Bedu dipisahkan oleh hutan sehingga harus menempuh mengelilingi hutan untuk sampai ke rumah mereka. Jarak antara rumah Bedu dan Andi adalah 4 km sedangkan jarak antara rumah Bedu dan Cintia 3 km. Dapatkah kamu menentukan jarak sesungguhnya antara rumah Andi dan Cintia?
Gambar-9.6 Peta rumah
Alternatif Penyelesaian
Misalkan rumah Andi, Bedu, dan Cintia diwakili oleh tiga titik yakni A, B, dan C. Dengan membuat segitiga bantu yang siku-siku maka ilustrasi di atas dapat digambarkan menjadi:
Gambar 9.7 Segitiga siku-siku
Selanjutnya gunakan prinsip teorema Phytagoras, pada segitiga siku-siku ACB, untuk memperoleh panjang dari titik A dan C
Masalah-9.3
Seorang satpam sedang mengawasi lalu lintas kendaraan dari atap suatu gedung apartemen yang tingginya 80 m mengarah ke lapangan parkir. Ia mengamati dua buah mobil yang sedang melaju berlainan arah. Terlihat mobil A sedang bergerak ke arah Utara dan mobil B bergerak ke arah Barat dengan sudut pandang masing-masing sebesar 50° dan 45°.
Berapa jarak antar kedua mobil ketika sudah berhenti di setiap ujung arah?
Alternatif Penyelesaian Diketahui:
Misalkan: Mobil A = titik A, memiliki sudut pandang 50° Mobil B = titik B, memiliki sudut pandang 45°.
Tinggi gedung = 80 m
Ditanya: Jarak antara kedua mobil sesudah berhenti? Perhatikan ilustrasi masalah dalam gambar berikut.
Gambar 9.8 Posisi mobil dari gedung
Dari Gambar 9.8, kita memfokuskan perhatian terhadap segitga AOT dan segitiga BOT. Perhatikan segitiga TAO, kemudian tentukan panjang AO dengan
89 Matematika
menggunakan perbandingan tangen (Deinisi 8.4 tentang perbandingan trigonometri).
Selanjutnya untuk menentukan BO gunakan juga perbandingan tangen. Jarak antara kedua mobil dapat diperoleh dengan menerapkan teorema Phytagoras.
Contoh 9.2
Perhatikan posisi titik titik berikut ini!
Gambar 9.9 Koordinat titik A, B, dan C
Jarak antara titik A (1,1) dan C (4,1) dapat ditentukan melalui formula,
AC= (4 1− )2+(1 1− )2 =3.
Dengan cara yang sama, kamu dapat menunjukkan panjang segmen garis AB dan BC, yaitu 2 dan 13.
Tentunya panjang ketiga segmen AB, BC, dan AC memenuhi Teorema Phytagoras.
(Silahkan tunjukkan!).
Dari pembahasan di atas, dapat disimpulkan.
Titik A, B, dan C adalah titik-titik sudut segitiga ABC dan siku-siku di A, maka jarak antara titik B dan C adalah:
BC= (AB)2+(AC)2
Rumus 9.1
c. Jarak Titik ke Garis
Seperti diuraikan di awal bab ini, kamu pasti sudah mengetahui kedudukan titik terhadap garis. Terdapat dua kemungkinan titik pada garis, yaitu titik terletak pada garis atau titik berada di luar garis. Titik dikatakan terletak pada garis, jika titik
tersebut dilalui oleh garis. Dalam hal ini, jarak titik ke garis adalah nol. Dari Gambar 9.10, kita dapat melihat bahwa titik A dan B terletak pada garis g. Titik A dan titik B dikatakan sebagai titik yang segaris atau kolinear.
Untuk selanjutnya mari kita cermati kemungkinan jarak titik yang tidak terletak pada suatu garis, dengan kata lain kita akan mengkaji jarak titik terhadap garis dengan kegiatan dan permasalahan berikut.
Masalah-9.4
Bentuklah tim kelompokmu, kemudian pergilah ke lapangan sepakbola yang ada di sekolahmu. Ambil alat ukur sejenis meteran yang digunakan untuk mengukur titik penalti terhadap garis gawang. Ukurlah jarak antara titik penalti terhadap titik yang berada di garis gawang, lakukan berulang-ulang sehingga kamu menemukan jarak minimum antara titik penalti dengan garis gawang tersebut! Gambar 9.11 Lapangan
sepakbola
Alternatif Penyelesaian
Jika dimisalkan titik penalti adalah titik P dan garis gawang merupakan garis lurus l. Tentukanlah beberapa titik yang akan diukur, misalkan titik-titik tersebut adalah A, B, C, D, dan E. Kemudian ambil alat ukur sehingga kamu peroleh jarak antara titik P dengan kelima titik tersebut. Isilah hasil pengukuran kamu pada tabel yang tersedia.
Gambar 9.12 Jarak titik
Titik Jarak P dan A P dan B P dan C P dan D P dan E
Tabel 8.1 Jarak Titik Penalti
91 Matematika
Apakah panjang ruas garis PA, PB, PC, PD, PE, adalah sama? Menurutmu, bagaimana menentukan jarak dari titik P ke garis l? Apa yang dapat kamu simpulkan?
Sekarang, coba kamu bayangkan ada cahaya yang menyinari titik P tepat di atasnya. Tentu saja akan diperoleh bayangan titik P pada garis, yaitu P'. Untuk itu kita dapat mengatakan bahwa panjang PP' merupakan jarak titik P ke
garis l . Sedangkan, P' merupakan projeksi titik P pada garis l. Jadi, jarak titik P ke garis l adalah PP'.
Contoh 9.3
Diketahui kubus ABCD.EFGH. Tentukan projeksi titik A pada garis a. CD!
b. BD!
Gambar 9.14 Kubus ABCDEFGH
Alternatif Penyelesaian
a. Projeksi titik A pada garis CD
Jika dari titik A ditarik garis yang tegak lurus terhadap segmen garis CD maka diperoleh titik D sebagai hasil projeksinya (AD ^ CD).
Gambar 9.15 Projeksi titik A
pada garis CD
b. Proyeksi titik A pada garis BD
Jika dari titik A ditarik garis yang tegak lurus terhadap segmen garis BD maka diperoleh titik T sebagai hasil proyeksinya (AT ^ BD).
Gambar 9.16 Proyeksi titik A
pada garis BD
Contoh 9.4
Sebuah kubus PQRS.TUVW, panjang rusuknya 4 cm. Titik X terletak pada pusat kubus tersebut, seperti yang disajikan pada Gambar 9.17.
♦ Mintalah penjelasan dari gurumu tentang arti titik pusat kubus (bangun ruang).
Hitunglah:
i. Jarak antara titik R dan X ii. Jarak antara titik X dan garis PQ
Gambar-9.17: Kubus PQRS.
TUVW dengan X titik tengah TR
P Q R S T U V W X X ’ Alternatif Penyelesaian
Diketahui panjang rusuk kubus a = 4 cm.
i. Karena X adalah titik tengah ruas garis RT, maka jarak RX = 1
6 1
2 RT. RT merupakan diagonal ruang kubus sehingga berdasarkan sifat kubus, panjang diagonal ruang kubus adalah a 3=4 3 sehingga,
93 Matematika RX 1= 6 1 2 RT = 1 6 1 2∙ 3=4 3 = 3=4 32
Diperoleh, jarak titik R ke X adalah 23=4 3 cm. ii. Perhatikan gambar berikut.
Jarak antara X dan PQ adalah panjang ruas garis XX'. Dengan menggunakan segitiga siku-siku XX'Q, kita akan menentukan panjang XX'.
X'Q = 1 6 1 2 PQ = 2, sementara XQ = 1 6 1 2 QW = 23=4 3 sehingga XX' = − = − = − = ( ) ( ' ) ( ) XQ 2 X Q 2 2 2 2 3 2 12 4 2 2
Jadi, jarak antara titik X ke PQ adalah 2 2cm.3 4 5 6
d. Jarak Titik Ke Bidang
Dalam satu bidang, kita dapat menemukan titik-titik dan membentuk garis. Mari kita cermati masalah berikut ini yang terkait dengan masalah jarak titik terhadap suatu bidang.
Masalah-9.5
Perhatikan gambar berikut ini.
Gambar 9.18 Seorang pemanah sedang melatih kemampuan memanah
Edo, seorang atlet panahan, sedang mempersiapkan diri untuk mengikuti satu pertandingan besar tahun 2012. Pada satu sesi latihan di sport center, mesin pencatat kecepatan menunjukkan, kecepatan anak panah 40 m/det, dengan waktu 3 detik, tetapi belum tepat sasaran.
Oleh karena itu, Edo, mencoba mengganti jarak posisi tembak semula terhadap papan target sedemikian sehingga mampu menembak tepat sasaran, meskipun kecepatan dan waktu berubah sesuai dengan perubahan jarak.
Berapakah jarak minimal posisi Edo terhadap target?
Alternatif Penyelesaian
Tentunya, lintasan yang dibentuk anak panah menuju papan target berupa garis lurus. Keadaan tesebut dapat kita ilustrasikan sebagai berikut.
Kondisi awal, jarak antara posisi Edo terhadap papan target dapat diperoleh dari rumusan berikut.
95 Matematika
Dari dua hasil pergantian posisi, pada tembakan ketiga, dengan posisi 75 m, Edo berhasil menembak pusat sasaran pada papan target.
Posisi Edo, dapat kita sebut sebagai posisi titik T, dan papan target kita misalkan suatu bidang yang diletakkan dengan p satuan jarak dari titik T.
Cermati garis g1, walaupun panjang garis tersebut adalah 120 meter, tidak berarti garis tersebut menjadi jarak titik T terhadap papan target. Sama halnya dengan garis g3, tidak berarti jarak Edo terhadap papan target sebesar 90 meter. Tetapi panjang garis g2, merupakan jarak titik T terhadap papan target.
Jadi, metode menghitung jarak antara satu objek ke suatu bidang harus membentuk lintasan garis lurus yang tegak lurus terhadap bidang.
Ilustrasi 1
Suatu perusahaan iklan, sedang merancang ukuran sebuah tulisan pada sebuah spanduk, yang akan dipasang sebuah perempatan jalan. Tulisan/ikon pada spanduk tersebut diatur sedemikian sehingga, setiap orang (yang tidak mengalami gangguan mata) dapat melihat dan membaca dengan jelas spanduk tersebut. Ilustrasi keadaan tersebut diberikan pada Gambar 9.19 berikut ini.
Gambar 9.19 Sudut pandang dua orang terhadap suatu spanduk
Pada Gambar 9.19, jarak titik A terhadap spanduk adalah panjang garis AC, karena garis AC tegak lurus terhadap bidang spanduk. Panjang garis BC bukanlah jarak sesungguhnya jarak si B terhadap spanduk. Untuk menentukan jarak si B
terhadap bidang (spanduk), diilustrasikan pada gambar berikut.
Titik C' merupakan projeksi titik C pada bidang
yang sama (spanduk). Jadi jarak sebenarnya titik B terhadap spanduk sama dengan jarak titik B terhadap titik C'.
Jelasnya untuk keadaan ini, teorema Phytagoras berperan untuk menyelesaikan masalah jarak.
Misalkan X adalah suatu bidang datar dan titik P merupakan sebuah titik yang berada di luar bidang X. Jarak titik P terhadap bidang X merupakan panjang garis tegak lurus dari titik P ke bidang X.
Deinisi 9.2
X
P
Contoh 9.5
Perhatikan kubus di samping.
Kubus ABCD.EFGH, memiliki panjang rusuk 8 cm. Titik P merupakan titik tengah EC.
Hitunglah
a) Jarak antara titik B ke P!
b) Jarak antara titik P ke BC!
Alternatif Penyelesaian
Cermati gambar kubus di atas. Tentunya, dengan mudah kamu dapat menentukan bahwa panjang AC = 8 2 cm , dan panjang diagonal ruang CE = 83 4 5 6 2 3cm. 4 5 6
a) Karena P merupakan titik tengah EC, maka panjang segmen garis BP = 1 6 1 2 BH = 1 6 1 2 CE = 42 3cm.4 5 6
b) Jarak titik P terhadap BC, berarti kita akan menghitung jarak titik terhadap garis. Lebih jelas kondisi tersebut, cermati segitiga sama kaki BPC pada Gambar 9.22
Dari Gambar 9.22 di atas berlaku:
• Tentukan jarak titik P terhadap garis BC, dengan menggunakan cara lain. Pastikan hasil yang kamu peroleh sama dengan hasil perkerjaan di atas! PT2 = PB2 – BT2 PT2 = 5 3 2
( )
– (4)2 = 32 PT = 4 2 cmGambar 9.21 Kubus ABCD.EFGH
titik P titik tengah EC
PB = PC = 42 3 4 5 6
BC = 8 cm
97 Matematika
Contoh 9.6
Sebuah kubus KLMN.OPQR memiliki panjang rusuk 6 cm. Perhatikan segitiga KMR, tentukanlah jarak titik N ke bidang KMR
Alternatif Penyelesaian
Untuk memudahkan kita menyelesaikan persoalan di atas, ada baiknya kita mendeskripsikan sebagai berikut.
KM = 6 2cm3 4 5 6
RT = 3
2 3 4 5 6cm
NT = 3 2cm3 4 5 6
Sekarang, cermati bahwa segitiga NTR menjadi bidang penghubung menentukan panjang titik N ke bidang KMR, yaitu NS. Dengan menggunakan perbandingan panjang rusuk segitiga, maka berlaku:
NT.NR = RT.NS ⇔2 33 24.6 = 335 46.NS, sehingga diperoleh: NS = 25 6 2 3cm. 4 5 6 e. Jarak antara Dua Garis dan Dua Bidang yang Sejajar
Mari kita cermati gambar berikut ini.
Gambar 9.24 Dua garis sejajar, k dan l dipotong secara tegak lurus oleh garis m
Garis k dan l dikatakan sejajar jika jarak antara kedua garis tersebut selalu sama
(konstan), dan jika kedua garis tidak berhimpit, maka kedua garis tidak pernah
berpotongan meskipun kedua garis diperpanjang. Sekarang kita akan memperhatikan rusuk-rusuk yang sejajar dalam suatu bangun ruang.
Uji Kompetensi 9.1
Misalnya, Balok PQRS.TUVW pada Gambar 9.25, semua rusuk pasangan rusuk yang sejajar pasti sama panjang. Misalnya, rusuk PQ sejajar dengan RS, yang terletak pada bidang PQRS.
Lebih lanjut, bidang PSTW sejajar dengan bidang QRVU, dan jarak antara kedua bidang tersebut adalah panjang rusuk yang menghubungkan kedua bidang.
Rusuk PQ memotong rusuk QU dan QR secara tegak lurus, maka sudut segitiga PQR adalah 90°.
Gambar 9.25 Balok PQRS.TUVW
1 Diketahui kubus PQRS.TUVW dengan panjang rusuk 5 cm. Titik A adalah titik tengah RT. Hitunglah jarak antara
a. titik V dan titik A! b. titik P dan A! c. titik A dan garis SQ! d. titik Q dan garis RW! e. titik P dan garis RT!
2. Diketahui balok ABCD.EFGH dengan AB = 4 cm, BC = 8 cm, dan BF = 10 cm. Hitunglah jarak antara a. titik B dan bidang ACGE! b. titik G dan bidang CDEF! 3. Garis AB dan CD sejajar dan berjarak
4 satuan. misalkan AD memotong BC di titik P di antara kedua garis. Jika AB = 4 satuan luas dan CD =12 satuan, berapa jauh titik P dari garis CD?
4. Diberikan persegi panjang PQRS. titik Q terletak di dalam PQRS
se-demikian rupa sehingga OP = 3 cm, OQ = 12 cm. panjang OR adalah … 5. Tentukan jarak antara titik R dengan
bidang PWU pada kubus PQRS. TUVW! Panjang rusuk kubus 12 cm. 6. Balok ABCD.PQRS memiliki rusuk
alas AB = 4 cm, BC = 3 2 cm, dan 3 4 5 6
rusuk tegak AP = 22 3 4 5 6cm. Tentukan a. jarak antara QR dan AD! b. jarak antara AB dan RS!
7. Pada balok ABCD EFGH, X merupakan jarak C ke BD dan α
merupakan sudut antara bidang BDG ke bidang ABCD. Tentukanlah jarak C terhadap bidang BDG! 8. Diberikan sebuah Bangun bidang
empat beraturan T.PQR dengan panjang rusuk 4 cm dan titik A merupakan titik tengah TC, dan titik B merupakan titik tengah PQ. Tentukan panjang AB!
99 Matematika
9. Diberikan sebuah kubus ABCD. EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. T merupakan titik tengah BC. Tentukanlah jarak titik T ke garis AH!
10. Diberikan sebuah kubus PQRS. TUVW dengan panjang rusuknya 4 cm. tentukan panjang proyeksi QV pada bidang PRVT!
Projek
Himpunlah permasalahan teknik bangunan, ekonomi, dan masalah nyata di sekitarmu yang melibatkan titik, garis, bangun datar dan bangun ruang. Selidikilah sifat-sifat geometri di dalam permasalahan tersebut dan ujilah kebenarannya. Buatlah laporan hasil kerja kelompokmu dan sajikan di depan kelas.
