Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear

Dua Variabel Khusus

Hingga Kegiatan 5.4, kalian telah mempelajari dan menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel yang memiliki tepat satu selesaian. Kalaupun tidak memiliki selesaian, hal ini dikarenakan semesta untuk variabel x dan variabel y yang terbatas. Namun, apakah semua sistem persamaan linear memiliki tepat satu selesaian? Apakah ada sistem persamaan yang tidak memiliki selesaian? Atau apakah ada sistem persamaan linear yang memiliki lebih dari satu selesaian?

Ayo

Kita Amati

Perhatikan masalah berikut.

Nadia berusia 5 tahun lebih muda dari usia kakaknya.

Kalian dapat menyatakan kedua umur mereka dalam sistem persamaan linear dua variabel seperti berikut.

y = t (usia Kakak Nadia)

y = t – 5 (usia Nadia) a. Gambarkan grafik dari kedua

persamaan dalam bidang koordinat yang sama. b. Berapakah jarak vertikal

antara kedua grafik? Menunjukkan apakah jarak tersebut?

c. Apakah kedua grafik berpotongan? Jelaskan maksud dari hal ini berkaitan dengan usia Nadia dan Kakaknya.

Sumber: Kemdikbud

Gambar 5.5 Nadia dan Kakaknya

13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 Y T Gambar 5.6 Grafik usia Nadia dan Kakaknya

Ayo Kita Menanya

?

?

Apa yang dapat kalian ketahui tentang grafik dua persamaan? Apakah ada keterkaitan antara bentuk dua grafik dan banyaknya selesaian? Coba kalian buat pertanyaan lainnya yang terkait dengan apa yang telah kalian amati di atas. Ajukan pertanyaan kalian kepada guru atau teman kalian.

+

=+ Ayo Kita

Menggali Informasi

Mari kita cari informasi mengenai sistem persamaan linear dua variabel khusus.

Perhatikan masalah berikut. Terdapat dua bilangan, yakni x dan y. Nilai y

adalah 4 lebihnya dari dua kali nilai x. Selisih 3y dan 6x adalah 12. Dapatkah kalian menentukan dua bilangan tersebut?

Untuk mengetahuinya, kita buat dua persamaan.

y = 2x + 4

3y − 6x = 12

Gambar grafik kedua persamaan di atas pada bidang koordinat yang sama. Apakah kedua garis saling berpotongan? Jelaskan.

Berapakah selesaian dari masalah di atas?

Sistem persamaan linear dua variabel dapat memiliki satu selesaian, tidak memiliki selesaian, bahkan memiliki tak hingga selesaian. Perhatikan gambar berikut.

0 X

Y

Memiliki satu selesaian

Kedua garis berpotongan

0 X

Y

Tidak memiliki selesaian

Kedua garis sejajar

0 X

Y

Memiliki selesaian tak hingga

Contoh 5.14

Selesaikan sistem persamaan berikut.

y x y x 3 1 3 −3 = + =

*

Penyelesaian Alternatif

Untuk menyelesaikan sistem persamaan di atas, kalian bisa menggunakan dua metode.

Metode 1. Menggambar grafik kedua

persamaan.

Gambar grafik setiap persamaan memiliki kemiringan (gradien) yang sama dan berbeda titik potong terhadap sumbu-Y. Sehingga kedua garis sejajar. Karena kedua garis sejajar, maka tidak memiliki titik potong sebagai selesaian untuk sistem persamaan linear.

Metode 2. Metode substitusi

Substitusi 3x − 3 ke persamaan pertama. y = 3x + 1

3x − 3 = 3x + 1 − 3 = 1 (salah)

Jadi, sistem persamaan linear tidak memiliki selesaian

Contoh 5.15

Keliling suatu persegi panjang adalah 36 dm. Keliling segitiga adalah 108 dm. Tulis dan tentukan selesaian dari sistem persamaan linear dua variabel untuk menentukan nilai x dan y.

1 2 3 4 5 6 0 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 5 4 3 2 1 –2 –1 –3 –4 –5 –6 3 1 1 3 y = 3x + 1 y = 3x − 3 Y X

Penyelesaian Alternatif

Keliling persegi panjang 2(2x) + 2(4y) = 36 4x + 8y = 36 Keliling segitiga 6x + 6x + 24y = 108 12x + 24y = 108

Sistem persamaan linear dua variabel yang dibentuk adalah 4x + 8y = 36

12x + 24y = 108

Untuk menyelesaikan sistem persamaan di atas, kalian bisa menggunakan dua metode.

Metode 1. Menggambar grafik kedua

persamaan.

Gambar grafik setiap persamaan memiliki kemiringan (gradien) dan titik potong terhadap sumbu-Y yang sama. Sehingga kedua garis adalah sama atau berhimpit.

Dalam konteks ini, x dan y harus positif. Karena kedua garis saling berimpit, maka semua titik yang melalui garis pada kuadran pertama adalah selesaian

dari sistem persamaan. Sehingga, sistem persamaan linear ini memiliki selesaian yang tak terhingga.

Metode 2. Metode eliminasi.

Kalikan persamaan pertama dengan 3, lalu kurangkan kedua persamaan. 4x + 8y = 36 (kalikan 3) 12x + 24y = 108 12x + 24y = 108 12x + 24y = 108 – 0 = 0 4y 2x 6x ^6x 24y 1 2 3 4 5 6 7 8 0 − − − − − −5−4−3−2−1 8 7 6 5 4 3 2 1 −2 −1 −3 −4 − − − − − − 4x + 8y = 36 12x + 24y = 108 Y X

Persamaan 0 = 0 selalu benar. Dalam konteks ini, x dan y pasti positif. Sehingga selesaiannya adalah semua titik pada garis 4x + 8y = 36 di kuadran pertama. Sehingga, sistem persamaan linear ini memiliki selesaian yang tak terhingga. Apa yang terjadi pada selesaian Contoh 5.11 jika keliling persegi panjang 54 dm? Jelaskan.

Ayo Kita Menalar

a. Ketika kalian menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel menggunakan metode substitusi dan eliminasi, bagaimana kalian tahu bahwa sistem persamaan tidak memiliki selesaian atau memiliki selesaian yang tak hingga?

b. Salah satu persamaan dalam sistem persamaan linear memiliki kemiringan (gradien) −3. Persamaan yang lain memiliki kemiringan 4. Berapa banyak selesaian yang dimiliki sistem persamaan linear? Jelaskan.

c. Bagaimana cara kalian menggunakan kemiringan (gradien) dan titik potong terhadap sumbu-Y dari suatu persamaan dalam sistem persamaan linear dua variabel untuk menentukan apakah sistem persamaan yang diberikan memiliki tepat satu selesaian, memiliki selesaian yang tak hingga, atau tidak memiliki selesaian? Jelaskan alasan kalian.

d. Perhatikan sistem persamaan linear dua variabel berikut.

y = ax + 1

y = bx + 4

Apakah sistem persamaan di atas tidak mungkin, selalu, atau kadang-kadang tidak memiliki selesaian untuk a = b? a ≥ b? a < b? Jelaskan alasan kalian.

Ayo Kita Berbagi

Diskusikan jawaban dari pertanyaan Ayo Kita Menalar dengan teman kalian dan sampaikan di depan kelas.

Ayo Kita

!

?!

?

Berlatih 5.5

1. Misalkan x dan y adalah dua bilangan berbeda, tentukan selesaian dari teka teki berikut.

“¹₂ dari x ditambah 3 sama dengan y.”

“x sama dengan 6 lebihnya dari dua kali nilai y.”

2. Tanpa menggambar grafik, tentukan apakah sistem persamaan berikut memiliki tepat satu selesaian, tak hingga selesaian, atau tidak memiliki selesaian? Jelaskan alasan kalian.

a. y = 5x – 9 y = 5x + 9 b. y = 6x + 2 y = 3x + 1 c. y = 8x – 2 y − 8x = −2 3. Tentukan selesaian dari sistem persamaan linear dua variabel berikut.

a. y = 2x − 2 y = 2x + 9 b. −2x + y = 1,3 2(0,5x − y) = 4,6 c. 2x + 6y = 6 ₃¹ x + y = 1 4. Nadia membuat sebuah cerita yang dinyatakan oleh sistem persamaan

berikut. 5p + 3k = 12 10p + 6k = 16

Bisakah Nadia menemukan nilai p dan k? Jelaskan alasanmu.

5. Dalam lomba balap kelinci, kelinci milikmu berada 3 meter di depan kelinci milik temanmu. Kelincimu berlari dengan kecepatan rata-rata 2 meter per detik. Kelinci temanmu juga berlari 2 meter per detik. Sistem persamaan linear yang menyatakan situasi tersebut adalah y

= 2x + 3 dan y = 2x. Apakah kelinci temanmu akan menyusul kelinci milikmu? Jelaskan.

6. Tentukan nilai a dan b sehingga sistem persamaan linear di bawah ini memiliki selesaian (2, 3). Apakah sistem persamaan tersebut memiliki selesaian yang lain? Jelaskan.

12x − 2by = 12 3ax − by = 6