Pada bagian ini tetap dibatasi pembahasan untuk sistem dengan masukan dan keluaran tunggal, oleh karena itu fungsi transfernya dinotasikan dengan h(s). Untuk suatu respon frekuensi ditulis:
h(iω) = |h(iω)|eiargh(iω).
Respon stasioner dari u(t) =uωeiωt, uω, ω ∈Radalah:
y(t) =h(iω)uωeiω =
Metoda Frekuensi.. 153 Bila diambil bagian imajiner dari u(t):
Im (u(t)) =uωsin(ωt+φ) = Im uωeiφeiωt
respon stasionernya menjadi:
Im (y(t)) = Im h(iω)uωeiφeiωt
= Im |h(iω)|uωei(ωt+φ+argh(iω))
= |h(iω)|uωsin (ωt+φ+ argh(iω)).
(6.23) Terlihat, respon stasionernya berbentuk sinus dengan amplitudo |h(iω)|uω. Phase dari ossilasi bertambah sebesar argh(iω). Jadi, sistem linear invarian-waktu dengan fungsi transfer h(s) mentransformasi suatu signal sinusiodal dengan frekuensi ω kebentuk signal sinusiodal yang lain dengan frekuensi ω, amplitudonya menjadi amplitudo asal dikalikan dengan|h(iω)| dan phasenya bertambah sebesarargh(iω).
Contoh 47 Dikaji lagi contoh rangkaian elektrik RLC yang diberikan dalam Contoh 4. Bentuk ruang keadaan sistem diberikan oleh:
˙ x1(t) ˙ x2(t) = 0 C1 −1 L − R L x1(t) x2(t) + 0 1 L u(t), dimana masukan sistem u(t) = e(t). Fungsi transfer sistemnya adalah:
h(s) =C(sI−A)−1B = 1
LCs2+RCs+ 1.
Jadi h(iω) = −LCω2+1+1 iRCω. Pole-pole dari h(s) adalah akar-akar dari s2 + RL + LC1 = 0.
Dapat ditunjukkan bahwa kedua polenya mempunyai bagian ril negatif, jadi
y(t)∼ |h(iω)|uωsin (ωt+φ+ argh(iω)),
bila digunakan signal masukan uωsin(ωt+φ), diperoleh:
|h(iω)| = p 1
(1−LCω2)2+R2C2ω2
argh(iω) = arctan
−RCω
1−LCω2
.
Secara lebih umum, bila suatu signal kombinasi dari sinusiodal dengan frekuensi yang memunkinkan berbeda dikenakan pada sistem, maka keluaran merupakan signal kom- bianasi sinusiodal tang lain dengan frekuensi sama dengan frekuensi masukan.
Fungsi-fungsi respon frekuensi sering digunakan dalam analisa jaringan, kontrol otomatik dan akustik. Ada dua metoda yang dikenal untuk secara grafik menampilkan h(iω) guna memperoleh kesan dari perilaku sistem yang dikaji. Dua moteda ini secara singkat didiskusikan.
1. Diagram Nyquist atau plot polar. Fungsih(iω) diplot sebagai kurva dalam bidang dengan parameter ω yang bervariasi dari 0 sampai +∞. Bila dilihat h(s) sebagai fungsi dari bidang kompleks ke bidang kompleks, maka diagram Nyquist adalah "im- age" dari h pada sumbu imajiner positif.
2. Diagram Bodeataudiagram logarithma. Dalam hal inihdisajikan oleh dua grafik yaitu plot amplitudo: ln|h(iω)| sebagai fungsi dari lnω dan plot phase: arg(h(iω)) sebagai suatu fungsi lnω.
0 Im u= 4 u= 2 u= 1 u=.5 1 u= 0Re 2010log|iω| Amplitudo (dB) u=T ω 0.01 0.1 1 -20 -40 0 phase (0) 0 arg(h(iω)) -300 -600 -900 0.01 0.1 1 u=T ω asimtot
Gambar 6.12: Diagram Nyquist dan Bode.
Sebagai contoh, pada Gambar 6.12 diagram Nyquist dan Bode dari sistem dengan fungsi transfer 1
1+τ s, τ > 0. Skala ln|h(iω)| diungkapkan dengan decibel (dB). Grafik |h(iω)|
"versus" ω mengungkapkan yang dapat melewati sistem dan gain. Jadi sistem dapat diinterpretasikan sebagai suatu filter dari signal masukan.
B |h| 0 ω |h| 0 ω gain |h| 0 ω B |h| 0 ω
Gambar 6.13: Filter frekuensi rendah.
Metoda Frekuensi.. 155 melewati sistem, sedangkan frekuensi-frekuensi tinggi dipotong. Filter-filter yang demikian tadi dinamakan suatufilter frekuensi rendah. Gambar-gambar yang lain menunjukkan macam-macam filter yang lain. Bandwidth B dari suatu sistem didefinisikan sebagai range dari frekuensi signal masukan yang mana respon sistem akan memuaskan.
Berikut ini diuraikan suatu pemakaian sederhana dari suatu filter frekuensi rendah (lihat Gambar 6.13). Misalkan suatu signal gangguan yang biasanya merupakan signal- signal frekuensi tinggi. Bila diinginkan membersihkan gangguan ini, bisa digunakan suatu filter frekuensi rendah. Sebagai akibatnya, bagian signal keluran yang berkaitan dengan frekuensi tinggi dapat dihentikan.
+ -
U(s) Y(s)
H2(s) H1(s)
Gambar 6.14:
Contoh 48 Tinjau konfigurasi sistem umpan balik berikut yang diberikan oleh Gam- bar 6.14. Dalam Gambar 6.14, sistem dengan fungsi transfer H1(s) biasanya dinamakan
plan. Diinginkan mendisain suatukontrolerH2(s)sedemikian hingga keseluruhan sistem
umpan balik mempunyai karakteristik yang menyenangkan. Kontroler yang dikarakteristik oleh fungsi transfernya bisa dipilih oleh disainer. Bisa ditunjukkan bahwa fungsi transfer keseluruhan sistem umpan balik diberikan oleh:
H(s) = (I+H1(s)H2(s))−1H1(s)H2(s).
Suatu kriteria disain yang mungkin adalah Y(s) sedapat mungkin mendekati U(s). Hal ini dinamakan "tracking". Suatu kemungkinan untuk memperoleh suatu sistem track- ing yang baik adalah mendisain H2(s) dengan suatu cara sehingga H1(s)H2(s) "besar",
maka dari itu (I+H1(s)H2(s))−1H1(s)H2(s)∼ I, hal ini berakibat Y(s)∼ U(s). Untuk
frekuensi yang dipertimbangkan s diganti dengan iω, didefinisikan S(ω)sebagai:
S(ω) = (I+H1(iω)H2(ω))−1,
S(ω)dinamakanoperator sensitifitas. Suatu sistem dikatakan mempunyai karakterisitik sensitifitas yang baik bila
(I+H1(iω)H2(ω))≥φ(ω)
untuk semua|ω| ≤ω0 (bandwidth yang diingini), dimanaφ(ω)adalah suatu fungsi positip
yang bernilai besar.
Contoh 49 Masalah differensiator, misalkan y(t) = dudt(t), t ∈ R, maka untuk u(0) = 0 diperoleh: Y(s) = ∞ Z 0 e−stdu(t) dt dt= u(t)e −st ∞ 0 +s ∞ Z 0 u(t)e−stdt=sU(s).
Fungsi transfernya adalah h(s) = s, dalam hal ini derajad dari pembilang lebih besar dari penyebutnya, yaitu sistem adalah tak-kausal. Sistem semacam ini secara teknik tidak bisa direalisasikan, sebab bila u(s) diketahui sampai saat waktu t, maka derifatif pada titik akhir s = t tidak ada. Selanjutnya karena |h(iω)| = |ω| ini berarti frekuensi tinggi dikenakan terus menerus dengan phase arg(iω) = π
2 untuk semua frekuensi.
Berikut ini ditinjau persamaan (6.6) dengan umpan balik H2(s) = I dan H1(s) merepre-
sentasikan sistem masukan-keluaran tunggal, oleh karena itu diganti H1(s) denganh1(s).
Diasumsikan fungsi transfer h(s) "sejati kuat" dan tidak mempunyai pole pada sumbu imajiner, asumsi yang akhir ini tidak begitu esensial tetapi hal ini hanya sekedar untuk penyederhanaan. Persamaan (6.6) menjadi:
h(s) = h1(s)
1 +h1(s)
.
Tinjau pemetaanω 7→h(iω), dimana−∞< ω <+∞danh(iω)adalah suatu kurva dalam domain kompleks. Untuk ω = −∞ kurva dinotasikan dengan Γ, dimulai dari titik asal, dan untukω = +∞ kurva berakhir pada titik asal lagi. Oleh karena itu titik asal terletak didalam kurva tertutup Γ.
Teorema 21 Dengan formulasi asumsi diatas, banyaknya putaran mengelilingi titik −1
oleh kurva tutup Γ searah dengan putaran jarum jam sama dengan banyaknya pole-pole
tak-stabil dari sistem loop-tutup dikurangi banyaknya pole-pole tak-stabil dari sistem loop- buka.
Sistem loop-buka adalah sistem dengan fungsi transferh1(s), sedangkan sistem loop-tutup,
merujuk pada sistem dengan umpan balik satuan I. Teorema 21 adalah versi sederhana dari teorema yang lebih umum yang dikenal dengan nama kriteria Nyquist yang bisa digunakan untuk mengecek apakah sistem loop-tutup stabil.
Disini tidak diberikan bukti kriteria Nyquist. Kriteria ini berdasar pada teorema Teo- rema Cauchy dalam teori fungsi kompleks. Berikut ini, diberikan teorema Cauchy.
Metoda Frekuensi.. 157 Teorema 22 Asumsikan bahwa h suatu fungsi rasional atau lebih umumnya suatu fungsi "meromorphic" yang tak mempunyai pole atau zeros pada suatu kurva tutup sederhana C. Lagipula diasumsikan bahwa putaran pada C searah jarum jam. Maka integral berikut:
1 2π Z C d dsh(s) h(s) ds
sama dengan banyaknya pole-pole dalam C dikurangi banyaknya zeros dalam C.
Pembatasan umpan balik adalah I bukan dimaksudkan untuk membatasi kajian, sebagai mana yang terlihat berikut ini. Untuk umpan balik h2(s), persamaan (6.6) menjadi:
h(s) = h1(s)
1 +h1(s)h2(s)
= h1(s)h2(s)
1 +h1(s)h2(s)
h−21(s)
terlihat bahwa ungkapan diatas sebagai suatu sistem seri dari dua subsistem yang dikarak- teristik masing-masing olehh1h2(1 +h1h2)−1 dan h−21 asalkan keduanya terdefinisi dengan
baik. Subsistem yang pertama adalah suatu sistem yang dikarakteristik oleh h1h2 dengan
suatu umpan balik I. Jadi kajian kestabilan dari suatu sistem dengan umpan balik bukan I bisa ditransformasi ke kajian kestabilan suatu sistem dengan umpan balik I dengan tambahan persyaratan bahwa sistem yang dikarakteristik oleh h−21 ada.
Bab
7
Kontrol Optimal
Dalam kajian teknik pendisainan kontroler umpan balik sistem banyak masukan banyak keluran bertujuan untuk memperoleh perilaku sifat-sifat sistem, misalnya kestabilan, ke- tepatan keadaan stedi dan yang lainnya.
Kontrol umpan balik adalah mekanis dasar dimana sistem-sistem; sistem mekanik, sis- tem elektrik atau sistem biologi diupayakan kestabilannya. Dalam berbagai bentuk ke- hidupan yang lebih tinggi, kondisi dimana kehidupan dapat bersinambung sungguh tidak luas. Perubahan temperatur dalam badan dari separuh tingkatan umumnya menunjukkan suatu tanda kegagalan. Kestabilan dari badan dipertahankan dengan menggunakan man- faat kontrol umpan balik [Wiener 1948]. Kontribusi utama dari C.R. Darwin adalah teori umpan balik pada periode yang lama merupakan suatu faktor kunci evolusi species. Pada tahun 1931 V. Volterra menerangkan keseimbangan diantara dua populasi ikan dengan pemanfaatan teori umpan balik ada kesetaraan.
Kontrol umpan balik dapat didefinisikan sebagai pemanfaatan beda signal yang di- tentukan oleh perbandingan nilai-nilai aktual dari fariabel sistem dengan nilai-nilai yang diharapkan, beda ini mempunyai arti sebagai pengontrolan sistem. Contoh yang dijumpai sehari-hari dari suatu sistem kontrol umpan balik adalah suatu kontrol kecepatan mobil.
Dalam suatu sistem kontrol industri biaya pembuatan suatu sistem kontrol di buat seke- cil mungkin dengan tetap mencapai suatu tujuan keuntungan dalam sistem kontrol industri tersebut. Praktisnya faktor-faktor ekonomi mengkompromikan penyelesaian masalah pen- gontrolan agar dalam pembuatannya secara wajar, murah dengan tetap memenuhi suatu kriteria tertentu dari perilaku sistemnya.