METODE DEVIDE AND CONQUER
Pokok Bahasan:
1. Pengertian Algoritma Devide and Conquer 2. Penerapan Algoritma
3. Metode Sorting
Tujuan Pembahasan:
1. Memahami Algoritma Devide and Conquere 2. Menerapkan Algoritma Devide and Conquere
3. Memahami Metode Sorting : Selection Sort, Bubble Sort , Insertion Sort dan Merge Sort.
7.1 Pengertian
Algoritma Divide and Conquer merupakan algoritma yang sangat populer di dunia Ilmu Komputer. Divide and Conquer merupakan algoritma yang berprinsip memecah-mecah permasalahan yang terlalu besar menjadi beberapa bagian kecil sehingga lebih mudah untuk diselesaikan.
Langkah-langkah umum algoritma Divide and Conquer :
• Divide : Membagi masalah menjadi beberapa upa-masalah yang memiliki kemiripan dengan masalah semula namun berukuran lebih kecil ( idealnya berukuran hampir sama ).
• Conquer : Memecahkan ( menyelesaikan ) masing-masing upa-masalah ( secara rekursif ). • Combine : Menggabungkan solusi masing-masing upa-masalah sehingga membentuk solusi
masalah semula.
Objek masalah yang di bagi adalah masukan (input) atau instances yang berukuran n: tabel (larik), matriks, dan sebagainya, bergantung pada masalahnya. Tiap-tiap upa-masalah mempunyai karakteristik yang sama (the same type) dengan karakteristik masalah asal, sehingga metode Divide and Conquer lebih natural diungkapkan dalam skema rekursif. Sesuai dengan karakteristik pembagian dan pemecahan masalah tersebut, maka algoritma ini dapat berjalan baik pada persoalan yang bertipe rekursif (perulangan dengan memanggil dirinya sendiri). Dengan demikian, algoritma ini dapat diimplementasikan dengan cara iteratif ( perulangan biasa ), karena pada prinsipnya iteratif hampir sama dengan rekursif. Salah satu penggunaan algoritma ini yang paling populer adalah dalam hal pengolahan data yang bertipe array ( elemen larik ). Mengapa ? Karena pengolahan array pada umumnya selalu menggunakan prinsip rekursif atau iteratif.
Penggunaan secara spesifik adalah untuk mencari nilai minimal dan maksimal serta untuk mengurutkan elemen array. Dalam hal pengurutan ini ada empat macam algoritma pengurutan yang berdasar pada algoritma Divide and Conquer, yaitu merge sort, insert sort, quick sort, dan selection sort. Merge sort dan Quick sort mempunyai kompleksitas algoritma O(n ²log n). Hal ini lebih baik jika dibandingkan dengan pengurutan biasa dengan menggunakan algoritma brute force.
Skema Umum Algoritma Divide and Conquer :
7.2 Penerapan Algoritma
A. Pemecahan Masalah Convex Hull dengan Algoritma Divide and Conquer, hal ini dapat dipandang sebagai generalisasi dari algoritma pengurutan merge sort.
Berikut ini merupakan garis besar gambaran dari algoritmanya:
• Pertama-tama lakukan pengurutan terhadap titik-titik dari himpunan S yang diberika berdasarkan koordinat absis-X, dengan kompleksitas waktu O(n log n).
• Jika |S| ≤ 3, maka lakukan pencarian convex hull secara brute-force dengan kompleksitas waktu O(1). (Basis).
• Jika tidak, partisi himpunan titik-titik pada S menjadi 2 buah himpunan A dan B, dimana A terdiri dari setengah jumlah dari |S| dan titik dengan koordinat absix-X yang terendah dan B terdiri dari setengah dari jumlah |S| dan titik dengan koordinat absis-X terbesar.
• Secara rekursif lakukan penghitungan terhadap HA = conv(A) dan HB = conv(B).
• Lakukan penggabungan (merge) terhadap kedua hull tersebut menjadi convex hull, H, dengan menghitung da mencari upper dan lower tangents untuk HA dan HB dengan mengabaikan semua titik yang berada diantara dua buah tangen ini.
Permasalahan convex hull adalah sebuah permasalahan yang memiliki aplikasi terapan yang cukup banyak, seperti pada permasalahan grafika komputer, otomasi desain, pengenalan pola (pattern recognition), dan penelitian operasi. Divide and Conquer adalah metode pemecahan masalah yang bekerja dengan membagi masalah menjadi beberapa upa-masalah yang lebih kecil, kemudian menyelesaikan masing-masing upa-masalah tersebut secara independent, dan akhirnya menggabungkan solusi masing-masing upa-masalah sehingga menjadi solusi dari masalah semula.
Algoritma Divide and Conquer merupakan salah satu solusi dalam penyelesaian masalah convex hull. Algoritma ini ternyata memiliki kompleksitas waktu yang cukup kecil dan efektif dalam menyelesaikan permasalahan ini (jika dibandingkan algoritma lain). Selain itu juga, algoritma ini dapat digeneralisasi untuk permasalahan convex hull yang berdimensi lebih dari 3.
B. Persoalan Minimum dan Maksimum (MinMaks)
Persoalan : Misalnya diketahui table A yang berukuran n eleman sudah berisi nilai integer. Kita ingin menentukan nilai minimum dan nilai maksimum sekaligus di dalam table tersebut. Misalkan tabel A berisi elemen-elemen sebagai berikut :
Ide dasar algoritma secara Divide and Conquer :
Ukuran table hasil pembagian dapat dibuat cukup kecil sehingga mencari minimum dan maksimum dapat diselesaikan (SOLVE) secara lebih mudah. Dalam hal ini, ukuran kecil yang dipilih adalah 1 elemen atau 2 elemen.
Algoritma MinMaks :
1. Untuk kasus n = 1 atau n = 2,
SOLVE : Jika n = 1, maka min = maks = An. Jika n = 2, maka bandingkan kedua elemen untuk menentukan min dan maks.
2. Untuk kasus n > 2,
DIVIDE : Bagi dua table A secara rekursif menjadi dua bagian yang berukuran sama, yaitu bagian kiri dan bagian kanan.
CONQUER : Terapkan algoritma Divide and Conquer untuk masing-masing bagian, dalam hal ini min dan maks dari table bagian kiri dinyatakan dalam peubah min1 dan maks1, dan min dan maks dari table bagian kanan dinyatakan dalam peubah min2 dan maks2.
maks1 dan maks2 untuk menentukan maks table A. C. Optimasi Konversi Bilangan Desimal Ke Biner
Salah satu cara optimasi yang bias kita lakukan adalah membagi bilangan decimal yang hendak diubah dengan angka 8 ( bukan 2 ). Disinilah prinsip algoritma Divide and Conquer kita gunakan untuk melakukan optimasi. Kita pecah-pecah angka decimal yang akan kita gunakan dengan cara membaginya dengan angka 8 secara berulang. Angka-angka sisa pembagian yang kita peroleh kemudian kita ubah ke dalam bilangan biner sebelum kita gabungkan menjadi hasil jawaban. Karena angka pembagi yang kita pakai adalah 8 (23), maka kita dapat mengurangijumlah pembagian yang kita lakukan menjadi ± 1/3 dari jumlah semula. Hal ini tentu saja akan sangat berpengaruh pada kinerja dan waktu yang diperlukan oleh computer mengingat proses pembagian merupakan salah satu proses yang cukup rumit. Tentu saja optimasi ini harus kita bayar dengan menangani konversi bilangan octal ke biner. Akan tetapi jika kita gunakan teknik perbandingan ( tanpa harus melakukan konversi secara manual ), maka proses ini akan menjadi sangat cepat dan mudah.
Penerapan algoritma ini adalah dengan menggunakan sintaks case of. Begitu juga dengan permasalahan pemakaian memori ( kompleksitas ruang ) yang lebih besar yang muncul akibat penggunaan algoritma rekursif. Karena pada proses rekursif-nya kita tidak banyak menggunakan variable yang memerlukan tempat yang begitu besar, maka hal ini bias kita abaikan. Dengan penggunaan optimasi ini, maka seharusnya proses konversi akan lebih cepat karena pemangkasan jumlah pembagian yang dilakukan.
Skema procedur utama Konversi dengan optimasi
Kompleksitas waktu algoritma : T(n) = O(n/3)
dengan n menyatakan eksponen terkecil dari 2 yang mempunyai nilai 2n lebuh besar dari angka decimal.
Algoritma konversi system bilangan dengan menggunakan algoritma dengan optimasi yang menerapkan algoritma Divide and Conquer lebih mangkus daripada algoritma konversi dengan metode pembagian sisa biasa jika dilihat dari segi kompleksitas waktunya. Hanya saja optimasi ini diimbangi dengan kenaikan pada kompleksitas ruangnya, meskipun pengaruhnya tidak sebesar optimasi yang kita lakukan.
D. Mencari Pasangan Titik yang Jaraknya Terdekat ( Closest Pair )
Persoalan : Diberikan himpunan titik, P, yang terdiri dari n buah titik, (xi,yi), pada bilangan 2-D. Tentukan jarak terdekat antara dua buah titik di dalam himpunan P. Jarak dua buah titik p1 = (x1, y1) dan p2 = (x2, y2) :
Penyelesaian dengan Algoritma Divide and Conquer :
a. Asumsi : n = 2k dan titik-titik diurut berdasarkan absis (x). b. Algoritma Closest Pair :
▪ SOLVE : jika n = 2, maka jarak kedua titik dihitung langsung dengan rumus Euclidean. ▪ DIVIDE : Bagi titik-titik itu ke dalam dua bagian, PLeft dan PRight, setiap bagian
mempunyai jumlah titik yang sama
▪ CONQUER :Secara rekursif, terapkan algoritma D-and-C pada masingmasing bagian. ▪ Pasangan titik yang jaraknya terdekat ada tiga kemungkinan letaknya :
✓ Pasangan titik terdekat terdapat di bagian PLeft. ✓ Pasangan titik terdekat terdapat di bagian PRight.
✓ Pasangan titik terdekat dipisahkan oleh garis batas L, yaitu satu titik di PLeft dan satu titik di PRight.
Jika kasusnya adalah (c), maka lakukan tahap COMBINE untuk mendapatkan jarak dua titik terdekat sebagai solusi persoalan semula.
3. Metode SORTING
Seringkali perancang program perlu mengurutkan sekumpulan data yang dimiliki untuk memudahkan pemrosesan selanjutnya terhadap data tersebut. Pengurutan adalah sebuah algoritma dasar yang sering diperlukan dalam pembuatan program. Berbagai algoritma pengurutan telah diciptakan dan dapat digunakan. Pemahaman tentang beberapa algoritma pengurutan dasar perlu diketahui, termasuk cara penggunaannya dalam program.
Pengertian Sort
Sorting atau pengurutan data adalah proses yang sering harus dilakukan dalam pengolahan
data. Sort dalam hal ini diartikan mengurutkan data yang berada dalam suatu tempat penyimpanan, dengan urutan tertentu baik urut menaik (ascending) dari nilai terkecil sampai dengan nilai terbesar, atau urut menurun (descending) dari nilai terbesar sampai dengan nilai terkecil. Sorting adalah proses pengurutan.
Ada dua macam pengurutan:
1. Pengurutan internal (internal sort), yaitu pengurutan terhadap sekumpulan data yang disimpan dalam media internal komputer yang dapat diakses setiap elemennya secara langsung. Dapat dikatakan sebagai pengurutan tabel
2. Pengurutan eksternal (external sort), yaitu pengurutan data yang disimpan dalam memori sekunder, biasanya data bervolume besar sehingga tidak mampu untuk dimuat semuanya dalam memori.
Jenis algoritma pengurutan internal yang utama antara lain: 1. Bubble Sort
2. Selection Sort 3. Insertion Sort 4. Shell Sort
5. Merge Sort 6. Radix Sort 7. Quick Sort 8. Heap Sort
Dalam modul ini hanya akan dibahas tiga metode sort yang pertama yang dianggap mudah, yaitu: Selection Sort, Bubble Sort , Insertion Sort dan Merge Sort.
Selection Sort
Teknik pengurutan dgn cara pemilihan elemen atau proses kerja dgn memilih elemen data terkecil utk kemudian dibandingkan & ditukarkan dgn elemen pd data awal, dst s/d seluruh elemen, shg akan menghasilkan pola data yg telah disort.
Prinsip Kerja dari Teknik Selection Sort ini adalah :
1. Pengecekan dimulai data ke-1 sampai dengan data ke-n
2. Tentukan bilangan dengan Index terkecil dari data bilangan tersebut
3. Tukar bilangan dengan Index terkecil tersebut dengan bilangan pertama ( I = 1 ) dari data bilangan tersebut
4. Lakukan langkah 2 dan 3 untuk bilangan berikutnya ( I= I+1 ) sampai didapatkan urutan yg optimal. Contoh : 22 10 15 3 8 2 Iterasi 1 1 2 3 4 5 6 Langkah 1 : 22 10 15 3 8 2 Langkah 2 : 22 10 15 3 8 2 Langkah 3 : 2 10 15 3 8 22
Langkah 4 : Ulangi langkah 2 dan 3 .
Iterasi 2
Langkah 1: 2 10 15 3 8 22 Langkah 2: 2 10 15 3 8 22 Langkah 3: 2 3 15 10 8 22
Langkah 4: Ulangi langkah 2 dan 3 .
Lakukan Iterasi selanjutnya sampai iterasi ke-6
Bubble Sort
Bubble sort adalah proses pengurutan sederhana yang bekerja dengan cara berulang kali
membandingkan dua elemen data pada suatu saat dan menukar elemen data yang urutannya salah. Ide dari Bubble sort adalah gelembung air yang akan “mengapung” untuk table yang terurut menaik (ascending). Elemen bernilai kecil akan “diapungkan” (ke indeks terkecil), artinya diangkat ke “atas” (indeks terkecil) melalui pertukaran.
Bubble Sort, adalah teknik sort yg bekerja dgn menggunakan prinsip gelembung (bubble) udara yg akan bergerak naik ke atas secara satuper satu.
Prinsip Kerja dari Bubble Sort adalah :
1. Pengecekan mulai dari data ke-1 sampai data ke-n 2. Bandingkan data ke-n dengan data sebelumnya (n-1)
3. Jika lebih kecil maka pindahkan bilangan tersebut dengan bilangan yg ada didepannya ( sebelumnya ) satu persatu (n-1,n-2,n-3,....dst)
4. Jika lebih besar maka tidak terjadi pemindahan 5. Ulangi langkah 2 dan 3 s/d sort optimal
Contoh : 22 10 15 3 8 2 iterasi 1 1 2 3 4 5 6 Langkah 1 : 22 10 15 3 8 2 Langkah 2 : 22 10 15 3 8 2 Langkah 3 : 22 10 15 3 2 8
Langkah 4 : Ulangi langkah 2 dan 3 Hasil iterasi 1 : 2 22 10 15 3 8
Iterasi 2
Langkah 1 : 2 22 10 15 3 8
Langkah 2 : 2 22 10 15 3 8 - 8>3, maka 8 tidak pindah, untuk selanjutnya bandingkan data sebelumnya yaitu 3.
Langkah 3 : 2 22 10 3 15 8
Langkah 4 : Ulangi langkah 2 dan 3 Hasil Iterasi 2 : 2 3 22 10 15 8
Lakukan Iterasi selanjutnya sampai iterasi ke- 6
QuickSort
Metode QuickSort sering disebut metode partition exchange sort, Diperkenalkan oleh C.A.R. Hoare. Pada metode ini jarak kedua elemen yang akan ditukarkan nilainya ditentukan cukup besar.
Misal ada N elemen dalam keadaan urut turun, adalah mungkin untuk mengurutkan N elemen tersebut dengan N/2 kali, yakni pertama kali menukarkan elemen paling kiri dengan paling kanan, kemudian secara bertahap menuju ke elemen yang ada di tengah. Tetapi hal ini hanya bisa dilakukan jika kita tahu pasti bahwa urutannya adalah urut turun.
Secara garis besar metode ini dijelaskan sebagai berikut, misal kita akan mengurutkan vektor A yang mempunyai N elemen. Kita pilih sembarang dari vektor tersebut, biasanya elemen pertama misalnya X. kemudian semua elemen tersebut disusun dengan menempatkan X pada posisi J sedemikian rupa sehingga elemen ke 1 sampai ke j-1 mempunyai nilai lebih kecil dari X dan elemen ke J+1 sampai ke N mempunyai nilai lebih besar dari X. Dengan demikian kita mempunyai dua buah subvektor, subvektor pertama nilai elemennya lebih keci dari X, subvektor kedua nilai elemennya lebih besar dari X.
Pada langkah berikutnya, proses diatas diulang pada kedua subvektor, sehingga kita akan mempunyai empat subvektor. Proses diatas diulang pada setiap subvektor sehingga seluruh vektor semua elemennya menjadi terurutkan.
Contoh:
Gambar 38. Metode Quick Sort
Insertion Sort
Prinsip dasar Insertion adalah secara berulang-ulang menyisipkan / memasukan setiap elemen. ke dlm posisinya / tempatnya yg benar.
Prinsip Kerja Insertion Sort adalah
1. Pengecekan mulai dari data ke-1 sampai data ke-n 2. Bandingkan data ke-I ( I = data ke-2 s/d data ke-n )
3. Bandingkan data ke-I tersebut dengan data sebelumnya (I-1), Jika lebih kecil maka data tersebut dapat disisipkan ke data awal sesuai dgn posisisi yg seharusnya
4. Lakukan langkah 2 dan 3 untuk bilangan berikutnya ( I= I+1 ) sampai didapatkan urutan yang optimal Contoh : 22 10 15 3 8 2 Iterasi 1 1 2 3 4 5 6 Langkah 1: 22 10 15 3 8 2 Langkah 2: 10 22 15 3 8 2 Langkah 3: 10 22 15 3 8 2
Langkah 4: Ulangi langkah 2 dan 3
Iterasi 2
Langkah 1: 10 22 15 3 8 2 Langkah 2: 10 15 22 3 8 2 Langkah 3: 10 15 22 3 8 2
Langkah 4: Ulangi langkah 2 dan 3 Lakukan Iterasi selanjutnya sampai iterasi ke- 6
Catatan : Setiap ada pemindahan, maka elemen. Yang sudah ada akan di insert sehingga akan bergeser kebelakang.
Merge Sort
Prinsip Kerja Merge Sort adalah :
1. Kelompokan deret bilangan kedalam 2 bagian, 4 bagian, 8 bagian, ...dst (2n) 2. Urutkan secara langsung bilangan dalam kelompok tsb.
3. Lakukan langkah diatas untuk kondisi bilangan yg lain sampai didapatkan urutan yg optimal Contoh : 22 10 15 3 8 2 Iterasi 1 1 2 3 4 5 6 Langkah 1 : 22 10 15 3 8 2 Langkah 2 : 10 22 3 15 2 8 Iterasi 2 Langkah 1 : 10 22 3 15 2 8 Langkah 2 : 3 10 15 22 2 8 Iterasi 3 Langkah 1 : 3 10 15 22 2 8 Langkah 2 : 2 3 8 10 15 22