BAB IV MODEL DAN PEMBAHASAN
4.2 Analisis Ketahanan Nonparametrik
4.2.3 Metode Hazard Proporsional Cox
Daerah penolakan adalah jika nilai statistik Logrank, . Data interval kelahiran anak pertama dianalisis berdasarkan tempat tinggal (desa, kota), dan hasil uji Logrank seperti tabel berikut.
Tabel 3 Hasil uji Logrank berdasarkan tempat tinggal dengan metode Kaplan-Meier
Statistik Nilai Statistik
154.096 513.269 46.264
Dengan taraf nyata 0.05 uji khi-kuadrat berderajad bebas 1 didapat nilai W tersebut cukup signifikan untuk menolak . Jadi dapat disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang nyata antara tingkat ketahanan individu di desa dan tingkat ketahanan individu di kota.
Jika data survival yang akan dibandingkan lebih dari dua kelompok individu, misalnya ingin melihat perbedaan karakteristik tingkat pendidikan, jenis pekerjaan, tempat tinggal, umur perkawinan pertama, dan lain-lain maka metode
Life Table dan Kaplan-Meier menjadi tidak praktis. Hal ini dikarenakan dalam
metode Life Table dan Kaplan-Meier setiap dua kelompok populasi harus diuji secara tersendiri, sehingga jika ada beberapa kelompok maka harus dilakukan uji berulang-ulang.
4.2.3 Metode Hazard Proporsional Cox
Jika responden mempunyai beberapa karakteristik, metode hazard proporsional Cox dapat menerangkan pengaruh karakteristik-karakteristik tersebut terhadap peubah respon secara simultan. Asumsi untuk model ini adalah hazard dalam peubah bebas kategori bersifat proporsional. Dalam motode hazard
26
proporsional Cox karakteristik-karakteristik ini disebut sebagai kovariat, peubah penjelas atau peubah bebas (covariates, explanatory variables or independent
variables) dan sebagai peubah tak bebasnya adalah waktu ketahanan. Untuk
mengetahui tingkat kegagalan bersyarat atau tingkat hazard dari individu dengan karakteristik tertentu (nilai peubah bebas) dapat dinyatakan dengan model hazard proporsional Cox.
Misalkan suatu data survival untuk individu suatu populasi, maka fungsi hazardnya dapat ditentukan dengan . Jika ada populasi lain dengan fungsi hazard yang bersifat proporsional terhadap , maka dapat dinyatakan , dengan adalah konstanta positip. Karena maka dapat dilakukan transformasi dengan menggunakan fungsi eksponen, yaitu
. Misal x adalah peubah indikator dengan nilai
Jika adalah nilai dari x untuk individu ke- i, maka fungsi hazard individu tersebut dapat dinyatakan dengan
. (4.19)
Persamaan (4.19) adalah model hazard proporsional Cox untuk mem-bandingkan dua populasi. Model tersebut dapat dibuat lebih umum yaitu risiko melahirkan anak pertama individu ke-i bergantung pada nilai dari p peubah penjelas . Himpunan nilai peubah penjelas pada model hazard proporsional Cox dinyatakan oleh vektor . Misalkan adalah fungsi hazard dari individu yang nilai peubah penjelasnya membuat vektor sama dengan nol, maka disebut baseline fungsi hazard. Fungsi hazard untuk individu ke-i dapat dinyatakan dengan , dengan adalah nilai fungsi dari vektor peubah penjelas untuk individu ke-i. Nilai
sehingga dapat dinyatakan dengan , dimana
merupakan kombinasi linear dari p peubah penjelas pada , yaitu
27
Selanjutnya bentuk umum hazard proporsional Cox menjadi
= . (4.20)
Persamaan (4.21) menunjukkan bahwa model hazard proporsional Cox dapat dilihat sebagai model linear logaritma dari rasio hazard.
a. Penduga parameter
Parameter dalam model hazard proporsional Cox merupakan parameter yang belum diketahui nilainya dan akan diduga menggunakan metode maximum
likelihood. Pendugaan dengan metode maximum likelihood adalah nilai yang memaksimumkan fungsi likelihood. Fungsi likelihood adalah peluang bersama dari data pengamatan yang dianggap sebagai fungsi dari parameter yang tidak diketahui nilainya dalam asumsi model.
Misalkan data n wanita menikah yang terdiri dari r individu telah melahirkan anak pertama dan n-r individu tersensor kanan, data r individu diurutkan menjadi . Diasumsikan hanya ada satu kelahiran pada tiap waktu kelahiran. Jika kejadian A adalah wanita menikah dengan nilai peubah penjelas melahirkan anak pertama pada waktu dan kejadian B adalah kelahiran tunggal pada waktu , maka
=
(4.22) Pembilang pada (4.22) di atas adalah bentuk sederhana dari risiko melahirkan anak pertama individu ke-i pada waktu sehingga fungsi hazardnya dapat dinyatakan sebagai . Penyebutnya merupakan jumlah dari risiko kelahiran
anak pertama pada waktu ( untuk semua individu yang
28
dengan . adalah himpunan risiko pada waktu yang terdiri dari individu-individu yang bertahan hingga . Ekspresi (4.22) dapat dinyatakan dengan , dan menggunakan persamaan (4.20) menjadi
Fungsi likelihoodnya menjadi:
Misalkan waktu kejadian dan waktu sensor dari data n pengamatan dinyatakan dalam notasi pasangan peubah acak ( , dan merupakan indikator yang menunjukkan apakah waktu survival tidak tersensor ( atau tersensor ( , maka persamaan (4.23) dapat ditulis menjadi
Jika persamaan di atas di ln-kan maka diperoleh
Penduga dapat diperoleh dengan memaksimumkan fungsi ln-likelihood yaitu dengan menentukan solusi dari persamaan
29
Persamaan di atas sulit diselesaikan secara analitis tetapi lebih mudah diselesaikan secara numerik, misalnya dengan bantuan program SPSS 13.0 for windows. Ragam dari dapat didefinisikan sebagai
dan standar error dari adalah .
Selanjutnya selang kepercayaan untuk dapat ditentukan dengan
menghitung nilai .
b. Fungsi Ketahanan Model Hazard Proporsional Cox
Fungsi ketahanan dapat diperoleh dengan menggunakan hubungan antara fungsi ketahanan dan fungsi hazard kumulatif yaitu . Fungsi hazard kumulatif untuk individu ke–i diperoleh dengan mengintegralkan kedua ruas persamaan (4.20),
Selanjutnya kedua ruas dikalikan dengan dan mengeksponenkannya, akan diperoleh fungsi ketahanan untuk individu ke- i,
30
(4.26)
c. Penduga Fungsi Hazard dan Fungsi Ketahanan
Misalkan suatu model hazard proporsional Cox dengan p peubah penjelas dan koefisien penduga dari peubahnya adalah . Penduga fungsi hazard untuk individu ke-i adalah
dengan adalah nilai peubah penjelas ke-j untuk individu ke-i, dan adalah penduga baseline fungsi hazard .
Penduga baseline fungsi hazard diturunkan menggunakan pendekatan metode maksimum likelihood. Misal ada r waktu kelahiran anak pertama yang diurutkan , buah kelahiran anak pertama, dan individu yang berisiko melahirkan anak pertama. Penduga baseline fungsi hazard pada waktu adalah
(4.28)
dimana adalah solusi dari persamaan
untuk
= kumpulan semua kelahiran anak pertama pada waktu ,
= kumpulan semua individu yang berisiko melahirkan anak pertama pada waktu .
Untuk kasus tidak ada keterkaitan waktu kelahiran anak pertama, yaitu , maka ruas kiri persamaan (4.29) akan mempunyai bentuk tunggal sehingga persamaan tersebut dapaat diselesaikan untuk mendapatkan
31
Dengan asumsi bahwa risiko kelahiran anak pertama adalah konstan untuk waktu kelahiran anak pertama yang berdekatan, dan dapat dianggap sebagai penduga dari peluang individu bertahan dari sampai , maka penduga baseline fungsi ketahanan adalah
untuk , dan untuk .
Kumulatif baseline fungsi hazard adalah sehingga penduga-nya adalah
untuk .
Penduga baseline fungsi hazard, fungsi ketahanan, dan kumulatif fungsi hazard pada persamaan (4.28), (4.30), dan (4.31) dapat digunakan untuk mencari hubungan penduga untuk individu dengan nilai peubah penjelas .
Penduga fungsi hazard kumulatif untuk individu ke-i dapat diperoleh dengan mengintegralkan kedua ruas pada persamaan (4.27), yaitu
Penduga fungsi ketahanan untuk individu ke-i dapat diperoleh dengan mengalikan kedua ruas persamaan (4.32) dengan , dan mengeksponenkannya, yaitu
32
(4.33)
untuk .
d. Standar Error dan Selang Kepercayaan Rasio Hazard
Rasio hazard merupakan proporsi risiko melahirkan anak pertama populasi satu yang relatif terhadap kelompok populasi yang berbeda, yang dinyatakan
dalam . Penduga rasio hazard adalah .
Dengan menggunakan sifat ragam dan pendekatan deret Taylor, maka ragam dari suatu fungsi dengan suatu peubah acak adalah seperti yang dinyatakan dalam persamaan (4.9) adalah
.
Dengan demikian pendekatan ragam untuk dalam adalah
sehingga standar error untuk dapat didefinisikan sebagai berikut,
(4.34)
Selang kepercayaan untuk rasio hazardnya adalah
(4.35) Sebagai ilustrasi, akan dianalisis dua kelompok data survival dengan metode hazard proporsional Cox. Misalkan data interval kelahiran anak pertama untuk peubah penjelas tempat tinggal (x) dibedakan menjadi dua kelompok, dengan nilai
Bentuk hazard proporsional dari individu yang bertempat tinggal di kota terhadap individu yang bertempat tinggal di desa dapat dinyatakan dengan
33
Nilai penduga yang memaksimumkan fungsi ln-likelihood secara analitik sulit ditentukan sehingga akan dicari secara numerik, dalam hal ini akan dicari dengan bantuan program SPSS 13.0 for windows. Hipotesis yang digunakan adalah
,
daerah penolakan adalah jika nilai adalah taraf nyata.
Untuk menganalisis data interval kelahiran anak pertama menggunakan metode hazard proporsional Cox, perlu dilihat apakah hazard dari peubah bebas bersifat proposional seperti asumsi yang digunakan. Hasil analisis hazard dengan menggunakan metode Kaplan-Meier untuk peubah tempat tinggal (Lampiran 7) ditampilkan dalam bentuk grafik pada Gambar 11.
Gambar 11 Grafik hazard peubah tempat tinggal dengan metode Kaplan-Meier Dari Gambar 11 terlihat bahwa hazard individu di kota lebih besar dibanding hazard individu di desa. Untuk menentukan apakah hazard kedua kelompok individu bersifat proporsional dilakukan regresi linear terhadap proporsi kedua hazard. Hasil analisis regresi ditampilkan dalam Tabel 4 berikut.
Tabel 4 Hasil analisis regresi dari rasio hazard peubah tempat tinggal
B Std. Error Sig.
Constant 1.442 0.146 0.000
Slope -0.002 0.003 0.482
Dari tabel di atas untuk taraf nyata 0.05 menunjukkan bahwa hasil analisis tidak signifikan, artinya proporsi hazard peubah tempat tinggal adalah konstan (proporsional).
Hasil analisis data interval kelahiran anak pertama untuk peubah bebas tempat tinggal dengan metode hazard proporsional Cox disajikan dalam Tabel 5.
0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 7 1 5 2 3 3 1 3 9 4 7 5 5 6 3 7 1 7 9 8 7 9 5 1 0 3 1 1 1 1 1 9 h(t)
Interval kelahiran anak pertama
Kota Desa
34
Tabel 5 Hasil analisis metode hazard proporsional Cox untuk peubah tempat tinggal
Peubah bebas
Nilai p
Tempat tinggal 0.306 0.043 0.000 1.358
Untuk taraf nyata , diperoleh nilai sehingga keputusannya tolak . Dapat disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang nyata antara tingkat ketahanan individu di desa dan di kota. Nilai artinya wanita menikah yang bertempat tinggal di kota lebih tinggi risiko melahirkan anak pertama 1.358 kali dibandingkan mereka yang bertempat tinggal di desa.
Selanjutnya akan dianalisis untuk peubah status bekerja. Hasil analisis hazard dengan menggunakan metode Kaplan-Meier untuk peubah status bekerja (Lampiran 7) ditampilkan dalam bentuk grafik pada Gambar 12.
Gambar 12 Grafik hazard peubah status bekerja dengan metode Kaplan-Meier Dari gambar di atas terlihat bahwa nilai hazard untuk peubah status bekerja hamper sama. Untuk menentukan apakah hazard kedua kelompok individu bersifat proporsional dilakukan regresi linear terhadap proporsi kedua hazard. Hasil analisis regresi ditampilkan dalam Tabel 6.
Tabel 6 Hasil analisis regresi dari rasio hazard peubah status bekerja B Std. Error Sig.
Constant 1.066 0.141 0.000
Slope 0.000 0.003 0.913
Dari tabel di atas untuk taraf nyata 0.05 menunjukkan bahwa hasil analisis tidak signifikan, artinya proporsi hazard peubah status bekerja adalah konstan (proporsional). 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70 77 84 91 98 1 0 5 1 1 2 1 1 9 1 2 6 1 3 3 1 4 0 h(t)
Interval kelahiran anak pertama
Tdk kerja Kerja
35
Hasil analisis data interval kelahiran anak pertama untuk peubah bebas status bekerja dengan metode hazard proporsional Cox sebagai berikut.
Tabel 7 Hasil analisis dengan metode hazard proporsional Cox Peubah bebas
Nilai p
Status bekerja -0.006 0.043 0.888 0.994
Untuk taraf nyata , diperoleh nilai sehingga kesimpulannya jangan tolak . Dapat disimpulkan bahwa tidak terdapat perbedaan yang nyata antara tingkat ketahanan individu yang tidak bekerja dengan individu yang bekerja. Dari nilai artinya wanita menikah yang tidak bekerja risiko melahirkan anak pertama 0.994 lebih rendah dibanding mereka yang bekerja.
Berdasarkan analisis pada kedua peubah bebas di atas menunjukkan bahwa hazard dari peubah bebas tersebut bersifat proporsional. Kelebihan metode hazard proporsional Cox dibanding dengan metode Life Table maupun Kaplan-Meier adalah dapat menganalisis pengaruh peubah bebas terhadap peubah tak bebas secara simultan. Hasil analisis peubah bebas tempat tinggal dan status bekerja secara simultan dengan menggunakan metode hazard proporsional Cox ditampilkan dalam Tabel 8.
Tabel 8 Hasil analisis peubah bebas tempat tinggal dan status bekerja secara simultan menggunakan metode hazard proporsional Cox
Peubah bebas
B SE df Sig. Exp(B)
Tempat tinggal 0.306 0.043 1 0.000 1.358
Status bekerja -0.009 0.043 1 0.841 0.991
Dari tabel di atas nilai rasio hazard untuk status bekerja adalah 0.991 berbeda dengan pada analisis dengan peubah tunggal. Hal ini dikarenakan pada analisis peubah secara simultan, pengaruh status bekerja dianalisis dengan memperhatikan kontrol dari peubah tempat tinggal. Selanjutnya diasumsikan bahwa hazard dari peubah bebas-peubah bebas pada interval kelahiran anak pertama bersifat proporsional.
36