Menurut Widodo (2001), spektrum respon merupakan suatu spektrum yang disajikan dalam bentuk grafik/plot antara periode getar struktur T, lawan respon-respon maksimum berdasarkan rasio redaman dan gempa tertentu. Respon-respon-respon yang dimaksud dapat berupa simpangan maksmum (spectrum displacement, SD), kecepatan maksimum (spectrum velocity, SV), atau spektrum percepatan (spectrum
acceleration, SA) dari massa struktur SDOF.
a. Pseudo Spektrum Simpangan (PSD)
Spektrum respon adalah suatu plot antara nilai-nilai respon maksimum lawan periode getar struktur atas struktur dengan derajat kebebasan tunggal (SDOF) dengan redaman dan beban gempa tertentu. Dalam pembuatan suatu respon spektrum diambil model struktur SDOF seperti gambar 2.11.
Karena struktur masih berprilaku elastik, maka antara kekakuan dan simpangan masih mempunyai hubungan yang lurus. Umumnya pada analisis dinamik struktur, koefisien redaman (c) dianggap mempunyai hubungan yang linear dengan kecepatan. Dengan demikian gaya elastik (elastic force) akan berbanding lurus dengan simpangan dan gaya redam (damping force) akan
berbanding lurus dengan kecepatan. Persamaan diferensial gerakan struktur SDOF akibat gerakan tanah/gempa adalah,
(2.71) Dengan m, c, k masing-masing adalah massa, koefisien redaman dan kekakuan struktur, ӱ, ẏ , dan y masing-masing adalah percepatan, kecepatan dan simpangan massa dan yt adalah percepatan tanah akibat gempa.
Gambar 2.11 Struktur dengan Derajat Kebebasan Tunggal (SDOF) Persamaan 2.71) dapat ditulis menjadi,
(2.72) terdapat hubungan bahwa,
a) Model Struktur b) Beban Percepatan Tanah
c) Hub. Kekuatan-Simpangan (Elastik)
Deng an ξ ad alah damping rasio (damping ratio) struktur dan ω adalah frekuensi sudut struktur.Apabila k dan m diketahui maka frekuensi sudut ω struktur dapat dihitung. Dengan demikian maka periode getar struktur T adalah,
(2.74)
Dengan demikian persamaan 2.72) akan menjadi,
(2.75)
persamaan 2.75) adalah persamaan diferensial gerakan struktur dengan derajat kebebasan tunggal (SDOF). Penyelesaian pertama persamaan 2.75) yang dicari umumnya adalah simpangan y, kemudian dapat dihitung kecepatan maupun percepatan massa. Penyelesaian persamaan 2.75) umumnya dapat dilakukan dengan cara numerik. Penyelesaian persamaan diferensial struktur SDOF akibat beban dinamik F(t) dengan prinsip Duhamel’s Integral dengan persamaan sebagai berikut,
(2.76)
Dengan ωd adalah damped frequency yang mempnyai hubungan,
(2.77) Antara percepatan, massa dan gaya mempunyai hubungan yang linear yaitu a = F/m. oleh karena itu untuk struktur SDOF dibebani dengan beban gempa yang mempunyai percepatan tanah ӱ t, maka persamaan diatas akan menjadi,
Penyelesaian persamaan 2.78) dilakukan secara numerik dengan memakai prinsip Duhamel’s Integral. Apabila tidak terjadi kesalahan pada proses numerik, maka hasil penyelesaian persamaan 2.78) akan bersifat eksak. Contoh riwayat simpangan (displacement history) struktur SDOF akibat gempa adalah seperti pada gambar 2.12.
Velocity waves umumnya mempunyai kandungan frekuensi yang lebih tinggi
daripada displacement waves, sedangkan acceleration waves mempunyai kandungan frekuensi yang lebih tinggi daripada velocity waves. Berdasarkan riwayat kecepatan dan percepatan massa tersebut selanjutnya dapat dipilih kecepatan dan percepatan maksimum dengan program. Hasilnya akan diperoleh spektrum kecepatan (SV) dan spektrum percepatan (SA) yang ditulis dalam bentuk,
(2.79)
Pada gambar 2.12 dapat dilihat bahwa simpangan suatu massa akan berubah-ubah menurut fungsi waktu. Pada saat tertentu akan mencapai simpangan maksimum, dan simpangan maksimum inilah yang diperlukan. Spektrum simpangan biasa ditulis dalam bentuk,
(2.80)
Setelah riwayat simpangan (displacement waves) diperoleh maka integrasi numerik juga dapat diteruskan dengan menghitung riwayat kecepatan (velocity waves) dan percepatan (acceleration waves) dengan gambar yang mirip dengan gambar 2.12
b. Pseudo Spektrum Kecepatan (PSV) dan Percepatan (PSA)
Nilai-nilai kecepatan maksimum dan percepatan maksimum sebenarnya dapat dicari dengan integrasi numerik sebagaimana dilakukan untuk mencari simpangan maksimum. Namun demikian integrasi numerik seperti itu umumnya diperlukan waktu yang cukup lama sehingga ada terkesan time
consuming sedangkan nilai yang akan dicari hanyalah nilai-nilai maksimum
saja. Oleh karena itu terdapat cara yang lebih praktis yang dapat digunakan yang pada prinsipnya merupakan penyederhanaan.
Terdapat beberapa cara penyederhanaan, namun beberapa cara tersebut akhirnya akan bermuara pada suatu hasil bahwa terdapat hubungan,
(2.81) hubungan pada persamaan 2.81) tersebut hanya bersifat pendekatan, karena riwayat kecepatan dan riwayat percepatan tidak akan berlangsung dengan
fase yang sama dengan riwayat simpangan. Dari hubungan tersebut kemudian dapat dianalogikan bahwa,
(2.82) Dengan PSV dan PSA berturut-turut adalah pseudo spektrum kecepatan dan pseudo spektrum percepatan.Pseudo itu sendiri mempunyai arti maya/tidak nyata sehingga pseudo spektrum kecepatan berarti spektrum kecepatan yang sifatnya pendekatan. Beberapa literatur mengatakan bahwa apabila struktur tidak mempunyai redaman (c = 0) maka pseudo spektrum kecepatan akan sama persis dengan spektrum percepatan.
Uang dan Bertero (1990) membuat studi bahwa untuk struktur yang mempunyai periode getar 0,20< T < 5,0 s, maka nilai-nilai pseudo spektrum kecepatan dan pseudo spektrum percepatan sangat dekat dengan nilai eksak dari spektrum kecepatan dan spektrum percepatan. Struktur bangunan gedung umumnya mempunyai periode getar dalam rentang tersebut sehingga hubungan pada persamaan 2.82) dapat dipakai.
Spektrum Respon di Indonesia terdapat 6 daerah gempa.Pembagian daerah gempa ini didasarkan pada frekuensi kejadian dan potensi daya rusak gempa yang terjadi pada daerah tersebut.Daerah Gempa 1 hingga daerah gempa 6.Tiap-tiap daerah gempa mempunyai spektrum respon masing-masing. Spektrum respon dalam hal ini adalah plot antara koefisien gempa dasar (C) lawan periode getar struktur (T). secara umum dapat dikatakan bahwa koefisien gempa dasar (C) dipengaruhi oleh daerah gempa, periode getar struktur dan jenis tanah. Untuk setiap respon spektrum
yang disajikan juga pengaruh kondisi tanah, yaitu spectrum untuk tanah keras, tanah sedang, dan tanah lunak.Definisi tanah keras, sedang dan lunak ini dapat didekati menurut beberapa kriteria. Kriteria yang dapat dipakai untuk menentukan jenis tanah diantaranya adalah jenis dan kedalaman endapan, nilai SPT, nilai undrain shear
strength, cu, atau kecepatan gelombang geser VS.
Gambar 2.13 Spektrum Respon Gempa Rencana SNI 03-1726-2002
Dalam metode spektrum respon terdapat beberapa elemen-elemen yang digunakan. Salah satu elemen yang digunakan pada metode spektrum respon adalah
modal amplitude, yaitu suatu besaran/amplitudo yang nilainya bergantung pada
tingkat struktur SDOF yang dicari dengan Duhamel’s Integral dengan persamaan yang diredam dan dibebani dengan beban gempa yaitu,
(2.83)
Dengan ωd adalah damped frequency. Hal demikian terjadi karena terdapat hubungan,
(2.84)
Pada struktur MDOF, kontribusi setiap mode ditunjukkan oleh besaran partisipasi setiap mode yang dinyatakan dalam persamaan,
(2.85)
Mengingat matriks massa merupakan matriks diagonal, maka persamaan 2.85) dapat ditulis dalam bentuk,
(2.86)
Partisipasi setiap mode juga berhubungan dengan simpangan atas kontribusi suatu mode gj dengan modal amplitude Zj,
(2.87)
Modal amplitude Zj dapat diperoleh dengan mengikutkan partisipasi setiap mode
pada persamaan 2.85), sehingga struktur MDOF diperoleh hubungan,
Nilai integral persamaan 2.88) akan menghasilkan suatu kecepatan yang merupakan fungsi dari waktu. Dengan memakai kecepatan tersebut, maka akan memperoleh kecepatan maksimum untuk mode yang ke-j, ẏ j.maks, dengan demikian persamaan 2.88) akan menjadi,
(2.89)
Dalam metode respon spektrum diperoleh suatu hubungan bahwa,
, atau
Maka (2.90)
Nilai-nilai kecepatan maupun percepatan maksimum pada persamaan 2.90) merupakan nilai-nilai kecepatan dan percepatan pada spektrum respon. Dengan menganggap bahwa ωd nilainya sama dengan ω, maka modal amplitude Zj pada persamaan 2.89) akan menjadi,
(2.91)
Disain spektrum respon yang seperti yang disajikan dalam buku Peraturan Perencanaan Bangungan Tahan Gempa Untuk Gedung adalah plot antara koefisien gempa dasar C lawan periode getar T. Koefisien C tersebut adalah suatu koefisien yang dapat dihubungkan dengan SA, sehingga C.g = SA, dengan demikian modal
amplitude Zj dari persamaan 2.91) menjadi (g = percepatan gravitasi),
SA pada persamaan 2.92) adalah pseudo spectral acceleration dan nilai koefisien gempa dasar C dapat diketahui dengan memakai desain spektrum respon menurut daerah gempa, jenis tanah dasar dan periode getar struktur T. Nilai modal amplitude persamaan 2.92) dapat dihitung dengan menggunakan disain spektrum respon yang menunjukkan bahwa simpangan total suatu massa adalah produk antara modal matriks dengan faktor amplitudo Zj. dengan demikian modal displacement massa ke-i kontrke-ibuske-i mode ke-j, Yij adalah,
(2.93)
Setelah modal displacement Yij diperoleh, maka simpangan horisontal tingkat dapat dihitung. Pada prinsip SRSS, simpangan horisontal massa ke-i dapat dihitung dengan,
(2.94)
Pada analisis dinamik struktur, gaya horisontal tingkat (modal seismic force) adalah respon penting yang selalu dicari. Dengan menggunakan prinsip sebelumnya dimana simpangan horisontal massa ke-i kontribusi mode ke-j adalah,
(2.95)
Dengan menggunakan persamaan 2.90) percepatan massa ke-i sebagai kontribusi mode ke-j, ӱij menjadi,
Dengan demikian gaya horisontal tingkat atau gaya horisontal yang bekerja pada massa ke-i akibat kontribusi mode ke-j, Fij adalah,
(2.97)
Karena matriks massa adalah matriks diagonal maka persamaan 2.97) dapat ditulis menjadi,
(2.98)
Dengan prinsip SRSS maka gaya horisontal tingkat (storey seismic force) Fi dapat dihitung dengan,
(2.99)
Modal seismic force pada persamaan 2.99) juga dapat dicari dari hubungan antara
kekakuan dan simpangan,
(2.100)
Persamaan 2.100) adalah sama dengan persamaan 2.97), dan oleh karenanya dua-duanya dapat dipakai. Modal seismic force (Fj) juga dapat dicari dengan cara yang lain yaitu dengan dinyatakan dalam modal base shear (Vj). gaya horisontal pada massa ke-i akibat mode ke-j, Fij pada persamaan 2.97) atau persamaan 2.100) juga dapat dinyatakan dalam berat bangunan W, melalui hubungan m = w/g sehingga
(2.101)
Persamaan 2.101) dapat diolah menjadi,
(2.102)
Persamaana 2.102) dapat ditulis menjadi,
(2.103)
Dengan catatan,
(2.104) (2.105) Persamaan 2.105) adalah modal base shear. Pada pembahasan eigenproblem diperoleh suatu hubungan bahwa,
(2.106)
Dengan hubungan seperti pada persamaan 2.99), maka persamaan 2.106) dapat ditulis menjadi,
atau, (2.107)