Metode Swastika Untuk Menemukan Pasangan Ekuilibrium

BAB II PERMAINAN DUA ORANG BERJUMLAH TIDAK NOL

E. Metode Swastika Untuk Menemukan Pasangan Ekuilibrium

Teorema Nash menyatakan bahwa paling sedikit ada satu titik ekuilibrium dalam suatu permainan. Tetapi dalam teorema tersebut tidak disebutkan cara untuk mendapatkannya. Metode untuk mencari titik ekuilibrium

(

x*,y*

)

dari permainan dua orang berjumlah tidak nol antara lain dengan metode Swastika. Metode swastika ini digunakan pada matriks hasil berordo 2 x 2 dengan langkah- langkah sebagai berikut :

1. Dimisalkan x = (x, 1-x) adalah strategi untuk pemain 1 dan y = (y,1-y) adalah strategi untuk pemain 2.

2. Hitung , yaitu nilai harapan hasil pemain i yang berhubungan dengan strategi x dan y.

(

x,y

i

e

)

)

3. Tentukan nilai dan yang memaksimalkan untuk semua nilai y, dan yang memaksimalkan

*

x y* e₁

(

x,y

( )

x,y 2

e untuk semua nilai x.

4.

(

x*,y*

)

merupakan titik ekuilibrium. Contoh 2.5.1

Diberikan matriks hasil untuk permainan berjumlah tidak nol

Pemain 2 II1 II2

I1 (3,2) (2,1) Pemain 1

I2 (0,3) (4,4)

Akan dicari hasil yang optimal untuk masing-masing pemain, yaitu titik ekuilibrium untuk permainan ini dan hasil permainan untuk setiap titik ekuilibrium.

Penyelesaian : Untuk pemain 1 Langkah 1:

Matriks hasil untuk pemain 1 adalah

A =

y 1 - y

x 3 2

Langkah 2 :

Nilai harapan hasil pemain 1 adalah

e1(x,y) = x ( 3y + 2 (1 – y)) + (1 – x) (0.y + 4 (1 – y)) = x ( 3y + 2 – 2y) + (1 – x) (4 – 4y) = x (y + 2) + (4 – 4y – 4x + 4xy) = x (y + 2) + x (4y – 4) + (4 – 4y) = x (5y – 2) + (4 – 4y) (2.5.1) Langkah 3 :

Untuk mendapatkan hasil e1(x,y) yang optimal maka akan dicari titik kritisnya, yakni dengan menurunkan persamaan (2.5.1) terhadap x, sehingga diperoleh :

(

x,y

'

1

e

)

= (5y – 2) = 0 ⇒ _y=₅2 _.

Terdapat tiga kemungkinan nilai y, yaitu ₅2 5 2 5 2_, = _, > < y y y .

Dari persamaan (2.5.1) akan didapatkan : Jika _y<₅2 _{maka e}

1(x,y) dimaksimalkan oleh x = 0 Jika _y=₅2 _{maka e}

1(x,y) dimaksimalkan oleh 0<x<1 Jika _y>₅2 _{maka e}

1(x,y) dimaksimalkan oleh x = 1

y 1 ₅2 0 1 x

Gambar 2.5.1 x memaksimumkan hasil e1(x,y).

Nilai x* yang memaksimalkan hasil e1(x,y) untuk semua nilai y adalah nilai-nilai diantara x = 0, 0<x<1, x = 1.

Untuk pemain 2 Langkah 1 :

Matriks hasil untuk pemain 2 adalah

B =

x 1 - x

y 2 3

1 - y 1 4

Langkah 2 :

Nilai harapan hasil pemain 2 adalah

e2(x,y) = y ( 2 x + 3 (1 – x)) + (1 – y) ( 1.x + 4 (1 – x)) = y ( 2x + 3 – 3x) + (1 – y) ( x + 4 – 4x) = y (-x + 3) + (1 – y) (-3x + 4)

= y (-x + 3) + (-3x + 4 + 3xy – 4y) = y (-x + 3) + y (3x – 4) + (4 – 3x)

= y (2x – 1) + (4 – 3x) (2.5.2)

Langkah 3 :

Untuk mendapatkan hasil e2(x,y) yang optimal maka akan dicari titik kritisnya, yakni dengan menurunkan persamaan (2.5.2) terhadap y, sehingga diperoleh :

(

x,y

'

2

e

)

= (2x – 1) = 0 ⇒_x =₂1 _.

Terdapat tiga kemungkinan nilai x, yaitu ₂1 2 1 2 1_, = _, > < x x x .

Dari persamaan (2.5.2) diperoleh bahwa jika

2 1

<

x maka e2(x,y) dimaksimalkan oleh y = 0

jika 2 1

=

x maka e2(x,y) dimaksimalkan oleh 0< y<1

jika 2 1

>

x maka e2(x,y) dimaksimalkan oleh y = 1

y

1

0 ₂1 _{1 x}

Gambar 2.5.2 y memaksimumkan hasil e2(x,y).

Nilai y* yang memaksimalkan hasil e2(x,y) untuk semua nilai x adalah nilai-nilai diantara y = 0, 0< y<1, y = 1.

Langkah 4 :

Titik ekuilibrium terletak pada perpotongan grafik dari Gambar 2.5.1 dan Gambar 2.5.2. Grafik perpotongannya disajikan sebagai berikut :

y 1 ₅2 0 ₂1 _{1 x}

Dari gambar 2.5.3 diperoleh tiga buah titik potong, yaitu A(0,0), B( ₅2 2

1_{, ), C(1,1).}

Akan ditentukan nilai permainan dari titik ekuilibrium-ekuilibrium tersebut. Perhatikan kembali, dari persamaan 2.5.1 dan persamaan 2.5.2 diperoleh

(

x,y 1 e

)

)

= x (5y – 2) + (4 – 4y)

(

x,y 2 e = y (2x – 1) + (4 – 3x)

Untuk titik ekuilibrium A(0,0), yakni x=0dany=0 maka didapatkan

(

0,0 1 e

)

)

= 0 (5.0– 2) + (4 – 4.0) = 4 .

(

0,0 2 e = 0(2.0 – 1) + (4 – 3.0) = 4 . Dengan demikian hasilnya adalah (4,4). Untuk titik ekuilibrium B( ₅2

2 1_{, ), yakni} 5 2 2 1 _dan = = y x maka didapatkan

( )

₅2 2 1 1 , e = ₂1 _(5. 5 2 _{– 2) + (4 – 4.} 5 2_{) =} 5 12 _{= 2,4 .}

( )

₅2 2 1 2 , e = ₅2 _(2. 2 1 _{– 1) + (4 – 3.} 2 1 _{) = 2,5 .}

Dengan demikian hasilnya adalah (2,4 ; 2,5).

Untuk titik ekuilibrium C(1,1), yakni x=1dany=1 maka didapatkan

( )

1,1 1 e = 1 (5. 1– 2) + (4 – 4.1) = 3.

(

₅2 2 1 2 , e

)

= 1 (2. 1 – 1) + (4 – 3. 1) = 2. Dengan demikian hasilnya adalah (3,2).

Jadi titik ekuilibrium

(

x*,y*

)

adalah (0,0),

( )

₅2 2

1_{, , (1,1) dan hasil permainannya}

masing-masing adalah (4,4), (2,4 ; 2,5), (3,2).

Pada permainan contoh 2.5.1 akan diselesaikan menggunakan program QM, matriks hasil untuk pemain 1 ditunjukkan sebagai berikut :

Dapat disimpulkan dari matriks hasil di atas bahwa hasil permainan untuk pemain 1 adalah 2,4. Akan ditunjukkan grafik untuk permainan tersebut.

a. Grafik hasil pemain 1 dilihat dari strategi baris pemain 1.

Strategi kedua dari pemain 1 Strategi pertama dari pemain 1 Strategi kedua dari pemain 2 nilai permainan Strategi pertama dari pemain 2

Dari grafik di atas dapat dilihat bahwa nilai permainan pada sumbu kiri mewakili nilai strategi kedua dari pemain 1 dan nilai permainan pada sumbu kanan mewakili nilai strategi pertama dari pemain 1. Grafik terbentuk dari

hubungan strategi pertama dan strategi kedua pemain 1 terhadap strategi pemain 2. Pemain 1 akan memilih strategi pertama daripada memilih strategi kedua. Karena strategi pertama dari pemain 1 merupakan strategi yang memaksimumkan minimum keuntungan. Dengan peluang menggunakan strategi strategi pertama dari pemain 1 adalah 0,8 dan nilai permainan adalah 2,4.

b. Grafik hasil pemain 1 dilihat dari strategi kolom pemain 2.

Strategi kedua dari pemain 2 Strategi pertama dari pemain 2 Strategi pertama dari pemain 1 nilai permainan Strategi kedua dari pemain 1

Untuk grafik yang kedua ini dapat dilihat bahwa nilai permainan pada sumbu kiri mewakili nilai strategi kedua dan nilai pada sumbu kanan mewakili nilai strategi pertama dari pemain 2. Grafik di atas adalah hubungan dari strategi pertama dan strategi kedua pemain 2 terhadap strategi pemain 1. Pemain 1 akan mendapatkan hasil yang optimal dengan memilih strategi yang tepat, yaitu memilih strategi pertama. Karena strategi pertama membuat pemain 1 memaksimalkan minimum keuntungan dari hasil permainannya. Dengan peluang menggunakan strategi pertama adalah 0,4 dan nilai permainannya adalah 2,4.

Matriks hasil pemain 2 ditunjukkan sebagai berikut :

Matriks di atas merupakan matriks hasil dari permainan pemain 2. Dapat dilihat di atas bahwa hasil permainan untuk pemain 2 adalah 2. Di bawah ini grafik mengenai hasil permainan di atas.

a. Grafik hasil pemain 2 dilihat dari strategi baris pemain 2.

Strategi kedua

dari pemain 2 Strategi pertama

dari pemain 2 Strategi kedua

dari pemain 1

nilai

permainan Strategi pertama dari pemain 1

Dari grafik di atas dapat dilihat bahwa hasil permainannya adalah 2. Nilai permainan dari sumbu kiri mewakili nilai-nilai dari strategi kedua pemain 2 dan

nilai pada sumbu kanan mewakili nilai strategi pertama pemain 2. Pemain 2 memilih menggunakan strategi pertama karena akan mendapatkan hasil yang maksimal, yaitu 2. Daripada memilih strategi kedua akan mendapatkan hasil 1. Pemain 2 pasti akan memilih strategi pertama yang membuat dia meminimumkan maksimum kerugian. Dengan peluang menggunakan strategi pertama adalah 1 dan nilai permainannya adalah 2.

b. Grafik hasil pemain 2 dilihat dari strategi kolom pemain 1.

Strategi kedua dari pemain 1

Strategi pertama dari pemain2

Strategi pertama dari pemain 1

nilai permainan

Strategi kedua dari pemain 2

Dari grafik di atas dapat dilihat bahwa nilai permainan dari sumbu kiri diwakili oleh nilai strategi kedua pemain 1 dan nilai permainan dari sumbu kanan diwakili oleh nilai strategi pertama pemain 1. Hasil permainannya adalah pemain 2 memilih strategi pertama karena dia akan mendapatkan hasil yang maksimum, yaitu 2 dengan peluang menggunakan strategi yang dimainkan adalah 1 dan nilai pemainannya adalah 2. Daripada memilih strategi kedua dengan hasil pemainannya adalah 1.

Contoh 2.5.2

Diberikan matriks hasil untuk permainan Prisoners Dilemma sebagai berikut : Pemain 2

II1 II2

I1 (-9,-9) (0,-10) Pemain 1

I2 (-10,0) (-1,-1)

Dengan metode Swastika tentukan titik ekuilibrium untuk permainan ini dan hasil permainan untuk setiap titik ekuilibriumnya.

Penyelesaian : Untuk pemain 1 Langkah 1:

Matriks hasil untuk pemain 1 adalah

A =

y 1 - y

x -9 0 1 - x -10 -1

Langkah 2 :

Nilai harapan hasil pemain 1 adalah

e1(x,y) = x ( -9y + 0 (1 - y)) + (1 - x) (-10y + (-1)(1 - y)) = x ( -9y ) + (1 - x) (-10y -1 + y)

= x (-9y) + (1-x) (-9y -1) = x (-9y) + (-9y -1 + 9xy +x) = x (-9y) + x (9y +1) + (-9y -1)

= x- 9y -1 (2.5.3)

Langkah 3 :

Untuk mendapatkan hasil e1(x,y) yang optimal maka akan dicari titik kritisnya, yakni dengan menurunkan persamaan (2.5.3) terhadap x, sehingga diperoleh :

(

x,y

'

1

e

)

= 1 .

Maka nilai x* yang memaksimalkan hasil e1(x,y) untuk semua nilai y adalah .

( )

1,0

*=

x

Digambarkan dalam grafik berikut : y 1 0 1 x Gambar 2.5.4 x memaksimumkan hasil e1(x,y).

Untuk pemain 2 Langkah 1 :

B =

x 1 - x

y -9 0 1 - y -10 -1

Langkah 2 :

Nilai harapan hasil pemain 2 adalah

e2(x,y) = y ( -9 x + 0 (1 - x)) + (1 - y) ( -10.x + (-1) (1 - x)) = y ( -9x) + (1 – y) ( -10x -1 + x) = y (-9x) + (1 – y) (-9x -1) = y (-9x) + (-9x - 1 + 9xy + y) = y (-9x) + y (9x +1) + ( -9x -1) = y - 9x -1 (2.5.4) Langkah 3 :

Untuk mendapatkan hasil e2(x,y) yang optimal maka akan dicari titik kritisnya, yakni dengan menurunkan persamaan (2.5.4) terhadap y, sehingga diperoleh :

(

x,y

'

2

e

)

= 1

Maka Nilai y* yang memaksimalkan hasil e2(x,y) untuk semua nilai x adalah .

( )

0,1

* =

y

y 1 0 1 x

Gambar 2.5.5. y memaksimumkan hasil e2(x,y).

Langkah 4 :

Titik ekuilibrium terletak pada perpotongan grafik berikut :

y 1 0 1 x

Gambar 2.5.6 Metode Swastika untuk pasangan ekuilibrium.

Dari gambar 2.5.6 diperoleh sebuah titik potong, yaitu (1,1). Akan ditentukan nilai permainan dari titik ekuilibrium tersebut. Perhatikan kembali, dari persamaan 2.5.3 dan persamaan 2.5.4 diperoleh

(

x,y 1 e

)

)

= x- 9y -1

(

x,y 2 e = y - 9x -1

Untuk titik ekuilibrium (1,1), yakni x=1dany=1 maka didapatkan

( )

1,1 1 e = 1 -9 -1= -9 .

( )

1,1 2 e = 1-9 -1 = -9 .

Dengan demikian hasilnya adalah (-9,-9). Jadi titik ekuilibrium

(

* *

)

y ,

x adalah (1,1) dan hasil permainannya adalah (-9,-9).

Mencari titik ekuilibrium pada permainan Prisoners Dilemma di atas menggunakan program QM.

Matriks hasil pemain 1 disajikan sebagai berikut :

Dapat disimpulkan dari matriks hasil di atas bahwa hasil untuk pemain 1 adalah -9. Hasil tersebut sesuai dengan hasil permainan pada contoh 2.2.2. Akan diperlihatkan grafik dari permainan di atas.

a. Grafik hasil pemain 1dilihat dari strategi baris pemain 1. A1 A2 BB2 nilai permainan BB1

Dari grafik di atas dapat ditunjukkan bahwa nilai pemainan pada sumbu kiri mewakili nilai-nilai dari strategi (tidak mengakui) dan nilai permainan pada sumbu kanan mewakili nilai-nilai dar strategi A

2

A

1 (mengakui). Grafik di atas menunjukkan hubungan strategi A1 dan A2 terhadap strategi kolom pemain 2.

Pemain 1 akan lebih memilih A1 daripada , karena pemain 1 memilih kemungkinan terburuk, yaitu jika pemain 1 memilih A

2

A

1 maka dia akan mendapatkan hukuman penjara selama 9 tahun. Daripada memilih strategi maka akan mendapatkan hukuman penjara selama 10 tahun. Maka pemain 1 memilih strategi yang meminimumkan maksimum hukuman yang akan dia terima, yaitu memilih dihukum 9 tahun daripada 10 tahun.

2

A

BB2 BB1

A1

nilai

permainan A2

Grafik di atas ditunjukkan dengan nilai permainan dari sumbu kiri mewakili nilai strategi BB2 (tidak mengakui) dan nilai permainan dari sumbu kanan

mewakili nilai strategi B1B (mengakui). Grafik merupakan hubungan strategi BB1 dan

B2 B terhadap strategi baris pemain 1. Pemain 1 tetap akan memilih menggunakan

strategi A1 . Karena pemain 1 tidak mengetahui strategi yang digunakan pemain 2, maka dia akan memilih strategi yang paling aman menurutnya.

Dari matriks di atas hasil permainan untuk pemain 2 adalah -9. Hasil permainan tersebut sesuai dengan hasil permainan pada contoh 2.2.2. Akan diperlihatkan grafik untuk pemain 2 dari permainan di atas.

a. Grafik hasil pemain 2 dilihat dari strategi baris pemain 2.

BB1 A2 BB2 nilai permainan A1

Grafik di atas menunjukkan hasil permainan untuk pemain 2, yaitu -9. Nilai permainan dari sumbu kiri mewakili nilai dari strategi BB2 (tidak mengakui)

dan nilai permainan dari sumbu kanan mewakili nilai dari strategi B1B (mengakui).

Hasil yang optimal untuk pemain 2 didapatkan jika dia memilih strategi BB1

(mengakui). Karena pemain 2 tidak mengetahui strategi apa yang akan digunakan oleh pemain 1, maka pemain 2 memilih strategi yang paling menguntungkan buatnya. Pemain 2 memilih meminimumkan maksimum hukuman yang akan diperolehnya, yaitu memilih dihukum 9 tahun daripada dihukum 10 tahun.

b. Grafik hasil pemain 2 dilihat dari strategi kolom pemain 1 A2 A1 B B B1 nilai permainan B 2

Dari grafik di atas menunjukkan bahwa nilai permainan dari sumbu kiri mewakili nilai-nilai dari strategi (tidak mengakui) dan nilai permainan dari sumbu kanan mewakili nilai-nilai dari strategi (mengakui). Grafik tersebut menunjukkan hubungan strategi dan terhadap strategi baris pemain 2. Pemain 2 memilih untuk menggunakan strategi B

2 A 1 A 2 A A₁ B

1 (mengakui) daripada memilih strategi B2 B (tidak mengakui). Karena jika pemain 2 memilih BB2 (tidak mengakui)

maka kemungkinan terburuknya adalah pemain 2 akan dihukum penjara selama 10 tahun. Tetapi jika dia memilih strategi B1B (mengakui) maka kemungkinan

terburuknya adalah pemain 2 akan dihukum penjara selama 9 tahun.