LANDASAN TEORI
1) Periksa mengenai kondisi khusus dari kolom (4) Tabel 2.8 dan pilihsalah satu yang yang paling tepat untuk keadaan segmen jalan yang dianalisa
2.2.11 Model Gravity
3) Dinas Jalan Umum (1964) di Amerika Serikat menyarankan fungsi yang sangat umum, yaitu:
t = t0[ ( ) ] (2.10)
4) IHCM (Indonesian Highway Capacity Manual) 1994, melakukan beberapa kajian mengenai hubungan antara kecepatan-arus pada beberapa ruas jalan antarkota di Indonesia (4 lajur dan 2 lajur). Hubungan matematis yang cukup baik telah dihasilkan oleh kajian ini:
V = FV ×
[ (
)
( )]
( )(2.11)
*
( )( )+
( )(2.12)
Dimana:
FV = Kecepatan arus bebas
D = Kepadatan (smp/km) (dihitung sebagai Q/V) Dj = Kepadatn pada kondisi macet total
Do = Kepadatan pada saat kapasitas jalan tercapai L, M = Konstanta
2.2.11 Model Gravity
Model Gravity menggunakan konsep gravity yang berasumsi bahwa ciri bangkitan dan tarikan pergerakan berkaitan dengan beberapa parameter zona asal, misalnya populasi dan nilai sel MAT yang berkaitan dengan aksesibilitas (kemudahan) sebagai fungsi jarak, waktu, atau biaya. Model Gravity untuk keperluan transportasi menyatakan bahwa pergerakan antar zona asal i dan zona tujuan d berbanding lurus dengan Oi dan Dd dan berbanding terbalik kuadratis terhadap
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
28
jarak antara kedua zona tersebut. Dalam bentuk matematis model gravity dapat dinyatakan sebagai: T = Oi . Dd . f(Cid) (2.13) Persamaan 2.13 dapat digunakan dengan batasan sebagai berikut:
∑ dan ∑ (2.14)
Sehingga pengembangan Persamaan 2.13 dengan menggunakan batasan Persamaan 2.14 adalah sebagai berikut:
T = Oi . Dd . Ai . Bd . f(Cid) (2.15)
T = Jumlah pergerakan dari zona asal i ke zona tujuan d
Ai, Bd = Faktor penyeimbang untuk setiap zona asal i dan tujuan j Oi = Total pergerakan dari zona asal i
Dd = Total pergerakan ke zona tujuan d
f(Cid) = Fungsi umum biaya perjalanan
Persamaan 2.15 dipenuhi jika digunakan konstanta Ai dan Bd (disebut sebagai konstanta penyeimbang) yang terkait dengan setiap zona bangkitan dan tarikan.
Ai = ∑ (
) Bd = ∑ (
) (2.16)
Untuk mendapatkan kedua nillai tersebut perlu dilakukan proses iterasi sampai masing-masing nilai Ai dan Bd menghasilkan nilai tertentu (konvergen).
Dalam buku Tamin (2000), yang dinyatakan oleh Hyman (1969), menyarankan 3 jenis fungsi hambatan yang dapat dipergunakan dalam Model Gravity, yaitu: a. Fungsi pangkat : f(Cid) = C (2.17)
b. Fungsi eksponensial : f(Cid) = (2.18)
c. Fungsi Tanner : f(Cid) = C . (2.19) Dalam penelitian ini akan digunakan fungsi hambatan eksponensial karena fungsi hambatan ini sesuai untuk pergerakan jarak pendek (pergerakan dalam kota).
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
29
2.2.11.1 Model Gravity Batasasn Bangkitan Pergerakan (Production
Constraint Gravity)
Dalam model gravity batasan bangkitan pergerakan, total pergerakan global hasil bangkitan pergerakan harus sama dengan total pergerakan yang dihasilkan oleh pemodelan, begitu juga dengan bangkitan pergerakan yang dihasilkan model harus sama dengan hasil bangkitan pergerakan yang diinginkan. Namun, tarikan pergerakan tidak perlu memiliki nilai yang sama dengan hasil pemodelan. Model yang digunakan adalah model dari Persamaan (2.15), tetapi dengan syarat batas yang berbeda. Syarat batas yang digunakan dalam model ini adalah sebagai berikut.
Ai = ∑ (
) untuk seluruh i dan Bd = 1 untuk seluruh d. Alasan pemilihan Model Gravity adalah sebagai berikut:
a. Model Gravity dapat digunakan untuk meramalkan arus lalu lintas antar zona di dalam daerah perkotaan.
b. Model Gravity sangat sederhana sehingga mudah dimengerti dan digunakan. c. Model Gravity mempunyai kinerja yang baik karena prosesnya yang cepat.
2.2.12 Kalibrasi
Kalibrasi adalah proses menaksir nilai parameter β yang merupakan parameter fungsi hambatan (kemudahan atau aksesibilitas) antar zona suatu model dengan berbagai teknik yang sudah ada. Setelah dikalibrasi, diharapkan model tersebut dapat menghasilkan keluaran yang sama dengan data lapangan (realita).
a. Kalibrasi Newton-Raphson
Penelitian ini menggunakan metode kalibrasi Newton-Raphson. Kalibrasi ini dilakukan dengan proses pengulangan sampai nilai parameter mencapai batas konvergensinya. Metode ini didasarkan pada pendekatan nilai f(x) dengan menggunakan deret Taylor.
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
30
Nilai f(x) didekati dengan menggunakan garis singgung f(x) pada nilai x. Titik potong garis singgung ini dengan sumbu x digunakan sebagai pendekatan selanjutnya. Secara ringkas, metode tersebut dijelaskan sebagai berikut ini. Misalnya diketahui dua buah persamaan f dan g yang masing-masing adalah fungsi dari fungsi dua buah peubah bebas x dan y:
f(x,y) = 0 dan g(x,y) = 0 (2.20) Jika x0 dan y0 adalah nilai untuk pendekatan solusi (x0+h) dan (y0+k), maka:
f(x0+h, y0+k) = 0 (2.21)
g(x0+h, y0+k) = 0 (2.22)
Pendekatan deret Taylor sampai tingkat pertama untuk kedua persamaan simultan ini menghasilkan: f(x0+h, y0+k) = f(x0,y0) + . h + . k (2.23) g(x0+h, y0+k) = g(x0,y0) + . h + . k (2.24) Dengan memasukkan Persamaan 2.21 dan 2.22 kedalam Persamaan 2.23 dan 2.24, didapat: f(x0,y0) + . h + . k = 0 (2.25) g(x0,y0) + . h + . k = 0 (2.26)
Nilai f(x0,y0) dan g(x0,y0) dapat dihitung. Begitu juga nilai
,
,
,
dan.
Empat nilai yang terakhir masing-masing berarti turunan pertama dari f (atau g) terhadap x atau y pada nilai x0 dan y0. Yang belum diketahui adalah nilai h dan k. Dalam bentuk matriks, Persamaan 2.25 dan 2.26 dapat dituliskan sebagai:perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id commit to user 31 [ ] , - = - [ ( ) ( )] (2.27)
Persamaan 2.25 dan 2.26 atau Persamaan 2.27 adalah dua persamaan linear simultan dengan dua buah bilangan h dan k yang belum diketahui. Keduanya dapat dihitung dengan metode eliminasi Gauss-Jordan. Selanjutnya nilai h dan nilai k ini digunakan untuk mendapatkan nilai pendekatan berikutnya:
x1 = x0 + h dan y1 = y0 + k (2.28) Perhitungan dengan Persaman 2.27 dan Persamaan 2.28 diulangi sampai nilai x dan y konvergen. Konvergensi dapat dilihat dari nilai h dan k yang semakin mengecil. Perhitungan dihentikan bila nilai h dan k sudah mencapai harga yang diinginkan. Jadi, batas nilai h dan k yang sekaligus juga menunjukkan tingkat ketelitian perhitungan.
b. Kalibrasi Newton-Raphson Model Gravity Batasan Bangkitan Pergerakan Untuk model gravity tipe batasan bangkitan pergerakan dan fungsi hambatan eksponensial dapat dilakukan dengan metode kalibrasi Newton-Raphson, dengan langkah-langkah sebagai berikut:
1) Pengulangan pertama dengan menyatakan m = 0 dan menetapkan suatu nilai β = β0. Dengan menggunakan nilai β tersebut hitung nilai h dengan menggunakan Persamaan (2.29) berikut.
h = -
( ) (2.29)
Nilai f dan
dihitung dengan menggunakan Persamaan (2.30) dan (2.31) berikut. f = ∑ ∑ * ,( ) -+ (2.30) = ∑ ∑ [ {( ) ( ) }] (2.31)
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id commit to user 32 = (Oi . Dd) ( ) (2.33) = (Oi . Dd)( ) (2.34) = [ ( ) ] *∑ + (2.35) = [ ( ) ] *∑ + (2.36)
Nilai , , dan untuk fungsi hambatan eksponensial dapat dihitung dengan menggunakan Persamaan (2.37) – (2.39) berikut.
= ( ) (2.37)
= ( ) (2.38)
= ( ) ( ) (2.39)
2) Membuat nilai m = m+1, dan menetapkan nilai βm dengan menggunakan Persamaan (2.40) berikut.
βm = βm1 + h (2.40)
3) Menggunakan βm, mengulangi tahap 1 dan 2 untuk mendapatkan nilai h seperti yang disyaratkan, sampai nilai β konvergen (nilai h mencapai nilai yang sangat kecil).
