BAB III. DASAR TEORI
3.4. Model Geometri Rekahan Dua Dimensi
3.4.1. Model Rekahan Dua Dimensi (Vertikal)
Model rekahan dua dimensi merupakan model perekahan vertikal. Model rekahan vertikal ini mengasumsikan bahwa tinggi rekahan dianggap konstan.
Dalam model rekahan ini terdapat tiga jenis geometri rekahan berdasarkan penemunya, yaitu:
1. Model pan american oleh Howard dan Fast yang diolah secara metematika oleh Carter.
2. Model PKN oleh Perkins, Kern (ARCO) & Nordgren.
3. Model KGD oleh Kristianovich, Zheltov (Russian Model) lalu diperbaharui oleh Geertsma dan De Klerk (Shell).
1. Model Pan American
Howard dan Fast memperkenalkan model Pan american seperti tampak pada Gambar 3.18 yang kemudian dipecahkan secara matematis oleh Carter.
Untuk menurunkan pesamaannya maka dibuat beberapa asumsi, yaitu : a. Lebar rekahan tetap.
b. Aliran ke rekahannya linier dan arahnya tegak lurus pada muka rekahan.
c. Kecepatan aliran leak-off ke formasi pada titik rekahan tergantung dari lama waktu di mana titik permukaan tersebut mulai mendapat aliran.
d. Fungsi kecepatan v = f(t) sama untuk setiap titik di formasi, tetapi nol pada waktu pertama kali cairan mulai mencapai titik tersebut.
e. Tekanan di rekahan adalah sama dengan tekanan di titik injeksi di formasi, dan dianggap konstan.
Gambar 3.18
Skematis Model Pan American Howard-Fast
(Bambang Tjondro, Kamiso, Dave Rich & Suryaman, 1997)
Dengan asumsi tersebut Carter menurunkan persamaan untuk luas bidang rekah satu sayap :
úûùêëé
2 1
) 4
( 2 2
x x erfc C e
W t q
A i x ……… (3-47)
Keterangan:
x 2C t w.
A(t) = Luas, ft2 untuk satu sisi pada waktu t q = Adalah laju injeksi, cuft/men
W = Lebar rekahan, ft t = Waktu injeksi, menit
C = Total leak off coeffisient = Ct , ft/mminute1/2
erfc = Complementary error function yang ditabelkan pada Tabel III-3 Persamaan tersebut di atas digunakan untuk memperkirakan harga luas rekahan, setelah luas rekahan diketahui, maka volume rekahan dapat dihitung dengan persamaan :
) (t WxA
Vf ... (3-48) Keterangan :
Vf = Volume rekahan, ft3 W = Lebar rekahan, ft A(t) = Luas rekahan, ft2
Persamaan tersebut di atas digunakan untuk memperkirakan harga luas rekahan, setelah luas rekahan diketahui, maka volume rekahan dapat dihitung dengan persamaan :
) (t WxA
Vf ... (3-49) Keterangan :
Vf = Volume rekahan, ft3 W = Lebar rekahan, ft A(t) = Luas rekahan, ft2
Tabel III-3
Complementary Error Function
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0,0 1,0000 0,9887 0,9774 0,9662 0,9549 0,9436 0,9324 0,9221 0,9099 0,8987
0,1 0,8875 0,8764 0,8652 0,8541 0,8431 0,8320 0,8210 0,8110 0,7991 0,7882
0,2 0,7773 0,7665 0,7557 0,7450 0,7343 0,7237 0,7131 0,7026 0,6921 0,6817
0,3 0.6714 0,6611 0,6509 0,6407 0,6300 0,6206 0,6107 0,6008 0,5910 0,5813
0,4 0,5716 0,5620 0,5525 0,5431 0,5335 0,5245 0,5153 0,5063 0,4973 0,4883
0,5 0,4795 0,4708 0,4621 0,4535 0,4451 0,4367 0,4254 0,4202 0,4121 0,4041
0,6 0,3961 0,3883 0,3806 0,3730 0,3654 0,3550 0,3506 0,3434 0,3362 0,3292
0,7 0,3222 0,3153 0,3086 0,3019 0,2953 0,2888 0,2825 0,2762 0,2700 0,2639
0,8 0,2579 0,2520 0,2462 0,2405 0,2349 0,2283 0,2239 0,2186 0,2133 0,2082
0,9 0,2031 0,1981 0,1932 0,1884 0,1837 0,1791 0,1746 0,1701 0,1658 0,1615
1,0 0,1573 0,1532 0,1492 0,1452 0,1414 0,1376 0,1339 0,1302 0,1267 0,1232
1,1 0,1195 0,1165 0,1132 0,1100 0,1069 0,1039 0,1009 0,0960 0,0952 0,0924
1,2 0,0697 0,0870 0,0845 0,0819 0,0795 0,0771 0,0745 0,0752 0,0703 0,0684
1,3 0,0660 0,0639 0,0619 0,0600 0,0581 0,0562 0,0544 0,0527 0,0510 0,0493
1,4 0,0477 0,0461 0,0446 0,0431 0,0417 0,0403 0,0359 0,0376 0,0363 0,0351
1,5 0,0339 0,0327 0,0316 0,0305 0,0294 0,0284 0,0274 0,0264 0,0255 0,0245
1,6 0,0237 0,0228 0,0220 0,0212 0,0204 0,0196 0,0189 0,0182 0,0175 0,0168
1,7 0,0162 0,0156 0,0150 0,0144 0,0139 0,0133 0,0128 0,0123 0,0118 0,0114
1,8 0,0109 0,0105 0,0101 0,0097 0,0093 0,0089 0,0085 0,0032 0,0078 0,0075
1,9 0,0072 0,0069 0,0066 0,0063 0,0061 0,0055 0,0056 0,0053 0,0051 0,0049
2,0 0,00468 0,00448 0,00428 0,00409 0,00391 0,00374 0,00358 0,00342 0,00327 0,00312 2,1 0,00295 0,00285 0,00272 0,00259 0,00247 0,00236 0,00225 0,00215 0,00205 0,00195 2,2 0,00186 0,00178 0,00169 0,00161 0,00154 0,00146 0,00139 0,00133 0,00126 0,00120 2,3 0,00114 0,00109 0,00103 0,00098 0,00094 0,00089 0,00085 0,00080 0,00076 0,00072 2,4 0,00069 0,00065 0,00062 0,00059 0,00056 0,00053 0,00050 0,00048 0,00045 0,00043 2,5 0,00041 0,00039 0,00037 0,00035 0,00033 0,00031 0,00029 0,00028 0,00026 0,00025 2,6 0,00024 0,00022 0,00021 0,00020 0,00019 0,00018 0,00017 0,00016 0,00015 0,00014 2,7 0,00013 0,00013 0,00012 0,00011 0,00011 0,00010 0,00009 0,00008 0,00008 0,00008 2,8 0,000075 0,000071 0,000067 0,000063 0,000059 0,000056 0,000052 0,000049 0,000046 0,000044 2,9 0,000041 0,000039 0,000036 0,000034 0,000032 0,000030 0,000028 0,000027 0,000025 0,000023
Sumber : Bambang Tjondro, Kamiso, Dave Rich & Suryaman, 1997
2. Model PKN (Perkirns, Kern Dan Nordgen)
PKN adalah model pertama dari model rekahan dua dimensi yang banyak dipakai dalam analisa setelah tahun 1960-1970. Metode ini digunakan bila panjang (atau dalam) rekahan jauh lebih besar dari tinggi rekahan (xfhf). Model ini mengasumsikan bahwa tinggi rekahan konstan dan terbatas, setiap ujung rekahan berbentuk runcing, lebar rekahan maksimum terjadi di tengah penampang rekahan sedangkan lebar minimum terjadi pada ujung penampang rekahan
sehingga akan terdapat variasi lebar rekahan dari lubang bor menuju ujung lateral.
Model ini juga mengasumsikan bahwa tekanan merata diseluruh bagian vertikal.
Gambar 3.19 menunjukkan skema dari geometri model PKN.
Gambar 3.19
Skema Dari Pengembangan Linier Perekahan Menurut Model PKN
(Economides, M. J., 1996)
Model tersebut berdasarkan anggapan bahwa :
1. Panjang (Penetrasi) rekahan jauh lebih besar daripada tinggi rekahannya (Xf >>Hf).
2. Tinggi rekahannya sama dengan tebal reservoir.
3. Tekanan dianggap konstan pada arah irisan vertikal, stiffness batuan bereaksi vertikal.
Berdasarkan anggapan diatas, metode ini cocok diterapkan pada formasi dengan permeabilitas kecil dan lapisan yang tipis. Model ini memiliki bentuk eliptikal pada lubang bor, lebar maksimum pada pusat elips, dengan lebar nol pada bagian puncak dan dasar.
Untuk fluida newtonian, lebar maksimum rekahan dapat didekati dengan
G adalah shear modulus elastik dan dihubungkan dengan modulus young, (E), yaitu :
Lebar rekahan rata-rata dihitung dengan mengalikan lebar rekahan maksimum dengan /4. Faktor kira-kira sama dengan 0.75, sehingga /4 = 0.59. Dalam satuan lapangan, dimana w dihitung dalam satuan inch, qi dalam bbl/min, dalam cp, Xf dalam satuan feet dan G dalam psi, maka :
Untuk fluida perekah non-newtonian, perhitungan dipengaruhi oleh rheology (power law) dari fluida. Dengan asumsi efek fluid loss diabaikan maka Economides, 1996 memberikan persamaan untuk lebar rekahan maksimum dengan non-newtonian fluid (dalam satuan lapangan) adalah :
Lebar rekahan maksimum (wmax) tersebut dalam satuan inci. Lebar rekahan rata-rata dapat ditentukan dengan mengalikan wmax dengan /4, n‟ dan K‟ adalah sifat-sifat reologi fluida fracturing power-low.
Persamaan untuk memperkirakan panjang rekahan yang berlaku pada model rekahan PKN adalah :
l f
t o
K h
t q
L
2 / 1
12
... (3-54) Keterangan :
v = Poisson ratio
qo = Laju pemompaan, m3/menit
= Viskositas fluida perekah, Kpa min G = Modulus shear, Kpa
hf = Tinggi rekahan, ft
Kl = Koefisien leak off, ft/min1/2 3. Model KGD (Kristianovich, Geertsma & De Klerk)
Model KGD merupakan hasil rotasi sebesar 90o dari model PKN. Model KGD mempunyai lebar yang sama (seperti segi empat) di sepanjang rekahannya dan berbentuk setengah elips di ujungnya. Model KGD mempunyai rekahan yang relatif lebih pendek, lebih lebar dengan konduktivitas yang lebih besar dari model PKN. Model KGD ditunjukan oleh Gambar 3.20. Asumsi-asumsi yang digunakan pada model KGD yaitu :
1. Tinggi rekahan lebih panjang daripada panjang rekahan (hf >> xf).
2. Tinggi rekahan sama dengan tebal reservoir.
3. Stiffness batuan bekerja pada arah horisontal.
Lebar rekahan rata-rata untuk KGD model dalam suatu koheren dan fluida newtonian adalah :
Wf =
úûù êëé úú û ù êê
ë
é
4 27 1
. 2
4 / 2 1
f f i
Gh X v
q ... (3-55)
Keterangan :
Wf = Lebar rekahan rata-rata, in qi = Laju injeksi, Bbl/min μ = Viskositas, Cp Xf = Panjang rekahan, ft hf = Tinggi rekahan, ft
G = Shear modulus elastik, Psi
Gambar 3.20
Skema Dari Pengembangan Linier Perekahan Menurut Model KGD
(Economides, M. J., 1996)
Tabel III-4 berikut menunjukkan persamaan-persamaan yang dibuat berdasarkan metode PKN dan KGD serta Tabel III-5 menunjukkan harga dari koefisien-koefisien pada persamaan tersebut apabila dilakukan perhitungan dengan metode metrik, misalnya panjang h, L, w dalam meter, sedangkan bila dalam satuan ft, maka harus dibagi dengan 3,28. Viskositas dalam kPa.men dan
kalau di cp harus dikali terlebih dahulu dengan 1,67 10-8 . K dalam kPa.cm1/2 maka kalau dalam unit disini maka psi in1/2 harus dikali dengan 10,99. G dan
dalam kPa, sedangkan kalau dalam psi maka harus dikali dengan 6,896.
Tabel III-4
Persamaan Untuk Mencari Panjang Rekahan (L), Lebar Rekahan Maksimum (w), dan Tekanan Injeksi (P) Jika Dianggap Laju Injeksi Konstan
Model
Sumber : Bambang Tjondro, Kamiso, Dave Rich & Suryaman, 1997
Tabel III-5
Harga C1 sampai C6 pada Tabel III-4
Model
Tabel III-5
Harga C1 sampai C6 pada Tabel III-4 (Lanjutan)
Model
Sumber : Bambang Tjondro, Kamiso, Dave Rich & Suryaman, 1997