ALJABAR BERSIH
4. Modul atas Aljabar Bersih
Aljabar bersih didefinisikan sebagai berikut.
Definisi 4..1 SuatuR-aljabarAdisebut aljabar bersih jika untuk setiapa ∈ A terdapat
elemen idempoteneA∈Adan unituA∈Asehinggaa=eA+uA.
Proposisi 4..1 Diketahui M adalah modul atas R-aljabar A. Jika ring R adalah ring bersih, makaMmerupakan modul atas subaljabar bersih diEndA(M).
Bukti. Himpunan semua annihilator kiri M atas R dinotasikan denganAnnlR(M). Hal
ini bisa dilakukan karena sesuai keterangan sebelumnya, M juga menjadi R-modul kiri. Perhatikan kembali homomorfisma ringα :R→EndA(M)dan diagram berikut ini:
R α // p ² ² EndA(M) R/Annl R(M) e α 7 7 o o o o o o o o o o o
Selanjutnya diperolehKer(α) ={r ∈R|α(r) = 0}={r ∈R|rm= 0} ⊆AnnlR(M) yang berakibat Ker(α) = AnnlR(M). Menurut Teorema Utama Homomorfisma Ring, pemetaanαe :R/Annl
R(M) →EndA(M)bersifat satu-satu. JadiR/Annl
R(M)isomorfis dengan suatu subaljabar diA. KarenaRadalah ring bersih, makaR/AnnlR(M)juga meru-pakan ring bersih. Oleh karena itu, karenaMadalah modul atasR-aljabarA, makaMjuga modul atas ring (aljabar) bersihR/Annl
R≃Im( ˜α)⊆EndA(M).♠
Proposisi 4..2 Diketahui A adalah R-aljabar. Jika ringR adalah ring bersih, makaA
memuat subaljabar bersih.
Bukti. Dengan menggunakan definisi pemetaan η : R → A, dengan r 7→ r1A, maka
diperoleh suatu homomorfisma ring berikutR→A. Ambil sebarang elemenrdiR. Karena Rring bersih, terdapat elemen idempotenediRdan unitudiRsehinggar=e+u. Oleh η,rtersebut dipetakan sebagai berikutη(r) =η(e+u) =η(e) +η(u).
Selanjutnya η(e) = e1 = (ee)1 = (e1)(e1) = η(e)η(e) dan η(1R) = η(uu−1
) = (uu−1)1 = (u1)(u−11) = η(u)η(u−1). Di pihak lain η(1R) = 1R1A = 1A. Jadi η(u)η(u−1
) = 1A, dengan kata lain,η(u) juga unit diA. Jadi Im(η) merupakan subring (subaljabar) bersih diA. ♠
Lemma 3..2 memegang peranan cukup penting karena memberikan penjelasan hubungan antaraR-aljabarAdanEndR(M)yang memang dibutuhkan untuk menganalisa sifat bersih. Proposisi berikut merupakan konsekuansi jikaAadalah aljabar bersih.
Proposisi 4..3 Diketahui M adalah modul atas R-aljabar A. Jika M adalah R-modul
setia danAaljabar bersih, makaEndR(M)memuat subring bersih.
Definisi modul bersih melibatkan sifat bersih ring endomorfismanya. Sudah dibuktikan syarat perlu dan cukup elemen bersih dalam suatu ring endomorfisma dalam Lemma 2.1 paper Camillo et.al [5] yang diberikan di sini beserta bukti lengkapnya.
merupakan anggotaU(S), yaitu himpunan unit-unit diS, jika dan hanya jikaM sebagai
R-modul dapat didekomposisikan menjadiM =C⊕Dyang memenuhif(A) ⊆C,(1−
f)(B)⊆D, sertaf :A→Cdan1−f :B →Dkeduanya isomorfisma.
Bukti. (⇒)Asumsikan berlakuf −e∈ U(S)yang berarti f = e+udenganf, e∈ S,
eidempoten danu ∈U(S). Terlebih dahulu akan dibuktikan bahwaIm(1−e) = Ker(e) sebagai berikut.
Ambilx ∈ Im(1−e), artinya terdapaty ∈M sehinggax = (1−e)y = y−e(y). Jika dikenai homomorfismaediperolehe(x) =e(y)−e2
(y) =e(y)−e(y) = 0. Dengan kata lainx ∈ Ker(e). Sebaliknya, untuk sebarangx ∈ Ker(e) berlakue(x) = 0. Akibatnya (1−e)x=x−e(x) =x−0 =x, yang berartix∈Im(1−e).
Selanjutnya diambilC =u(A),D=u(B),A= Ker(e)danB= Im(e). Diperoleh f(1−e) = (e+u)(1−e) = e−e2+u−ue = e−e+u(1−e) = 0 +u(1−e) =u(1−e), yang berarti f(1−e) =u(1−e), (1) dan (1−f)e=e−f e=e2−f e= (e−f)e=−ue. (2) Karenauunit dan mengingat kesamaan dua fungsi, maka dari persamaan (1) dan (2) disim-pulkan bahwaf dan1−f masing-masing isomorfisma.
(⇐) Untuk bukti sebaliknya, dimisalkan terdapat dekomposisi padaM sebagai berikut M =C⊕D. Selain itu juga dipenuhif(A)⊆C,(1−f)(B)⊆D, sertaf :A→ Cdan 1−f :B →Dkeduanya isomorfisma. Dari persamaan (1) dan (2) diperolehf−e∈U(S).
♠
Akibat langsung Lemma (4..1) adalah pernyataan yang merupakan syarat perlu dan cukup suatu elemen bersih dalam ring endomorfisma yang dirujuk dari Proposisi 2.2 paper Camillo et.al. [5].
Proposisi 4..4 Diberikan M suatu modul kiri atasR danS = EndR(M). Suatuf ∈ S
merupakan elemen bersih jika dan hanya jikaM sebagaiR-modul dapat didekomposisikan menjadiM =A⊕B =C⊕Dsehinggaf(A)⊆C,(1−f)(B)⊆D, sertaf :A→C
dan1−f :B →Dkeduanya isomorfisma.
Selanjutnya, syarat perlu dan cukup suatu modul bersih adalah sebagai berikut.
Akibat 4..1 DiberikanM suatu modul kiri atasRdanS = EndR(M). ModulM bersih
jika dan hanya jika setiapf ∈ S menyebabkanM = A⊕B = C⊕Ddan memenuhi
f(A)⊆C,(1−f)(B)⊆D, sertaf :A→Cdan1−f :B →Dkeduanya isomorfisma.
Akibat 4..2 Pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen : a. Radalah ring bersih;
b. Radalah modul bersih;
c. Untuk setiapf ∈EndR(R)menyebabkanR=S⊕T =W⊕V, denganS,T,
W,V submodul-submodul dan memenuhif(S) ⊆W,(1−f)(T) ⊆ V, serta
f :S →W dan1−f :T →V keduanya isomorfisma.
d. Untuk setiapr0 ∈ R, ring R terdekomposisi sebagai berikutR = S ⊕T = W ⊕V, dengan S, T, W, V ideal-ideal di R dan memenuhi r0(S) ⊆ W,
(1−r0)(T)⊆V. Lebih jauh,r0dan1−r0unit diR.
Bukti. Perhatikan bahwaR ≃ EndR(R) dengan isomorfismar 7→ fr dan definisi untuk
fradalahfr(s) =rsuntuk setiapsdiR.
(a)⇔(b)Jelas dari fakta bahwaR ≃EndR(R). (b)⇔(c)Jelas dari Akibat 4..1.
(c)⇒(d)Jelas dari Akibat 4..1 dan fakta bahwaR≃EndR(R).
(d)⇒(c)Untuk membuktikan pernyataan(c)cukup dibuktikan bahwa untuk setiap endo-morfismaf :M →M pernyataan (c) berlaku. KarenaR≃EndR(R), maka untuk setiap endomorfismaf terdapatr0∈Rsehinggaf(m) =r0m. Jadi pernyataan terbukti.♠
Proposisi 4..5 Diberikan modul kiri M atas ringR yang setia (faithful). JikaR adalah
ring bersih dan tidak memuat pembagi nol, maka terdapat submodulM1 danM2 di M
sehinggaM =M1⊕M2.
Bukti. KarenaM adalah modul atasR, maka terdapat perkalian skalar berikutR×M →
M,(r, m) 7→ rm ∈M. KarenaRadalah ring bersih, makaR = S⊕T, sehingga untuk setiapmdiMterdapatsdiSdantdiT dan berlaku
1m= (s+t)m=sm+tm=m.
Jadi disimpulkan bahwaM =sM+tM. Tinggal dibuktikan bahwasM∩tM = 0. Ambil sebarangx ∈sM∩tM, artinya terdapatm1, m2 ∈M sehinggax =sm1 =tm2. Akibatnya diperoleh kombinasi linear berikutsm1−tm2 = 0. Jikam1 6= m2 dan saling bebas linear, maka jelass = t = 0. Jikam1 6= m2 dan tak bebas linear, maka terdapat 06=k∈Rsehinggam1 =km2. Sebagai konsekuensi,skm2−tm2= 0dan(sk−t)m2 = 0. Dengan kata lainsk−t ∈ AnnR(M). KarenaM setia, yaituAnnR(M) = 0, maka sk−t= 0dan berakibatsk =t. Hal ini hanya dipenuhit=s= 0karenaT ∩S = 0dan Rtidak memuat pembagi nol. Sebagai kesimpulan terbuktix= 0.
Dengan mengambilM1 =sM danM2 =tM, terbuktiM =M1⊕M2.♠
Akibat 4..3 Diberikan modul kiriM atas ringRyang setia (faithful). JikaRadalah ring bersih dan tidak memuat pembagi nol, maka terdapat dekomposisi berikutEndR(M) = EndR(M1)⊕EndR(M2), denganM1danM2adalah submodul-submodul diM.
Bukti. Dari yang diketahui, menurut Proposisi (4..5) modul M terdekomposisi menjadi
M =M1⊕M2. AkibatnyaEndR(M) = EndR(M1⊕M2) = EndR(M1)⊕EndR(M2).
♠
Berikut adalah akibat dari Akibat 4..2 dan 4..3.
Proposisi 4..6 DiberikanRring komutatif danAadalahR-aljabar.
1. Jika R ring bersih, maka terdapat subaljabarA1 dan A2 sehingga EndR(A) = EndR(A1)⊕EndR(A2).
2. JikaAmerupakanR-modul bersih, makaA= B⊕C =D⊕Edengan ketentuan untuk semuaf ∈ EndR(A)berlakuf(B) ⊆Ddan(1−f)(C) ⊆E. Selain itu,f
dan1−f merupakan isomorfisma.
3. JikaA R-aljabar bersih, maka untuk setiapf ∈EndA(A)menyebabkanA=A1⊕
A2 =B1⊕B2, denganA1,A2,B1,B2submodul-submodul dan memenuhif(A1)⊆
B1, (1−f)(A2) ⊆ B2, serta f : A1 → B1 dan 1−f : A2 → B2 keduanya isomorfisma.
Ucapan Terima Kasih. Paper ini merupakan sebagian dari hasil penelitian yang dibiayai oleh Jurusan Matematika FMIPA UGM melalui dana Hibah Penelitian Jurusan Matem-atika FMIPA UGM Tahun Anggaran 2011/2012 dengan nomor kontrak 29/J01.1.28/PL.-06.02/2011.
Daftar Pustaka
[1] Assem, I., Simson, D., Skowro’nski, A.,Elements of the Representation Theory of Associative Algebras, Cambridge University Press, 2006.
[2] Chen, H., Chen, M., On Clean Ideals, International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences (IJMMS)2003:62, 3949 - 3956, 2002.
[3] Chen, W., Cui S., On Clean Rings and Clean Elements,Southeast Asian Bulletin of Mathematics, 32, 855 - 861, 2008.
[4] C˘alug˘areanu, G., One-sided Clean Rings,Studia Universitatis Babes-Bolyai, Vol. 55, No. 3, 2010.
[5] Camillo, V.P., Khurana, D., Lam, T.Y., Nicholson, W.K., Zhou, Y., Continuous Mod-ules are Clean,Journal of Algebra, 304, 94-111, 2006.
[6] Khaksari, A., Moghimi, G., Some Results on Clean Rings and Modules,World Ap-plied Sciences Journal, vol. 6 (10), 1384 - 1387, 2009.
[7] Wijayanti, I.E., Seputar Modul Bersih-n Kuat, Prosiding Konferensi Nasional Matematika (KNM) XV Manado 2010.
[9] Wisbauer, R.,Modules and algebras : bimodule structure and group action on alge-bras, Pitman Monographs and Surveys in Pure and Applied Mathematics, Addison Wesley Longman Limited, Essex, England, 1996.
[10] Zhang,H., 2009, On Strongly Clean Modules, Communications in Algebra 37(4), 1420-1427.