PEMBAHASAN MASALAH
III.5. Nonlinear Geometri dan Nonlinear Material
Banyak variasi perilaku yang disebut “nonlinear” (kata tersebut hanya menyatakan perilaku yang tidak). Hubungan tegangan-regangan bisa nonlinear baik secara bergantung waktu atau bebas waktu. Perpindahan bisa menyebabkan beban untuk mengubah distribusinya. Bagian yang berpasangan dapat saling tumbuk atau saling geser. Gap bisa terbuka atau tertutup. Nonlinearitas dapat ringan saja atau sangat dominan. Persoalan bisa static atau dinamik. Bermacam aturan solusi diusulkan, dan tidaklah mengherankan bila tidak satupun yang dianggap terbaik untuk segala persoalan.
Persoalan sehari-hari biasanya dianggap sebagai linear. Bahan dan struktur digunakan dalam batas linear, dalam anggapan lendutan kecil. Nonlinearitas yang tidak dominan, yang kecil saja, masih bisa menerapkan basis desain linear. Analisa nonlinear lebih susah dimengerti dan lebih mahal. Namun demikian, analisis nonlinear semakin menjadi lebih umum disebabkan persyaratan desain yang ketat dan adanya metoda elemen hingga dan computer yang memungkinkan analisis nonlinear dilakukan secara praktis.
Persoalan nonlinear biasanya diselesaikan dengan menggunakan sederetan tahapan linear. Dalam pengertian struktur, proses ini dijelaskan dengan menuliskan keseimbangan dalam bentuk incremental [K] {∆D} = {∆R}. disini matriks [K] adalah fungsi dari peralihan {D} disebabkan persoalan nonlinear. Pada saatnya, {D} yang terakhir adalah jumlah {∆D} sebelumnya. Matriks [K] disebut kekakuan tangent, yang digunakan untuk menghitung tahap berikutnya, {∆D}. kemudian mengubah {D}, ubah [K], dan siap untuk tahap berikutnya. Dengan cara ini kita mengaproksimasikan lengkung beban terhadap peralihan dengan sederetan segmen garis lurus.
Dalam struktur , jenis-jenis nonlinearitas terdiri dari :
Nonlinear material , di mana jenis dan bentuk material merupakan fungsi dari hubungan tegangan-regangan, termasuk nonlinear elastisitas, plastisitas dan rangkak.
Nonlinear kontak , di mana suatu gap antara bagian berdekatan mungkin terbuka atau tertutup, area kontak antara bagian itu berubah seiring perubahan gaya kontak, atau ada kontak yang bergesekan dengan gaya gesek.
Nonlinear geometri , di mana lendutannya cukup besar bahwa persamaan keseimbangan harus ditulis pada struktur geometri yang berdeformasi. Juga, beban akan berubah arah ketika beban meningkat.
Pada bagian ini akan dibahas nonlinearitas geometri dan nonlinearitas material. Dalam membahas nonlinear geometri, kita mengabaikan nonlinear material dan persoalam bergantung-waktu kecuali bila disebutkan.
Keistimewaan penting nonlinearitas geometri adalah persamaan keseimbangan harus ditulis terhadap geometri yang terdeformasi – yang mana belum diketahui saat itu. Kecuali bila persoalan tersebut tidak berubah secara mendasar oleh deformasi kita namakan persoalan tersebut sebagai “linear” dan anggapan bahwa persamaan keseimbangan adalah mengacu pada konfigurasi awal.
Persoalan peralihan-besar dapat dianalisis dalam koordinat Lagrangian atau
koordinat Eulerian.
Pendekatan lagrangian juga disebut “stationary Lagrangian” dan “total Lagrangian”. Definisinya adalah bahwa kerangka acuan orisinil tetap stasioner, dan seluruhnya mengacu padanya, tidak peduli berapa besar regangan atau rotasi yang bakal terjadi: peralihan, diferensiasi, dan integrasi seluruhnya mengacu pada kerangka orisinilnya. Dengan makin bertambahnya peralihan, semakin banyak faktor yang ditambahkan pada hubungan regangan-peralihan untuk memperhitungkan nonlinearitas. Dalam konteks elemen hingga hal ini berarti bahwa matriks kekakuan konvensional [K] ditambahi dengan matriks-matriks tambahan yang diperoleh dari faktor yang lebih tinggi : pertama oleh [K ] untuk merepresentasikan pengaruh kekakuan yang bergantung secara linear pada peralihan, kemudian oleh [K2] untuk merepresentasikan pengaruh kekakuan yang bergantung pada kuadritas pada peralihan.
Sebaliknya, pendekatan Eulerian melibatkan koordinat berpindah : suatu kerangka acuan yang berdeformasi bersama struktur sedemikian hingga koordinat (terpindah) dari sebuah titik tidak pernah berubah. Seperti pada kenyataannya, pendekatan Eulerian mengambil bentuk yang sering disebut sebagai pendekatan “updated Lagrangian”.
Sebuah sistem koordinat lokal, yang disebut sistem korotasional, dikenakan pada setiap elemen. Sistem lokal bergerak bersama elemen dan dengan demikian terkena gerakan benda getar yang sama. Diferensiasi dan integrasi dilakukan dengan mengacu pada koordinat lokal. Keadaan deformasi yang sekarang digunakan sebagai acuan sebelum tahap solusi incremental berikutnya. Kemudian koordinat lokal disesuaikan untuk menghasilkan keadaan acuan yang baru. Koordinat lokal titik berubah , sehingga metode tidaklah murni Eulerian. Namun regangan dan rotasi pada sistem lokal biasanya cukup kecil sehingga [K2], dan kadang-kadang [K ] bisa diabaikan. Nonlinearitas diperhitungkan dengan menelusuri orientasi beberapa sistem lokal. Persamaan yang terbentuk diekspresikan dalam faktor kenaikan peralihan.
Untuk nonlinear material, dalam tahap pengenalan, formulasi dan solusi di mana hubungan tegangan regangan adalah nonlinear. Nonlinear geometri tidak termasuk. Namun kita akan melihat bahwa algoritma solusi sangat mirip, tak peduli pada macam nonlinearitasnya.
Bila hubungan tegangan regangan linear, atau nonlinear elastic, padanya terdapat relasi yang unik antara tegangan dan regangan. Namun bila terdapat regangan plastis, hubungan tegangan regangan bergantung pada alur, tidak unik: keadaan tegangan yang diberikan dapat dihasilkan melalui bermacam prosedur peregangan. Selain itu, material yang berbeda memerlukan teori material yang berbeda pula.
Persoalan komputasi yang penting dalam nonlinearitas material adalah bahwa persamaan keseimbangan harus ditulis menggunakan sifat bahan yang bergantung pada regangan, namun regangan itu belum diketahui. Pembahasan kita menitikberatkan pada plastisitas. Namun algoritma solusi tidaklah terlalu terbatas: dia bisa terapkan pada nonlinearitas material, tanpa meninjau asal mulanya.
Kemudian, kita akan meringkaskan persamaan teori plastisitas von Mises. Ini adalah teori inkremental atau aliran : dia menghubungkan inkremen tegangan dengan inkremen regangan. (teori deformasi, yang menghubungkan tegangan total dengan regangan total).
Definisi rekayasa untuk regangan geser digunakan, misalnya xy = u,x + v,x .
sesuai dengan teori von Mises, leleh berawal saat keadaan saat keadaan tegangan mana saja ketika terjadi tegangan efektif melebihi batas tertentu, dimana
= [ ( t– v)2+ ( y– z)2+ ( z– x)2+ 6( 2 xy+ 2
xy+ 2 xy)]1/2
untuk tegangan uniaksial x, dan daerah plastis dimana rasio poisson adalah 0,5 , kita dapatkan = x
III.6. Metode Analisa Elemen HIngga.
III.6.1. Teori Metode Elemen Hingga (FEM) .FEM merupakan salah satu metode yang digunakan untuk menghitung gaya-gaya dalam yang terjadi dalam suatu komponen struktur. Finite element methode juga dapat dipakai untuk perhitungan struktur, fluida, elektrik, static, dinamik, dan lain-lain. FEM juga dikenal sebagai metode kekakuan atau displacement methode karena yang didapat terlebih dahulu dari perhitungan adalah perpindahan baru kemudian mencari gaya batang. Dikarenakan perhitungan matematis yang kompleks, FEM secara utama dikembangkan untuk deformasi linear yang kecil dimana matriks kekakuan konstan. Pada kasus deformasi yang besar, matriks kekakuan dan gaya dalam menjadi fungsi dari perpindahan. Nonlinear FEM digunakan untuk memperbaiki parameter material dari pandangan pelat elastis yang tinggi.
Suatu balok merupakan suatu batang, yang berarti satu dimensi lebih besar dari dua elemen struktur yang dapat menahan gaya transversal pada perletakan yang ada. Balok yang umum dapat digunakan sebagai struktur tersendiri atau dikombinasikan untuk membentuk struktur portal bangunan yang umum digunakan pada bangunan dan dapat digunakan pada varisai beban secara luas dengan berbagai arah. Karena kita bekerja pada gambaran struktur 2D , maka digunakan suatu balok sederhana yang membentuk suatu balok 3D di bawah pengaruh gaya yang dipakai pada balok .
III.6.2. Deskripsi Model Matematis.
Euler-Bernoulli beam (EB) teori secara luas digunakan untuk memodelkan deformasi yang kecil. Timoshenko beam (TB) teori memperluas persamaan EB untuk memperjelas untuk efek nonlinear seperti geser. Untuk lebih teliti, elemen kinematik pada balok dijelaskan dengan 3 dof per node yaitu perpindahan aksial pada sumbu X (Ux), perpindahan transversal pada sumbu Y (Uy) dan rotasi pada penampang melintang (θ). Teori EB mengasumsikan bahwa penampang melintang meninggalkan gaya normal untuk membentuk sumbu longitudinal, di mana TB menghapus kendala normal dengan memperkenalkan deformasi geser. Sebagai tambahan, kedua teori mengacuhkan perubahan dimensi dari bentuk penampang balok yang mengalami deformasi. Teori TB dapat digunakan untuk perilaku geometri nonlinear akibat perpindahan dan perputaran yang besar. walaupun lebih kompleks teori TB yang muncul agar lebih efisien dalam hal perhitungan FEM.
Balok tersebut dibagi menjadi beberapa bagian ( elemen hingga ) . elemen-elemen balok lurus dan memiliki 2 node. Maka dikumpulkan semua nodal dof ke dalam sistem vektor dof yang dinamakan vektor tetap :
U = [ x1 y1 θ1 . . . xn yn θn ]T
Dalam hal ini, diasumsikan untuk mengetahui material properti dari model yang ada seperti E modulus elastisitas, G yaitu modulus geser. Materialnya masih tetap linear elastis . gaya-gaya yang ada bekerja pada node balok yang dikumpulkan untuk membentuk vektor gaya yaitu :
f = [ fx1 fy1 fθ1 . . . fxn fyn fθn ]T
Regangan merupakan suatu ukuran untuk mengubah bentuk objek, dalam hal ini yaitu panjang, sebelum dan sesudah terjadi deformasi yang diakibatkan beberapa beban yang ada. Tegangan adalah distribusi gaya-gaya dalam per satuan luas yang seimbang dan bereaksi terhadap gaya luar yang terjadi pada balok. Dalam kasus teori TB , ada tiga perbedaan komponen tegangan per elemen balok : regangan aksial yang diukur berdasarkan besar ukuran balok ( e ), regangan geser yang diukur berdasarkan perubahan sudut antara dua garis pada balok sebelum dan sesudah deformasi ( γ ) , dan ukuran perubahan kurva ( k ). Dari hal di atas , dapat dikumpulkan menjadi suatu vektor regangan balok secara umum :
hT = [ e1 γ1 k1 . . . e n-1 γ n-1 k n-1 ].
Resultan tegangan pada teori TB ditentukan gaya aksial N , gaya lintang V dan momen lentur M per satuan luas dari penampang melintang. Resultan tegangan secara umum :
z = [ N1 V1 M1 . . . N n-1 V n-1 M n-1 ].
Di mana n-1 adalah jumlah dari elemen balok.
Energi regangan dalam model sepanjang balok dapat ditulis sebagai integral panjang :
U = hdX
Di mana L adalah panjang balok. Vektor gaya dalam bisa didapat dengan mengambil variasi pertama dari energi regangan sehubungan dengan perpindahan nodal :
Persamaan ini dievaluasi dengan penggabungan satu titik Gauss. B adalah matrik regangan-perpindahan . akhirnya, variasi pertama pada gaya dalam mendefinisikan matriks kekakuan tangensial :
KT =
=
dX = (KM + KG)Di mana KT adalah kekakuan material dan KG adalah kekakuan geometri. Kekakuan material adalah konstan dan identik dengan matriks kekakuan linear pada balok Euler-Bernoulli C1 . kekakuan geometri mendatangkan variasi dari B dimana resultan tegangan tetap dan membawa balok nonlinear pada deformasi geometri yang besar.
III.6.3 Pengenalan Elemen
Elemen adalah formulasi matematik yang digunakan metode elemen hingga sebagai representasi problem yang ditinjau dalam suatu diskritisasi. Sebagian besar permasalahan rekayasa dalam konstruksi bangunan gedung maupun jembatan dapat diselesaikan dengan pendekatan stuktur rangka ( model struktur berbentuk garis atau elemen satu dimensi ). Hal tersebut juga dibuktikan dengan materi analisa struktur yang diajarkan ditingkat sarjana, yang sebagian besar masih terbatas untuk struktur rangka saja. adapun materi analisis non-rangka seperti pelat dan cangkang ( elemen dua dimensi ) sebagian besar hanya diberikan di tingkat pascasarjana. Oleh karena itu pulalah, penggunaan elemen frame pada suatu progam seperti ANSYS sangat popular disbanding elemen-elemen lain yang tersedia pada progam tersebut.
Selain elemen frame yang merupakan elemen satu dimensi, juga terdapat elemen lain, yaitu :
Elemen shell, yaitu elemen bidang untuk memodelkan struktur shell ( cangkang ), pelat, dan membrane, sebagai model 2D atau 3D.
Elemen plane, yaitu elemen bidang untuk memodelkan struktur padat ( solid ) dengan perilaku plane-stress maupun plane strain.
Elemen asolid, yaitu elemen bidang untuk memodelkan struktur solid
axisymetric dengan pembebanan axisymetric pula.
Elemen solid, yaitu untuk memodelkan struktur padat ( solid ) tiga dimensi.
Elemen Nllink, yaitu elemen khusus yang dapat digunakan untuk memodelkan bagian tertentu struktur yang bersifat non-linear seperti gap ( celah ), peredam, isolator, dan semacamnya. Elemen ini dapat digunakan jika Anda berkeinginan melakukan analisa struktur non-linear.