Optimisasi Robust

Data tidak pasti saat ini banyak dijumpai dalam masalah optimisasi. Misalnya dalam optimisasi rangkaian supply, keaktualan permintaan untuk suatu produk, keuntungan finansial, keaktualan keperluan material dan lain-lain adalah tidak tepat diketahui dimana keputusan kritis diperlukan untuk diputuskan. Dalam teknik dan science, data adalah suatu ukuran error, dimana juga merupakan sumber data yang tidak pasti dalam model optimisasi.

Dalam optimisasi matematika, umumnya diasumsikan bahwa data adalah tepat (pasti) diketahu. Kemudian dianalisis untuk meminimumkan (atau maksimumkan) fungsi objektif dengan :

Minimumkan f₀ (x, D₀)

kendala fi ( x, Di ) ≥ 0 i I

Dimana x adalah vektor dari variabel keputusan dan D_i, i I {0} adalah data yang merupakan bagian masukan dari maslah optimisasi.

Ketika parameter dalam fungsi objektif adalah tidak pasti , tidak mungkin keinginan untuk nilai optimal diperoleh. Bagaimanapun tingkat penyimpangan yang merugikan sering kali menjadi alasan untuk diperhatikan. Banyak model ingin mengoptimalkan imbal balik (tradeoff) untuk mendapatkan solusi yang lebih dipercaya dalam mencapai tujuan yang diinginkan.

Jika parameter tidak pasti menjadi kendala, kemudian diimplementasikan pada solusi, mungkin kendala menjadi ganguan dalam realisasi dari aktualisasi data. Dalam banyak praktek masalah optimisasi, gangguan (pelanggaran) kendala akan mempengaruhi ketidakmampuan solusi yang diperoleh.

Metode klasik yang termasuk parameter tidak pasti adalah analisis sensitivitas dan stochastik. Dalam bentuk pendekatannya, penggunanya mengabaikan pengaruh data yang tidakpasti dalam model mereka dan berikutnya analisis sensitifitas memberikan solusinya. Bagaimanapun analisis sensitifitas hanya alat untuk menganalisis kebaikan atau kebenaran dari solusi. Dalam pendekatan stochastik untuk memperoleh solusi yang layak dengan menggunakan perubahan pada kendala.

Optimisasi robust memmberikan pendekatan yang berbeda dalam menangani data yang tidak pasti. Dalam matematika, robust optimisasi adalah suatu metode pendekatan dalam optimisasi yang berhubungan dengan ketidakpastian. Dalam model optimisasi memiliki dua komponen yang berbeda yaitu komponen struktural dan komponen kontrol. Untuk mendefinisikan kedua komponen tersebut, akan diperlihatkan dua variabel himpunan sebagai berikut:

1 n

x R , merupakan vektor variabel keputusan yang memiliki nilai optimal

dengan parameter yang tidak pasti yang disebut design variable. Variabel design ini tidak dapat menjadi suatu realisasi data yang spesifik

2 n

y R , merupakan vektor variabel keputusan kendali dimana memperhatikan penyesuaian terhadap suatu parameter yang tidak pasti. Nilai optimal variabel ini bergantung pada realisasi parameter tidak pasti dan nilai optimal dari design variable.

Istilah design variable dan control variable diambil dari analisis fleksibilitas produksi dan proses distribusi. Variabel design menentukan struktur proses dan ukuran dari modul produksi. Variabel kendali digunakan untuk mengatur cara dan mutu (level) dari produksi dalam merespon gangguan dalam proses, mengubah permintaan hasil produksi, dan sebagainya.

Model optimisasi dapat dituliskan sebagai berikut: Linear Programming Minimumkan c^T x + d^T y (1) x Rⁿ1,y Rⁿ2 kendala: Ax = b (2) Bx + Cy = e, (3) x, y ≥ 0. (4)

Persamaan 2 merupakan kendala dalam matematika programming dan persamaan 3 merupakan kendala kontrol.

Untuk medefinisikan masalah optimisasi robust, andaikan terdapat himpunan scenario = { 1, 2, 3, ..., S}. Dengan tiap skenario s yang kemudian dihubungkan pada himpunan {d_s, B_s, C_s, e_s} untuk koefisien variabel kendali dan peluang skenario ps S s s p 1 ) 1

( . Solusi optimal dari persamaan (1)s/d(4) akan menjadi robust yang optimal jika sisanya “close” pada optimal untuk beberapa realisasi skenario s yang kemudian disebut dengan istilah solusi robust. model robust adalah solusi robust yang mungkin terjadi bila “hampir” layak untuk beberapa skenario s.

Hal ini tidak mungkin bahwa untuk persamaan (1)s/d(4) akan layak dan optimal untuk semua skenario s . Jika sistem tersebut adalah dibangun model substansial redundan , maka hal itu mungkin memperoleh solusi layak dan optimal. Sebaliknya, suatu model diperlukan untuk memenuhi tindakan imbal-beli (tradeoff) diantara solusi robust dan model robust.

Andaikan terdapat himpunan { y_1, y₂, ..., y_s} variabel kendali untuk setiap skenario s . Andaikan terdapat himpunan { z₁, z₂, ... , z_s} merupakan vektor error dari kendala kontrol pada scenario. Maka dapat diformulasikan robust model sebagai berikut:

kendala: Ax = b (6)

Bs x + Csys + zs = es, untuk semua s (7)

x ≥ 0, ys ≥ 0, untuk semua s (8)

Dengan mengalikan skenario, fungsi objektif = c^T x + d^T y menjadi variabel acak dengan nilai s = c^T x + d^Ts ys, dengan probabilitas ps. Oleh karena itu, terdapat pilihan tunggal untuk jumlah nilai objektifnya.

Dengan menggunakan nilai rata-rata : (.) =

s s s

p , (9)

dimana fungsi tersebut biasanya digunakan dalam formulasi stokastik linear programming. Dalam analisis pada kasus buruk (worst) model maximin di definisikan : _s s max (.) , (10)

2. 3 Formulasi Robust Mixed Integer Programming (MIP)

Andaikan c, l, u merupakan n-vektor, andaikan A merupakan matriks m x n dan b adalah m-vektor.

Minimumkan c^’x

kendala Ax ≤ b

l ≤ x ≤ u

x_i Z_, i = 1, ..., k (1) Model data yang tidak pasti U:

a. tidak pasti (uncertain) untuk Matriks A : Andikan N = { 1, 2, ..., n}. Tiap entry aij, j N adalah model independent, simetris dan dibatasi variabel random ( tetapi dengan distribusi yang tidak diketahui)

~

,j N

a_ij yang diambil dalam nilai [a_ij aˆ_ij,a_ij aˆ_ij]. b. tidak pasti (untuk cost vektor c). Tiap entri cj, j N nilai

diambil dalm [c_j, c_j + d_j], dimana d_j mewakili deviasi dari nominal cost koefisien c_j.

Untuk setiap i, terdapat bilangan i, i = 0, 1, ..., m yang diambil nilai dalam interval [0, J_i ], dimana J_i = {j,aˆij 0}. 0 diasumsikan bulat, ketika i, i = 1,2,...,m tidak harus selalu integer. Tugas parameter i dalam kendala adalah menyesuaikan metode sifat robust terhadap solusi yang konservatif. Terdapat ke-i kendala darke-i persoalan nomke-inal a_ix b_i. Andaikan Ji adalah himpunan koefisien aij, j J_iindependent mengambil nilai sesuai pada distribusi simetrik dengan rata-rata sama dengan nilai nominal aij dalam interval [a_ij aˆ_ij,a_ij aˆ_ij]. Berbicara dengan intuisi, tidak mungkin bahwa semua a_ij, j J_i, akan diubah. Tujuan hal ini adalah semua kasus mulai dari koefisien _i diganti, dan satu koefisien a_it diganti dengan ( _{i i} )aˆ_it..

Dengan kata lain bahwa menetapkan wilayah terlarang dalam perhitungan dan hanya koefisien himpunan bagian yang digantikan dalam urutan yang menimbulkan solusi yang berlawanan. Kemudian akan dijamin bahwa jika dilakukan sifat alami maka solusi robust akan layak.

Lemma Minimumkan 0 max j j S _j c x d x kendala: max ˆ ( )ˆ i _{i i} j a x_{ij j} a_ij x_{j i i} a x b_i j S _{it t} ⁱ l x u x_i , i 1,...,k. (2) Bukti :

Akan ditunjukkan bagaimana kendala (2) menjadi kendala linear. Diberikan vektor x^*, didefinisikan :

i(x^*) = * max ˆ ( )ˆ i _{i i} j S a_ij x _{j i i} a_it x _t (3) Sama dengan : _i(x^*) = maksimumkan i J j ij j ij x z aˆ

kendala i J j i ij z (4) 0 z_ij 1 i,j J_i

Persamaan ini equivalen{S_i {t_i}S_i J_i,S_{i i} ,t_i J_i \S_i} dengan fungsi cost i i i S j t it i i j ij x a x aˆ ( )ˆ ^* .

Maka dual dari persoalan (4) adalah: Minimumkan i J j i i ij z p kendala 0 0 ˆ i ij j ij ij i z p x a p z i J j J j i i (5)

Dari aturan dualitas, karena persamaan (4) feasible dan terbatas untuk semua

i [0, J_i], maka dual persamaan (6) juga layak dan terbatas _i [0, J_i]. Sehingga diperoleh bahwa i(x^*) adalah sama dengan nilai fungsi objektif pada

persamaan (5).

3.1Solusi robust dari masalah goal programming dengan posible varians