BAB II: KAJIAN TEORI, KERANGKA BERPIKIR, DAN HIPOTESIS
1. Pemahaman Konsep Integral Luas Daerah di Bawah
Pemahaman konsep matematika merupakan kemampuan dasar yang harus dimiliki oleh seorang siswa selain kemampuan penalaran, kemampuan komunikasi, kemampuan pemecahan masalah, dan disposisi matematik. Integral merupakan bagian dari kalkulus yang diajarkan pada tingkat SMA. Pada penelitian ini konsep integral yang dikaji adalah konsep integral luas daerah di bawah kurva dan volume benda putar.
a. Pengertian Pemahaman Konsep Matematika
Sebagaimana yang terdapat dalam buku Susanto, dijelaskan bahwa pemahaman (understanding) adalah kemampuan dalam menjelaskan suatu situasi dengan kata-kata yang berbeda dan dapat menarik kesimpulan dari tabel, data, grafik, dan sebagainya.1 Pemahaman berbeda dengan menghafal, seseorang yang memiliki pemahaman akan dapat mengingat suatu situasi karena telah tertanam dalam pikirannya dan dapat menjelaskannya dengan kata-kata sendiri, sedangkan seseorang yang hanya menghafal tidak dapat
1 Ahmad Susanto, Teori Belajar & Pembelajaran di Sekolah Dasar, (Jakarta: Prenadamedia Group, 2013), Edisi I, h. 210.
menjelaskan suatu situasi dengan kata-kata sendiri dan cenderung lupa dikarenakan tidak tertanam dalam pikirannya.
Pemahaman menurut Bloom dalam Susanto diartikan sebagai kemampuan dalam menangkap maksud dari materi yang dipelajari.2
Adapun menurut Carin dan Sund dalam Susanto, pemahaman adalah suatu proses yang terdiri dari tujuh tahapan kemampuan, yaitu:3
1) Translate major ideas into own words.
2) Interpret the relationship among major ideas.
3) Extrapolate or go beyond data to implication of major ideas.
4) Apply their knowledge and understanding to the solution of new problems in new situation.
5) Analize or break an idea into its part and show that they understand their relationship.
6) Synthesize or put elements together to form a new pattern and produce a unique communication, plan, or set of abstract relation.
7) Evaluate or make judgements based upon evidence.
Dari definisi yang diberikan oleh Carin dan Sund di atas, Susanto menjelaskan bahwa pemahaman dapat dikategorikan kepada beberapa aspek, dengan kriteria-kriteria sebagai berikut:4
1) Pemahaman merupakan kemampuan untuk menerangkan dan menginterpretasikan sesuatu. Seseorang yang telah memahami sesuatu akan mampu menjelaskan kembali apa yang telah ia pahami dan mampu memberikan interpretasi.
2) Pemahaman lebih dari sekedar mengetahui. Seseorang yang benar-benar paham akan mampu memberikan uraian dan penjelasan yang lebih kreatif, yang lebih luas dan baru sesuai dengan kondisi saat ini.
3) Pemahaman merupakan suatu proses bertahap yang masing-masing tahap mempunyai kemampuan tersendiri, seperti menerjemahkan, menginterpretasikan, ekstrapolasi, aplikasi, analisis, sintetis, dan evaluasi.
2 Ibid., h. 6.
3 Ibid., h. 6-7.
Dalam buku Munir dijelaskan bahwa menurut Bloom, pemahaman (understanding) merupakan salah satu dari enam tahap domain kognitif selain pengetahuan (knowledge), penerapan (application), analisis (analysis), sintesis (synthesis), dan menciptakan (create). Dimana pemahaman setingkat lebih tinggi daripada pengetahuan yaitu mampu memahami materi pembelajaran, dan akan mampu menjelaskan atau membedakan sesuatu.5
Sedangkan Rosyada mengemukakan bahwa pemahaman adalah
Comprehension yaitu kemampuan dalam memahami apa yang sedang
dikomunikasikan dan mampu untuk mengimplementasikan ide tanpa harus mengaitkannya dengan ide lain dan tanpa harus melihat ide itu secara mendalam.6 Kemampuan tersebut diperoleh ketika seseorang telah mengenal atau mengetahui tentang sesuatu, hal ini sesuai dengan yang diungkapkan oleh Sagala bahwa pemahaman (comprehension) yaitu kemampuan untuk mengerti dan memahami sesuatu setelah sesuatu itu diketahui atau diingat dan memaknai maksud dari materi yang dipelajari, dan pada umumnya menyangkut kemampuan menangkap makna suatu konsep dengan kata-kata sendiri.7
Berdasarkan uraian di atas peneliti menyimpulkan bahwa pemahaman adalah kemampuan untuk memahami, menjelaskan, dan menerapkan sesuatu yang telah dipelajari dan tertanam dalam pikiran. Dimana sesuatu tersebut dapat diartikan sebagai objek pada kajian matematika yang disebut konsep.
Sebagaimana yang terdapat dalam buku Sangadji, konsep merupakan suatu abstraksi yang terbentuk melalui generalisasi pengamatan terhadap fenomena (antara lain berupa: obyek, kejadian, atribut, atau proses).8 Sementara itu, Gagne (dalam Suyono) mengemukakan bahwa “konsep merupakan simbol hasil pemikiran, yang diperoleh dari hasil membuat
5 Munir, Kurikulum Berbasis Teknologi Informasi dan Komunikasi, (Bandung: Alfabeta, 2008), h. 55-56.
6 Dede Rosyada, PARADIGMA PENDIDIKAN DEMOKRATIS: Sebuah Model Pelibatan Masyarakat dalam Penyelenggaraan Pendidikan, (Jakarta: Kencana, 2013), Edisi II, cet. 4, h. 67. 7 Syaiful Sagala, Konsep dan Makna Pembelajaran: Untuk Membantu Memecahkan
Problematika Belajar dan Mengajar, (Bandung: Alfabeta, 2014), Cet. XII, h. 157.
8 Etta Mamang Sangadji dan Sopiah, METODOLOGI PENELITIAN: Pendekatan Praktis dalam Penelitian, (Yogyakarta: Andi, 2010), h. 132.
penafsiran terhadap fakta, prinsip, prosedur, dan hubungan antar berbagai fakta”.9
Menurut Dorothy J. Skeel dalam Nursid Sumaatmadja sebagaimana terdapat dalam buku Susanto, konsep merupakan sesuatu yang telah melekat dan tergambar dalam pikiran, gagasan, atau suatu pengertian.10 Seseorang yang telah memiliki konsep, berarti telah mempunyai pamahaman yang jelas dan dapat menentukan apakah suatu objek merupakan contoh atau bukan contoh dari suatu konsep.
Menurut James G. Womack dalam Susanto, konsep didefinisikan sebagai kata atau ungkapan yang sifatnya melekat.11 Sifat yang melekat disini dapat diartikan sebagai sesuatu yang sudah ada dalam pikiran. Sementara itu, Rosser dalam Dahar menyatakan bahwa konsep adalah suatu abstraksi yang mewakili satu kelas objek, kejadian, kegiatan, atau hubungan yang mempunyai atribut yang sama.12 Atribut tersebut dapat diartikan sebagai sifat atau ciri-ciri yang sama.
Menurut Lasley dalam Rosyada, konsep adalah sesuatu yang tidak dapat diamati dan merupakan kumpulan ide yang cakupannya sangat besar, sehingga tidak dapat didefinisikan dengan satu rumusan.13
Menurut Dave Merril dalam Suyono, konsep adalah sekelompok fakta/keterangan yang memiliki makna. Contoh konsep antara lain sepatu, pensil, resistor, paragraf, demokrasi, dan lain-lain.14
Dijelaskan juga menurut Direktorat Pembinaan Sekolah Menengah Atas dalam dokumen perangkat pembelajaran KTSP SMA (2008) dalam Suyono, konsep adalah segala sesuatu yang diperoleh dari hasil pemikiran
9 Suyono dan Hariyanto, BELAJAR dan PEMBELAJARAN: Teori dan Konsep Dasar, (Bandung: PT Remaja Rosdakarya, 2015), Cet. V, h. 138.
10 Susanto, op. cit., h. 8.
11 Ibid.
12 Ratna Wilis Dahar, Teori-teori Belajar dan Pembelajaran, (Jakarta: Erlangga, 2011), h. 63. 13 Rosyada, op. cit., h. 156.
yang berwujud pengertian-pengertian baru, meliputi definisi, ciri khusus, hakikat, inti, dan sebagainya.15
Konsep matematika harus diajarkan dengan sitematis dan bertahap dari materi yang sederhana ke materi yang lebih kompleks. Misalnya sebelum mempelajari materi integral luas daerah di bawah kurva, siswa harus terlebih dahulu diajarkan materi mengenai integral tentu sehingga konsep integral tentu dapat digunakan untuk materi selanjutnya yaitu integral luas derah di bawah kurva.
Berdasarkan uraian di atas, peneliti menyimpulkan bahwa konsep ialah sesuatu yang melekat dalam pikiran seseorang yang dapat diungkapkan dengan jelas. Pemahaman konsep matematika ialah kemampuan yang ditunjukkan oleh seseorang dalam menarik kesimpulan dan menjelaskan sesuatu yang telah tertanam dalam pikiran yang berkaitan dengan penalaran menggunakan kata-kata sendiri. Pemahaman konsep pada materi prasyarat sangat penting untuk memahami konsep selanjutnya, sehingga jika siswa telah memahami suatu konsep maka siswa tersebut akan dapat menyelesaikan soal yang berbeda dari soal yang dicontohkan oleh guru dengan masih dalam konsep yang sama.
b. Indikator Pemahaman Konsep Matematika
Berikut diuraikan beberapa jenis pemahaman konsep matematika beserta indikatornya menurut para ahli. Sebagaimana yang terdapat dalam buku Sebuah Antologi, menurut Bloom dalam Subiyanto, pemahaman dibedakan menjadi tiga kategori, antara lain:16
1) Translasi
Yaitu kemampuan dalam memahami suatu ide yang dinyatakan dengan cara yang berbeda dari sebelumnya.
2) Interpolasi
15 Ibid., h. 146-147.
16Kinkin Suartini, “Urgensi Pertanyaan dalam Pembelajaran Sains dengan Metode Discovery -Inquiry”, dalam Gelar Dwirahayu dan Munasprianto Ramli, Pendekatan Baru dalam
Pembelajaran Sains dan matematika Dasar: Sebuah Antologi, (Jakarta: PIC UIN, 2007), Cet. I, h. 108-109.
yaitu kemampuan dalam memahami suatu ide yang disajikan dalam bentuk lain seperti grafik, tabel, diagram, dan sebagainya.
3) Ekstrapolasi
yaitu keterampilan dalam memprediksi dengan mengemukakan akibat, konsekuensi, implikasi, dan sebagainya.
Sejalan dengan Bloom, sebagaimana yang terdapat dalam buku Susanto, Ruseffendi juga membedakan pemahaman matematis menjadi tiga kategori, yaitu:17
1) Pengubahan (translation)
yaitu menyampaikan informasi dengan bahasa atau bentuk yang berbeda. 2) Pemberian arti (interpretation)
yaitu menafsirkan inti dari bacaan. 3) Pembuatan ekstrapolasi (extrapolation)
yaitu estimasi dan prediksi yang didasarkan pada sebuah pemikiran, dan menarik kesimpulan.
Selanjutnya dijelaskan bahwa menurut Skemp dalam Sumarno, pemahaman dapat dibedakan menjadi dua jenis, yaitu:18
1) Pemahaman Instrumental
yaitu memahami konsep dan dapat menerapkan rumus dalam perhitungan sederhana.
2) Pemahaman relasional
yaitu dapat mengaitkan suatu konsep dengan konsep lainnya.
Selanjutnya dijelaskan juga bahwa menurut Bloom, untuk memahami sesuatu siswa harus melakukan lima tahapan, antara lain: 1) receiving (menerima); 2) responding (membanding-bandingkan); 3) valuing (menilai); 4) organizing (mengatur); dan 5) characterization (penataan nilai), dimana pemahaman akan terjadi jika adanya proses berpikir yang sistematis dan jelas.19
17 Susanto, op. cit., h. 210.
18 Ibid., h. 211.
Sebagai indikator bahwa siswa dapat dikatakan paham terhadap konsep matematika, menurut Salimi dalam Susanto dapat dilihat dari kemampuan siswa dalam beberapa hal, antara lain:20
1) Mendefinisikan konsep secara verbal dan tulisan. 2) Membuat contoh dan noncontoh penyangkal.
3) Mempresentasikan suatu konsep dengan model, diagram, dan symbol. 4) Mengubah suatu bentuk representasi ke bentuk lain.
5) Mengenal berbagai makna dan interpretasi konsep.
6) Mengidentifikasi sifat-sifat suatu konsep dan mengenal syarat-syarat yang menentukan suatu konsep.
7) Membandingkan dan membedakan konsep-konsep.
Ini sejalan dengan indikator pemahaman konsep yang terdapat pada teknis Peraturan Dirjen Dikdasmen Depdiknas Nomor 506/C/Kep/PP/2004 dalam Wardhani, antara lain:21
1) Menyatakan ulang sebuah konsep.
2) Mengklasifikasi objek-objek menurut sifat-sifat tertentu (sesuai dengan konsepnya).
3) Memberikan contoh dan non-contoh dari suatu konsep.
4) Menyajikan konsep dalam berbagai bentuk representasi matematis. 5) Mengembangkan syarat perlu atau syarat cukup suatu konsep.
6) Menggunakan, memanfaatkan, dan memilih prosedur atau operasi tertentu. 7) Mengaplikasikan konsep atau algoritma pemecahan masalah.
Berdasarkan uraian mengenai indikator pemahaman konsep menurut beberapa ahli tersebut, penelitian lebih difokuskan pada indikator pemahaman konsep menurut Depdiknas yaitu pada indikator 1, 4, 5, dan 6.
20 Ibid.
21 Sri Wardhani, Analisis SI dan SKL Mata Pelajaran Matematika SMP/MTS untuk Optimalisasi Tujuan Mata Pelajaran Matematika, (Yogyakarta: Pusat Pengembangan dan Pemberdayaan Pendidik dan Tenaga Kependidikan Matematika, 2008), h. 10-11.
c. Konsep Integral Luas Daerah di Bawah Kurva dan Volume
Benda Putar
Adapun konsep integral luas daerah di bawah kurva dan volume benda putar, antara lain:
1) Daerah di atas sumbuxantara kurva dengan sumbux
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y f(x), sumbux, garis
a
x , dan garis xb, dengan f(x)0pada [a,b] ditentukan dengan
rumus:
Sumber : BSE Matematika SMA (Depdiknas, 2008)
Gambar 2.1 Daerah di atas sumbux Luas daerah yang diarsir:
2) Daerah di bawah sumbuxantara kurva dengan sumbux Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y f(x), sumbux, garis
a
x , dan garis xb, dengan f(x)0pada [a,b] ditentukan dengan
rumus:
Sumber : BSE Matematika SMA (Depdiknas, 2008)
Gambar 2.2 Daerah di bawahsumbux Luas daerah yang diarsir:
ba
dx
x
f
3) Luas daerah antara dua kurva
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y f(x), kurva y g(x), garis
a
x , dan garis xb, dengan f(x) g(x)pada [a,b]ditentukan dengan
rumus:
Sumber : BSE Matematika SMA (Depdiknas, 2008)
Gambar 2.3 Daerah di antara dua kurva
Luas daerah yang diarsir: L = Luas ABEF – Luas ABCD
b adx
x
g
x
f
L [ ( ) ( )]
4) Volume benda putar yang diputar mengelilingisumbux.
Sumber : BSE Matematika SMA (Depdiknas, 2008)
Gambar 2.4 Volume benda putar yang mengelilingi sumbux
5) Volume benda putar yang diputar mengelilingisumbu y.
Sumber : BSE Matematika SMA (Depdiknas, 2008)
Gambar 2.5 Volume benda putar yang mengelilingi sumbuy Volume benda putar =
∫
6) Volume benda putar yang dibatasi oleh dua kurva, dan diputar mengelilingisumbux.
Sumber : BSE Matematika SMA (Depdiknas, 2008)
Gambar 2.6 Volume benda putar yang dibatasi kurva f(x) dan g(x) jika diputar mengelilingi sumbux
7) Volume benda putar yang dibatasi oleh dua kurva, dan diputar mengelilingisumbuy.
Sumber : BSE Matematika SMA (Depdiknas, 2008)
Gambar 2.7 Volume benda putar yang dibatasi kurva f(x) dan g(x) jika diputar mengelilingi sumbuy
Volume benda putar =
∫
d. Pemahaman Konsep Integral Luas Daerah di Bawah Kurva
dan Volume Benda Putar
Berdasarkan uraian di atas maka dapat disimpulkan bahwa pemahaman konsep integral luas daerah di bawah kurva dan volume benda putar adalah kemampuan yang ditunjukkan oleh siswa dalam memahami materi integral luas daerah di bawah kurvadan volume benda putardan kemampuan dalam memilih serta menggunakan prosedur secara efisien dan tepat dalam menyelesaikan soal tentang integral luas daerah di bawah kurva dan volume benda putar, yaitu dengan mampu menyatakan ulang sebuah konsep integral luas daerah di bawah kurva dan volume benda putar, menyajikan konsep integral luas daerah di bawah kurva dan volume benda putar dalam berbagai bentuk representasi matematis, mengembangkan syarat perlu atau syarat cukup suatu konsep integral luas daerah di bawah kurva dan volume benda putar, serta menggunakan, memanfaatkan, dan memilih prosedur atau operasi tertentu dalam menyelesaikan soal tentang integral luas daerah di bawah kurva dan volume benda putar.