DAFTAR LAMPIRAN
Definisi 12 (Sktruktur Waktu Suku Bunga) Struktur waktu suku bunga (term structure
III. PEMBAHASAN Dalam bab ini akan dijelaskan tentang
III. PEMBAHASAN
Dalam bab ini akan dijelaskan tentangbeberapa model satu-faktor, diantaranya adalah model Vasicek, model Cox-Ingersoll-Ross. Kedua model tersebut dapat diperluas, namun dalam karya ilmiah ini hanya akan dijelaskan salah satunya yaitu perluasan model Vasicek. Selanjutnya akan diberikan model penentuan nilai opsi call tipe Eropa pada zero coupon bond.
Misalkan diberikan model one-state-variable dari struktur waktu di mana tingkat suku bunga jangka pendek, r, mengikuti proses mean reversion
(5) di mana a, b, σ dan β adalah konstanta positif dan dz adalah proses Wiener.
Hal ini masuk akal untuk menduga bahwa dalam beberapa situasi ekspektasi pasar tentang suku bunga masa depan melibatkan parameter yang tergantung pada waktu. Dengan kata lain, drift rate dan volatilitas dari r merupakan fungsi dari waktu. Ketergantungan dari waktu dapat timbul dari sifat siklus ekonomi, harapan masa depan tentang dampak kebijakan moneter, dan tren yang diharapkan dalam variabel makro ekonomi lainnya.
Pada karya ilmiah ini model pada persamaan (5) akan diperluas untuk mencerminkan ketergantungan waktu ini. Akan ditambahkan drift yang tergantung waktu, , pada persamaan (5), dan memungkinkan reversion rate, a, dan faktor volatilitas, , menjadi fungsi dari waktu, sehingga model menjadi seperti berikut:
(6) 3.1Model Vasicek
Model Vasicek adalah model satu-faktor yang merupakan kasus khusus dari persamaan (5) dengan asumsi . Sehingga diperoleh persamaan
. (7)
Model Vasicek juga digunakan untuk menentukan nilai zero coupon bond pada waktu t dengan nilai pari sebesar $1 pada saat jatuh tempo T, dengan persamaan harga obligasi diberikan oleh teorema berikut: Teorema 3.1
Misalkan t adalah waktu, dengan T adalah waktu jatuh tempo obligasi dan r adalah suku bunga bebas risiko. Maka harga zero coupon
bond untuk adalah
, , , (8) dengan , , exp , , 4 . Bukti: lihat (Rolski et al. 1999) .
Pada persamaan (8), merupakan nilai r pada saat t,
Bukti: lihat Lampiran 2
Salah satu kelemahan dari asumsi
adalah bahwa tingkat suku bunga jangka pendek, r, bisa menjadi negatif.
3.2Perluasan Model Vasicek
Perluasan model Vasicek merupakan kasus khusus dari persamaan (6) dengan , sehingga diperoleh persamaan berikut:
8
Harga dari contingent claim, f, tergantung pada r memenuhi
dimana
. Harga zero coupon bond dengan nilai pari sebesar $1 pada waktu T adalah solusi untuk persamaan (13) yang memenuhi syarat batas saat , diberikan persamaan berikut
, , , , (14)
Persamaan (14) memenuhi persamaan (13) dan kondisi batas
dan
, (16) dengan
, ; , . (17)
Bukti : lihat Lampiran 3
Ini berarti bahwa jika persamaan (15) dan (16) diselesaikan sesuai dengan kondisi batas pada persamaan (17), persamaan (14) merupakan harga dari zero coupon bond yang jatuh tempo pada T. Penyelesaian persamaan (15) dan (16) untuk situasi dimana , , dan konstan mengikuti formula Vasicek untuk
penentuan harga obligasi pada persamaan (8), (9) dan (10).
Fungsi, , dalam model diperluas harus dipilih untuk mencerminkan volatilitas saat ini dan masa depan tingkat suku bunga jangka pendek, r. Langkah pertama dalam analisis adalah menentukan , ,
, dan , dalam hal , , , , dan .
Turunkan persamaan (15) dan (16) terhadap T, maka diperoleh
. (19) Eliminasi dari persamaan (16) dan (19) menghasilkan
. (20) Eliminasi dari persamaan (15) dan (18) menghasilkan
.
Kondisi batas untuk persamaan (20) dan (21)
adalah nilai-nilai diketahui , dan
, , , , dan , .
Solusi untuk (20) dan (21) yang memenuhi kondisi batas adalah persamaan (22) dan (23). Selanjutnya substitusikan persamaan (22) dan (23) ke persamaan (15) dan (16), sehingga diperoleh persamaan (24) dan (25).
, , , , / , , , , , , , , / di mana , log , .
9 , / , / 4 , , , , / Bukti: lihat Lampiran 5
3.3Penentuan nilai Opsi call tipe Eropa pada Zero Coupon Bond menggunakan Perluasan Model Vasicek
Misalkan , , adalah harga pada saat dari zero coupon bond yang jatuh tempo pada saat . Maka persamaan harga obligasi dapat ditulis sebagai berikut,
, , , , .
Menggunakan lema Itô, diperoleh volatilitas , , adalah σ , .
Bukti: lihat Lampiran 6
Karena volatilitas tersebut tidak bergantung pada r, distribusi harga obligasi pada waktu tertentu tergantung pada harga pada waktu sebelumnya harus lognormal.
Diberikan opsi call tipe Eropa pada zero coupon bond, dengan karakteristik opsi X = harga strike
L = nilai pari (par value) T = waktu jatuh tempo opsi s = waktu jatuh tempo obligasi
t = waktu, .
Opsi call dapat dianggap sebagai pilihan untuk pertukaran unit X dari zero coupon bond yang jatuh tempo pada T waktu untuk satu unit zero coupon bond yang jatuh tempo pada saat s. Diberikan
= volatilitas harga zero coupon bond yang jatuh tempo pada waktu s, pada waktu
= volatilitas harga zero coupon bond yang jatuh tempo pada waktu T, pada waktu
= korelasi langsung antara dua harga obligasi.
sehingga nilai opsi C diberikan oleh
, , , , (26) dimana log , , , , (27) dan • adalah fungsi distribusi kumulatif normal. Salah satu karakteristik dari model satu-faktor adalah instantaneous returns pada obligasi adalah berkorelasi positif sempurna, sehingga, . Selanjutnya, volatilitas dari obligasi yang jatuh tempo pada s dan T dapat ditulis
, , , . Sehingga,
, , .
Dari persamaan (22) menjadi
,
, , / .
(28) Bukti: lihat Lampiran 7
Persamaan (26) dan (28) memberikan solusi analitik sederhana untuk harga opsi call tipe Eropa.
10
3.4Model Cox-Ingersoll-Ross
Model Cox-Ingersoll-Ross (CIR) adalah model satu-faktor dan pertama kali menghilangkan kemungkinan dari suku bunga yang negatif. Model CIR dapat dinyatakan oleh persamaan (5) dengan . .
√ (29)
dimana, dz adalah proses Wiener untuk mengukur risiko netral. Model CIR ini juga dapat digunakan dalam penentuan tingkat suku bunga derivatif. Faktor standar deviasi model CIR ini adalah √ , sehingga memastikan bahwa tingkat bunga tidak akan menjadi negatif.
Pada model CIR, formulasi untuk menghitung harga zero coupon bond pada waktu t dengan nilai pari sebesar $1 pada saat jatuh tempo T diberikan oleh teorema 3.2 Teorema 3.2
Misalkan t adalah waktu, dengan T adalah waktu jatuh tempo obligasi dan r adalah suku bunga bebas risiko. Maka harga zero coupon
bond untuk adalah
, , , (30) dengan , (31) , (32) dimana . Bukti: lihat (Rolski et al. 1999).
3.5Penentuan nilai Opsi call tipe Eropa pada Zero Coupon Bond menggunakan Model Cox-Ingersoll-Ross
Misalkan diberikan opsi call tipe Eropa pada zero coupon bond, dengan karakteristik opsi
X = harga strike
L = nilai pari (par value) T = waktu jatuh tempo opsi s = waktu jatuh tempo obligasi t = waktu,
sehingga nilai opsi C, diberikan oleh persamaan (33) , , ;4 , , , ;4 , dimana log /, ,
• adalah fungsi distribusi noncentral khi-kuadrat.