Definisi 2.9 Ruas Garis (Bazaraa, 2006:684) Diberikan , Himpunan
B. Penerapan Model Nonlinear pada Produksi Tempe Murn
1. Pembentukan Model
Indusri Tempe Murni setiap harinya memproduksi ratusan bungkus tempe dengan berbagai harga/bungkus. Terdapat empat variasi harga yang diproduksi, yaitu harga Rp 5.000,00, harga Rp 3.500,00, harga Rp 2.500,00 dan harga Rp 2.000,00. Dari keempat varian tempe yang diproduksi, tempe dengan harga Rp 5.000,00/bungkus menjadi jenis produk yang paling banyak diminati sehingga jumlah produksinya paling banyak di antara yang lain. Selain produksi harian tetap yang akan dijual langsung, industri Tempe Murni juga menerima jasa pemesanan untuk konsumennya. Sehingga saat tejadi pemesanan tambahan dari konsumen, jumlah produksi/bulan yang dibuat akan mengalami kenaikan sehingga total produksi bulanan di Tempe Murni tidak selalu tetap.
Berdasarkan latar belakang tersebut, maka akan disusun model untuk meminimumkan biaya produksi bulanan yang harus dikeluarkan industri Tempe Murni agar keuntungan yang dihasilkan menjadi optimal. Adapun yang dimaksud biaya produksi total di sini yaitu biaya pembelian bahan baku, upah tetap pekerja, biaya distribusi dan biaya tambahan lain. Biaya – biaya seperti biaya pembelian bahan baku, upah tetap pekerja, biaya distribusi telah dikalkulasi oleh pemilik produksi dan dijadikan biaya modal untuk setiap bungkus tempe yang dihasilkan sehingga tidak dinotasikan dalam suatu variabel. Biaya tambahan lain yang dimaksud adalah biaya yang dikeluarkan saat terjadi pemesanan dalam jumlah besar. Pada kondisi tersebut tenaga kerja akan mengalami penambahan jam kerja sehingga terdapat pengeluaran tambahan untuk upah jam tambahan pekerja. Tabel 3.1 – Tabel 3.3 berikut adalah data produksi tetap, data jumlah pemesanan dan data biaya produksi bulanan Tempe Murni.
Tabel 3.1 Jumlah Produksi Tetap (Tanpa Pesanan) Tempe Murni Periode April 2016 – Juni 2016
Bulan Jenis Produk (dengan satuan bungkus) A (5.000/bungkus) B (3.500/bungkus) C (2.500/bungkus) D (2.000/bungkus) April 2016 6000 3600 1000 1500 Mei 2016 6000 3600 900 1800 Juni 2016 6000 3600 900 1800
Jumlah produksi tetap ini merupakan jumlah tempe yang habis terjual setiap bulannya, yang belum merupakan kapasitas maksimal produksi. Kapasitas
maksimal produksi berupa jumlah tempe maksimal yang dapat diproduksi pekerja tanpa adanya biaya tambahan.
Tabel 3.2 Jumlah Pemesanan Tempe Murni Periode April 2016 – Juni 2016
Bulan Jenis Produk (dengan satuan bungkus) A (5.000/bungkus) B (3.500/bungkus) C (2.500/bungkus) D (2.000/bungkus) April 2016 120 150 240 300 Mei 2016 200 150 240 320 Juni 2016 300 180 210 360
Jumlah pemesanan merupakan jumlah tempe yang diproduksi diluar produksi tetap. Jika jumlah pemesanan sedikit dan tidak melebihi kapasitas maksimal produksi maka pemilik tidak akan mengeluarkan biaya tambahan.
Tabel 3.3 Data Biaya Produksi Tempe Murni Periode April 2016 – Juni 2016
Bulan Jenis Produk (dengan satuan bungkus) A (5.000/bungkus) B (3.500/bungkus) C (2.500/bungkus) D (2.000/bungkus) April 2016 Rp 17.433.500,00 Rp7.518.500,00 Rp1.802.900,00 Rp1.980.000,00 Mei 2016 Rp 17.665.200,00 Rp7.518.500,00 Rp1.657.600,00 Rp2.332.000,00 Juni 2016 Rp 17.957.000,00 Rp7.578.200,00 Rp1.616.800,00 Rp2.378.500,00
Tabel 3.3 merupakan data biaya produksi yang dikeluarkan untuk produksi total Tempe Murni (tetap dan pesanan) selama periode yang ditentukan. Naik turunnya jumlah biaya membuat produsen Tempe Murni masih kesulitan dalam hal menentukan jumlah produksi minimal untuk setiap varian tempe yang diproduksi, sehingga diharapkan nantinya industri Tempe Murni dapat memperkirakan biaya produksi minimal yang harus dikeluakan setiap bulannya.
Dalam penelitian ini diasumsikan beberapa hal, yaitu : 1. Produksi tetap setiap bulan selalu habis terjual.
2. Pola jumlah pemesanan tidak berbeda secara signifikan. 3. Tidak ada perubahan biaya modal.
Selanjutnya, berdasarkan tujuan yang ingin dicapai yaitu meminimumkan biaya produksi Tempe Murni untuk empat varian harga, maka dibentuk variabel keputusan yang akan digunakan yaitu :
= banyak produksi tempe varian A yaitu tempe dengan harga Rp 5.000,00/bungkus dalam satu bulan (satuan bungkus).
= banyak produksi tempe varian B yaitu tempe dengan harga Rp 3.500,00/bungkus dalam satu bulan (satuan bungkus).
= banyak produksi tempe varian C yaitu tempe dengan harga Rp 2.500,00/bungkus dalam satu bulan (satuan bungkus).
= banyak produksi tempe varian D yaitu tempe dengan harga Rp 2.000,00/bungkus dalam satu bulan (satuan bungkus).
Adapun langkah – langkah dalam pembentukan model matematika untuk permasalahan Tempe Murni adalah sebagai berikut :
a. Membentuk Fungsi Tujuan
Melihat data biaya produksi dari Tempe Murni tiap bulannya berubah- ubah, maka fungsi tujuan dari permasalahan ini adalah fungsi dengan bentuk nonlinear. Biaya produksi total merupakan jumlahan dari biaya produksi untuk masing – masing varian produk. Oleh karena itu, fungsi tujuan dapat dinyatakan sebagai jumlahan dari biaya produksi untuk setiap varian produk.
Pada permasalahan Tempe Murni ini digunakan data biaya produksi bulan April 2016 hingga Juni 2016 tiap produk. Fungsi tujuan dibentuk dengan menjadikan jumlah produksi total tiap varian sebagai nilai , dan biaya produksi setiap varian produk sebagai nilai . Fungsi biaya yang dikeluarkan untuk memproduksi setiap varian tempe diperoleh dengan mencari regresi polynomial yang akan ditentukan dengan software Geogebra melalui perintah Fitpoly.
1) Biaya yang dikeluarkan untuk memproduksi
Langkah yang digunakan untuk mencari fungsi biaya yaitu dengan menginput data jumlah produksi total Tempe Murni Varian A dan biaya produksi Tempe Murni Varian A. Selanjutnya dengan bantuan menu Spreadsheet dalam software Geogebra lalu diolah menggunakan command Fitpoly dengan orde 2, maka didapatkan Gambar 3.2 sebagai berikut :
Gambar3.2 Tampilan hasil fitpoly untuk
Berdasarkan pengolahan dari software Geogebra maka biaya yang dikeluarkan untuk memproduksi yaitu
, , , (3.1)
2) Biaya yang dikeluarkan untuk memproduksi
Setelah menginput data jumlah produksi total dan biaya produksi Tempe Murni Varian B dengan bantuan menu Spreadsheet lalu diolah dengan menggunakan command Fitpoly, maka didapatkan Gambar 3.3 sebagai berikut :
Gambar 3.3 Tampilan hasil fitpoly untuk
Berdasarkan pengolahan dari software Geogebra maka biaya yang dikeluarkan untuk memproduksi yaitu
, , , (3.2)
3) Biaya yang dikeluarkan untuk memproduksi
Setelah menginput data jumlah produksi total dan biaya produksi Tempe Murni varian C dengan bantuan menu Spreadsheet lalu diolah dengan menggunakan command Fitpoly, maka didapatkan Gambar 3.4 sebagai berikut :
Gambar 3.4 Tampilan hasil fitpoly untuk
Berdasarkan pengolahan dari software Geogebra maka biaya yang dikeluarkan untuk memproduksi yaitu
, , , (3.3)
4) Biaya yang dikeluarkan untuk memproduksi
Setelah menginput data jumlah produksi total dan biaya produksi Tempe Murni varian D dengan bantuan menu Spreadsheet lalu diolah dengan menggunakan command Fitpoly, maka didapatkan Gambar 3.5 sebagai berikut :
Gambar 3.5 Tampilan hasil fitpoly untuk
Berdasarkan pengolahan dari software Geogebra maka biaya yang dikeluarkan untuk memproduksi yaitu
, , (3.4)
Fungsi tujuan pada permasalahan ini adalah mengoptimalkan biaya produksi total yang dibentuk dari penjumlahan biaya produksi setiap varian produk, sehingga berdasarkan fungsi (3.1) – (3.4) maka didapatkan fungsi tujuan adalah meminimumkan :
, , , , , , ,
Persamaan (3.5) Tersebut dapat disederhanakan menjadi :
, , , , , , ,
, , , , , (3.6)
b. Membentuk Fungsi Kendala
Berdasarkan informasi dari pemilik industri Tempe Murni, kapasitas minimal produksi untuk tempe jenis A ( adalah 6200 bungkus, tempe jenis B ( sebanyak 3760 bungkus, tempe jenis C ( sebanyak 1180 bungkus dan tempe jenis D ( sebanyak 2100 bungkus.
Fungsi tujuan dari permasalahan ini adalah meminimumkan biaya produksi, maka jumlah produksi yang dapat dibuat diharapkan merupakan jumlah produksi yang maksimal agar tidak terlalu banyak penambahan produksi saat terjadi pemesanan dalam jumlah besar. Fungsi kendala dari permasalahan ini dapat dirumuskan sebagai berikut :
(3.7a) (3.7b) (3.7c) (3.7d)
, , , (3.7e)
Jadi, permasalahan industri Tempe Murni dapat dimodelkan menjadi model nonlinear dengan fungsi tujuan sesuai dengan Persamaan (3.6) dan fungsi kendala sesuai dengan Persamaan (3.7).
2. Penyelesaian Model Nonlinear Menggunakan Separable Programming
