Pembuatan Model Optimasi

BAB 3 METODOLOGI PENELITIAN

3.4 Pembuatan Model Optimasi

Dalam melakukan optimasi dengan pemrograman linier, perlu ditetapkan

hal- hal sebagai berikut:

3.4.1 Menentukan variabel keputusan:

Variabel keputusan yang digunakan dalam penelitian ini adalah:

𝑋

_{𝑖𝑗𝑘𝑙𝑚𝑛}

: Jumlah unit (ton) produk kawat yang diproses dari bahan i dengan

diameter awal j (mm) menggunakan mesin k melalui jalur l menjadi

diameter akhir m (mm) dengan kuat tarik n (kg/mm

²

)

Denganindeks:

i : jenis bahan Wire Rod yang digunakan. i (dengan huruf kecil)

merupakan bagian atau subset dari semua bahan yang tersedia yang

disimbolkan dengan I (dengan huruf besar). I diberi indeks 1 sampai

dengan 3; hal ini perlu dilakukan karena tidak semua produk jadi bisa

diproduksi dengan semua jenis bahan, (I = 1,2... 3)

j : diameter awal Wire Rod, j (dengan huruf kecil) adalah bagian dari

semua diameter awal Wire Rod J dengan indeks 1 sampai dengan 3. (J =

1,2... 3). Tidak semua produk jadi bisa diproduksi dengan semua

diameter awal bahan.

k : mesin yang digunakan (k = 1,2... 15)

l : jalur atau susunan dies l (dengan huruf kecil) adalah bagian dari L

(semua jalur). Setiap jalur l hanya bisa dipakai untuk satu jenis diameter

akhir produk tertentu. L diberi indeks 1 sampai dengan 13, (L = 1,2... 13)

22

n : kuat tarik produk kawat (n = 1,2... 10)

Variabel pada penelitian terdiri dari variabel yang bernilai integer dan non integer.

Variabel yang bernilai integer adalah:

1. 𝑂𝑇

_𝑘

(jumlah overtime yang terjadi pada mesin k dalam jam).

Variabel yang bernilai noninteger adalah:

1. 𝑋

_{𝑖𝑗𝑘𝑙𝑚𝑛}

(jumlah unit dalam ton yang diproduksi).

2. 𝑆

_𝑚𝑛

(jumlah kekurangan produk dalam ton untuk diameter m dengan kuat

tarik n).

3. 𝑂

_𝑚𝑛

(jumlah kelebihan produk dalam ton untuk diameter m dengan kuat tarik

n).

4. J

k1

(jalur yang aktif atau digunakan dalam produksi pada mesin k dan jalur l,

merupakan bilangan Biner, bernilai 1 atau 0).

3.4.2 Formulasi fungsi tujuan

Tujuan yang akan dicapai dalam persoalan ini adalah mencari bauran

hasil produksi kawat yang tepat dari kendala-kendala yang ada agar diperoleh

keuntungan yang maksimal. Setiap produk dengan diameter akhir m milimeter

(mm) dengan kuat tarik n (kg/mm

²

) memiliki harga jual yang berbeda sehingga

akan mempengaruhi fungsi tujuan. Secara umum keuntungan (profit) dapat

diperoleh dari total penjualan dikurangi dengan total biaya produksi.

3.4.2.1 Persamaan total penjualan

Persamaan total penjualan diperoleh dari total perkalian dari harga jual

produk kawat diameter m dengan kuat tarik n dengan jumlah produk yang

dihasilkan dari bahan baku i dengan diameter awal j dari mesin k melalui jalur l.

Persamaan nilai uang yang diperoleh dari penjualan produk adalah:

𝑖 ∈𝐼 𝑗 ∈𝐽 15 𝑘=1 𝑙 ∈𝐿 13 𝑚=1

𝛼

_𝑚𝑛

.ρ

_{𝑖𝑗𝑘𝑙𝑚𝑛} .

𝑋

_{𝑖𝑗𝑘𝑙𝑚𝑛}

10 𝑛=1

(3.1)

23

dengan:

𝛼

_𝑚𝑛

: koefisien harga jual produk kawat berdiameter m dengan kuat tarik n

(Rp/Ton)

ρ

_{𝑖𝑗𝑘𝑙𝑚𝑛}

: koefisien ( ≤ 1) yang diberikan untuk mengantisipasi jumlah produk

cacat yang bisa terjadi pada proses produksi kawat dengan jalur proses

dan spesifikasi produk tertentu. Untuk proses dengan cacat 5%,

misalnya, harga ρ

_{𝑖𝑗𝑘𝑙𝑚𝑛}

adalah 0.95

3.4.2.2 Persamaan biaya

Masing- masing produk dengan notasi variabel keputusan yang berbeda

mempunyai harga jual yang berbeda. Harga jual tersebut dipengaruhi oleh

biaya-biaya yang muncul. Biaya tersebut terdiri dari biaya-biaya persiapan jalur, biaya-biaya

produksi, biaya overtime, dan biaya kelebihan atau kekurangan stok.

1. Biaya persiapan Jalur

Biaya persiapan jalur di sini adalah biaya karena waktu yang dibutuhkan

untuk menyiapkan dan memasang jalur cetakan (dies) sesuai dengan diameter

produk yang akan dibuat. Masing- masing jalur mempunyai jumlah dies yang

berbeda. Jalur untuk memproduksi diameter akhir yang lebih besar mempunyai

susunan dies yang lebih sedikit dibanding dengan jalur untuk memproduksi

diameter di bawahnya sehingga jalur yang dipakai di awal dapat dipakai kembali

dengan menambah susunan dies baru.

Sebagai contoh gambar 3.2 adalah jalur awal yang dipakai. Jalur ini dapat

ditambah atau dicabang menjadi jalur baru (Gambar 3.3). Dalam proses produksi,

setiap mesin hanya dapat berjalan dengan satu jalur saja tidak bisa berjalan d ua

atau lebih jalur secara bersamaan.

a. Biaya persiapan untuk jalur tidak bercabang (Gambar 3.2).

Jalur l yang dipasang di mesin k mempunyai biaya sebesar 𝜑

_𝑘𝑙

. Biaya ini

akan muncul apabila jalur l di mesin k ini memang digunakan. Penggunaan jalur l

di mesin k akan terjadi apabila memang ada produk yang dibuat melalui jalur ini.

Pada saat itu, indeks jalur dengan notasi J

k1

yang merupakan bilangan biner akan

24

diberi harga 1; kalau tidak indeks ini akan diberi harga nol. Kaitan antara

penyiapan jalur dan produksi ditunjukkan pada formulasi batasan switching pada

sub bab berikutnya tentang batasan formulasi.

Gambar 3.2 Jalur tidak bercabang

Biaya persiapan dituliskan dengan:

15

𝑘=1

𝜑

_𝑘𝑙

.𝐽

_𝑘𝑙 𝑙 ∈𝐿

dengan:

𝜑

_𝑘𝑙

: biaya persiapan di mesin k jalur l (Rp)

𝐽

_𝑘𝑙

: bilangan biner. ( bernilai 1 jika jalur dipakai, 0 jika tidak)

b. Biaya persiapan untuk jalur be rcabang (gambar 3.3).

Jalur u pada mesin k disusun dengan menambahkan dies baru dari jalur

sebelumnya sehingga biaya yang terjadi adalah biaya jalur u dikurangi dengan

biaya persiapan pada jalur sebelumnya yaitu jalur l. Karena jalur l merupakan

bagian dari jalur u.

Ø Ml Ø Ø Bahan i diameter awal j Mesin k Dies 1 Dies 2 Diameter akhir m Jalur l=1

(3.2)

25

(3.3)

Gambar 3.3 Jalur yang bercabang

Biaya persiapan jalur u dapat dituliskan dengan:

15 𝑘=1

( 𝜑

_𝑘𝑢 (𝑢𝜖 𝑙₎ 𝑙 ∈𝐿

− 𝜑

_𝑘𝑙

.𝐽

_𝑘𝑙

). 𝐽

_𝑘𝑢

dengan:

𝜑

_𝑘𝑢

: biaya persiapan di mesin k jalur cabang u (Rp). Jalur u adalah

cabang dari jalur l tertentu.

𝐽

_𝑘𝑢 : bilangan biner. ( bernilai 1 jika jalur dipakai, 0 jika tidak)

2. Biaya produksi

Biaya produksi dihitung untuk memenuhi atau menghasilkan satu ton

produk dengan diameter tertentu. Biaya ini terdiri dari biaya material, tenaga kerja

langsung dan biaya lain- lain. Biaya proses tersebut akan berbeda untuk

masing-masing jenis produk yang bisa dirumuskan sebagai berikut:

Bahan i diameter awal j Mesin k Dies 1 Dies 2 Dies 3 Ø Ml Ø Ø Ø Diameter akhir m Jalur l Jalur u

26

(3.4)

(3.5)

𝑖 ∈𝐼 𝑗 ∈𝐽 15 𝑘=1 𝑙 ∈𝐿 13 𝑚=1

𝜏

_{𝑖𝑗𝑘𝑙𝑚𝑛}

.𝑋

_{𝑖𝑗𝑘𝑙𝑚𝑛} 10 𝑛=1

dengan:

𝜏

_{𝑖𝑗𝑘𝑙𝑚𝑛}

: koefisien biaya proses (Rp/ton)

Biaya produksi juga akan ditambahkan apabila terjadi penambahan jam

kerja dan terjadi kelebihan atau kekurangan produksi.

a. Biaya tambahan overtime

Biaya produksi di atas dihitung selama waktu normal. Apabila

dibutuhkan waktu tambahan atau overtime maka biaya akan ditambahkan pada

biaya produksi. Biaya overtime bisa berbeda untuk masing- masing mesin. Biaya

waktu tambahan dirumuskan sebagai berikut:

ζ

_k

.𝑂𝑇

_𝑘 15

𝑘=1

dengan:

ζ

k

: koefisien biaya overtime mesin k (Rp/jam)

𝑂𝑇

_𝑘

: jumlah overtime yang terjadi pada mesin k (jam)

b. Biaya kelebihan dan kekurangan produksi

Biaya kelebihan produk muncul apabila jumlah produk berdiameter m

dengan kuat tarik n tertentu tertentu melebihi dari jumlah yang direncanakan.

Biaya ini dihitung dari pendapatan dari bunga investasi. Sedangkan biaya

kekurangan stok diperoleh dari peluang profit yang seharusnya bisa diterima

sebesar jumlah kekurangan produk tersebut. Biaya inventori ini dirumuskan

sebagai berikut:

27

(3.6)

+

}

+

_

{

Max Z =

+ ₊

13 𝑚=1

( 𝜎

_𝑚𝑛

.𝑆

_𝑚𝑛 10 𝑛=1

+ µ

_𝑚𝑛

.𝑂

_𝑚𝑛

)

dengan:

𝜎

_𝑚𝑛

: biaya kekurangan produk diameter m, dengan kuat tarik n (Rp/Ton)

𝑆

_𝑚𝑛

: Jumlah kekurangan produk diameter m dengan kuat tarik n (Ton)

µ

_𝑚𝑛

: biaya kelebihan produk diameter m dengan kuat tarik n (Rp/Ton)

𝑂

_𝑚𝑛

: Jumlah kelebihan produk diameter m dengan kuat tarik n (Ton)

Fungsi tujuan secara keseluruhan bisa dimodelkan sebagai berikut:

28

(3.8)

3.4.3 Menentukan fungsi pembatas

Untuk memenuhi fungsi tujuan dalam penelitian ini ada beberapa kendala

(constraints) yang harus terpenuhi:

3.4.3.1 Batasan Permintaan.

Permintaan jenis produk ditentukan dari target penjualan yang

direncanakan oleh marketing. Setiap kawat dengan diameter dan kuat tarik

tertentu mempunyai jumlah permintaan yang berbeda. Maka jumlah produk

diameter m dengan kuat tarik n mengikuti persamaan sebagai berikut:

𝑖 ∈𝐼 𝑗 ∈𝐽 15 𝑘=1

ρ

_{𝑖𝑗𝑘𝑙𝑚𝑛} .

𝑋

_{𝑖𝑗𝑘𝑙𝑚𝑛}

+𝑆

_𝑚𝑛

− O

_𝑚𝑛

= D

_𝑚𝑛 𝑙 ∈𝐿

dengan:

𝐷

_𝑚𝑛

: permintaan produk kawat diameter m dengan kuat tarik n (Ton)

3.4.3.2 Batasan Kapasitas Mesin produksi

Kapasitas mesin dipengaruhi oleh jenis produk yang akan dibuat serta

kecepatan mesin. Setiap jenis produk mempunyai waktu proses yang berbeda.

Total waktu mesin untuk memproduksi setiap jenis produk harus sesuai dengan

waktu mesin yang disediakan ditambah dengan overtime. Formulasi batasan

kapasitas produksi untuk masing- masing mesin dapat dituliskan sebagai berikut:

𝑖 ∈𝐼 𝑗 ∈𝐽 𝑙 ∈𝐿 15 𝑚=1

𝜆

_{𝑖𝑗𝑘𝑙𝑚𝑛}

.𝑋

_{𝑖𝑗𝑘𝑙𝑚𝑛} 10 𝑛=1

− 𝑂𝑇

_𝑘

= 𝐾𝑀

_𝑘

k = 1, . ,15

dengan:

𝐾𝑀

_𝑘

: kapasitas produksi mesin k yang tersedia (Jam)

𝜆

_{𝑖𝑗𝑘𝑙𝑚𝑛}

: koefisien laju produksi (Jam/Ton)

𝑂𝑇

_𝑘

: waktu overtime yang muncul pada mesin k (Jam)

m = 1,..,13

29

(3.10)

(3.11)

(3.9)

Terkait dengan overtime ini, pihak manajemen juga memberikan batasan

mengenai jumlah overtime yang diperbolehkan yakni sebesar ɷ

_𝑘

jam untuk

setiap mesin yang beroperasi. Maka overtime tiap mesin akan memenuhi syarat

sebagai berikut:

𝑂𝑇

_𝑘

≤ ɷ

_𝑘

k = 1, . . ,15

dengan:

ɷ

_𝑘

: waktu overtime maksimal yang disediakan untuk mesin k (Jam)

3.4.3.3 Batasan Kelebihan dan Kekurangan Produk

Pihak manajemen memberikan batasan tertentu untuk kelebihan dan

kekurangan produksi di mana batas kekurangan produksi tidak boleh lebih dari

10% permintaan dan kelebihan produksi tidak boleh lebih dari 20% dari target

sehingga batasan diformulasikan sebagai:

Batasan Kekurangan jumlah produk dengan diameter dan kuat tarik tertentu.

𝑖 ∈𝐼 𝑗 ∈𝐽 15 𝑘=1

𝑆

_𝑚𝑛

≤ 0.1D

_𝑚𝑛 𝑙 ∈𝐿

Batasan Kelebihan jumlah produk dengan diameter dan kuat tarik tertentu.

𝑖 ∈𝐼 𝑗 ∈𝐽 15 𝑘=1 𝑙 ∈𝐿

𝑂

_𝑚𝑛

≤ 0.2D

_𝑚𝑛

3.4.3.4 Batasan Switching

Batasan switching ini diberikan untuk memastikan apabila sejumlah

produk diproses pada mesin k dengan jalur l, maka jalur pada mesin tersebut harus

m = 1,..,13

n = 1,..,10

m = 1,..,13

n = 1,..,10