Model yang akan dianalisis merupakan suatu model yang dibangun berdasarkan interaksi antar spesies yang hidup secara bersamaan pada suatu habitat. Dalam model sistem mangsa-pemangsa yang dikenalkan oleh Dubey (2006) ini membagi habitat menjadi dua zona, yaitu zona dilindungi dan zona tidak dilindungi dan juga membagi permasalahan yang ada menjadi dua model, yaitu pada saat pemangsa sangat bergantung pada mangsanya dan pada saat pemangsa tidak sangat bergantung pada mangsanya.
Konstruksi model matematika untuk model mangsa-pemangsa ini menggunakan asumsi :
1. Pemangsa tidak dapat memasuki zona dilindungi.
2. Semua parameter dan variabel yang digunakan pada masing-masing kasus bernilai positif.
3. Nilai parameter �>�1, >�2, dan �>�1+�1
Secara umum, model simulasi sistem mangsa-pemangsa pada pemangsa yang hanya berada pada zona tidak dilindungi adalah sebagai berikut :
� � =� 1− − �1 +�2 − �1 � � = 1− +�1 − �2 , � � = − �0 , (3.1) 0 ≥0, 0 ≥0, (0)≥0 dengan �, , , ,�1,�2,�0,�1,�2> 0 dimana :
( ) banyaknya populasi mangsa pada zona tidak dilindungi
( ) banyaknya populasi mangsa pada zona dilindungi
( ) banyaknya populasi pemangsa �1 laju perpindahan mangsa dari zona
tidak dilindungi ke zona dilindungi �2 laju perpindahan mangsa dari zona
dilindungi ke zona tidak dilindungi � laju pertumbuhan intrinsik mangsa
pada zona tidak dilindungi
laju pertumbuhan intrinsik mangsa pada zona dilindungi
besarnya daya dukung lingkungan pada zona tidak dilindungi
besarnya daya dukung lingkungan pada zona dilindungi
�0 laju kematian pemangsa
�1 laju kematian spesies mangsa yang disebabkan oleh pemangsa
�2 besarnya interaksi antara mangsa dan pemangsa
� laju pertumbuhan pemangsa yang terdapat pada bentuk umum model sistem mangsa-pemangsa ini merupakan laju interaksi antara mangsa dan pemangsa. Laju interaksi antara mangsa dan pemangsa tersebut akan dianalisis dalam dua model permasalahan yang akan dibahas, yaitu pada saat pemangsa sangat bergantung pada mangsanya dan pada saat pemangsa tidak sangat bergantung pada mangsanya. 3.2 Model Sistem Mangsa - Pemangsa
Pada Saat Pemangsa Sangat Bergantung Pada Mangsanya (Model 1).
Pada suatu populasi akan terjadi interaksi antar spesies yang hidup secara bersamaan dalam populasi tersebut, di mana spesies- spesies ini akan berinteraksi dalam suatu rantai makanan. Dalam rantai makanan tersebut, mangsa merupakan sumber makanan bagi pemangsa. Oleh karena itu, mangsa akan menjadi sasaran utama bagi pemangsa dalam mencari makan demi kelangsungan hidupnya.
Pada Gambar 2 dapat dilihat skema diagram model matematika untuk model sistem mangsa-pemangsa pada saat pemangsa sangat bergantung pada mangsanya.
�0
Gambar 2 Skema model mangsa-pemangsa pada saat pemangsa sangat bergantung pada mangsanya Dari Gambar 2 terlihat bahwa, perubahan laju populasi mangsa yang ada pada zona tidak dilindungi dipengaruhi oleh laju pertumbuhan intrinsik dari mangsa pada zona tidak dilindungi � dengan daya dukung
�, �1,�2 �1 �2 �0 ,
lingkungannya serta dipengaruhi dengan adanya laju perpindahan mangsa dari zona dilindungi ke zona tidak dilindungi �2, kemudian populasi mangsa pada zona tidak dilindungi ini akan mengalami penurunan populasi dengan adanya perpindahan mangsa dari zona tidak dilindungi ke zona dilindungi �1 dan dengan adanya interaksi antara mangsa pada zona tidak dilindungi dengan pemangsa yang dapat menyebabkan kematian dari mangsa pada zona tidak dilindungi �1. Perubahan laju populasi mangsa yang ada pada zona dilindungi dipengaruhi oleh laju pertumbuhan intrinsik dari mangsa tersebut dengan daya dukung lingkungannya serta dipengaruhi dengan laju perpindahan mangsa dari zona tidak dilindungi ke zona dilindungi �1, kemudian populasi mangsa pada zona ini akan mengalami penurunan populasi dengan adanya perpindahan mangsa dari zona dilindungi ke zona tidak dilindungi �2. Sedangkan untuk perubahan laju populasi pemangsa dipengaruhi oleh besarnya laju interaksi antara mangsa dan pemangsa �2, kemudian populasi dari pemangsa akan mengalami kematian secara alami �0.
Sehingga model persamaan untuk pemangsa sangat bergantung pada mangsanya adalah sebagai berikut :
� � =� 1− − �1 +�2 − �1 � � = 1− +�1 − �2 , � � =�2 − �0 , ( 3.2) 0 ≥0, 0 ≥0, (0)≥0. dengan �, , , ,�1,�2,�0,�1,�2> 0
3.3 Model Sistem Mangsa - Pemangsa Pada Saat Pemangsa Tidak Sangat Bergantung Pada Mangsanya (Model 2).
Spesies mangsa merupakan sumber makanan bagi pemangsa. Namun pada kasus ini, pemangsa tidak begitu bergantung pada mangsa yang ada dikarenakan pada model ini terdapat jenis spesies mangsa lain yang dapat dijadikan sumber makanan lain bagi pemangsa demi kelangsungan hidupnya.
Pada Gambar 3 dapat dilihat skema diagram model matematika untuk model mangsa-pemangsa pada saat pemangsa tidak sangat bergantung pada mangsanya.
Gambar 3 Skema model mangsa-pemangsa pada saat pemangsa tidak sangat bergantung pada mangsanya Dari Gambar 3 terlihat bahwa, perubahan laju populasi mangsa yang ada pada zona tidak dilindungi dipengaruhi oleh laju pertumbuhan intrinsik dari mangsa pada zona tidak dilindungi � dengan daya dukung lingkungannya serta dipengaruhi dengan adanya laju perpindahan mangsa dari zona dilindungi ke zona tidak dilindungi �2, kemudian populasi mangsa pada zona ini akan mengalami penurunan populasi dengan adanya perpindahan mangsa dari zona tidak dilindungi ke zona dilindungi �1 dan dengan adanya interaksi antara mangsa pada zona tidak dilindungi dan pemangsa yang dapat menyebabkan kematian dari mangsa pada zona tidak dilindungi �1. Perubahan laju populasi mangsa pada zona dilindungi dipengaruhi oleh laju pertumbuhan intrinsik dari mangsa tersebut dengan daya dukung lingkungannya serta dipengaruhi dengan laju perpindahan mangsa dari zona tidak dilindungi ke zona dilindungi �1, kemudian populasi mangsa pada zona ini akan mengalami penurunan populasi dengan adanya perpindahan mangsa dari zona dilindungi ke zona tidak dilindungi �2. Sedangkan untuk laju pertumbuhan populasi pemangsa dipengaruhi dengan adanya laju pertumbuhan pemangsa � serta dengan adanya laju interaksi antara mangsa dan pemangsa �2, serta daya dukung lingkungannya .
Sehingga model persamaan untuk pemangsa tidak sangat bergantung pada mangsanya adalah sebagai berikut :
� � =� 1− − �1 +�2 − �1 � � = 1− +�1 − �2 , � � =� 1− +�2 , ( 3.3) 0 ≥0, 0 ≥0, (0)≥0 dengan �, ,�, , ,�1�2,�1,�2> 0 �, �1,�2 �1 �2 �, ,