BAB II LANDASAN TEORI
E. Pendugaan Parameter
Dalam melakukan suatu percobaan atau penelitian pada populasi tertentu dibutuhkan sampel yang representatif. Setiap populasi memiliki karakteristik yang dinyatakan dengan sebuah bilangan yang disebut parameter. Tujuan dari percobaan atau penelitian statistik adalah untuk menduga satu atau lebih parameter yang relevan. Contoh dari parameter populasi adalah rata-rata populasi, variansi populasi, dan standar deviasi populasi. Penduga dibagi menjadi dua macam, yaitu penduga titik dan penduga selang.
Definisi 2.24
Sebuah penduga adalah aturan yang biasanya dinyatakan dalam rumus untuk menghitung nilai dari suatu dugaan berdasarkan pengukuran-pengukuran yang terkandung dalam sampel.
1. Penduga Titik
Penduga titik adalah penduga yang menghasilkan suatu nilai sebagai hasil pendugaannya. Penduga selang adalah penduga yang menghasilkan suatu selang sebagai hasil pendugaanya.
Contoh 2.22
Proporsi sampel yang dinyatakan dalam rumus ̂ ∑
merupakan salah satu penduga titik dari proporsi populasi .
Suatu penduga titik dapat dikatakan penduga yang baik atau penduga yang buruk. Penduga yang baiklah yang nantinya akan dipilih untuk menduga suatu nilai dari parameter. Penduga yang baik akan dilihat dari bias dan rata-rata kuadrat galatnya. Syarat dari suatu penduga untuk suatu parameter dikatakan penduga yang baik yaitu apabila penduga tersebut merupakan penduga tak bias.
Definisi 2.25
Misalkan ̂ adalah sutu penduga titik untuk sebuah parameter . Jika ( ̂) maka ̂ disebut penduga tak bias. Jika ( ̂) maka ̂ disebut penduga bias. Definisi 2.26
Bias dari suatu penduga titik ̂ dinyatakan dalam sebuah rumus, yaitu ( ̂) ( ̂) .
Definisi 2.27
Rata-rata kuadrat galat dari suatu penduga titik ̂ adalah ( ̂) [( ̂ ) ]. Contoh 2.23
Misalkan berdistribusi Binomial dengan parameter dan . Buktikan bahwa ̂ adalah penduga tak bias dari .
Jawab:
Menurut Definisi 2.25 berarti harus ditunjukkan bahwa ̂ . ̂ ( ) Jadi terbukti bahwa ̂ adalah penduga tak bias dari
2. Penduga Selang
Penduga selang lebih dikenal dengan selang kepercayaan. Setiap selang kepercayaan mempunyai batas atas atau batas bawah. Batas bawah dan batas atas dari selang kepercayaan disebut dengan limit bawah kepercayaan dan limit atas kepercayaan. Probabilitas bahwa selang kepercayaan akan dekat dengan disebut koefisien kepercayaan.
Jika ̂ dan ̂ adalah limit bawah kepercayaan dan limit atas kepercayaan bagi parameter , maka
( ̂ ̂ )
adalah koefisien kepercayaan. Selang penduganya yaitu [ ̂ ̂ ] disebut selang kepercayaan dua sisi.
Selang kepercayaan juga dapat berupa selang kepercayaan satu sisi, seperti ( ̂ )
dengan selang kepercayaannya [ ̂ ] atau
( ̂ ) dengan selang kepercayaannya [ ̂ ].
3. Metode Pivot
Metode pivot merupakan metode yang sangat berguna untuk menentukan selang kepercayaan. Metode pivot bergantung pada suatu nilai yang disebut kuantitas pivot. Kuantitas pivot memiliki dua ciri, yaitu:
a. Merupakan fungsi dari pengukuran sampel dan parameter yang tidak diketahui.
b. Distribusi probabilitas dari kuantitas pivot tidak bergantung pada parameter . Contoh 2.24
berdistribusi normal dengan tidak diketahui dan . Tentukan selang kepercayaan bagi bila diketahui kuantitas pivotnya adalah
Jawab:
Dari Contoh 2.17 diperoleh yang berarti berdistribusi normal dengan dan sehingga
√ Syarat kuantitas pivot dipenuhi, yaitu:
a. Z merupakan fungsi dari pengukuran sampel dan parameter yang tidak diketahui.
b. Distribusi probabilitas, yaitu tidak bergantung pada parameter . Selang kepercayaan bagi adalah:
Gambar 2.1. Kurva Distribusi Normal dengan
Dari Gambar 2.1 diperoleh
Dari tabel Distribusi Normal (Lampiran 4) diperoleh .
Karena kurva Distribusi Normal adalah kurva yang simetri maka . Jadi,
Substitusi Z diperoleh
Jadi, selang kepercayaan bagi adalah
4. Selang Kepercayaan untuk Sampel Besar
Saat ukuran sampel semakin besar maka semua penduga titik akan mendekati Distribusi Normal. Jika parameter target adalah maka untuk sampel yang besar
̂ ̂
mendekati Distribusi Normal Standar. merupakan bentuk kuantitas pivot dan metode pivot dapat digunakan untuk menghasilkan selang kepercayaan bagi parameter target .
Contoh 2.25
Misalkan ̂ berdistribusi normal dengan rata-rata dan standar error ̂. Tentukan selang kepercayaan bagi yang memiliki koefisien kepercayaan sama dengan .
Jawab:
Kuantitas pivot ̂
̂ berdistribusi normal standar.
Gambar 2.2. Kurva Distribusi Normal dengan ( )
Dipilih dua nilai, yaitu dan sehingga
( )
Substitusi ke Persamaan (2.1), maka diperoleh
̂
̂
( ̂ ̂ ̂) ( ̂ ̂ ̂ ̂)
( ̂ ̂ ̂ ̂) Sehingga diperoleh
̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ F. Metode Kemungkinan Maksimum
Dalam membuktikan penduga Kaplan Meier dibutuhkan Metode Kemungkinan Maksimum. Oleh karena itu perlu dipahami mengenai Metode Kemungkinan Maksimum. Misalkan terdapat sebuah kotak yang berisi tiga bola dengan kemungkinan warna dari setiap bola adalah putih atau merah, tetapi jumlah bola yang berwarna putih dan jumlah bola yang berwarna merah tidak diketahui. Pengambilan dua bola secara acak tanpa pengembalian dilakukan. Jika hasil dari pengambilan tersebut adalah dua bolah merah, maka apakah yang akan menjadi dugaan terbaik tentang jumlah bola merah di dalam kotak? Jelas bahwa jumlah bola merah yang ada di dalam kotak harus ada dua bola atau tiga bola. Kasus 1: Jika terdapat dua bola merah dan satu bola putih di dalam kotak, maka probabilitas mengambil dua bola merah secara acak adalah
( )( )
( )
Kasus 2: Jika terdapat tiga bola merah di dalam kotak, maka probabilitas mengambil dua bola merah secara acak adalah
( ) ( )
Dari dua kasus di atas dapat disimpulkan bahwa dugaan terbaik tentang jumlah bola merah di dalam kotak adalah terdapat tiga bola merah di dalam kotak karena kemungkinan mendapatkan dua bola merah lebih tinggi probabilitasnya pada kasus 2 dari pada kasus 1. Dugaan ini memaksimumkan probabilitas pengamatan sampel.
Contoh di atas mengilustrasikan sebuah metode untuk menemukan sebuah penduga yang dapat digunakan dalam situasi apapun. Teknik untuk menemukan
sebuah penduga disebut Metode Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood).
Definisi 2.28 Fungsi Kemungkinan Likelihood dari Sampel
Misalkan sampel yang diambil dari pengamatan yang berkorespodensi dengan variabel yang distribusinya bergantung pada parameter . merupakan variabel acak diskrit maka Likelihood dari sampel adalah | | atau | | | .
Definisi 2.29 Metode Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood Method)
Misalkan fungsi Likelihood bergantung pada buah parameter . Metode kemungkinan maksimum memilih penduga nilai-nilai dari parameter-parameter sedemikian sehingga memaksimalkan fungsi kemungkinan | .
Contoh 2.26
Sebuah percobaan Binomial terdiri dari ulangan menghasilkan dengan berarti ulangan ke- sukses dan berarti ulangan ke- gagal. Temukan penduga kemungkinan maksimum bagi .
Jawab:
Fungsi Kemungkinan dari sampel adalah probabilitas dari , sehingga | dengan ∑
Jika maka dan akan maksimum ketika Jika maka dan akan maksimum ketika Sekarang akan dicari penduga kemungkinan maksimum bagi jika dengan
. Agar mempermudah perhitungan maka dilakukan transformasi ln pada kedua sisi pada persamaan likelihood sehingga diperoleh:
[ ] [ ]
0
Pembuat nol dari persamaan adalah , sehingga diperoleh:
Jadi penduga bagi adalah ̂