Geometri Non-Euclides memuat Geometri Hiperbolik dan Geometri elliptik. Anda telah mempelajari Geometri Hiperbolik dari Gauss, Bolyai dan Lobachevsky yang sering disebut dengan Geometri Lobachevsky, sedang Geometri Elliptik yang akan Anda pelajari terkenal dengan Geometri Rieman..
Bernhard Riemann (1826 – 1866) dari Jerman dalam tahun 1854 membacakan disertasinya tentang penemuannya yang baru di Fakultas Filsafat Gottingen. Ia mulai dengan asumsi : Garis-garis Euclides maupun dari Geometri Hiperbolik. Postulat Kesejajaran dari Riemann ialah : Tidak ada garis-garis yang sejajar dengan garis lain.
Jadi dua garis selalu berpotongan dan tidak ada dua garis sejajar. Untuk mencari letak perbedaan utama teori Riemann dengan teori Euclides, maka kita ingatkan bahwa garis tidak berhingga biasanya dipakai untuk membuktikan adanya dua garis sejajar, yaitu suatu teorema dalam geometri Euclides sebagai berikut.
Teorema 7.13
Dua garis tegaklurus pada satu garis yang sama adalah sejajar.
Diketahui : garis itu l dan m yang tegaklurus pada n Akan dibutikan l dan m sejajar.
Bukti : l m B C m n
Pengantar Geometri Non-Euclides/ 221 Andaikan l dan m tidak sejajar, maka garis l dan m berpotongan di C
Pernyataan Alasan
CA diperpanjang dengan AC‟ = CA
suatu segmen boleh diper-panjang dua kali. Dilukis C‟B dua titik menentukan 1
garis
ABC ABC s, sd, s
ABC = ABC‟ unsur yang
berkorespondensi Jadi, ABC‟ = 900 = ABC, BC dan BC‟
tegaklurus pada AB.
BC dan BC‟ berimpit melalui l titik pada suatu garis hanya ada l garis yang tegaklurus garis itu
Jadi, AC dan BC atau garis l dan m mempunyai titik C dan C‟ yang berimpit. Terdapat pertentangan dengan ketentuan, bahwa l dan m berlainan. Jadi pengandaian salah, berarti l dan m sejajar.
Jika postulat Riemann harus berlaku, maka tentu ada yang salah dalam bukti di atas yang menyebabkan hasil yang berbeda. Kiranya langkah ke-6 yang menyebabkan itu. Dalam bukti ini Euclides secara diam-diam menggunakan prinsip pemisahan (“separation principle”), yaitu bahwa setiap garis membagi bidang dalam 2 setengah bidang (2 daerah), yang tidak mempunyai titik persekutuan. Jadi dalam langkah pertama telah dianggap, bahwa C dan C‟ berlainan.
Jika prinsip pemisahan tidak digunakan, maka C dan C‟ dapat berimpit dan bukti teorema di atas
kurang benar. Jika prinsip pemisahan tetap digunakan, C dan C‟ harus berlainan. Kontradiksi dalam langkah 6 dapat dihilangkan, jika kita meninggalkan prinsip, bahwa dua titik menentukan l garis dan memungkinkan dua garis berpotongan pada dua titik. Hal ini menghasilkan teori baru.
Maka timbul 2 kemungkinan :
1) setiap 2 garis berpotongan pada 1 titik dan tidak ada garis yang memisahkan suatu bidang (tidak menggunakan prinsip pemisahan)
2) setiap 2 garis berpotongan pada 2 titik dan setiap garis memisahkan bidang (menggunakan prinsip pemisahan).
Euclides telah menggunakan prinsip, bahwa setiap 2 garis berpotongan pada 1 titik dan setiap garis memisahkan suatu bidang (menggunakan prinsip pemisahan). Maka kemungkinan pertama menghasilkan Geometri “Single elliptic” dan kemungkinan kedua menghasilkan Geometri “double elliptic”.
Kata elliptik dididasarkan atas Klasifikasi Geometri Proyektif. Geometri Lobachevsky disebut Geometri Hiperbolik, mengingat bahwa melalui 1 titik diluar suatu garis dapat dibuat 2 garis yang sejajar garis tersebut. Geometri Euclides disebut Geometri Parabolik, mengingat bahwa hanya ada 1 garis yang sejajar garis tersebut dan Geometri Riemann disebut Elliptik karena tidak ada garis yang dapat dibuat sejajar garis tersebut.
Geometri Riemann berguna sekali dalam Matematika dan Fisika Terapan (“applied Mathematics and Physics”) dan merupakan dasar matematik dari
Pengantar Geometri Non-Euclides/ 223 Untuk dapat mudah memahami teorema-teorema berikut, maka sebagai model dari geometri “double elliptic” ialah bola dan dari Geometri “single elliptic” suatu setengah bola.
Dua garis berpotongan pada 2 titik; setiap garis memisahkan bidang menjadi 2 setengah bidang.
Dua garis berpotongan pada 1 titik garis tidak memisahkan bidang menjadi 2 setengah bidang; 2 titik yang diametral dianggap sebagai 1 titik
Penyajian Geometri “double elliptic” pada bola Euclides
Titik titik pada bola S garis lingkaran besar bola S
bidang bola S
segmen busur dari suatu lingkaran besar S
Jarak antara 2 titik
panjang busur terpendek dari lingkaran besar S yang melalui kedua titik itu
Sudut antara 2 garis
sudut pada bola (yang dibentuk oleh dua lingkaran besar)
Ukuran sudut ukuran sudut pada bola
Dapat dipahami, bahwa urutan tidak berlaku pada Geometri “double elliptic”, artinya [ABC] dapat sama dengan [BCA].
Dalam Geometri Elliptic tetap berlaku, bahwa melalui satu titik pada suatu garis hanya dapat dibuat 1 garis yang tegaklurus garis tersebut. Tetapi hal ini tidak berlaku, jika titiknya di luar garis tersebut.
Untuk setiap garis l ada katub K sedemikian, hingga semua garis melalui K tegaklurus pada 1 (gambarannya seperti semua meridian melalui kutub tegaklurus pada ekuator atau khatulistiwa).
Sifat kutub. Misalkan l suatu garis. Maka ada suatu titik K, yang disebut kutup dari l sedemikian, hingga :
a) setiap segmen yang menghubungkan K dengan suatu titik pada l tegak lurus pada l.
b) K berjarak sama dari setiap titik pada l
Jarak K sampai sebarang titik pada l disebut jarak polar. Jarak polar suatu kutub sampai garisnya adalah konstan, demikian pula panjang suatu garis. Teorema-teorema dasar yang berlaku untuk Geometri Elliptic
Teorema 7.14
Dua garis yang tegaklurus pada suatu garis bertemu pada suatu titik.
Pengantar Geometri Non-Euclides/ 225
Teorema 7.15
Semua garis yang tegak lurus pada suatu garis, berpotongan pada titik yang disebut kutup dari garis itu dan sebaliknya setiap garis melalui kutub suatu garis tegaklurus pada garis itu.
Teorema 7.16
Dalam sebarang segitiga ABC dengan C = 900, sudut A kurang dari sama dengan atau lebih besar dari 900, tergantung dari segmen BC kurang dari, sama dengan atau lebih besar dari jarak polar q.
Teorema 7.17
Jumlah besar sudut-sudut suatu segitiga lebih besar dari 1800.
Teorema 7.18
Jumlah besar sudut-sudut suatu segiempat lebih besar dari 3600.
Teorema 7.19
Sudut-sudut puncak dari segiempat Saccheri sama dan tumpul.
Teorema 7.20
Dalam segiempat Lambert ABCD dengan A = B = C = 900, maka sudut keempat D tumpul.
Teorema 7.21
Tidak ada persegi dalam Geometri Elliptic. Teorema 7.22
Dua segitiga yang sebangun adalah kongruen.
Teorema-teorema, di atas tidak kita buktikan di sini, tetapi dapat kita yakini dengan menggunakan model.
Dalam geometri Hiperbolik luas suatu segitiga adalah kelipatan dari defeknya. Maka dalam Geometri Elliptik luas suatu segitiga adalah kelipatan konstan dari ekses (“excess”) nyata, yaitu :
= (A + B + C – 180) atau
= (A + B + C – )
tergantung dari satuan-satuan yang dipakai. Contoh 7.2
Diketahui ABCD segiempat Saccheri, AB = DC ; AE = ED ; BF = FC ; EFAD dan EFBC karena garis EF adalah persekutuan dari segiempat Saccheri ABCD atau karena setiap garis yang melalui kutub Ggaris g dan n ABFE dan CDEF segiempat Lambert.
GB = GC = G1B = G1C = jarak polar juga GF
∆ GBF dan ∆ GCF sama kaki ∆ GAD sama kaki karena GB, GC jarak polar artinya setiap titik di g memiliki jarak yang sama dengan titik kutub G dan ABCD adalah ∆ GAD sama kaki karena
segiempat Saccheri dengan AB = CD sehingga GA = BG – AB
GD = GC - CD GA = GD (jarak polar karena GA = GB – AB dan
GD = GC – CD
Mengakibatkan D1 = A1 lancip karena ABFE adalah Lambert dengan B = F = E = 900
Berdasarkan Teorema 7.5 Geometri Elipthik besar sudut segiempat > 260, sehingga disimpulkan : E >
900 (tumpul)
Karena A2 saling berpelurus dengan A1
Untuk D1 lancip (alasannya analog dengan di atas menggunakan CDEF)
Pengantar Geometri Non-Euclides/ 227 Maka AB < EF karena A2 tumpul
Berdasarkan teorema, bahwa panjang sisi dihadapannya (EF) lebih panjang sisi AB.
AE < BF karena dengan memperhatikan segiempat ABEF A2 tumpul berdasarkan teorema, bahwa sisi di depannya (BF) lebih panjang di banding AE
LATIHAN 7.1
1. Buktikan : a. sisi atas (summit) suatu segiempat Saccheri adalah lebih besar dari sisi alasnya.
b. sudut atasnya lancip
c. segmen yang menghubungkan titik-titik tengah dari sisi atas dan sisi alasnya lebih kecil dari kakinya. 2. Buktikan jika dua segiempat Saccheri mempunyai
panjang sisi alas sama dan panjang kaki sama maka kedua segiempat itu kongruen.
3. Buktikan jika dua segiempat Saccheri mempunyai panjang sisi alas sama dan sudut atas sama maka kedua segiempat itu kongruen.
4. Buktikan jika dua segiempat Saccheri mempunyai panjang sisi atas sama dan sudut sama maka kedua segiempat itu kongruen.
5. Buktikan jika dua segitiga mempunyai defect yang sama, dan sebuah sisi dari kedua segitiga itu sama, maka kedua segitiga itu ekivalen.
6. Buktikan jika dua segitiga mempunyai defect yang sama maka kedua segitiga itu ekivalen.
7. Misalkan diketahui : PQ l di Q, PR / / l,
R‟ terletak berlawanan dari sisi PQ terhadap R sehingga
QPR‟ = QPR.
Buktikan : PR‟ / / l.
8. Buktikan segmen garis yang menghubungkan titik-titik tengah dari dua sisi segitiga adalah lebih kecil dari setengah dari sisi ketiganya.
9. Misalkan : A, B, C adalah titik-titik pada l, dengan B terletak di antara A dan C. A‟, B‟, C‟ adalah titik-titkk pada l‟ sedemikian hingga AA‟, BB‟, CC‟ tegak lurus l‟, dan AA‟ jika tegaklurus l.
Buktikan bahwa AA‟ < BB‟ < CC‟
Simpulkan bahwa jika dua garis mempunyai dua garis tegaklurus persekutuan, maka kedua garis itu divergen (memencar) pada kedua sisi yang tegak lurus tersebut.
10. Buktikan bahwa ada batas atas untuk luas semua segitiga.
11. Buktikan bahwa ada segitiga dengan defect kurang dari suatu bilangan positif tertentu.
12. Jika titik P terletak di dalam ABC, buktikan : defect (ABC) = defect (PAB) + defect (PBC) +
defect (PAC).
13. Jika P, Q, R terletak pada sisi AB, BC, CA dari
ABC buktikan:
Defect (ABC) = defect (APR) + defect (BQP) + defect (CRQ) + defect (PQR).
14. Jika diketahui ABC, maka buktikan bahwa ada
A‟B‟C‟ yang ekivalen dengan ABC dan
mempunyai jumlah sudut yang sama, dengan
Pengantar Geometri Non-Euclides/ 229 15. Jika diketahui ABC. Buktikan bahwa ada
A‟B‟C‟ yang ekivalen dengan ABC dan
mempunyai jumlah sudut yang sama, sedemikian hingga A‟< 21 A dan A‟ + B‟ = A.
16. Buktikan : sebarang segitiga siku-siku dapat “diduakalikan”; yakni ada segitiga yang luas (defect)nya dua kali segitiga tersebut.
17. Buktikan : sebarang segitiga siku-siku dapat “diparoh” yakni ada segitiga yang luas (defect)nya separoh segitiga tersbut.
18. Jika diketahui dua buah segitiga, maka buktikan bahwa ada segitiga yang luas (defect)nya rata-rata dari luas kedua segitiga tersebut.
LATIHAN 7.2
Jika model dari Geometri “double elliptik adalah sebuah bola, maka :
1) Berikan gambaran dari teorema 3 2) Berikan juga gambaran teorema 4 3) Berikan juga gambaran teorema 6
4) Bandingkan teorema 4 dengan teorema serupa untuk Geometri Hiperbolik dan Geometri Euclides. 5) Bandingkan pula segiempat Saccheri dalam
Geometri Elliptik dengan yang dalam Geometri Hiperbolik dan geometri Euclides.