BAB IV PERBANDINGAN METODE DEKOMPOSISI KLASIK DAN
B. Pengolahan Data Menggunakan Metode ARIMA
Ada beberapa tahap yang dilakukan pada bagian ini, dimulai dari identifikasi model untuk pemerikasaan stasioneritas, pendugaan parameter, uji kecocokan model dan peramalan. Langkah-langkah metode ARIMA dengan menggunakan program R dapat dilihat pada lampiran program metode ARIMA jumlah penumpang kereta api.
1. Identifikasi Model
Pada tahap ini akan diperiksa stasioneritas pada data, dengan cara melihat plot data asli jumlah total penumpang jawa dan sumatera pada tahun 2006-2015.
Gambar 4.2 Plot data asli jumlah penumpang Kereta Api
Gambar 4.3 Plot ACF data asli jumlah penumpang Kereta Api Berdasarkan gambar 4.2 dan 4.3 terlihat bahwa data belum stasioner terhadap rata-rata, karena pada plot data asli yang ke-91 dan seterusnya data mengalami kenaikan yang cukup tinggi dan ACF turun secara lambat menuju nol. Sehingga perlu dilakukan pembedaan pertama untuk data. Pembedaaan pertama dengan transformasi .
Gambar 4.4 Plot data hasil pembedaan pertama
Berdasarkan gambar 4.4 terlihat bahwa data telah stasioner terhadap rata- rata dan variansi, karena data berfluktuasi disekitar nilai rata-rata dan varianisi konstan. Setelah diperoleh data yang stasioner, langkah selanjutnya yang dilakukan adalah identifikasi model dengan cara melihat plot PACF dan ACF data yang telah dilakukan pembedaan.
Gambar 4.6 Plot ACF pembedaan pertama
Dilihat dari plot ACF gambar 4.6 data memuat faktor musiman yang turun secara lambat mendekati nol. Faktor musiman adalah musiman 12 bulanan, karena pola selalu berulang setiap lag 12. Dari plot PACF non musiman data terpotong setelah lag 1 ditulis AR(p=1), plot PACF musiman data terpotong setelah lag 1 ditulis SAR(P=1), plot ACF non musiman data terpotong pada lag 1 ditulis MA(q=1), dan plot ACF musiman data menurun secara lambat menuju nol ditulis SMA(Q=0) dan pembedaan orde pertama yaitu d=1. Dari plot PACF dan plot ACF diperoleh beberapa kemungkinan model.
Model
ARIMA(1,1,1)(1,0,0)12
ARIMA(1,1,0)(1,0,0)12
ARIMA(0,1,1)(1,0,0)12
2. Pendugaan Parameter
Setelah diperoleh beberapa kemungkinan model, langkah selanjutnya adalah menduga parameter. a) Model ARIMA AR 1 MA 1 SAR 1 Koefisien -0.3304 -1.0000 0.5973 SE koefisien 0.0895 0.0246 0.0770 b) Model ARIMA AR 1 SAR 1 Koefisien -0.6305 0.6393 SE koefisien 0.0719 0.0726 c) Model ARIMA MA 1 SAR 1 Koefisien -1.0000 0.6431 SE koefisien 0.0188 0.0725 d) Model ARIMA SAR 1 Koefisien 0.6886 SE koefisien 0.0682
3. Uji Kecocokan Model
Setelah diperoleh beberapa kemungkinan model, model yang dipilih adalah model yang mempunyai galat acak dan galat berdistribusi normal yang berarti galat bersifat white noise.
a. Model ARIMA
Gambar 4.7 Plot ACF galat model ARIMA
Berdasarkan plot ACF gambar 4.7, tidak ada lag yang melebihi garis putus- putus (garis signifikan). Hal ini menunjukkan bahwa galat bersifat acak. Untuk lebih tepatnya dapat menggunakan uji Box-Pierce. Lihat tabel dibawah
Tabel 4.6 Nilai Box-Pierce ARIMA
Lag 12 24 36 48
P-Value 0.8583 0.9346 0.9949 0.997
Berdasarkan Tabel 4.6 dan gambar 4.8 terlihat bahwa p-value untuk setiap lag yang diuji lebih besar dari sehingga diterima (galat bersifat acak). Selanjutnya dilihat apakah galat berdistribusi normal.
Gambar 4.9 plot normalitas galat
Dari plot normalitas galat, data berada disekitar garis dan menggunakan program spss diperoleh , yang berarti sehingga galat berdistribusi normal.
b. Model ARIMA
Berdasarkan plot ACF gambar 4.10, ada lag yang melebihi garis putus- putus (garis signifikan). Hal ini menunjukkan bahwa galat tidak bersifat acak. Untuk lebih tepatnya dapat menggunakan uji Box-Pierce. Lihat tabel dibawah
Tabel 4.7 Nilai Box-Pierce ARIMA
Lag 1 2 3 12
P-Value 0.005708 0,0003443 0,0007.331 0.005431
Gambar 4.11 plot Box-Pierce
Berdasarkan tabel 4.7 dan gambar 4.11 terlihat bahwa p-value untuk setiap lag yang diuji lebih kecil dari sehingga ditolak (galat tidak bersifat acak). Selanjutnya dilihat apakah galat berdistribusi normal.
Dari plot normalitas, data berada disekitar garis dan menggunakan program spss diperoleh , yang berarti sehingga galat berdistribusi normal.
c. Model ARIMA
Gambar 4.13 Plot ACF galat model ARIMA
Berdasarkan plot ACF gambar 4.13 ada lag melebihi garis putus-putus (garis signifikan). Hal ini menunjukkan bahwa galat tidak bersifat acak. Untuk lebih tepatnya dapat menggunakan uji Box-Pierce lihat tabel dibawah
Tabel 4.8 Nilai Box-Pierce ARIMA
Lag 1 2 3 4
Gambar 4.14 plot Box-Pierce
Berdasarkan tabel 4.8 dan gambar 4.13 terlihat bahwa untuk lag yang diuji
sehingga ditolak (galat tidak bersifat acak). Selanjutnya dilihat apakah galat berdistribusi normal
Gambar 4.15 plot normalitas galat
Dari plot normalitas, data berada disekitar garis dan menggunakan program spss diperoleh , yang berarti sehingga galat berdistribusi normal.
d. Model ARIMA
Gambar 4.16 Plot ACF galat model ARIMA
Berdasarkan plot ACF gambar 4.16, ada lag yang melebihi garis putus-putus (garis signifikan). Hal ini menunjukkan bahwa galat tidak bersifat acak. Untuk lebih tepatnya dapat menggunakan uji Box-Pierce. Lihat tabel dibawah
Tabel 4.9 Nilai Box-Pierce ARIMA
Lag 1 2 12 24
P-Value
Gambar 4.17 plot Box-Pierce
Berdasarkan tabel 4.9 dan gambar 4.17 terlihat bahwa p-value untuk setiap lag yang diuji lebih kecil dari sehingga ditolak(galat tidak bersifat acak).
Selanjutnya dilihat apakah galat berdistribusi normal.
Gambar 4.18 plot normalitas galat
Dari plot normalitas, data berada disekitar garis dan menggunakan program diperoleh , yang berarti sehingga galat berdistribusi normal.
Secara ringkas, uji kecocokan model disajikan dalam tabel 4.10 Tabel 4.10 Rangkuman uji kecocokan model
Model Galat Acak Normal ARIMA Ya Ya ARIMA Tidak Ya ARIMA Tidak Ya ARIMA Tidak Ya
Dari tabel ringkasan, dapat dilihat bahwa model yang dipilih adalah model yang memenuhi asumsi white noise yaitu galat bersifat acak dan berdistribusi normal. Sehingga model ARIMA adalah model yang dipilih untuk evaluasi model.
Setelah diperoleh model yang memenuhi asumsi, model dapat ditulis menggunakan operator langkah mundur
( ̂ )( ̂ ) ( ̂ )
Pendugaan parameter , yakni, ̂ ,
̂ dan ̂ . Substitusi parameter ke dalam persamaan, sehingga diperoleh
Gambar 4.19 plot data dan data peramalan
C. Evaluasi Model
Pada tahap ini akan dicari model yang paling baik dalam pendugaan data runtun waktu, yaitu dengan mempehatikan nilai MSE dari kedua model, yaitu model dekomposisi klasik dan model ARIMA.
Model MSE ARIMA (1,1,1)(1,0,0)12 822631.997
Dekomposisi klasik 627481.728
Dilihat dari nilai MSE, metode dekomposisi memiliki nilai MSE lebih kecil dibandingkan dengan metode ARIMA (1,1,1)(1,0,0)12. Sehingga metode yang
terbaik untuk pendugaan data runtun waktu jumlah penumpang kereta api adalah metode dekomposisi klasik.
100 BAB V PENUTUP
A. KESIMPULAN
1. Metode dekomposisi klasik dan metode ARIMA merupakan metode analisis runtun waktu. Proses pemodelan metode dekomposisi terdiri dari: menghitung rata-rata bergerak , mengurangkan data asli ( ) dengan rata-rata bergerak , menghitung rata-rata medial dan indeks musiman dari , menentukan garis tren , dan peramalan. Proses pemodelan metode ARIMA terdiri dari: identifikasi model, pendugaan parameter, Uji kecocokan model dan peramalan.
2. Berdasarkan hasil analisis data jumlah penumpang kereta api dari tahun 2006-2015, maka dapat disimpulkan bahwa metode yang terbaik adalah metode dekomposisi klasik. Metode dekomposisi klasik menghasilkan nilai MSE sebesar 627481.72, sedangkan metode menghasilkan nilai MSE sebesar 822631.997. Sehingga metode dekomposisi klasik lebih baik untuk pendugaan data runtun waktu dibandingkan dengan metode ARIMA pada kasus ini.
B. SARAN
1. Metode yang dibahas pada skripsi untuk pendugaan data runtun waktu adalah metode dekomposisi klasik dan metode ARIMA. Metode tersebut dapat dikembangkan lagi sepeti metode dekomposisi census II, metode multivariat ARIMA dan metode X-11 ARIMA.
2. Pada skripsi ini hanya menduga model yang terbaik, bagi pembaca yang ingin melanjutkan dapat meramalkan data dari model terbaik yang telah diperoleh.
102
DAFTAR PUSTAKA
Aswi dan Sukarna. (2006). Analisis Deret Waktu: Teori dan Aplikasi. Makasar: Andira
Badan Pusat Statistik. (2016). Jumlah Penumpang Kereta Api, 2006-2015 (Ribu Orang). http://www.bps.go.id/linkTabelStatis/view/id/1417#. 8 April 2016. Binus University. Alpha dan P-value dalam Statistik.
http://sbm.binus.ac.id/2015/11/20/alpha-dan-p-value-dalam-statistik/. 20 Juli 2016.
Bowerman, L.B dan O’Connel, T.R. (1993). Forecasting and Time Series: An Applied Approach. Belmont: Duxbury Press.
Box, G.E.P dan Jenkins, G.M. (1976). Time Series Analysis: Forecasting and Control. Oakland: Holdan-Day.
Box, G.E.P., Jenkins, G.M., dan Reinsel, G.C. (1994). Time Series Analysis: Forecasting and Control. New Jersey: Prentice-Hall.
Brockwell, P.J dan Davis, R.A. (2002). Introduction to Time Series and Forecasting. New York : Springer.
Chatfield, C. (2000). Time Series Forecasting. Boca Raton: Chapman & Hall/CRC.
Daniel, W.W. (1989). Statistik Nonparametrik Terapan. Jakarta: Gramedia.
Hanke, J.E. dan Wichern, D.W. (2009). Business Forecasting Ninth Edition. New Jersey: Pearson Education.
Ladiray, D dan Quenneville, B. (2001). Seasonal Adjustment with The X11 Method. New York : Springer.
Makridakis, S., Wheelwright, S.C., dan McGee, V.E. (1999). Metode dan Aplikasi Peramalan. Jakarta: Erlangga.
Mendenhall, W.,Scheaffer, R.L., dan Wackerly, D.D. (1986). Mathematical Statistics with Applications Third Edition. United States: PWS Publishers. Shumway, R.H dan Stoffer, D.S. (2011). Time Series Analysis and Its Application
With R Examples Third Edition. New York: Springer.
Wei, W.W.S., (2006). Time Series Analysis: Univariate and Multiplicative Method Second Edition. United States: Pearson Education.
LAMPIRAN
Berikut merupakan tabel dan program pada Bab III dan Bab IV
Tabel 3.1 data asli
Tahun Jan Feb Mar Apr May Jun 1990 6600 1000 2300 1000 800 1700 1991 4100 3200 1300 1800 1300 1000 1992 6400 3200 900 1000 1000 700 1993 13900 1800 400 700 500 100 1994 12300 1500 2400 1100 800 500 1995 7300 600 2600 1000 900 300 1996 7200 2200 1800 1000 900 700 Tahun Jul Aug Sep Oct Nov Dec
1990 3500 200 100 100 700 1100 1991 2800 500 400 1100 1100 1700 1992 1100 600 400 2300 1000 2600 1993 900 500 600 800 2000 1400 1994 2100 800 200 1800 3700 3000 1995 1100 1100 200 2100 1400 3500 1996 1200 700 500 1400
Tabel 4.1 data asli jumlah penumpang kereta api Tahun Jan Feb Mar Apr May Jun
2006 11828 11931 13314 12909 13575 13203 2007 13960 10969 13409 14415 15232 15104 2008 15027 14378 16071 15711 16363 17010 2009 14494 13869 17132 16775 17824 18143 2010 17424 15207 16992 16832 16988 17259 2011 16891 14890 16978 16441 17522 17265 2012 16283 15490 17090 16746 17771 18062 2013 14900 14594 15826 16000 16113 17301 2014 21092 19998 22836 21908 22988 23840 2015 24676 22790 27267 26565 27910 27562 Tahun Jul Aug Sep Oct Nov Dec
2007 16454 15419 15033 15866 14391 15084 2008 17887 17108 15879 17337 15973 15332 2009 18385 17527 17281 17281 16778 17581 2010 17680 16477 17301 16908 16469 17733 2011 18132 14846 16921 16461 16179 16811 2012 18309 17056 16368 17127 15773 16104 2013 20245 19423 19738 20534 19919 21417 2014 22500 23199 23593 24923 24356 26275 2015 27612 27796 27549 28718 27669 29831
Langkah-langkah metode ARIMA contoh 3.4 runtun waktu > data= read.delim(file.choose())
> t= data[,1] > Xt= data[,2]
> plot(t,Xt, type="o", main="Data Asli") >acf(Xt, lag.max=40) >library(forecast) Trasformasi > lambda= BoxCox.lambda(Xt) > lambda [1] -0.1463171 > dataTransformasi= (Xt^lambda-1)/lambda
> plot(t, dataTransformasi, type="o", xlab="t", ylab="transformasi", main="Data transformasi")
> pacf(dataTransformasi, lag.max=60) > acf(dataTransformasi, lag.max=60)
>estimasi=Arima(dataTransformasi,order=c(1,0,1),seasonal=list(order=c(1,0,0) ,period=12))
Series: dataTransformasi
ARIMA(1,0,1)(1,0,0)[12] with non-zero mean Coefficients:
ar1 ma1 sar1 intercept 0.4583 -0.1648 0.6469 4.3673 s.e. 0.2450 0.2668 0.0866 0.1002
sigma^2 estimated as 0.06697: log likelihood=-8.82 AIC=27.64 AICc=28.42 BIC=39.67
>estimasi=Arima(dataTransformasi,order=c(1,0,0),seasonal=list(order=c(1,0,0) ,period=12))
> estimasi
Series: dataTransformasi
ARIMA(1,0,0)(1,0,0)[12] with non-zero mean Coefficients:
ar1 sar1 intercept 0.3095 0.6400 4.3672 s.e. 0.1060 0.0863 0.0933
sigma^2 estimated as 0.06742: log likelihood=-9 AIC=26 AICc=26.52 BIC=35.62
>estimasi=Arima(dataTransformasi,order=c(0,0,1),seasonal=list(order=c(1,0,0) ,period=12))
> estimasi
Series: dataTransformasi
ARIMA(0,0,1)(1,0,0)[12] with non-zero mean Coefficients:
ma1 sar1 intercept 0.2405 0.6432 4.3661 s.e. 0.0923 0.0873 0.0815
sigma^2 estimated as 0.06896: log likelihood=-9.94 AIC=27.88 AICc=28.4 BIC=37.51
>estimasi=Arima(dataTransformasi,order=c(0,0,0),seasonal=list(order=c(1,0,0) ,period=12))
> estimasi
Series: dataTransformasi
ARIMA(0,0,0)(1,0,0)[12] with non-zero mean Coefficients:
sar1 intercept 0.6745 4.3636 s.e. 0.0837 0.0727
sigma^2 estimated as 0.07362: log likelihood=-13.03 AIC=32.07 AICc=32.38 BIC=39.29
>acf(galat, lag.max=82)
> Box.test(galat, lag=k, type="Ljung-Box") , dengan k= lag ke > tsdiag(estimasi)
> qqnorm(galat) > qqline(galat)
>Xttopi= dataTransformasi-galat
> plot(t,dataTransformasi, col="red", type="o", main="plot data transformasi dengan data ramalan transformasi")
> lines(t,Xttopi, col="blue")
> legend("topright", c("data transformasi","data ramalan transformasi"), cex=0.8,col=c("red","blue"), pch=21:22,lty=1:2)
Langkah-langkah metode ARIMA jumlah penumpang kereta api > data= read.delim(file.choose())
> t= data[,1] > Xt= data[,2]
> plot(t,Xt, type="o", main="Jumlah Penumpang Kereta Api") >acf(Xt, lag.max=70)
>library(forecast)
Trasformasi . >d1= diff(Xt)
> plot(t1, d1, type="o", xlab="t1", ylab="d1", main="Pembedaan Pertama Jumlah Penumpang KA")
> pacf(d1, lag.max=80) > acf(d1, lag.max=80) > estimasi=Arima(d1,order=c(1,1,1),seasonal=list(order=c(1,0,0),period=12)) > estimasi Series: d1 ARIMA(1,1,1)(1,0,0)[12] Coefficients:
ar1 ma1 sar1 -0.3304 -1.0000 0.5973 s.e. 0.0895 0.0246 0.0770
sigma^2 estimated as 822632: log likelihood=-975.63
AIC=1959.26 AICc=1959.61 BIC=1970.34> galat= residuals(estimasi)
> estimasi=Arima(d1,order=c(1,1,0),seasonal=list(order=c(1,0,0),period=12)) > estimasi Series: d1 ARIMA(1,1,0)(1,0,0)[12] Coefficients: ar1 sar1 -0.6305 0.6393 s.e. 0.0719 0.0726
AIC=2020.75 AICc=2020.96 BIC=2029.06 > estimasi=Arima(d1,order=c(0,1,1),seasonal=list(order=c(1,0,0),period=12)) > estimasi Series: d1 ARIMA(0,1,1)(1,0,0)[12] Coefficients: ma1 sar1 -1.0000 0.6431 s.e. 0.0188 0.0725
sigma^2 estimated as 914595: log likelihood=-982 AIC=1970 AICc=1970.21 BIC=1978.31
> estimasi=Arima(d1,order=c(0,1,0),seasonal=list(order=c(1,0,0),period=12)) > estimasi Series: d1 ARIMA(0,1,0)(1,0,0)[12] Coefficients: sar1 0.6886 s.e. 0.0682
sigma^2 estimated as 2334530: log likelihood=-1036.43 AIC=2076.86 AICc=2076.96 BIC=2082.4
>galat= residuals(estimasi) >acf(galat, lag.max=120)
> Box.test(galat, lag=k, type="Ljung-Box") , dengan k= lag ke > tsdiag(estimasi)
> qqnorm(galat) > qqline(galat) >Xttopi= d1-galat
> plot(t1,d1, col="red", type="o", main="plot Xt' dengan Xt' Peramalan") > lines(t1,Xttopi, col="blue")
> legend("topright", c("data Xt' ","data ramalan Xt' "), cex=0.8,col=c("red","blue"), pch=21:22,lty=1:2